『壹』 做數學中排列和組合的計數問題有什麼技巧可以抓的
1．排列、排列數的定義，排列數的兩個計算公式；
2．常見的排隊的三種題型：
⑴某些元素不能在或必須排列在某一位置——優限法；
⑵某些元素要求連排（即必須相鄰）——捆綁法；
⑶某些元素要求分離（即不能相鄰）——插空法．
3．分類、分布思想的應用．
二、新授：
示例一：從10個不同的文藝節目中選6個編成一個節目單，如果某女演員的獨唱節目一定不能排在第二個節目的位置上，則共有多少種不同的排法？
解法一：（從特殊位置考慮）
解法二：（從特殊元素考慮）若選： 若不選：
則共有 ＋ ＝136080
解法三：（間接法） 136080
示例二：
⑴ 八個人排成前後兩排，每排四人，其中甲、乙要排在前排，丙要排在後排，
則共有多少種不同的排法？
略解：甲、乙排在前排 ；丙排在後排 ；其餘進行全排列 ．
所以一共有 ＝5760種方法．
⑵ 不同的五種商品在貨架上排成一排，其中a, b兩種商品必須排在一起，而c, d兩種商品不排在一起, 則不同的排法共有多少種？
略解：（「捆綁法」和「插空法」的綜合應用）a, b捆在一起與e進行排列有 ；
此時留下三個空，將c, d兩種商品排進去一共有 ；最後將a, b「松綁」有 ．所以一共有 ＝24種方法．
☆⑶ 6張同排連號的電影票，分給3名教師與3名學生，若要求師生相間而坐，則不同的坐法有多少種？
略解：（分類）若第一個為老師則有 ；若第一個為學生則有
所以一共有2 ＝72種方法．
示例三：
⑴ 由數字1，2，3，4，5可以組成多少個沒有重復數字的正整數？
略解：
⑵ 由數字1，2，3，4，5可以組成多少個沒有重復數字，並且比13 000大的正整數？
解法一：分成兩類，一類是首位為1時，十位必須大於等於3有 種方法；另一類是首位不為1，有 種方法．所以一共有 個數比13 000大．
解法二：（排除法）比13 000小的正整數有 個，所以比13 000大的正整數有 ＝114個．
示例四： 用1，3，6，7，8，9組成無重復數字的四位數，由小到大排列．
⑴ 第114個數是多少？ ⑵ 3 796是第幾個數？
解：⑴ 因為千位數是1的四位數一共有 個，所以第114個數的千位數應該是「3」，十位數字是「1」即「31」開頭的四位數有 個；同理，以「36」、「37」、「38」開頭的數也分別有12個，所以第114個數的前兩位數必然是「39」,而「3 968」排在第6個位置上，所以「3 968」 是第114個數．
⑵ 由上可知「37」開頭的數的前面有60＋12＋12＝84個，而3 796在「37」開頭的四位數中排在第11個（倒數第二個），故3 796是第95個數．
示例五： 用0，1，2，3，4，5組成無重復數字的四位數，其中
⑴ 能被25整除的數有多少個？
⑵ 十位數字比個位數字大的有多少個？
解： ⑴ 能被25整除的四位數的末兩位只能為25，50兩種，末尾為50的四位數有 個，末尾為25的有 個，所以一共有 ＋ ＝21個．
註： 能被25整除的四位數的末兩位只能為25，50，75，00四種情況．
⑵ 用0，1，2，3，4，5組成無重復數字的四位數，一共有 個．因為在這300個數中，十位數字與個位數字的大小關系是「等可能的」，所以十位數字比個位數字大的有 個．
三、小結：能夠根據題意選擇適當的排列方法，同時注意考慮問題的全面性，此外能夠藉助一題多解檢驗答案的正確性．
四、作業：「3＋X」之 排列 練習
組 合
課題：組合、組合數的綜合應用⑵
目的：對排列組合知識有一個系統的了解，掌握排列組合一些常見的題型及解題方法，能夠運用兩個原理及排列組合概念解決排列組合問題．
過程：
一、知識復習：
1．兩個基本原理；
2．排列和組合的有關概念及相關性質．
二、例題評講：
例1．6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：
⑴ 分給甲、乙、丙三人，每人兩本；
⑵ 分為三份，每份兩本；
⑶ 分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；
⑷ 分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本；
⑸ 分給甲、乙、丙三人，每人至少一本．
解：⑴ 根據分步計數原理得到： 種．
⑵ 分給甲、乙、丙三人，每人兩本有 種方法，這個過程可以分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名同學有 種方法．根據分步計數原理可得： ，所以 ．因此分為三份，每份兩本一共有15種方法．
註：本題是分組中的「均勻分組」問題．
⑶ 這是「不均勻分組」問題，一共有 種方法．
⑷ 在⑶的基礎上在進行全排列，所以一共有 種方法．
⑸ 可以分為三類情況：①「2、2、2型」即⑴中的分配情況，有 種方法；②「1、2、3型」即⑷中的分配情況，有 種方法；③「1、1、4型」，有 種方法．所以一共有90+360+90＝540種方法．
例2．身高互不相同的7名運動員站成一排，甲、乙、丙三人自左向右從高到矮排列且互不相鄰的排法有多少種？
解：（插空法）現將其餘4個同學進行全排列一共有 種方法，再將甲、乙、丙三名同學插入5個空位置中（但無需要進行排列）有 種方法．根據分步計數原理，一共有 ＝240種方法．
例3．⑴ 四個不同的小球放入四個不同的盒中，一共有多少種不同的放法？
⑵ 四個不同的小球放入四個不同的盒中且恰有一個空盒的放法有多少種？
解：⑴ 根據分步計數原理：一共有 種方法．
⑵（捆綁法）第一步從四個不同的小球中任取兩個「捆綁」在一起看成一個元素有 種方法，第二步從四個不同的盒取其中的三個將球放入有 種方法．所以一共有 ＝144種方法．
例4．馬路上有編號為1，2，3，…，10的十盞路燈，為節約用電又不影響照明，可以把其中3盞燈關掉，但不可以同時關掉相鄰的兩盞或三盞，在兩端的燈都不能關掉的情況下，有多少種不同的關燈方法？
解：（插空法）本題等價於在7隻亮著的路燈之間的6個空檔中插入3隻熄掉的燈，故所求方法總數為 種方法．
例5．九張卡片分別寫著數字0，1，2，…，8，從中取出三張排成一排組成一個三位數，如果6可以當作9使用，問可以組成多少個三位數？
解：可以分為兩類情況：① 若取出6，則有 種方法；②若不取6，則有 種方法．根據分類計數原理，一共有 + ＝602種方法．