高三二面角計算快速方法

① 求二面角的方法(越詳細越好)

平面內的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形，叫做二面角（這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面)。二面角的大小可以用它的平面角度來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。

以二面角的公共直線上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直於公共直線的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小可用平面角表示。

平面角是直角的二面角叫做直二面角。

兩個平面垂直的定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。

0≤θ≤π（不小於0°，不大於180°）

（註：既然二面角是空間立體圖形，那麼我們可以將180°～360°的另一邊看成0°～180°）

作二面角的平面角的常用方法有六種：

1、定義法：在棱上取一點A，然後在兩個平面內分別作過棱上A點的垂線。有時也可以在兩個平面內分別作棱的垂線，再過其中的一個垂足作另一條垂線的平行線。

2、垂面法：作與棱垂直的平面，則垂面與二面角兩個面的交線所成的角就是二面角的平面角

3、面積射影定理：二面角的餘弦值等於某一個半平面在另一個半平面的射影的面積和該平面自己本身的面積的比值。即公式cosθ=S'/S（S'為射影面積，S為斜面面積）。運用這一方法的關鍵是從圖中找出斜面多邊形和它在有關平面上的射影，而且它們的面積容易求得。

4、三垂線定理及其逆定理法：先找到一個平面的垂線，再過垂足作棱的垂線，連結兩個垂足即得二面角的平面角。

5、向量法：分別作出兩個半平面的法向量，由向量夾角公式求得。二面角就是該夾角或其補角。

6、轉化法：在二面角α-l-β其中一個半平面α上找一點P，求出P到β的距離h和P到l的距離d，那麼arcsin(h/d)（二面角為銳角）或π-arcsin(h/d)（二面角為鈍角）就是二面角的大小。

7,、三面角餘弦定理法：詳細見相關詞條。

8、三正弦定理法：詳細見相關詞條。

9、異面直線的距離法：設二面角為C-AB-D，其中AC和BD互為異面直線且AC⊥AB，BD⊥AB（即AB是異面直線AC和BD的公垂線）。設AB=d，CD=l，AC=m，BD=n，根據

來求異面直線所成角θ。利用該方法求θ必須先由圖像判斷二面角是銳角還是鈍角。如果是銳角，那麼取正號；鈍角，那麼取負號。待求出θ以後，如果二面角是銳角，那麼二面角的大小就是θ；鈍角，那麼二面角的大小就是π-θ。

其中，（1）、（2）點主要是根據定義來找二面角的平面角，再利用三角形的正、餘弦定理解三角形。

二面角一般都是在兩個平面的相交線上，取恰當的點，經常是端點和中點。過這個點分別在兩平面做相交線的垂線，然後把兩條垂線放到一個三角形中考慮。有時也經常做兩條垂線的平行線，使他們在一個更理想的三角形中。

幾何法

（1）作出二面角的平面角

A：利用等腰(含等邊)三角形底邊的中點作平面角；

B：利用面的垂線（三垂線定理或其逆定理）作平面角；

C：利用與棱垂直的直線，通過作棱的垂面作平面角；

D：利用無棱二面角的兩條平行線作平面角。

（2）證明該角為平面角

（3）歸納到三角形求角

② 二面角的做法

二面角是高考常考的一類問題，幾乎每年的理科卷都會涉及到二面角的求法。而有些同學在解決這塊內容是往往無從下手，今天把常見方法進行整理，希望可以給你們帶來幫助。

一、定義法

是指過二面角的棱上任一點在兩個面內分別作垂直於棱的直線，則兩直線所構成的角即為二面角的平面角，繼而在平面中求出其平面角的一種方法。

二、三垂線法

是指利用三垂線定理，根據 「與射影垂直 ，則也與斜線垂直」的思想構造 出二面角的平面角 ，繼而求出平面角的方法。

三、垂面法

是指用垂直於棱的平面去截二面角，則截面與二面角的兩個面必有兩條交線，這兩條交線構成的角即為二面角的平面角，繼而再求出其平面角的一種方法。

四、面積射影法

所謂面積射影法 ，就是根據圖形及其在某一個平面上的射影面積之間的關系，利用射影的面積比上原來的面積等於二面角的餘弦值，來計算二面角。此法常用於無棱的二面角。

五、法向量法

法向量法是通過求與二面角垂直的兩個向量所成 的角，繼而利用這個角與二面角的平面角相等或互補的關系，求出二面角的一種方法。（如何判斷相等還是互補的問題，將在近期公布）

六、垂線法

是指先利用待定系數法確定垂足，再利用公式求出二面角的大小。