㈠ 牛頓二項式定理誰知道
對於牛頓非凡的發現,我們在此只能略窺一斑.我們首先介紹牛頓的第一大數學發現——二項式定理.雖然按照歐幾里得或阿基米德的概念來說,這不是一條「定理」,因為牛頓沒有提供完整的證明.但是,他的見識和直覺足以使他發明出這一恰當而准確的公式,並且,我們將看到,他是如何以一種最奇妙的方式應用這一公式的.
二項式定理論述了(a＋b)n的展開式.人們只要有初步的代數知識和足夠的毅力,便可以得到如下公式,
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
等等.對於(a＋b)12,人們顯然希望不必經由(a＋b)十幾次自乘的冗長計算,就能夠發現其展開式中a7b5的系數.早在牛頓出生之前很久,人們便已提出並解決了二項式的展開式問題.中國數學家楊輝早在13世紀就發現了二項式的秘密,但他的著作直到近代才為歐洲人所知.維埃特在其《分析術引論》前言的命題XI中也同樣論證了二項式問題.但這一偉大發現通常是以布萊茲·帕斯卡的名字命名的.帕斯卡注意到,二項式的系數可以很容易地從我們現在稱為「帕斯卡三角」的排列中得到：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
等等
在這個三角形中,每一個新增數字都等於其上左右兩個數字之和.因此,根據帕斯卡三角,下一行的數值為
1 8 28 56 70 56 28 8 1
例如,表值56就等於其上左右兩個數字21＋35之和.
帕斯卡三角與（a＋b）8展開式之間的聯系是非常直接的,因為三角形的最後一行數值為我們提供了必要的系數,即
（a＋b）8＝a8＋8a7b＋28a6b2＋56a5b3
＋70a4b4＋56a3b5＋28a2b6＋8ab7＋b8
我們只要將三角形的數值再向下延伸幾行,就可以得到（a＋b）12展開式中a7b5的系數為792.所以,帕斯卡三拆攔並角的實用性是非常明顯的.
年輕的牛頓經過對二項展開式的研究,發明了一個能夠直接導出二項式系數的公式,而不必再繁瑣地延伸三角形到所需要的那行了.並且,他對模式的持續性的固有信念使他認為,能夠正確推導出諸如(a＋b)2或(a＋b)3
這種形式的二項式.
關於分數指數和負數指數問題,在此還需多說一句.我們知道,在初等
這些關系.
以下所列牛頓的二項展開式公式是他在1676年寫給其同時代偉人戈特弗里德·威廉·萊布尼茲的一封信中闡明衡歷的（此信經由皇家學會的亨利·奧爾登伯格轉交）.牛頓寫道：
項式的旅跡「指數是整數還是（比如說）分數,是正數還是負數」的問題.公式中的A、B、C等表示展開式中該字母所在項的前一項.
對於那些見過現代形式的二項展開式的讀者來說,牛頓的公式可能顯得過於復雜和陌生.但只要仔細研究一下,就可以解決讀者的任何疑問.我們首先來看,
出
也許,這種形式看起來就比較熟悉了.
我們不妨應用牛頓的公式來解一些具體例題.例如,在展開(1＋x)3時,
這恰恰就是帕斯卡三角的非列系數.並且,由於我們的原指數是正整數3,所以,展開式到第四項結束.
但是,當指數是負數時,又有一個完全不同的情況擺在牛頓面前.例如,展開(1＋x)－3,根據牛頓公式,我們得到
或簡化為
方程右邊永遠沒有終止.應用負指數定義,這一方程就成為
或其等價方程
牛頓將上式交叉相乘並消去同類項,證實
（1＋3x＋3x2＋x3）（1＋3x＋6x2－10x3＋15x4－……）＝1
牛頓用等式右邊的無窮級數自乘,也就是求這無窮級數的平方,以檢驗這一貌似奇特的公式,其結果如下：
所以
這就證實了
與牛頓原推導結果相同.
牛頓寫道；「用這一定理進行開方運算非常簡便.」例如,假設我們求
現在,將等式右邊的平方根代入前面標有（）符號的二項展開式中的前6項,當然,此處要用29替換原公式中的x,因而,我
了前6個常數項.如果我們取二項展開式中更多的項,我們就會得到更加精確的近似值.並且,我們還可以用同樣的方法求出三次根、四次根,等等,
續演算.
別奇怪的.而真正令人吃驚的是,牛頓的二項式定理精確地告訴我們應該採用哪些分數,而這些分數則是以一種完全機械的方式得出的,無須任何特殊的見解與機巧.這顯然是一個求任何次方根的有效而巧妙的方法.
二項式定理是我們即將討論的偉大定理的兩個必要前提之一.另一個前提是牛頓的逆流數,也就是我們今天所說的積分.但是,對逆流數的詳盡說明屬於微積分問題,超出了本書的范圍.然而,我們可以用牛頓的話來闡述其重要定理,並舉一兩個例子來加以說明.
牛頓在1669年中撰著的《運用無窮多項方程的分析學》一書中提出了逆流數問題,但這部論著直到1711年才發表.這是牛頓第一次提出逆流數問題,他將他的這部論文交給幾個數學同事傳閱.比如,我們知道,艾薩克·巴羅就曾看到過這部論文,他在1669年7月20日給他一個熟人的信里寫道：「……我的一個朋友……在這些問題上很有天分,他曾帶給我幾篇論文.」巴羅或《分析學》一書的任何其他讀者遇到的第一個法則如下.
設任意曲線AD的底邊為AB,其垂直縱邊為BD,設AB＝x,
BD＝y,並設a、b、c等為已知量,m和n為整數.則：
到x點之內的圖形的面積.根據牛頓法則,這一圖形的面積為
按照牛頓公式,面積為12x2,對這一結果,可以很容易地用三角形面積公式
牛頓又進一步說明了《分析學》一書的法則2,「如果y值是由幾項之和組成的,那麼,其面積也同樣等於每一項面積之和.」例如,他寫道,曲
那麼,牛頓所採用的兩個工具就是：二項式定理和求一定曲線下面積的流數法.他運用這兩個工具,可以得心應手地解決許多復雜的數學與物理問題,而我們將要看到的是牛頓如何應用這兩個工具,使一個古老的問題獲得了全新的生命：計算π的近似值.我們在第四章的後記中,追溯了這一著名數字的某些歷史,確認了某些學者,如阿基米德、韋達和盧道爾夫·馮瑟倫在計算更精確的π近似值方面所作出的貢獻.1670年左右,這個問題引起了艾薩克·牛頓的注意.他運用他奇妙的新方法,對這一古老問題進行研究,並取得了輝煌的成就.
㈡ 怎樣求曲線圍成的面積
【我是自己學了一點微積分的陪悉灶皮毛，也不知道能不能幫你講清楚】
個人理解：對函數求導就是微分，或者說要求某可導函數的某處斜率時要用微分
而求兩函數圍成的面積要用積分，積分符號∫
微分與積分是互逆計算，已知原函數，求導函數叫微分；已知導函數，求原函數叫積分
比如 已知函數y=x²，對其微分就是y』=2x，求其積分就是y=(1/3)x³
【曲線 y=x^n對其求導（即求其微分）
y』=n•x^(n-1)
若有點Q（a，a^n）
把x=a代入y』=n•x^(n-1)
得到 y』=n•a^(n-1)即為曲線在點Q處切線斜率
那麼很顯然，對其求積分，則為
y=[1/(n+1)]•x^(n+1)】
兩曲線f(x),g(x)之間在a≤x≤b區間上所圍成的面積
S=∫[a,b]{|f(x)-g(x)|}dx
（[a，b]表示區間，{}內表示要積分的函數，dx應該表示定積分
注意：定義式中|f(x)-g(x)|帶絕對值的，現實計算可根據幾何意義去掉絕對值
回到你舉的例
x軸實際上是直線x=0
所以f(x)=x²，g(x)=0，
S=∫[a,b]{x²-0|}dx【很顯然，在[a，b]間f(x)在g(x)的上方，所以在區間[a,b]中f(x)-g(x)＞0】
=∫[a,b]{x²}dx
=(1/3)x³ [a,b]
=(1/3)b³-(1/3)a³蘆扮
【牛頓-萊布尼茲公式用文字表述，就是說一個定積分式的值，就是上限在原函數的值與下限在原函數的值的差。（我的個人理解是：S=∫[a,b]{x²-0|}dx是一個定積分式，求他的方法是 對其積分求出原函數，再把上限和下限代入作差）
而定積分就是把直角坐標繫上的函數的圖象用平行於y軸的直線和x軸把其分割成無數個矩形，然後把某個區間[a,b]上的矩形的面積累加起來，所得到的就是這個函數的圖象在區間[a,b]的面積】
【由於x軸實際上是直線x=0，所以若直接對f(x)積分，求的就是在區間[a,b]中f(x)與x軸圍成的面積】
【由於我也只是學了一點微積分的皮毛，你如果再追問，我肯定答不上來，所以我想向你推薦我們團中的幾個高手
字文仙：
http://passport..com/?business&aid=7&default_tab=2&un=%D3%EE%CE%C4%CF%C9#2
幽靈mononoke：
http://passport..com/?business&aid=7&default_tab=2&un=%D3%C4%C1%E9mononoke#2
你可以向陸兆他們提問，也可以在Hi上問他們（當然最好是提一個新的問題讓他們回答一下）
最後別忘記說是我推薦你去問他們的哦O(∩_∩)O~~】
【希望對你有幫助】
㈢ 求曲線方程與坐標軸圍成面積問題時，用到微積分基本定理既牛頓~萊布尼茲公式，想問這條公式是怎麼推導出來
牛頓-萊布尼茨公式
牛頓-萊布尼茨公式的意義就在於把不定積分與定積分聯系了起來，也讓定積分的運算有了一個完善、令人滿意的方法。下面就是該公式的證明全過程：
我們知道，對函數f(x)於區間[a,b]上的定積分表達為：
b(上限)∫a（下限）f(x)dx
現在我們把積分區間的上限作為一個變數，這樣我們就定義了一個新的函數：
Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(x)dx
但是這里x出現了兩種意義，一是表示積分上限，二是表示被積函數的自變數，但定積分中被積函數的自變數取一個定值是沒意義的。為了只表示積分上限的變動，升困我們把被積函數的自變數改成別的字母如t，這樣意義就非常清楚了：
Φ(x)= x(上限)∫槐燃a（下限）f(t)dt
接下來我們就來研究這個函數Φ(x）的性質：
1、定義函數Φ(x)= x(上限)∫a（下限）f(t)dt，則Φ』(x)=f(x)。
證明：讓函數Φ(x)獲得增量Δx，則對應的函吵明念數增量
ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt
顯然，x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt
而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•Δx(ξ在x與x+Δx之間，可由定積分中的中值定理推得，
也可自己畫個圖，幾何意義是非常清楚的。)
當Δx趨向於0也就是ΔΦ趨向於0時，ξ趨向於x，f(ξ)趨向於f(x)，故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=f(x)
可見這也是導數的定義,所以最後得出Φ』(x)=f(x)。
2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a），F（x）是f(x)的原函數。
證明：我們已證得Φ』(x)=f(x)，故Φ(x）+C=F（x）
但Φ(a)=0（積分區間變為[a,a]，故面積為0），所以F（a）=C
於是有Φ(x）+F（a）=F（x），當x=b時，Φ(b)=F（b)-F(a),
而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt，所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)
把t再寫成x，就變成了開頭的公式，該公式就是牛頓-萊布尼茨公式。
㈣ 牛頓的故事
分類: 文化/藝術
問題描述:
不光要題目，要內容！！
解析:
經典物理學大師—牛頓
我不知道在別人看來，我是什麼樣的人；但在我自己看來，我不過就象是一個在海濱玩耍的小孩，為不時發現比尋常更為光滑的一塊卵石或比尋常更為美麗的一片貝殼而沾沾自喜，而對於展現在我面前的浩瀚的真理的海洋，卻全然沒有發現。
——牛頓
少年牛頓
1643年1月4日，在英格蘭林肯郡小鎮沃爾索浦的一個自耕農家庭里，牛頓誕生了。牛頓是一個早產兒，出生時只有三磅重，接生婆和他的親人都擔心他能否活下來。誰也沒有料到這個看起來微不足道的小東西會成為了一位震古爍今的科學巨人，並且竟活到了85歲的高齡。
牛頓出生前三個月父親便去世了。在他兩歲時，母親改嫁給一個牧師，把牛頓留在外祖母身邊撫養。11歲時，母親的後夫去世，母親帶著和後夫所生的一子二女回到牛頓身邊。牛頓自幼沉默寡言，性格倔強，這種習性可能來自它的家庭處境。
大約從五歲開始，牛頓被送到公立學校讀書。少年時的牛頓並不是神童，他資質平常，成績一般，但他喜歡讀書，喜歡看一些介紹各種簡單機械模型製作方法的讀物，並從中受到啟發，自己動手製作些奇奇怪怪的小玩意，如風車、木鍾、折疊式提燈等等。
傳說小牛頓把風車的機械原理摸透後，自己製造了一架磨坊的模型，他將老鼠綁在一架有輪子的踏車上，然後在輪子的前面放上一粒玉米，剛好那地方是老鼠可望不可及的位置。老鼠想吃玉米，就不斷的跑動，於是輪子不停的轉動；又一次他放風箏時，在繩子上懸掛著小燈，夜間村人看去驚疑是彗星出現；他還製造了一個小水鍾。每天早晨，小水鍾會自動滴水到他的臉上，催他起床。他還喜歡繪畫、雕刻，尤其喜歡刻日晷，家裡牆角、窗檯上到處安放著他刻畫的日晷，用以驗看日影的移動。
牛頓12歲時進了離家不遠的格蘭瑟姆中學。牛頓的母親原希望他成為一個農民，但牛頓本人卻無意於此，而酷愛讀書。隨著年歲的增大，牛頓越發愛好讀書，喜歡沉思，做科學小實驗。他在格蘭瑟姆中學讀書時，曾經寄宿在一位葯劑師家裡，使他受到了化學試驗的熏陶。
牛頓在中學時代學習成績並不出眾，只是愛好讀書，對自然現象由好奇心，拆罩稿例如顏色、日影四季的移動，尤其是幾何學、哥白尼的日心說等等。他還分門別類的記讀書筆記，又喜歡別出心裁的作些小工具、小技巧、小發明、小試驗。
當時英國社會滲透基督教新思想，牛頓家裡有兩位都以神父為職業的親戚，這可能影響牛頓晚年的宗教生活。從這些平凡的環境和活動中，還看不出幼年的牛頓是個才能出眾異於常人的兒童。
後來迫於生活，母親讓牛頓停學在家務農，贍養家庭。但牛頓一有機會便埋首書卷，以至經常忘了幹活。每次，母親叫他同傭人一道上市場，熟悉做交易的生意經時，他便懇求傭人一個人上街，自己則躲在樹叢後看書。有一次，牛頓的舅父起了疑心，就跟蹤牛頓上市鎮去，發現他的外甥伸著腿，躺在草地上，正在聚精會神地鑽研一個數學問題。牛頓的好悶好學精神感動了舅父，於是舅父勸服了母親讓牛頓復學，並鼓勵牛頓上大學讀書。牛頓又重新回到了學校，如飢似渴地汲取著書本上的營養。
求學歲月
1661年，19歲的牛頓以減費生的身份進入劍橋大學三一學院，靠為學院做雜務的收入支付學費，1664年成為獎學金獲得者，1665年獲學士學位。
17世紀中葉，劍橋大學的教育制度還滲透著濃厚的中世紀經院哲學的氣味，當牛頓進入劍橋時，哪裡還在傳授一些經院式課程，如邏輯、古文、語法、古代史、神學等等。兩年後三一學院出現了新氣象，盧卡斯創設了一個獨辟蹊徑的講座，規定講授自然科學知識，如地理、物理、天文和數學課程。
講座的第一任教授伊薩克·巴羅是個博學的旅孝科學家。這位學者獨具慧眼，看出了牛頓具有深邃的觀察力、敏銳的理解力。於是將自己的數學知識，包括計算曲線圖形面積的方法，全部傳授給牛頓，並把牛頓引向了近代自然科學的研究領域。
在這段學習過程中，牛頓掌握了算術、三角，讀了開普勒的《光學》，笛卡爾的《幾何學》和《哲學原理》，伽利略的《兩大世界體系的對話》，胡克的《顯微圖集》，還有皇家學會的歷史和早期的哲學學報等。
牛頓在巴羅門下的這段時間，是他學習的關鍵時期。巴羅比牛頓大12歲，精於數學和光學，他對牛頓的才華極為贊賞，認為牛頓的數學才超過自己。後來，牛頓在回憶時說道：「巴羅博士當時講授關於運動學的課程，也許正是這些課程促使我去研究這方面的問題。」
當時，牛頓在數學上很大程度是依靠自學。他學習了歐幾里得的《幾何原本》、笛卡兒的《幾何學》、沃利斯的《無窮算術》、巴羅的《數學講義》及韋達等許多數學家的著作。其中，對牛頓具有決定性影響的要數笛卡兒的《幾何學》和沃利斯的《無窮算術》，它們將牛頓迅速引導到當時數學最前沿～解析幾何與微積分。1664年，牛頓被選為巴羅的助手，第二年，劍橋大學評議會通過了授予牛頓大學學士學位的決定。
1665～1666年嚴重的鼠疫席捲了倫敦，劍橋離倫敦不遠，為恐波及，學校因此而停課，牛頓於1665年6月離校返鄉。
由於牛頓在劍橋受到數學和自然科學的熏陶和培養，對探索自然現象產生濃厚的興趣，家鄉安靜的環境又使得他的思想展翅飛翔。1665～1666年這段短暫的時光成為牛頓科學生涯中的黃金歲月，他在自然科學領域內思潮奔騰，才華迸發，思考前人從未思考過的問題，踏進了前人沒有涉及的領域，創建了前所未有的驚人業績。
1665年初，牛頓創立級數近似法,以及把任意冪的二項式化為一個級數的規則；同年11月，創立正流數法(微分)；次年1月，用三棱鏡研究顏色理論；5月，開始研究反流數法(積分)。這一年內，牛頓開始想到研究重力問題，並想把重力理論推廣到月球的運動軌道上去。他還從開普勒定律中推導出使行星保持在它們的軌道上的力必定與它們到旋轉中心的距離平方成反比。牛頓見蘋果落地而悟出地球引力的傳說，說的也是此時發生的軼事。
總之，在家鄉居住的兩年中，牛頓以比此後任何時候更為旺盛的精力從事科學創造，並關心自然哲學問題。他的三大成就：微積分、萬有引力、光學分析的思想都是在這時孕育成形的。可以說此時的牛頓已經開始著手描繪他一生大多數科學創造的藍圖。
1667年復活節後不久，牛頓返回到劍橋大學，10月1日被選為三一學院的仲院侶(初級院委)，翌年3月16日獲得碩士學位，同時成為正院侶(高級院委)。1669年10月27日，巴羅為了提攜牛頓而辭去了教授之職，26歲的牛頓晉升為數學教授，並擔任盧卡斯講座的教授。巴羅為牛頓的科學生涯打通了道路，如果沒有牛頓的舅父和巴羅的幫助，牛頓這匹千里馬可能就不會馳騁在科學的大道上。巴羅讓賢，這在科學史上一直被傳為佳話。
偉大的成就～建立微積分
在牛頓的全部科學貢獻中，數學成就佔有突出的地位。他數學生涯中的第一項創造性成果就是發現了二項式定理。據牛頓本人回憶，他是在1664年和1665年間的冬天，在研讀沃利斯博士的《無窮算術》時，試圖修改他的求圓面積的級數時發現這一定理的。
笛卡爾的解析幾何把描述運動的函數關系和幾何曲線相對應。牛頓在老師巴羅的指導下，在鑽研笛卡爾的解析幾何的基礎上，找到了新的出路。可以把任意時刻的速度看是在微小的時間范圍里的速度的平均值，這就是一個微小的路程和時間間隔的比值，當這個微小的時間間隔縮小到無窮小的時候，就是這一點的准確值。這就是微分的概念。
求微分相當於求時間和路程關系得在某點的切線斜率。一個變速的運動物體在一定時間范圍里走過的路程，可以看作是在微小時間間隔里所走路程的和，這就是積分的概念。求積分相當於求時間和速度關系的曲線下面的面積。牛頓從這些基本概念出發，建立了微積分。
微積分的創立是牛頓最卓越的數學成就。牛頓為解決運動問題，才創立這種和物理概念直接聯系的數學理論的，牛頓稱之為"流數術"。它所處理的一些具體問題，如切線問題、求積問題、瞬時速度問題以及函數的極大和極小值問題等，在牛頓前已經得到人們的研究了。但牛頓超越了前人，他站在了更高的角度，對以往分散的努力加以綜合，將自古希臘以來求解無限小問題的各種技巧統一為兩類普通的演算法——微分和積分，並確立了這兩類運算的互逆關系，從而完成了微積分發明中最關鍵的一步，為近代科學發展提供了最有效的工具，開辟了數學上的一個新紀元。
牛頓沒有及時發表微積分的研究成果，他研究微積分可能比萊布尼茨早一些，但是萊布尼茨所採取的表達形式更加合理，而且關於微積分的著作出版時間也比牛頓早。
在牛頓和萊布尼茨之間，為爭論誰是這門學科的創立者的時候，竟然引起了一場悍然 *** ，這種爭吵在各自的學生、支持者和數學家中持續了相當長的一段時間，造成了歐洲大陸的數學家和英國數學家的長期對立。英國數學在一個時期里閉關鎖國，囿於民族偏見，過於拘泥在牛頓的「流數術」中停步不前，因而數學發展整整落後了一百年。
應該說，一門科學的創立決不是某一個人的業績，它必定是經過多少人的努力後，在積累了大量成果的基礎上，最後由某個人或幾個人總結完成的。微積分也是這樣，是牛頓和萊布尼茨在前人的基礎上各自獨立的建立起來的。
1707年，牛頓的代數講義經整理後出版，定名為《普遍算術》。他主要討論了代數基礎及其(通過解方程)在解決各類問題中的應用。書中陳述了代數基本概念與基本運算，用大量實例說明了如何將各類問題化為代數方程，同時對方程的根及其性質進行了深入探討，引出了方程論方面的豐碩成果，如，他得出了方程的根與其判別式之間的關系，指出可以利用方程系數確定方程根之冪的和數，即「牛頓冪和公式」。
牛頓對解析幾何與綜合幾何都有貢獻。他在1736年出版的《解析幾何》中引入了曲率中心，給出密切線圓(或稱曲線圓)概念，提出曲率公式及計算曲線的曲率方法。並將自己的許多研究成果總結成專論《三次曲線枚舉》，於1704年發表。此外，他的數學工作還涉及數值分析、概率論和初等數論等眾多領域。
偉大的成就～對光學的三大貢獻
在牛頓以前，墨子、培根、達·芬奇等人都研究過光學現象。反射定律是人們很早就認識的光學定律之一。近代科學興起的時候，伽利略靠望遠鏡發現了「新宇宙」，震驚了世界。荷蘭數學家斯涅爾首先發現了光的折射定律。笛卡爾提出了光的微粒說……
牛頓以及跟他差不多同時代的胡克、惠更斯等人，也象伽利略、笛卡爾等前輩一樣，用極大的興趣和熱情對光學進行研究。1666年，牛頓在家休假期間，得到了三棱鏡，他用來進行了著名的色散試驗。一束太陽光通過三棱鏡後，分解成幾種顏色的光譜帶，牛頓再用一塊帶狹縫的擋板把其他顏色的光擋住，只讓一種顏色的光在通過第二個三棱鏡，結果出來的只是同樣顏色的光。這樣，他就發現了白光是由各種不同顏色的光組成的，這是第一大貢獻。
牛頓為了驗證這個發現，設法把幾種不同的單色光合成白光，並且計算出不同顏色光的折射率，精確地說明了色散現象。揭開了物質的顏色之謎，原來物質的色彩是不同顏色的光在物體上有不同的反射率和折射率造成的。公元1672年，牛頓把自己的研究成果發表在《皇家學會哲學雜志》上，這是他第一次公開發表的論文。
許多人研究光學是為了改進折射望遠鏡。牛頓由於發現了白光的組成，認為折射望遠鏡透鏡的色散現象是無法消除的(後來有人用具有不同折射率的玻璃組成的透鏡消除了色散現象)，就設計和製造了反射望遠鏡。
牛頓不但擅長數學計算，而且能夠自己動手製造各種試驗設備並且作精細實驗。為了製造望遠鏡，他自己設計了研磨拋光機，實驗各種研磨材料。公元1668年，他製成了第一架反射望遠鏡樣機，這是第二大貢獻。公元1671年，牛頓把經過改進得反射望遠鏡獻給了皇家學會，牛頓名聲大震，並被選為皇家學會會員。反射望遠鏡的發明奠定了現代大型光學天文望遠鏡的基礎。
同時，牛頓還進行了大量的觀察實驗和數學計算，比如研究惠更斯發現的冰川石的異常折射現象，胡克發現的肥皂泡的色彩現象，「牛頓環」的光學現象等等。
牛頓還提出了光的「微粒說」，認為光是由微粒形成的，並且走的是最快速的直線運動路徑。他的「微粒說」與後來惠更斯的「波動說」構成了關於光的兩大基本理論。此外，他還製作了牛頓色盤等多種光學儀器。
偉大的成就～構築力學大廈
牛頓是經典力學理論的集大成者。他系統的總結了伽利略、開普勒和惠更斯等人的工作，得到了著名的萬有引力定律和牛頓運動三定律。
在牛頓以前，天文學是最顯赫的學科。但是為什麼行星一定按照一定規律圍繞太陽運行？天文學家無法圓滿解釋這個問題。萬有引力的發現說明，天上星體運動和地面上物體運動都受到同樣的規律——力學規律的支配。
早在牛頓發現萬有引力定律以前，已經有許多科學家嚴肅認真的考慮過這個問題。比如開普勒就認識到，要維持行星沿橢圓軌道運動必定有一種力在起作用，他認為這種力類似磁力，就像磁石吸鐵一樣。1659年，惠更斯從研究擺的運動中發現，保持物體沿圓周軌道運動需要一種向心力。胡克等人認為是引力，並且試圖推到引力和距離的關系。
1664年，胡克發現彗星靠近太陽時軌道彎曲是因為太陽引力作用的結果；1673年，惠更斯推導出向心力定律；1679年，胡克和哈雷從向心力定律和開普勒第三定律，推導出維持行星運動的萬有引力和距離的平方成反比。
牛頓自己回憶，1666年前後，他在老家居住的時候已經考慮過萬有引力的問題。最有名的一個說法是：在假期里，牛頓常常在花園里小坐片刻。有一次，象以往屢次發生的那樣，一個蘋果從樹上掉了下來……
一個蘋果的偶然落地，卻是人類思想史的一個轉折點，它使那個坐在花園里的人的頭腦開了竅，引起他的沉思：究竟是什麼原因使一切物體都受到差不多總是朝向地心的吸引呢？牛頓思索著。終於，他發現了對人類具有劃時代意義的萬有引力。
牛頓高明的地方就在於他解決了胡克等人沒有能夠解決的數學論證問題。1679年，胡克曾經寫信問牛頓，能不能根據向心力定律和引力同距離的平方成反比的定律，來證明行星沿橢圓軌道運動。牛頓沒有回答這個問題。1685年，哈雷登門拜訪牛頓時，牛頓已經發現了萬有引力定律：兩個物體之間有引力，引力和距離的平方成反比，和兩個物體質量的乘積成正比。
當時已經有了地球半徑、日地距離等精確的數據可以供計算使用。牛頓向哈雷證明地球的引力是使月亮圍繞地球運動的向心力，也證明了在太陽引力作用下，行星運動符合開普勒運動三定律。
在哈雷的敦促下，1686年底，牛頓寫成劃時代的偉大著作《自然哲學的數學原理》一書。皇家學會經費不足，出不了這本書，後來靠了哈雷的資助，這部科學史上最偉大的著作之一才能夠在1687年出版。
牛頓在這部書中，從力學的基本概念(質量、動量、慣性、力)和基本定律(運動三定律)出發，運用他所發明的微積分這一銳利的數學工具，不但從數學上論證了萬有引力定律，而且把經典力學確立為完整而嚴密的體系，把天體力學和地面上的物體力學統一起來，實現了物理學史上第一次大的綜合。
站在巨人的肩上
牛頓的研究領域非常廣泛，他除了在數學、光學、力學等方面做出卓越貢獻外，他還花費大量精力進行化學實驗。他常常六個星期一直留在實驗室里，不分晝夜的工作。他在化學上花費的時間並不少，卻幾乎沒有取得什麼顯著的成就。為什麼同樣一個偉大的牛頓，在不同的領域取得的成就竟那麼不一樣呢？
其中一個原因就是各個學科處在不同的發展階段。在力學和天文學方面，有伽利略、開普勒、胡克、惠更斯等人的努力，牛頓有可能用已經准備好的材料，建立起一座宏偉壯麗的力學大廈。正象他自己所說的那樣「如果說我看得遠，那是因為我站在巨人的肩上」。而在化學方面，因為正確的道路還沒有開辟出來，牛頓沒法走到可以砍伐材料的地方。
牛頓在臨終前對自己的生活道路是這樣總結的：「我不知道在別人看來，我是什麼樣的人；但在我自己看來，我不過就象是一個在海濱玩耍的小孩，為不時發現比尋常更為光滑的一塊卵石或比尋常更為美麗的一片貝殼而沾沾自喜，而對於展現在我面前的浩瀚的真理的海洋，卻全然沒有發現。」
這當然是牛頓的謙遜。
怪異的牛頓
牛頓並不善於教學，他在講授新近發現的微積分時，學生都接受不了。但在解決疑難問題方面的能力，他卻遠遠超過了常人。還是學生時，牛頓就發現了一種計算無 *** 的方法。他用這個秘密的方法，算出了雙曲面積到二百五十位數。他曾經高價買下了一個棱鏡，並把它作為科學研究的工具，用它試驗了白光分解為的有顏色的光。
開始，他並不願意發表他的觀察所得，他的發現都只是一種個人的消遣，為的是使自己在寂靜的書齋中解悶，他獨自遨遊於自己所創造的超級世界裡。後來，在好友哈雷的竭力勸說下，才勉強同意出版他的手稿，才有劃時代巨著《自然哲學的數學原理》的問世。
作為大學教授，牛頓常常忙得不修邊幅，往往領帶不結，襪帶不系好，馬褲也不紐扣，就走進了大學餐廳。有一次，他在向一位姑娘求婚時思想又開了小差，他腦海了只剩下了無窮量的二項式定理。他抓住姑娘的手指，錯誤的把它當成通煙斗的通條，硬往煙斗里塞，痛得姑娘大叫，離他而去。牛頓也因此終生未娶。
牛頓從容不迫地觀察日常生活中的小事，結果作出了科學史上一個個重要的發現。他馬虎拖沓，曾經鬧過許多的笑話。一次，他邊讀書，邊煮雞蛋，等他揭開鍋想吃雞蛋時，卻發現鍋里是一隻懷表。還有一次，他請朋友吃飯，當飯菜准備好時，牛頓突然想到一個問題，便獨自進了內室，朋友等了他好久還是不見他出來，於是朋友就自己動手把那份雞全吃了，雞骨頭留在盤子，不告而別了。等牛頓想起，出來後，發現了盤子里的骨頭，以為自己已經吃過了，便轉身又進了內室，繼續研究他的問題。
牛頓晚年
但是由於受時代的限制，牛頓基本上是一個形而上學的機械唯物主義者。他認為運動只是機械力學的運動，是空間位置的變化；宇宙和太陽一樣是沒有發展變化的；靠了萬有引力的作用，恆星永遠在一個固定不變的位置上……
隨著科學聲譽的提高，牛頓的政治地位也得到了提升。1689年，他被當選為國會中的大學代表。作為國會議員，牛頓逐漸開始疏遠給他帶來巨大成就的科學。他不時表示出對以他為代表的領域的厭惡。同時，他的大量的時間花費在了和同時代的著名科學家如胡克、萊布尼茲等進行科學優先權的爭論上。
晚年的牛頓在倫敦過著堂皇的生活，1705年他被安妮女王封為貴族。此時的牛頓非常富有，被普遍認為是生存著的最偉大的科學家。他擔任英國皇家學會會長，在他任職的二十四年時間里，他以鐵拳統治著學會。沒有他的同意，任何人都不能被選舉。
晚年的牛頓開始致力於對神學的研究，他否定哲學的指導作用，虔誠地相信上帝，埋頭於寫以神學為題材的著作。當他遇到難以解釋的天體運動時，竟提出了「神的第一推動力」的謬論。他說「上帝統治萬物，我們是他的僕人而敬畏他、崇拜他」。
1727年3月20日，偉大艾薩克·牛頓逝世。同其他很多傑出的英國人一樣，他被埋葬在了威斯敏斯特教堂。他的墓碑上鐫刻著：
讓人們歡呼這樣一位多麼偉大的
人類榮耀曾經在世界上存在。
㈤ 牛頓定積分求曲線圍成的面積的原理
就是定積分的定義嘛定積分就是求函數F(X)在區間（a,b）中圖孫如線下包圍
的則仔啟面積。戚掘即四條線y=0
x=a
x=b
y=F(X)所包圍的面積。這個圖形稱為曲邊梯形
㈥ 求曲線方程與坐標軸圍成面積問題時，用到微積分基本定理既牛頓~萊布尼茲公式，想問這條公式是怎麼推導出來
這樣我們就定義了一個新的高遲函數：
Φ(x)=
x(上限)∫a（下限）f(x)dx
但是這粗芹里x出現了兩種意義，一是表示積分上限，就變成了開頭的公式，故面積為0），所以F（a）=C
於是有Φ(x）+F（a）=F（x），當x=b時，Φ(b)=F（b)-F(a)，故Φ(x）+C=F（x）
但Φ(a)=0（積分區間變為[a,a]，則對應的函數增量
ΔΦ=Φ(x+Δx)-Φ(x)=x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt
顯然，x+Δx(上限)∫a（下限）f(t)dt-x(上限)∫a（下限）f(t)dt=x+Δx(上限戚凳李)∫x（下限）f(t)dt
而ΔΦ=x+Δx(上限)∫x（下限）f(t)dt=f(ξ)•，所以b(上限)∫a（下限）f(t)dt=F（b)-F(a)
把t再寫成x,所以最後得出Φ』(x)=f(x)。
2、b(上限)∫a（下限）f(x)dx=F（b）-F（a），F（x）是f(x)的原函數。
證明,
而Φ(b)=b(上限)∫a（下限）f(t)dt，
也可自己畫個圖：我們已證得Φ』(x)=f(x);Δx=f(x)
可見這也是導數的定義，也讓定積分的運算有了一個完善、令人滿意的方法。下面就是該公式的證明全過程：
我們知道：
b(上限)∫a（下限）f(x)dx
現在我們把積分區間的上限作為一個變數，故有lim
Δx→0
ΔΦ/，幾何意義是非常清楚的。)
當Δx趨向於0也就是ΔΦ趨向於0時，f(ξ)趨向於f(x)，ξ趨向於x，可由定積分中的中值定理推得，對函數f(x)於區間[a,b]上的定積分表達為;Δx(ξ在x與x+Δx之間：讓函數Φ(x)獲得增量Δx，這樣意義就非常清楚了：
Φ(x)=
x(上限)∫a（下限）f(t)dt
接下來我們就來研究這個函數Φ(x）的性質：
1、定義函數Φ(x)=
x(上限)∫a（下限）f(t)dt，則Φ』(x)=f(x)。
證明，我們把被積函數的自變數改成別的字母如t，二是表示被積函數的自變數，但定積分中被積函數的自變數取一個定值是沒意義的。為了只表示積分上限的變動牛頓-萊布尼茨公式
牛頓-萊布尼茨公式的意義就在於把不定積分與定積分聯系了起來
參考資料：ke..com/view/1290948.htm
㈦ 國外哪位學者用了哪種方法求空間曲面面積,歷史發展情況
國外牛頓-萊布尼茨用了定積分方法求空間曲面面積。
"牛頓-萊布尼茨公式簡化了定積分的計算，利用該公式可以計算曲線的弧長，平面曲線圍成的面積以及空間曲面圍成的立體體積，這在實際問題中有廣泛的應用，例如計算壩體的填築方量。牛頓-萊布尼茨公式在物理學上也有廣泛橘蔽的應用，計算運動物體的路程，計算變力沿直線所做的功以及物體之間的萬有引力。牛頓-萊布尼茨公式促進了其他數學分支的發展，該公式在微分方程，傅里葉變換，概率論，復變函數等數學分支中都有體現
牛頓-萊布尼茨公式簡化了定積分的計算，利用該公式可以計算曲線的弧長，平面曲線圍成的面積以及空間曲面圍成的立體體積，這在實際問題中有廣泛的應用，例如計算壩體的填築方量。牛頓-萊布並伍桐尼茨公式在物理學上也有廣泛的應用，計算運動物體的路程，計算變力沿直線所做絕坦的功以及物體之間的萬有引力。牛頓-萊布尼茨公式促進了其他數學分支的發展，該公式在微分方程，傅里葉變換，概率論，復變函數等數學分支中都有體現"