如何用幾何方法證明三角形內角和

❶ 三角形的內角和怎樣求

三角形的內角和是180°，證明方法如下：

如下圖所示，三角形ABC，過定點A做平行與底邊BC的平行線，由平行的的性質可得∠B=∠b，∠C=∠c，由圖中可以看出∠b+∠c+∠A是一個平角，即180°，所以∠B+∠C+∠A=180°。所以三角形的內角和是180°。

三角形的內角和是180°，可以作為一個定理使用（內角和定理）。

(1)如何用幾何方法證明三角形內角和擴展閱讀：

三角形的性質

1 、在平面上三角形的內角和等於180°（內角和定理）。

2 、在平面上三角形的外角和等於360° (外角和定理)。

3、 在平面上三角形的外角等於與其不相鄰的兩個內角之和。

推論：三角形的一個外角大於任何一個和它不相鄰的內角。

4、 一個三角形的三個內角中最少有兩個銳角。

5、 在三角形中至少有一個角大於等於60度，也至少有一個角小於等於60度。

6 、三角形任意兩邊之和大於第三邊，任意兩邊之差小於第三邊。

7、 在一個直角三角形中，若一個角等於30度，則30度角所對的直角邊是斜邊的一半。

8、直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方（勾股定理）。

*勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a²+b²=c² ，那麼這個三角形是直角三角形。

9、直角三角形斜邊的中線等於斜邊的一半。

10、三角形的三條角平分線交於一點，三條高線的所在直線交於一點，三條中線交於一點。

11、三角形三條中線的長度的平方和等於它的三邊的長度平方和的3/4。

12、 等底同高的三角形面積相等。

❷ 證明三角形的內角和定理（最少三種方法）

1、過三角形的一個頂點做對邊的平行線，該頂點處有三個角，相加為180，然後把這三個角中的兩個角通過平行關系代換成內角，從而得證。

2、任意繪制一個平行四邊形，將其分割成兩個三角形，這兩個三角形全等，然後平行四邊形相鄰兩角相加為180，可以找到三個角的和為180，而其中兩個角是一個三角形的內角，還有一個角同樣可以通過平行線關系代換成此三角形內角，從而得證。

3、任意做三角形的一條高線，然後過高線所在邊的一個頂點，做高線的平行線，然後可以證明出被高線分割出來的三角形的兩個不是直角的內角互余，然後同理另外一個三角形的兩角也互余，這四個角相加等於大三角形的內角和，等於一百八十度，從而得證。

(2)如何用幾何方法證明三角形內角和擴展閱讀：

一、內角和公式

任意n邊形的內角和公式為θ=180°·（n-2）。其中，θ是n邊形內角和，n是該多邊形的邊數。從多邊形的一個頂點連其他的頂點可以將此多邊形分成(n-2)個三角形，每個三角形內角和為180°，故，任意n邊形內角和的公式是:θ=（n-2）·180°，∀n=3，4，5，…。

二、多邊形內角和定理證明

證法一：在n邊形內任取一點O，連結O與各個頂點，把n邊形分成n個三角形。

因為這n個三角形的內角的和等於n·180°，以O為公共頂點的n個角的和是360°

所以n邊形的內角和是n·180°-2×180°=（n-2）·180°.（n為邊數）

即n邊形的內角和等於（n-2）×180°.（n為邊數）

證法二：連結多邊形的任一頂點A1與其不相鄰的各個頂點的線段，把n邊形分成（n-2）個三角形。

因為這（n-2）個三角形的內角和都等於（n-2）·180°（n為邊數）

所以n邊形的內角和是（n-2）×180°。

證法三：在n邊形的任意一邊上任取一點P，連結P點與其不相鄰的其它各頂點的線段可以把n邊形分成（n-1）個三角形，

這（n-1）個三角形的內角和等於（n-1）·180°（n為邊數）

以P為公共頂點的（n-1）個角的和是180°

所以n邊形的內角和是（n-1）·180°-180°=（n-2）·180°.（n為邊數）