整除題的解決方法和技巧

A. 除法簡便計算的技巧

長除法俗稱「長除」，適用於整數除法、小數除法、多項式除法（即因式分解）等較重視計算過程和商數的除法，過程中兼用了乘法和減法。根據乘法表，兩個整數可以用長除法（直式除法）筆算。 如果被除數有分數部分（或者說是小數點），計算時將小數點帶下來就可以；如果除數有小數點，將除數與被除數的小數點同時移位，直到除數沒有小數點。算盤也可以做除法運算。
被除數÷除數=商，例如：
被除數÷商=除數，例如：⇒
商除數=被除數，例如：
帶有餘數的情況：
被除數÷除數=商……余數（其中，余數小於除數）
↕
除數×商+余數=被除數。
考慮到除法與乘法互為逆運算，並且乘法的意義是求多個相同加數的和的簡便運算，所以這種情況也可以解釋為：被除數不斷地減去除數，直至余數數值低於除數。例如：17÷5=3…2，即17減去3個5，餘下2。如果利用帶分數的形式，則可以寫作（三又五分之二）。
運算性質
1. 被除數擴大（縮小）n倍，除數不變，商也相應的擴大（縮小）n倍。
2. 除數擴大（縮小）n倍，被除數不變，商相應的縮小（擴大）n倍。
3. 除法的性質：被除數連續除以兩個除數，等於除以這兩個除數之積。有時可以根據除法的性質來進行簡便運算。
例如：300÷25÷4=300÷(25×4)=300÷100=3。
除法計算方法：除數一位看一位，一位不夠看兩位。除到哪位商哪位，哪位不夠零佔位。每次除後要比較，余數要比除數小。運算公式：1.被除數÷除數=商；2.被除數÷商=除數；3.商*除數+余數=被除數。

除法計算過程步驟

舉例如下：

以492÷4=123為例。

豎式具體計算步驟如下圖所示。

除法計算過程步驟

解題思路：從最高位百位4開始除起，4除以4商為1，而後再用第二位十位9除以4商為2餘數為1，最後將最後個位數的2和之前的步驟得出的余數1合成一個數字12除以4商為3，因此最後得出492÷4的結果是商為123，余數為0。

B. 2018公務員考試行測答題技巧:整除法怎麼解題

對於行測考試中歷明稿的數學運算部分而言，做題時需要一定的技巧和方法，在這里華圖教育專家給各位考生介紹一種快速解決數學題的方法之整除法，相信對大家一定會有幫助的。
一、應用環境：
當分數、百分數、比例和小數出現較多時，優先想到用整除。
二、方法運用：
例1、學校有足球和籃球的數量比為8:7，先買進若干個足球，這時足球與籃球的數量比變為3:2，接著又買進一些籃球，肢孝這時足球與籃球的數量比為7:6.已知買進的足球比買進的籃球多3個，原來有足球多少個?
A.48 B.42 C.36 D.30
答案A。
華圖解析：所求量為「原來足球的個數」，根據「學校有足球和籃球的數量比為8:7」可以知道學校原來有槐舉的足球數能被8整除，籃球數能被7整除，結合選項只能選擇答案A。
例2、有紅黃藍三種球共160個,如果取紅球的三分之一,黃球的四分之一,藍球的五分之一還剩120個.如果取紅球的四分之一,黃球的三分之一,藍球的五分之一，則剩下116個;問：藍球有多少個?
A.40 B.50 C.60 D.70
答案A。
華圖解析：所求量為「籃球有多少個?」，根據「如果取紅球的三分之一,黃球的四分之一,藍球的五分之一還剩120個.如果取紅球的四分之一,黃球的三分之一,藍球的五分之一。」可以知道：籃球能被5整除，但是不能排除選項，而紅球和黃球都能被12整除，那麼總數160減去籃球的數目，就能被12整除，結合選項只能選擇答案A。
例3、兩個派出所某月內共受理案件160起，其中甲派出所受理的案件中有17%是刑事案
件，乙派出所受理的案件中有20%是刑事案件，問乙派出所在這個月中共受理多少
起非刑事案件?
A. 48 B. 60 C. 72 D. 96
答案A。
華圖解析：所求量為「乙派出所在這個月中共受理多少起非刑事案件?」，與其相關的百分數為20%即乙的非刑事案件佔80%，說明乙的刑事案件能被4整除，但是不能排除選項。那就需要考慮其他的條件，即「甲派出所受理的案件中有17%是刑事案
件」說明甲的總案件能被100整除，即最少為100，而且甲+乙=160，所以甲為100，乙為60，故乙的非刑事案件為60×80%=48，所以選擇答案A。

C. 分數除法應用題小竅門有哪些

1、利用數量關系式解題

解答分數應用題，往往要抓住題中的「中心句」進行分析，從「中心句」中找出單位「1」和「相關聯的兩個量」，明確「相關聯的兩個量」之間的關系，根據分數乘法的意義寫出關系式。如：在「延續生命」獻愛心活動中，我校五年級學生捐款3500元，六年級捐的是五年級的
，六年級學生捐款多少元？這里把「五年級學生的捐款數」看作單位「1」，五年級和六年級是相關聯的兩個量，它們的關系是「五年級學生捐款數× =六年級學生捐款數」。從關系式中很容易知道這道題怎麼列式計算了。

其實較復雜的題也是一個一個簡單的應用題組合而成的，只要學生學會分析，難題也會迎刃而解。平時教師可以口頭訓練這樣的關系式，讓學生熟練掌握，這樣就會有意想不到的收獲，能達到事半功倍的效果。而應用題是靈活多變的，，學生在數學學習中如果一味圍繞書上的公式、例題轉，程式化、機械性地解題，對知識缺乏透徹的掌握，對題目的數量關系不做具體分析，是不可能把應用題學好的。但對具體題目還需作具體的分析，否則就容易出錯。

2、藉助線段圖解題。

數學家華羅庚曾說：「人們對數學早就產生了乾燥無味、神秘難懂的印象，成因之一便是脫離實際。」數形結合的思維方法，便是理論與實際的有機聯系，是思維的起點，是兒童建構數學模型的基本方法。數形結合思想是充分利用「形」把復雜的數量關系和抽象的數學概念變得形象、直觀，能豐富學生的表象，引發聯想。在分數乘除應用題教學時經常通過畫線段圖或面積圖弄清題意，分析數量關系，拓寬解題思路，能引導學生迅速找到解決問題的方法。

「線段圖」直觀、明了，能讓學生很清楚地看出兩種量的關系，誰多誰少一目瞭然，便於學生判斷，能培養學生的判斷能力。教師在教學生畫圖時要有耐心，學生剛接觸線段圖，有很多困難，先畫什麼，後畫什麼，要把哪條線段平均分成「幾」份，容易混淆，教學時要讓學生嘗試，發現問題，教師引導糾錯，使學生印象深刻。如：客貨兩車分別從A、B兩地同時出發，相向而行，它們在離中點20千米處相遇，這時貨車行了全程的。

D. 二項式定理整除和余數問題

二項式定理整除和余數問題如下：

組合的方法證明：

設有n個小球放到兩個不同的盒子中，盒子可以為空。若對小球進行討論，每個小球有兩個選擇，共有2^n種放法。

利用二項式定理證明整除問題或求余數：

1、利用二項式定理解決整除問題時，關鍵是要巧妙地構造二項式，其基本做法是：要證明一個式子能被另一個式子整除，只要證明這個式子按二項式定理展開後的各項均能被另一個式子整除即可。

2、用二項式定理處理整除問題時，通常把底數寫成除數（或與除數密切相關的數）與某數的和或差的形式，再用二項式定理展開，只考慮後面（或者是前面）一、二項就可以了。

3、要注意余數的范圍，枯搭為余數，b∈[0，r)，r是除數，利用二項式定理展開變形後，若剩餘部分是負數要注意轉換。

E. 除法算式的解題技巧

除法算式解決的問題主要是：
把一個數平均分成若干份，求每份是多少；
例：
初二同學分成8組栽樹，一共栽了41棵。算一算，平均每組栽了幾棵？
41÷8
=5+1/8棵
=5.125棵
（兩個結果是一樣的沒有特殊要求，隨便分數或小數形式表示都行）
求一個數是另一個數的多少倍；
例：
小紅和弟弟折紙鶴，小紅折了41個，弟弟折了8個，小紅折的是弟弟的幾倍？
41÷8=5.125倍
求一個數的幾分之一是多少；
例：
小明跟小梅學做小紅花，小梅做埋模了40朵，小明做的是小梅的8分之一，小明做了幾朵？
40÷8=5朵
求兩個數的比值是多少；
例：
電動車的速度是每小時41千米，自行車的速度是每小時8千米，
電動車速度與自行車速度的比值比是多少？
41：8=41/8=5+1/8
=5.125
電動車速度與自行車速度的比值哪桐是5又1/8，彎緩緩也是5.125。

F. 怎樣利用數學歸納法證明整除問題

淺談數學歸納法的應用
數學歸納法是證明與自然數有關的命題的一種方法，應用廣泛．在最近幾年的高考試卷中體現的特別明顯，以下通過幾道高考試題來談一談數學歸納法的應用。
一、用數學歸納法證明整除問題
用數學歸納法證明整除問題時，由到時，首先要從要證的式子中拼湊出假設成立的式子，然後證明剩餘的式子也能被某式（數）整除，這是數學歸納法證明問題的一大技巧。
例1、是否存在正整數m，使得f（n）=（2n+7）•3n+9對任意自然數n都能被m整除?若存在，求出最大的m值，並證明你的結論;若不存在，請說明理由.
證明：解：由f（n）=（2n+7）•3n+9，得f（1）=36，
f（2）=3×36，
f（3）=10×36，
f（4）=34×36，由此猜想m=36.
下面用數學歸納空返法證明：
（1）當n=1時，顯然成立.
（2）假設n=k時，
f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）•3k+9能被36整除;當n=k+1時，［2（k+1）+7］•3k+1+9=3［（2k+7）•3k+9］+18（3k--1－1），
由於3k-1－1是2的倍數，故18（3k－1－1）能被36整除.這就是說，當n=k+1時，f（n）也能被36整除.
由（1）（2）可知對一切正整數n都有f（n）=（2n+7）•3n+9能被36整除，m的最大值為36.
二、用數學歸納法證明恆等式問題
對於證明恆等的問題，在由證等式也成立時，應及時把結論和推導過程對比，也就是我們通斗雹飢常所說的兩邊湊的方法，以減小計算的復雜程度，從而發現所要證明的式子，使問題的證明有目的性．
例2、是否存在常數
，使得等式
對一切自然數
成立？並證明你的結論．
解：假設存在
，使得題設的等式成立，肆橡則當時
也成立，代入得
解得
，於是對
，下面等式成立：
令
假設
時上式成立，即
那麼
.........

G. 分數除法應用題小竅門

竅門1、「誰的 「：」格式，「誰」就是單位「1」。如：一袋大米吃了它的 ，吃了多少千克？那麼「這袋大米的質量」就是單位「1」。

竅門2、「比誰多或少 ：」格式，「誰」就是單位「1」。如：蒼海漁業隊五月份捕魚2400噸，六月份比五月份多捕 ，六月份捕魚多少噸？那麼「五月份捕魚的噸數」就是單位「1」。

(7)整除題的解決方法和技巧擴展閱讀：

應用題的分析方法：

1、圖解分析法：這實際是一種模擬法，具有很強的直觀性和針對性，數學教學中運用得非常普遍。如工程問題、行程問題、調配問題等，多採用畫圖進行分析，通過圖解，幫助學生理解題意，從而根據題目內容，設出未知數，列出方程解之。（例略）

2、親身體驗法：如講逆水行船與順水行船問題。有很多學生都沒有坐過船，對順水行船、逆水行船、水流的速度，學生難以弄清。為了讓學生明白，舉騎自行車為例，學生有親身體驗，順風騎車覺得很輕松，逆風騎車覺得很困難，這是風速的影響。

同時講清：順水行船的速度，等於船在靜水中的速度加上水流的速度；逆水行船的速度，等於船在靜水中的速度減去水流的速度。

H. 整除問題奧數技巧

技巧：
數字2整除
一個整數的個位是0、2、4、6、8，則這個數汪野能被2整困橘喊除
數字3、9整除
一個整數的各位數字之和能被3或9整除，則這個數能被3或9整除
數字4、25整除
一個整數的末兩位數能被4或25整除，則這個數能被4或25整除

數字8、125整除
一個整數的末三位能被8或125整除，則這個數可以被8或125整除

數字11整除

如果一個整數的奇位上數字之和與偶數位上數字之和的差可以被11整除，同這個數能被11整除

I. 2016年安徽大學生村官筆試行測高分技巧：巧用整除

據了解，不少考生在行測考場上放棄數量部分，主要覺得題目難，計算量也大。所以，中公教育專家認為，採取一些解題技巧就能夠快速而准確地解決相關的問題，其中整除思想是一個運用比較廣改虛泛的方法。也就是利用數的一些整除特性來快速解決一些比較復雜的題目，能夠節省很多時間，所以這部分知識需要好好理解。
一、應用環境
1、文字描述出現「每」、「平均」、「倍數」等字眼可以考慮整除思想。
例如題干條件為「把若干桃子平均分給 5隻猴子，正好分完」，那這時候我們就應該從平均中讀出這堆桃子總數可以被5整除。
2、數據出現「分數」、「百分數」、「比例」、「小數」這些形式時考慮整除思想。
例如題干條件為「第二堆大米占所有大米的七分之一」，只此一句話我們就可以推斷總共的大米袋扒蔽數一定能被7整除。大家需要注意不管是比例、分數、百分數還是小數，他們之間是可以相互轉化的，所以原理也是一樣的，但是注意一定要化成最簡比例。
3、題干中出現一些相對難算的式子
例如13×99+135×999+1357×9999，很明顯結果能被9整除。
二、常用小數字的整除判定
1、局部看
(1)一個數的末一位能被2或5整除，這個數就能被2或5整除;
例：422末一位能被2整除，不能被5整除，所以422能被2整除，不能被5整除。
(2)一個數的末兩位能被4或25整除，這個數就能被4或25整除;
例：560末兩位能被4整除，不嗯呢更被25整除，所以560能被4整除，不能被25整除。
(3)一個數的末三位能被8或125整除，這個數就能被8或125整除;
例：1200末三位能被8整除，不能被125整除，所以1200能被8整除，不能被125整除。
2、整體看
(1)3，9
一個數各位數數字和能被3或9整除，這個數就能被3或9整除。
此外，判定一個數能否被3或9整除，可以用到「棄3」或「棄9」法，即遇到和能被3或9整除的幾個數字可以棄掉。
例：判斷37921能否被3整除，3、9棄掉，7+2=9，所以7和2也要棄掉，就剩下1，不能被3整除，所以37921不能被3整除。
(2)7，11，13
①7：把個位數字截去，再從餘下的數中減去個位數的2倍，差是7的倍數，則原數能被7整除。
例：152，15-2×2=11，不能被7整除。
②11：奇數位上數字和與偶數位上數字和之差能被11整除。
例：937，9+7-3=13，不能被11整除。
③13：逐次去掉最後一個數字並加上末尾數字的4倍能被13整除。
例：364，36+4×4=52，能被13整除。
3、其他合數
將該合數進行因數分解，能同時被分解後的互質因數整除，則能被該合數整除。
例：判定168能否被24整除，把24分解為質因數乘積的形式，24=3×8,168能同時被3和8整除，所以168能被24整除。
三、實戰演練
例：某糧庫里有三堆袋裝大米，已知第一堆有303袋大米，第二堆有全部大米袋數的五分之一，第三堆有全部大米袋數的七分之若干。問糧庫里共有多少袋大米?
A、2585 B、3535 C、3825 D、4115
答案：B。
中公解析：這道題如果用其他的方法可能很難快速得出答案春殲州，顯然用整除思想就很快解決問題，因為總的大米袋數一定可以被5和7整數，所以說，只有B選項符合。