1. 教學設計中如何體現數學思想和方法
問題是數學的心臟，方法是數學的行為，思想是數學的靈魂。不管是數學概念的建立，數學規律的發現，還是數學問題的解決，乃至整個數學大廈的構建，核心問題在於數學思想方法的培養和建立。在一個人的一生中，最有用的不僅是數學知識，更重要的是數學的思想和數學的意識。因此，在數學教學中，不僅要重視知識形成過程，還要十分重視挖掘在數學知識的發生、形成和發展過程中所蘊藏的數學思想方法。 一、在備課中,有意識地體現數學思想方法 教師要進行數學思想方法的教學，首先要有意識地從教學目的的確定、教學過程的實施，教學效果的落實等各個方面來體現，使每節課的教學、教育目的獲得和諧的統一。通過對教材完整的分析和研究，理清和把握教材的體系和脈絡，統攬教材全局，高屋建瓴。然後建立各類概念、知識點或知識單元之間的界面關系，歸納和揭示其特殊性質和內在的一般規律。因而，在備課時就必須把數學思想方法的教學從鑽研教材中加以挖掘。例如,在備《二元一次方程組》(北師大版八年級上冊第七章)這一章時，就要挖掘方程思想、建模思想、化未知為己知、化二元為一元的化歸思想方法。 二、以教材知識為載體，在教學中滲透數學思想方法 數學教材是按數學內容的邏輯體系與認識理論的教學體系相結合的辦法來安排的。受篇幅的限制，教材內容較多顯示的是數學結論，對數學結論裡面所隱含的數學思想方法以及數學思維活動的過程，並沒有在教材里明顯地體現。然而，數學是知識與思想方法的有機結合，沒有不包含數學思想方法的數學知識，也沒有游離於數學知識之外的數學思想方法。這就要求教師在教學中，深入挖掘隱含在教材里的數學思想方法，精心設計課堂教學過程，展示數學思維過程，這樣才有助於學生了解其中數學思想方法的產生、應用和發展的過程；理解數學思想方法的特徵，應用的條件，掌握數學思想方法的實質。例如立體幾何教學中許多內容都體現了一個重要思想方法把空間里的問題轉化為平面上的問題，在教學過程中，就要善於引導學生從具體問題中提煉出這一具有普遍指導作用的思想方法。並進一步上升為降維的思想方法，再總結出更一般的更高層次的思想轉化與化歸。 不同的教學內容，可根據其特點，選配不同的數學思想方法進行教學：一般在知識的概念形成階段導入概念型數學思想，如方程思想、相似思想、已知與未知互相轉化的思想、特殊與一般互相轉化的思想等；在知識的結論、公式、法則等規律的推導階段，強調和灌輸思維方法，如解方程的如何消元降次、函數的數與形的轉化、判定兩個三角形相似有哪些常用思路等；在知識的總結階段或新、舊知識結合部分，選配結構型的數學思想，如函數與方程思想體現了函數、方程、不等式間的相互轉化，分組討論思想體現了局部與整體的相互轉化。 三、在掌握重點、突破難點中,有意識地運用數學思想方法 數學教學中的重點,往往就是需要有意識地運用或揭示數學思想方法之處。數學教學中的難點，往往與數學思想方法的更新交替、綜合運用、跳躍性較大有關。因此，教師要掌握重點，突破難點，更要有意識地運用數學思想方法組織教學。例如，二次根式的加減運算是一個教學難點，為了突破難點，就要運用類比思想、整體思想、化歸轉換思想方法尋找解決問題途徑，採用類比整式的加減運算的手段，構造出具體形象的數學模型，從而進行猜想、推理、研究，實現從未知到已知的轉化。 四、在展現數學知識的形成與應用過程中，提煉數學思想方法 數學知識發生的過程也是其思想方法產生的過程。在此過程中，向學生提供豐富的、典型的、正確的直觀背景材料，採取問題情境建立模型解釋、應用與拓展的模式，通過對相關問題情境的研究為有效切入點，對知識發生過程的展示，使學生的思維和經驗全部投入到接受問題、分析問題和感悟思想方法的挑戰之中，並在此過程領會如數感、符號感、空間觀念、統計觀念、應用意識和推理能力等數學思想方法。例如在講授《探索勾股定理》(北師大版八年級上冊第一章第一節)時，將概念、結論性知識的教學設計成再發現、再創造的教學：先讓學生在方格紙上計算面積的方法理解勾股定理，再用拼圖的方法驗證其內容，讓學生經歷觀察、歸納、猜想和驗證的數學發現過程，使學生在動腦、動手的過程中領悟、體驗、提煉數學思想方法數形結合思想(將三角形三邊的平方與正方形面積聯系起來，再比較同一正方形面積的幾種不同的代數表示，得到勾股定理)。在展現數學知識的形成與應用過程中，著重過程(不要過早下結論)，引導學生積極參與數學定理、性質、法則、公式等結論的探索、發現、推導過程，弄清每個結論的因果關系。經過分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工，完整地體現這一生動過程，不失時機地引導學生(不要包辦代替)，揭示數學思想方法本質特徵。 五、通過範例教學，挖掘數學思想方法 有意識地組織學生進行必要的解題訓練，設計具有探索性的、能從中抽象一般和特
2. 怎樣將數學思想和方法應用到初中數學教學中
一、數學思想方法在初中數學教學中的重要性
在《初中數學課程標准》的總體目標中，明確地提出了：「通過義務教育階段的數學學習，學生應能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識以及基本的數學思想方法和必要的應用技能」。新課程把基本的數學思想方法作為基礎知識的重要組成部分，在數學課程標准中明確地提出來，這不僅是課程標准體現義務教育性質的重要表現，也是對學生實施創新教育、培養創新思維的重要保證。
什麼是數學思想方法？數學思想是對數學知識和方法本質的認識，是解決數學問題的根本策略，它直接支配著數學的實踐活動；數學方法是解決問題的手段和工具，是解決數學問題時的程序、途徑，它是實施數學思想的技術手段。數學思想帶有理論性特徵，而數學方法具有實踐性的特點，數學問題的解決離不開以數學思想為指導，以數學方法為手段。數學思想方法是從數學內容中提煉出來的數學學科的精髓，是數學素養的重要內容之一，數學思想方法揭示了概念、原理、規律的本質，是溝通基礎與能力的橋梁。
在初中數學教學中，常見的數學思想有：轉化思想、方程思想、數形結合思想、分類討論思想等等；常見的數學方法有：待定系數法、配方法、換元法、分析法、綜合法、類比法等等。
在初中數學教學中，滲透數學思想方法，可以克服就題論題，死套模式，數學思想方法可以幫助我們加強思路分析，尋求已知和未知的聯系，提高分析解決問題的能力，從而使思維品質和能力有所提高。提高學生的數學素質、必須緊緊抓住數學思想方法這一重要環節，因為數學思想方法是提高學生的數學思維能力和數學素養的重要保障。
在初中數學教材中集中了大量的優秀例題和習題，它們所體現的數學知識和數學方法固然重要，但其蘊涵的數學思想卻更顯重要，作為初中數學教師，要善於挖掘例題、習題的潛在功能。在初中數學教學中，教師應向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助學生在自主探索和合作交流的過程中，真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者與合作者。學生只有領會了數學思想方法，才能有效地應用知識，形成能力，從而為解決數學問題、進行數學思維起到很好的促進作用。因此，在初中數學教學中，教師必須重視對學生進行數學思想方法的滲透與培養。
二、幾種常見的數學思想方法在初中數學教學中的應用
（一）滲透轉化思想，提高學生分析解決問題的能力
所謂「轉化思想」是指把待解決或未解決的問題，通過轉化，歸結到已經解決或比較容易解決的問題中去，最終使問題得到解決的一種思想方法。轉化思想是初中數學中常見的一種數學思想，它的應用十分廣泛，我們在數學學習過程中，常常把復雜的問題轉化為簡單的問題，把生疏的問題轉化為熟悉的問題。數學問題的解決過程就是一系列轉化的過程，轉化是化繁為簡，化難為易，化未知為已知的有力手段，是解決問題的一種最基本的思想，對提高學生分析解決問題的能力有積極的促進作用。
我們對轉化思想並不陌生，中學數學中常用的化高次為低次、化多元為一元，都是轉化思想的體現。在具體內容上，有加減法的轉化、乘除法的轉化、乘方與開方的轉化、數形轉化等等。例如：初中數學「有理數的減法」和「有理數的除法」這兩節教學內容中，教材是通過「議一議」的形式，使學生在自主探究和合作交流的過程中，經歷把有理數的減法轉化為加法、把有理數的除法轉化為乘法的過程，「減去一個數等於加上這個數的相反數」，「除以一個數等於乘以這個數的倒數」，這個地方雖然很簡單，但卻充分體現了把「沒有學過的知識」轉化為「已經學過的知識」來加以解決，學生一旦掌握了這種解決問題的策略，今後無論遇到多麼難、多麼復雜的問題，都會自然而然地想到把「不會的」轉化為「會的」、「已經掌握的」知識來加以解決，這符合學生原有認知規律，作為教師，我們不能因為簡單而忽視它的教學，實踐告訴我們，往往是越簡單、越淺顯的例子，越能引起學生的認同，所以我們不能錯過這一絕佳的提高學生的思維品質的機會。
再如北京市義務教育課程改革實驗教材數學第13冊第4章中《對圖形的認識》，它實際上是「空間與圖形」的最基本部分。教材在編排設計上是圍繞認識基本幾何體、發展學生空間觀念展開的，在過程上是讓學生經歷圖形的變化、展開與折疊等數學活動過程的，在活動中引導學生認識常見的幾何體以及點、線、面和一些簡單的平面圖形，通過對某些幾何體的主視圖、俯視圖、左視圖的認識，在平面圖形與立體圖形的轉化中發展學生的空間觀念。在授課過程中要特別注意圖形的轉化思想的滲透，在實際操作中，因為大部分學生在小學時就積累一定的感性處理方法，我們要注意的就是在學生原有知識結構的基礎上，將其上升為理論高度，引導學生歸納概括得出一般性的結論：在初中階段，絕大部分立體圖形的問題都可以轉化為平面圖形的問題，從而使學生真正體會到立體與平面的相互轉化思想。
又如在解方程組時，通過消元這個手段，把二元一次方程組轉化為一元一次方程去解；在解多邊形問題時，又是通過添加輔助線這個手段，把多邊形的問題轉化為三角形的問題加以解決等等。數學中的有理數和無理數、整式和分式、已知和未知、特殊和一般、常量和變數、整體和局部等處處都蘊涵著轉化這一辯證思想。因此，在初中數學教學中，應有意識地滲透轉化思想。如在學習分式方程時，不能只簡單介紹分式方程的概念和解法，教學時，應讓學生充分經歷整式方程與分式方程的觀察、比較、分析、探索過程，啟發學生說出分式方程的解題基本思想，學生在經歷了充分的探索後，自然認識到：通過把分式方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，就可以把分式方程轉化為整式方程，學生感悟到分式方程與整式方程概念和解法的實質後，會收到一種居高臨下，深入淺出的教學效果。因此，在初中數學教學中，要注重滲透轉化思想，可以說轉化思想是科學世界觀在數學中的體現，是最重要的數學思想之一，不僅可以培養學生的科學意識，而且可以提高學生的觀察能力、探索能力和分析解決問題的能力。
（二）滲透數形結合的思想方法，提高學生的數形轉化能力和遷移思維的能力
恩格斯曾說過：「純數學的對象是現實世界的空間形式和數量關系」。而「數」和「形」是數學中兩個最基本的概念。「數」是數量關系的體現，而「形」則是空間形式的體現。它們兩者既有對立的一面，又有統一的一面。我們在研究數量關系時，有時要藉助於圖形直觀地去研究，而在研究圖形時，又常常藉助於線段或角的數量關系去探求。數形結合思想是指將數與圖形結合起來解決問題的一種思維方式。數和式是問題的抽象和概括、圖形和圖像是問題的具體和直觀的反映。因此，數和形是研究數學的兩個側面，利用數形結合，常常可以使所要研究的問題化難為易，使復雜問題簡單化、抽象問題具體化。正如著名數學家華羅庚所說的那樣：「數無形，少直觀，形無數，難入微」，這句話闡明了數形結合思想的重要意義。
在初中代數列方程解應用題教學中，很多例題都採用了圖示法進行分析，在教學過程中要充分利用圖形的直觀性和具體性，引導學生從圖形上發現數量關系，找出解決問題的突破口，學生掌握了數形結合這一思想要比掌握一個公式或一種具體方法更有價值，對解決問題更具有指導意義。
又如，計算：1+3=？1+3+5=？1+3+5+7=？1+3+5+7+9=？並根據計算結果，探索規律。
數學思想方法與初中數學教學
在這道題的教學中，首先應讓學生思考：從上面這些算式中你能發現什麼？讓學生經歷觀察（每個算式和結果的特點）、比較（不同算式之間的異同），歸納（可能具有的規律）、提出猜想的過程。在探索過程中鼓勵學生進行相互合作交流，提供如下的幫助：列出一個點陣，用圖形的直觀來幫助學生進行猜想。這就是典型的把數量關系問題轉化到圖形中來完成的題型，充分體現了數形結合思想。
再如在講「圓與圓的位置關系」時，可自製圓形紙板，進行運動實驗，讓學生首先從形的角度認識圓與圓的位置關系，然後可激發學生積極主動探索：兩圓的位置關系反映到數上有何特徵？這種藉助於形通過數的運算推理研究問題的數形結合思想，在教學中要不失時機地滲透，這樣不僅可以提高學生的遷移思維能力，還可以培養學生的數形轉換能力和多角度思考問題的習慣。
此外，數學教學中，我們正是藉助數形結合的載體——數軸，學習研究了數與點的對應關系，相反數、絕對值的定義，有理數大小比較的法則等，利用數形結合思想大大減少了引進這些概念的難度。數形結合思想的滲透不能簡單的通過解題來實現和灌輸，應該落實在課堂教學的學習探索過程中，我在講「相反數」這節課時，首先提出問題：「在上體育課時，體育李老師請小明和小強分別站在李老師的左右兩邊（三人在同一條直線上），並與李老師相距1米。你能說出小明、小強與李老師的位置關系有什麼相同點和不同點嗎？如果李老師所站的位置是數軸的原點，你能把小明、小強所站的位置用數軸上的點A、B表示出來嗎？它們在數軸上的位置有什麼關系？」
數學思想方法與初中數學教學
讓學生動手實踐，在數軸上分別確定表示這些數的點。 觀察並思考：這些點在位置上有怎樣的特徵。引導學生歸納總結，形成相反數的概念，在此基礎上繼續提出問題：若兩個數互為相反數，從「數、形」的角度看，它們有什麼相同點和不同點呢？學生思考得到：從「數」的角度看：若兩個數互為相反數，則只有符號不同。教師強調：只有、兩個、互為。從「形」的角度看：相同點是它們到原點的距離相等；不同點是兩個點分別在數軸原點的兩側。之後，我進一步引導學生觀察數軸，是否所有的相反數都成對出現？有特殊的嗎？學生通過討論得出：除0以外，相反數是成對出現的。本節課藉助數軸，幫助學生理解相反數的概念，進一步滲透數形結合的思想。教學中，從學生身邊的生活實例入手，先從互為相反數的兩數在數軸上的特徵，即它們分別位於原點的兩旁，且與原點距離相等的實例出發，讓學生帶著問題觀察數軸上的點，鼓勵學生用自己的語言說出猜想，揭示這兩數的幾何形象。充分利用計算機課件的直觀性幫助學生驗證猜想，增強對相反數概念的感性認識，充分利用數軸幫助思考，把一個抽象的相反數的概念，化為直觀的幾何形象。在這種情況下給出互為相反數的定義：只有符號不同的兩個數稱互為相反數。特別地規定：0的相反數是0。學生從「數」和「形」兩個方面認識相反數概念的本質特徵，體會數形結合的思想，顯得自然親切，水到渠成，同時也讓學生在數形結合的思想方法的引領下感受到了成功，初步領略和嘗試了它的功用，是一個非常好的滲透背景。
3. 如何在課堂教學中進行數學思想方法的教學
作為一名小學教師，每天的課堂教學我們總是在有意或無意的滲透著數學思想方法。美國教育心理家布魯納指出：掌握基本的數學思想方法，能使數學更易於理解和更利於記憶，領會基本數學思想和方法是通向遷移大道的「光明之路」。在人的一生中，最有用的不僅是數學知識，更重要的是數學的思想方法和數學的意識，因此數學的思想方法是數學的靈魂和精髓。掌握科學的數學思想方法對提升學生的思維品質，對數學學科的後繼學習，對其它學科的學習，乃至對學生的終身發展都具有十分重要的意義。在小學數學教學中，教師有計劃、有意識地滲透一些數學思想方法非常重要。下面我就談談在小學數學教學中，我是如何滲透數學思想方法：
一、改變應試教育觀念,創新數學思想方法。
數學思想方法隱含在數學知識體系裡，是無「形」的，而數學概念、法則、公式、性質等知識都明顯地寫在教材中，是有「形」的。作為教師首先要改變應試教育觀念，從思想上不斷提高對滲透數學思想方法重要性的認識，把掌握數學知識和滲透數學思想方法同時納入教學目的，把數學思想方法教學的要求融入備課環節。其次要深入鑽研教材，努力挖掘教材中可以進行數學思想方法滲透的各種因素，對於每一章每一節，都要考慮如何結合具體內容進行數學思想方法滲透，滲透哪些數學思想方法，怎麼滲透，滲透到什麼程度，應有一個總體設計，提出不同階段的具體教學要求。在小學數學教學中，教師不能僅僅滿足於學生獲得正確知識的結論，而應該著力於引導學生對知識形成過程的理解。讓學生逐步領會蘊涵其中的數學思想方法。也就是說，對於數學教學重視過程與重視結果同樣重要。教師要站在數學思想方面的高度，對其教學內容，用恰當的語言進行深入淺出的分析，把隱蔽在知識內容背後的思想方法提示出來。例如，長方體和正方體的認識概念教學，可以按下列程序進行：（1）由實物抽象為幾何圖形，建立長方體和正方體的表象；（2）在表象的基礎上，指出長方體和正方體特點，使學生對長方體和正方體有一個更深層次的認識；（3）利用長方體和正方體的各種表象，分析其本質特徵，抽象概括為用文字語言表達的長方體和正方體的概念；（4）使長方體和正方體的有關概念符號化。顯然，這一數學過程，既符合學生由感知到表象，再到概念的認知規律，又能讓學生從中體會到教師是如何應用數學思想方法，對有聯系的材料進行對比的，對空間形式進行抽象概括的，對教學概念進行形式化的。
二、課堂教學中及時滲透數學思想方法。
為了更好地在小學數學教學中滲透數學思想方法，教師不僅要對教材進行研究，潛心挖掘，而且還要講究思想滲透的手段和方法。在教學過程中，我經常通過以下途徑及時向學生滲透數學思想方法：（1）在知識的形成過程中滲透。如概念的形成過程，結論的推導過程等，這些都是向學生滲透數學思想和方法的極好機會。例如量的計量教學，首要問題是要合理引入計量單位。作為課本不可能花大氣力去闡述這個過程。但是作為教師根據教學的實際情況，適當地展示它的簡單過程和所運用的思想方法，有利於培養學生的創造性思維品質和為追求真理而勇於探索的精神。例如，在「面積與面積單位」一課教學中，當學生無法直接比較兩個圖形面積的大小時，引進「小方塊」，並把它一個一個地鋪在被比較的兩個圖形上，這樣，不僅比較出了兩個圖形的大小，而且，使兩個圖形的面積都得到了「量化」。使形的問題轉化為數的問題。在這一過程中，學生親身體驗到「小方塊」所起的作用。接著又通過「小方塊」大小必須統一的教學過程，使學生深刻地認識到：任何量的量化都必須有一個標准，而且標准要統一。很自然地滲透了「單位」思想。（2）在問題的解決過程中滲透。如：教學「雞兔同籠」 這一課時，在解決問題的過程中，用圖表、課件展示的方法讓學生逐步領會「假設」這種策略的奧妙所在。（3）在復習小結中滲透。在章節小結、復習的數學教學中，我們要注意從縱橫兩個方面，總結復習數學思想與方法，使師生都能體驗到領悟數學思想，運用數學方法，提高訓練效果，減輕師生負擔，走出題海誤區的輕松愉悅之感。如教學 「梯形面積」這一單元之後，我及時幫助學生依靠梯形面積的推導過程回憶平行四邊形的面積、三角形的面積公式的推導方法，使學生能清楚地意識到：「轉化」是解決問題的有效方法。
三、讓學生學會自覺運用數學思想方法。
數學思想方法的教學，不僅是為了指導學生有效地運用數學知識、探尋解題的方向和入口，更是對培養人的思維素質有著特殊不可替代的意義。它在新授中屬於「隱含、滲透」階段，在練習與復習中進入明確、系統的階段，也是數學思想方法的獲得過程和應用過程。這是一個從模糊到清晰的飛躍。而這樣的飛躍，依靠著系統的分析與解題練習來實現。學生做練習，不僅對已經掌握的數學知識以及數學思想方法會起到鞏固和深化的作用，而且還會從中歸納和提煉出新的數學思想方法。數學思想方法的教學過程首先是從模仿開始的。學生按照例題師范的程序與格式解答和例題相同類型的習題，實際上是數學思想方法的機械運用。此時，並不能肯定學生已領會了所用的數學思想方法，只當學生將它用於新的情景，解決其他有關的問題並有創意時，才能肯定學生對這一教學本質、數學規律有了深刻的認識。
我們知道，最好的學習效果是主動參與，親自發現，數學思想方法的學習也不例外。在教學中，通過數學思想方法的廣泛應用，讓學生從主觀上重視數學思想方法的學習，進而增強自覺提煉數學思想方法的意識。教師對習題的設計也應該從數學思想方法的角度加以考慮，盡量多安排一些能使各種學習水平的學生深入淺出地作出解答的習題，它既有具體的方法或步驟，又能從一類問題的解法去思考或從思想觀點上去把握，形成解題方法，進而深化為數學思想。例如；在教學完多邊形面積的計算以後，可以由易到難，出幾題運用移動、割補等方法解決的實際問題，這樣做不僅可以讓學生領會到轉化的數學思想方法，對提高學生的學習興趣也大有好處。讓學生在操作中掌握，在掌握後領悟，使數學思想方法在知識能力的形成過程中共同生成。
我們小學數學教師只有重視對數學思想方法的學習研究，探討其教學規律，才能適應新課改的需要。數學思想方法的滲透具有長期性、反復性。對學生進行數學思想方法的滲透必定要經歷一個循環往復、螺旋上升的過程，往往是幾種思想方法交織在一起，在教學過程中教師要依據具體情況，有效進行數學思想方法的滲透。