因式分解如何用對方法

『壹』 因式分解的方法與技巧

因式分解的方法與技巧如下：

因式分解並不難，分解方法要記全，各項若有公因式，首先提取莫遲緩，各項若無公因式，
套用公式來試驗。

如果是個二項式，平方差公式要領先，如果是個三項式，完全平方想周
全，以上方法都不行，運用分組看一看，面對二次三項式，十字相乘求方便，能分解的再分
解，不能分解是答案。

把一個多項式在一個范圍(如實數范圍內分解，即所有項均為實數)化為幾個整式的積的形
式，這種式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫作把這個多項式分解因式。

分解一般步驟

1、如果多項式的首項為負，應先提取負號；

這里的「負」，指「負號」。如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括弧內第一項系數是正的。

2、如果多項式的各項含有公因式，那麼先提取這個公因式，再進一步分解因式；

要注意：多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式後，括弧內切勿漏掉1；提公因式要一次性提干凈，並使每一個括弧內的多項式都不能再分解。

3、如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；

4、如果用上述方法不能分解，再嘗試用分組、拆項、補項法來分解。

口訣：先提首項負號，再看有無公因式，後看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適。

『貳』 因式分解的方法與技巧

因式分解的十二種方法
把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現總結如下:
1、
提公因法
如果一個多項式的各項都含有公因式，那麼就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。
例1、
分解因式x
-2x
-x(2003淮安市中考題)
x
-2x
-x=x(x
-2x-1)
2、
應用公式法
由於分解因式與整式乘法有著互逆的關系，如果把乘法公式反過來，那麼就可以用來把某些多項式分解因式。
例2、分解因式a
+4ab+4b
(2003南通市中考題)
解:a
+4ab+4b
=(a+2b)
3、
分組分解法
要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項分成一組，並提出公因式a，把它後兩項分成一組，並提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m
+5n-mn-5m
解:m
+5n-mn-5m=
m
-5m
-mn+5n
=
(m
-5m
)+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、
十字相乘法
對於mx
+px+q形式的多項式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x
-19x-6
分析:
1
-3
7
2
2-21=-19
解:7x
-19x-6=(7x+2)(x-3)
5、配方法
對於那些不能利用公式法的多項式，有的可以利用將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解。
例5、分解因式x
+3x-40
解x
+3x-40=x
+3x+(
)
-(
)
-40
=(x+
)
-(
)
=(x+
+
)(x+
-
)
=(x+8)(x-5)
6、拆、添項法
可以把多項式拆成若幹部分，再用進行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、
換元法
有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來。
例7、分解因式2x
-x
-6x
-x+2
解:2x
-x
-6x
-x+2=2(x
+1)-x(x
+1)-6x
=x
[2(x
+
)-(x+
)-6
令y=x+
,
x
[2(x
+
)-(x+
)-6
=
x
[2(y
-2)-y-6]
=
x
(2y
-y-10)
=x
(y+2)(2y-5)
=x
(x+
+2)(2x+
-5)
=
(x
+2x+1)
(2x
-5x+2)
=(x+1)
(2x-1)(x-2)
8、
求根法
令多項式f(x)=0,求出其根為x
,x
,x
,……x
,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x
)(x-x
)(x-x
)……(x-x
)
例8、分解因式2x
+7x
-2x
-13x+6
解:令f(x)=2x
+7x
-2x
-13x+6=0
通過綜合除法可知，f(x)=0根為
，-3，-2，1
則2x
+7x
-2x
-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、
圖象法
令y=f(x)，做出函數y=f(x)的圖象，找到函數圖象與X軸的交點x
,x
,x
,……x
，則多項式可因式分解為f(x)=
f(x)=(x-x
)(x-x
)(x-x
)……(x-x
)
例9、因式分解x
+2x
-5x-6
解:令y=
x
+2x
-5x-6
作出其圖象，見右圖，與x軸交點為-3，-1，2
則x
+2x
-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、
主元法
先選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。
例10、分解因式a
(b-c)+b
(c-a)+c
(a-b)
分析:此題可選定a為主元，將其按次數從高到低排列
解:a
(b-c)+b
(c-a)+c
(a-b)=a
(b-c)-a(b
-c
)+(b
c-c
b)
=(b-c)
[a
-a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、
利用特殊值法
將2或10代入x，求出數P，將數P分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。
例11、分解因式x
+9x
+23x+15
解:令x=2，則x
+9x
+23x+15=8+36+46+15=105
將105分解成3個質因數的積，即105=3×5×7
注意到多項式中最高項的系數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值
則x
+9x
+23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)
12、待定系數法
首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。
例12、分解因式x
-x
-5x
-6x-4
分析:易知這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。
解:設x
-x
-5x
-6x-4=(x
+ax+b)(x
+cx+d)
=
x
+(a+c)x
+(ac+b+d)x
+(ad+bc)x+bd
所以
解得
則x
-x
-5x
-6x-4
=(x
+x+1)(x
-2x-4)

『叄』 數學因式分解的方法

因式分解的十二種方法
把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現總結如下：
1、 提公因法
如果一個多項式的各項都含有公因式，那麼就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。
例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考題)
x -2x -x=x(x -2x-1)
2、 應用公式法
由於分解因式與整式乘法有著互逆的關系，如果把乘法公式反過來，那麼就可以用來把某些多項式分解因式。
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考題)
解：a +4ab+4b =（a+2b）
3、 分組分解法
要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項分成一組，並提出公因式a，把它後兩項分成一組，並提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m +5n-mn-5m
解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘法
對於mx +px+q形式的多項式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x -19x-6
分析： 1 -3
7 2
2-21=-19
解：7x -19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法
對於那些不能利用公式法的多項式，有的可以利用將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解。
例5、分解因式x +3x-40
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
=(x+ ) -( )
=(x+ + )(x+ - )
=(x+8)(x-5)
6、拆、添項法
可以把多項式拆成若幹部分，再用進行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、 換元法
有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來。
例7、分解因式2x -x -6x -x+2
解：2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x
=x [2(x + )-(x+ )-6
令y=x+ , x [2(x + )-(x+ )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y+2)(2y-5)
=x (x+ +2)(2x+ -5)
= (x +2x+1) (2x -5x+2)
=(x+1) (2x-1)(x-2)
8、 求根法
令多項式f(x)=0,求出其根為x ,x ,x ,……x ,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6
解：令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0
通過綜合除法可知，f(x)=0根為 ，-3，-2，1
則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、 圖象法
令y=f(x)，做出函數y=f(x)的圖象，找到函數圖象與X軸的交點x ,x ,x ,……x ，則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例9、因式分解x +2x -5x-6
解：令y= x +2x -5x-6
作出其圖象，見右圖，與x軸交點為-3，-1，2
則x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、 主元法
先選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
分析：此題可選定a為主元，將其按次數從高到低排列
解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、 利用特殊值法
將2或10代入x，求出數P，將數P分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。
例11、分解因式x +9x +23x+15
解：令x=2，則x +9x +23x+15=8+36+46+15=105
將105分解成3個質因數的積，即105=3×5×7
注意到多項式中最高項的系數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值
則x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
12、待定系數法
首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。
例12、分解因式x -x -5x -6x-4
分析：易知這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。
解：設x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)
= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
所以 解得
則x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)

『肆』 因式分解法里的四種方法是怎樣用的

分解因式最簡單的方法，就是提公因式
不過要注意，公因式不僅是系數、字母，還會是一個式子，例如
( a + b )( 3m + 2n ) + ( 2m + 3n )( a + b )，公因式是 ( a + b )
= ( a + b )( 3m + 2n + 2m + 3n )
= ( a + b )( 5m + 5n ) 這樣再提出系數 5
= 5( a + b )( m + n )

公式法
就是平方差、完全平方、立方和、立方差的公式倒過來用
a" - b" = (a - b)(a + b)
a" + 2ab + b" = (a + b)"
a" - 2ab + b" = (a - b)"
a"' + b"' = (a + b)(a" - ab + b")
a"' - b"' = (a - b)(a" + ab + b")

分組分解法，十字相乘法，最好還是結合起來
先把一次項一分為二，
這樣分開兩組提取公因式，做起來就輕松多了；

就連完全平方的式子，這樣做起來也會覺得更加可靠。
例如
x" + 10x + 25
= x" + 5x + 5x + 25
= x( x + 5 ) + 5( x + 5 )
= ( x + 5 )"
還有
x" - 10x + 25
= x" - 5x - 5x + 25
= x( x - 5 ) - 5( x - 5 )
= ( x - 5 )"

再看看一般多項式
系數、因數，先不管一次項，就看常數項：
如果常數項是正數，
一次項就是拆開兩個絕對值比原來小的兩項的和；

x" + 10x + 24
= x" + 4x + 6x + 24
= x( x + 4 ) + 6( x + 4 )
= ( x + 4 )( x + 6 )
還有，負負得正
x" - 10x + 24
= x" - 4x - 6x + 24
= x( x - 4 ) - 6( x - 4 )
= ( x - 4 )( x - 6 )

如果常數項是負數，
一次項系數就是分開兩項的相差數；
x" + 10x - 24
= x" + 12x - 2x - 24
= x( x + 12 ) - 2( x + 12 )
= ( x - 2 )( x + 12 )
還有
x" - 10x - 24
= x" - 12x + 2x - 24
= x( x - 12 ) + 2( x - 12 )
= ( x + 2 )( x - 12 )

看到了吧，一次項和常數項，絕對值都是 10x 和 24，
分解因式卻有 4 種結果，會不會看得暈頭轉向呢？
怎麼辦？只要這樣一步一步地寫出來，就肯定不會出錯了。
還有 5x 和 6 ，15x 和 54 ，20x 和 96 …… 都有這樣的 4 種結果，
使用這個分解因式的方法，你自己也試一試吧。

分解因式的這個方法
關鍵是常數項的正負決定了一次項系數怎樣分開兩項，
接下來一步一步，分別提取公因式就輕松多了；
只要熟悉這個方法，就連二次項系數不是 1 也同樣方便，
例如
4x" - 31x - 45
對著 31，我們恐怕不知道怎樣分開兩項
可是看到 -45，我們都會想到 31 = 36 - 5 ，那麼
= 4x" - 36x + 5x - 45
= 4x( x - 9 ) + 5( x - 9 )
= ( x - 9 )( 4x + 5 )
或者
= 4x" + 5x - 36x - 45
= x( 4x + 5 ) - 9( 4x + 5 )
= ( x - 9 )( 4x + 5 )

如果記公式不熟悉，就看看我的辦法
平方差 a" - b" = (a - b)(a + b) 相信我們都熟悉，
我還發現，算平方用平方差比完全平方更方便
a" = a" - b" + b" = (a - b)(a + b) + b"
這樣 (a - b) 或 (a + b) 就可變成整十整百來計算，例如

99" = 99" - 1" + 1 = (99 - 1)(99 + 1) + 1 = 98X100 +1 = 9801
8X8 = 8" - 2" + 4 = ( 8 - 2 )( 8 + 2 ) + 4 = 6 X 10 + 4 = 64
7X7 = 7" - 3" + 9 = ( 7 - 3 )( 7 + 3 ) + 9 = 4 X 10 + 9 = 49
6X6 = 6" - 4" +16 = ( 6 - 4 )( 6 + 4 ) + 16 = 2 X 10 + 16 = 36
11" = 11" - 1" + 1 = (11 - 1)(11 + 1) + 1 = 10 X 12 + 1 = 121
15" = 15" - 5" +25 = (15 - 5)(15 + 5) +25 = 10X20 +25 = 225
這樣也幫我們記住，完全平方第三項是 +b"
或者有了我的方法和平方差公式，
完全平方公式也可以拋開不用了

立方和與立方差，我自己是先記一個立方差
a"' - b"' = ( a - b )( a" + ab + b" )
公式原先是立方差，分解因式有一個就是 (a - b)，另一個就三個二次項都是正數
a"' + b"' = ( a + b )( a" - ab + b" )
這樣對照一下，立方和就是把立方差倒過來。
具體例子，還可以看
8 - 1 = 7
2"' - 1 = 4 + 2 + 1
2"' - 1 = 1 X ( 2" + 2 + 1 )
2"' - 1 = ( 2 - 1 )( 2" + 2 + 1 )
見到 8 - 1 = 4 + 2 + 1 ，我就立即想到 「棋盤上的麥粒」 問題
通過各種聯想，各種生動的形象，
就能把我們的一個個知識點串連起來，
我們就能學得牢、記得牢。

注意，分解因式，必須盡可能地，把指數分解得越小越好
能夠繼續分解，就要繼續分解，所以還要盡可能地為繼續分解創造條件
例如我的一個經驗教訓
a^6 - b^6
我做成
= (a")"' - (b")"'
= (a" - b")[ (a")" + a"b" + (b")" ]
= (a - b)(a + b)(a^4 + a"b" + b^4)
這樣還有四次項就不對
應該
= (a"')" - (b"')"
= ( a"' - b"' )( a"' + b"' )
= (a - b)(a" + ab + b")(a" - ab + b")(a + b)

因式中只剩二次項，才是正確的
積極開動腦筋，祝你成功，學習進步！

『伍』 因式分解的方法

分解方法：

一、十字相乘法

十字相乘法的方法簡單來講就是：十字左邊相乘等於二次項系數，右邊相乘等於常數項，交叉相乘再相加等於一次項系數。其實就是運用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆運算來進行因式分解。

如：

a²x²+ax-42

首先，我們看看第一個數，是a²，代表是兩個a相乘得到的，則推斷出(ax+？）×(ax+？），

然後我們再看第二項，+ax這種式子是經過合並同類項以後得到的結果，所以推斷出是兩項式×兩項式。

再看最後一項是-42 ，-42是-6×7 或者6×-7也可以分解成 -21×2 或者21×-2。

首先，21和2無論正負，通過任意加減後都不可能是1，只可能是-19或者19，所以排除後者。

然後，再確定是-7×6還是7×-6。

(ax-7）×(ax+6）=a²x²-ax-42(計算過程省略）

得到結果與原來結果不相符，原式+ax 變成了-ax。

再算：

(ax+7）×(ax+(-6））=a²x²+ax-42

正確，所以a²x²+ax-42就被分解成為(ax+7）×(ax-6），這就是通俗的十字相乘法分解因式。

二、公式法

公式法，即運用公式分解因式。

公式一般有

1、平方差公式a²-b²=（a+b）（a-b）

2、完全平方公式a²±2ab+b²=（a±b）²對應的還可以有一個口訣：「首平方，尾平方，首尾積的二倍在中央」

『陸』 分解因式的方法與技巧有哪些

1、提公因式法：公因式是指各項都含有公共的因式。提公因式法是指當一個多項式的各項都有公因式時，把這個公因式提出來，將多項式化成兩個或多個因式乘積的形式。

2、公式法：公式法主要是指平方差公式，完全平方公式，立方差公式，立方和公式。

3、十字相乘法：十字相乘法口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中。

4、待定系數法：首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。

5、換元法：有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來，這種方法叫做換元法。

6、求根公式法：令多項式f(x)=0,求出其根為x1，x2，x3，……xn，則該多項式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)

7、分組分解法：能分組分解的方程有四項或大於四項，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。如：a·x+a·y+b·x+b·y=a·(x+y)+b·(x+y)=(a+b)·(x+y)，把ax和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配。

『柒』 因式分解的方法與技巧

導語：因式分解是中學數學中最重要的恆等變形之一，它被廣泛地應用於初等數學之中，在數學求根作圖、解一元二次方程方面也有很廣泛的應用。是解決許多數學問題的有力工具。把一個多項式在一個范圍(如有理數范圍內分解，即所有項均為有理數)化為幾個整式的積的形式，這種式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫作把這個多項式分解因式。

因式分解的方法與技巧

1、 提公因法

如果一個多項式的各項都含有公因式，那麼就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。

例1、 分解因式x3 -2x 2-x

x3 -2x2 -x=x(x2 -2x-1)

2、 應用公式法

由於分解因式與整式乘法有著互逆的關系，如果把乘法公式反過來，那麼就可以用來把某些多項式分解因式。

例2、分解因式a2 +4ab+4b2

解：a2 +4ab+4b2 =(a+2b)2

3、 分組分解法

要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項分成一組，並提出公因式a，把它後兩項分成一組，並提出公因式b，從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，從而得到(a+b)(m+n)

例3、分解因式m2 +5n-mn-5m

解：m2 +5n-mn-5m= m 2-5m -mn+5n

= (m2 -5m )+(-mn+5n)

=m(m-5)-n(m-5)

=(m-5)(m-n)

4、 十字相乘法

對於mx2 +px+q形式的多項式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c)

例4、分解因式7x2 -19x-6

分析： 1 ×7=7, 2×(-3)=-6

1×2+7×(-3)=-19

解：7x2 -19x-6=(7x+2)(x-3)

5、配方法

對於那些不能利用公式法的多項式，有的可以利用將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解。

例5、分解因式x2 +6x-40

解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40

=(x+ 3)2 -(7 ) 2

=[(x+3)+7]*[(x+3) – 7]

=(x+10)(x-4)

6、拆、添項法

可以把多項式拆成若幹部分，再用進行因式分解。

例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b)

7、 換元法

有時在分解因式時，可以選擇多項式中的.相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來。

例7、分解因式2x4 –x3 -6x2 -x+2(也叫相反式，在這里以二次項系數為中心對稱項的系數是相等的，如四次項與常數項對稱，系數相等，解法也是把對稱項結合在一起)

解：2x 4–x3 -6x2 -x+2=2(x4 +1)-x(x2 +1)-6x2

=x2 {2[x2 + ()2]-(x+ )-6}

令y=x+ ,

x2 {2[x2 +( )2]-(x+)-6}

= x2 [2(y2 -2)-y-6]

= x2 (2y2 -y-10)

=x 2(y+2)(2y-5)

=x2 (x+ +2)(2x+ -5)

= (x2 +2x+1) (2x2 -5x+2)

=(x+1)2 (2x-1)(x-2)

8、 求根法

令多項式f(x)=0,求出其根為x1,x2 ,x3 ,……xn ,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x1 )(x-x 2)(x-x3 )……(x-xn ) (一般情況下是試根法，並且一般試-3,-2,-1,0,1,2,3這些數是不是方程的根)

例8、分解因式2x4 +7x3 -2x2 -13x+6

解：令f(x)=2x4 +7x3 -2x2 -13x+6=0

通過綜合除法可知，f(x)=0根為 ，-3，-2，1 ,

則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)

9、 圖象法(這種方法在以後學函數的時候會用到。現在只是作為了解內容，它和第八種方法是類似的)

令y=f(x)，做出函數y=f(x)的圖象，找到函數圖象與X軸的交點x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，則多項式可因式分解為

f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3)……(x-xn )

例9、因式分解x3 +2x2 -5x-6

解：令y= x3 +2x2 -5x-6

作出其圖象，可知與x軸交點為-3，-1，2

則x3 +2x 2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)

10、 主元法

先選定一個字母為主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。

例10、分解因式a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b)

分析：此題可選定a為主元，將其按次數從高到低排列

解：a2 (b-c)+b2 (c-a)+c2 (a-b)=a2 (b-c)-a(b2 -c 2)+bc(b-c)

=(b-c) [a2 -a(b+c)+bc]

=(b-c)(a-b)(a-c)

11、 利用特殊值法

將2或10(或其它數)代入x，求出數P，將數P分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。例11、分解因式x 3+9x2 +23x+15

解：令x=2，則x3 +9x 2+23x+15=8+36+46+15=105

將105分解成3個質因數的積，即105=3×5×7

注意到多項式中最高項的系數為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時的值

則x3 +9x2 +23x+15=(x+1)(x+3)(x+5)

12、待定系數法

首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。

例12、分解因式x4 –x3 -5x2 -6x-4

如果已知道這個多項式沒有一次因式，因而只能分解為兩個二次因式。

解：設x4 –x3 -5x2 -6x-4=(x2 +ax+b)(x2 +cx+d)

= x4 +(a+c)x3 +(ac+b+d)x2 +(ad+bc)x+bd

從而a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4

所以 解得

則x4 –x3 -5x2 -6x-4 =(x 2+x+1)(x2 -2x-4)。

因式分解應該注意哪些問題?

一、要注意到“1”的存在而避免漏項

在提取公因式時,多數同學易忘記觀察被分解多項式的項數是多少,更沒有理解因式分解與乘法運算之間的關系,而在分解因式時應注意到“1”在這個多項式分解中的存在和作用。

例1分解因式23x+5xy+x=x(3x+5y)

錯解: 23x+5xy+x=x(3x+5y),這樣就漏了“x”這一項,提出“x”後應由“1”來補其位。 正解: 23x+5xy+x=x(3x+5y+1)

二、提取公因式時要注意符號的變化

牢記在有理數的乘法運算中“括弧前是負號,去括弧時括弧里的各項都要變號”這一運算律,而因式分解與乘法運算之間互為逆變形,首相為負號應提取負號,但加括弧並且括弧里的各項都要變號。

例2分解因式2-10x+10xy.

錯解: 2-10x+10xy=-10x(x+y),錯在括弧里沒有變號。

正解: 2-10x+10xy=-10x(x-y).

三、要注意整體與個體之間的關系

在公式22a-b=(a+b)(a-b) ，222a+2ab+b=(a+b), 222a-2ab+b=(a-b)中,a、b代表符合這一特點的整個代數式里的整個因式,而不只代表這個代數式里的某一個因式。如216x是表示2(4x),而不是216x.因此再分解因式時要注意整體與個體之間的關系。

例3分解因式29x-1

錯解: 29x-1=(9x+1)(9x-1),錯在29x-1隻能寫為2(3x)不能寫為29x. 正解: 29x-1=(3x+1)(3x-1).

四、要注意分解完整

因式分解即是把一個多項式分解為幾個不能再分解的因式的乘積形式,因式分解需要分解到不能再分解為止。

例4分解因式4216x-72x+81

錯解: 4216x-72x+81=22(4x-9),很多學生就分解到此為止,但沒有注意到24x-9還可以分解。因為24x可以寫成2(2x),9可以寫成2(3),故24x-9符合平方差公式的特點應繼續分解。

正解: 4216x-72x+81=22(4x-9)=2[(2x+3)(2x-3)]=22(2x+3)(2x-3) 例5分解因式4x-9 (在實數范圍內)

錯解: 4x-9=22(x+3)(x-3),錯在許多學生還未注意到2(x-3)中的“3”還可以寫為

2(3),因此2(x-3)寫為2x-2(3),這就符合平方差公式的特點應繼續分解。

正解: 4x-9=22(x+3)(x-3)=2(x+3)(x+3)(x-3) 五、應注意因式與整式乘法的關系

因式分解是要把一個多項式分解為幾個整式的乘積形式;然而整式的乘法是要把幾個正式的乘積形式化成一個多項式的形式。 例6分解因式4224a-2ab+b.

錯解: 4224a-2ab+b=222(a-b)=22(a+b)(a-b)=2222(a+2ab+b)(a-2ab+b),錯在又把22(a+b)(a-b)化為了2222(a+2ab+b)(a-2ab+b)

正解: 4224a-2ab+b=222(a-b)=22(a+b)(a-b)。

『捌』 因式分解有哪幾種方法

1、提公因式法

幾個多項式的各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

具體方法：當各項系數都是整數時，公因式的系數應取各項系數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，而且各字母的指數取次數最低的；取相同的多項式，多項式的次數取最低的。

如果多項式的第一項是負的，一般要提出「-」號，使括弧內的第一項的系數成為正數。提出「-」號時，多項式的各項都要變號。

2、公式法

如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。

平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)；

完全平方公式：a²±2ab+b²=(a±b)²；

注意：能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式，其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式，另一項是這兩個數的積的2倍。

3、待定系數法

例如，將ax2+bx+c因式分解，可令ax2+bx+c=0，再解這個方程。如果方程無解，則原式無法因式分解；如果方程有兩個相同的實數根（設為m），則原式可以分解為（x-m）2如果方程有兩個不相等的實數根（分別設為m，n），則原式可以分解為(x-m)(x-n)。

4、十字相乘法

十字分解法的方法簡單來講就是：十字左邊相乘等於二次項系數，右邊相乘等於常數項，交叉相乘再相加等於一次項系數。其實就是運用乘法公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的逆運算來進行因式分解。

(8)因式分解如何用對方法擴展閱讀：

因式分解與解高次方程有密切的關系。對於一元一次方程和一元二次方程，初中已有相對固定和容易的方法。在數學上可以證明，對於一元三次方程和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因為公式過於復雜，在非專業領域沒有介紹。

對於分解因式，三次多項式和四次多項式也有固定的分解方法，只是比較復雜。對於五次以上的一般多項式，已經證明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也沒有固定解法。

如果多項式的首項為負，應先提取負號；這里的「負」，指「負號」。如果多項式的第一項是負的，一般要提出負號，使括弧內第一項系數是正的。

如果多項式的各項含有公因式，那麼先提取這個公因式，再進一步分解因式；多項式的某個整項是公因式時，先提出這個公因式後，括弧內切勿漏掉1；提公因式要一次性提干凈，並使每一個括弧內的多項式都不能再分解。

如果各項沒有公因式，那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解；如果用上述方法不能分解，再嘗試用分組、拆項、補項法來分解。

『玖』 因式分解12種方法圖解

因式分解方法如下：

一、提取公因式法

提取公因式法是最基本的因式分解方法，甚至可以說後面的因式分解方法都是在這個基礎上進行使用。一般來說，提取公因式法的使用針對比較直觀的因式進行提取，例如學生在多項式中直接看到有一個共同項，立刻就想到提取公因式。

例1:因式分解：3x^3+8x^2y+6x^2y^3=x^2(3x+8y+6y^3)

有些多項式進行提取公因式法之後，還要進一步進行因式分解，如果沒有分解到不能再分，不能算是正確答案。

三、完全平方差公式法

完全平方差公式法和完全平方和公式法如同孿生兄弟，二者極其相似，它的基本表達式子是x^2-2xy+y^2,它是（x-y）(x-y)的乘積，而在實際因式分解中，並不像公式那樣的明顯，例如x^2-6x+9,x^2-4xy+4y^2.下面看一個常見的例子：x^2+y^2-2xy-6x+6y+9

解析：通過觀察發現這個式子可以變成x^2-6x+9-2y(x-3)+y^2,可以構成一個完全平方差公式。

『拾』 分解因式的方法與技巧是什麼

1、提公因式法

幾個多項式的各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。 如果一個多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

2、公式法

如果把乘法公式反過來，就可以把某些多項式分解因式，這種方法叫公式法。

注意事項

1、等式左邊必須是多項式;

2、分解因式的結果必須是以乘積的形式表示;

3、每個因式必須是整式，且每個因式的次數都必須低於原來多項式的次數;

4、分解因式必須分解到每個多項式因式都不能再分解為止。