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三角換元的方法和技巧

發布時間:2023-07-19 15:32:52

㈠ 求三角換元法解函數題,換元的一般思路及方法,比如求最大值等問題

第一題,先做無理數換元,令u=√(x-4),則化原式y=u+√(6-3u^2) = u+√6*(1-u^2/2)
第二題,根號裡面變為1-(x-1)^2,原式y=2x+1+√(1-(x-1)^2)
兩道題都是在根號內根據定義域進行三角換元,第一個是令cost = u/√2, 第二題是令cost = x-1
三角換元的步驟一般是:1、找到定義域,確定x自變數的范圍。2、對無理式進行分析,兩個或者以上的無理式要根據實際情況先化成一個無理式(如題一)。一個無理式的根據三角公式的特性(一般情況下用到sint^2+cost^2=1或者tant^2+1=sect^2這兩個)進行換元。3、根據換元後的結果進行三角運算,化成單一三角函數的形式,再結合1所確定定義域的范圍來確定角的的范圍就可以找到最大最小值。(例如題二y=3+2cost+sint=3+√5sin(t+s)其中tans=2)
其實此類題目我極其不推薦用三角換元的方法,慢,而且容易找錯角的范圍。如果你學過導數,我推薦用導數的方法來解。
附上導數解題步驟:1、找出定義域范圍。2、求導數。3、令y的導數為零並解出x的值。如果導數為零有兩個以上解,直接到第四步。4、利用3解出的x的值配合定義域范圍找出單調區間。5、結合單調區間畫草圖就可以知道最大最小值。

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