如何用建系的方法求二面角

1. 為什麼老師不交解二面角建系法

因為這個方法太難了，好多同學聽不懂。方法一：想像力好就用「做平面角」

二面角，最常用的方法當然是通過求平面角而得之。

只是，這個做二面角的平面角，也不是說說那麼簡單的吧。

如果兩個面都沒有水平或豎直那麼好的位置，對於很多學生來說，也確實未必就能輕易得手的。

當然，如果能夠熟悉三垂線定理的話，倒是可以給我們做平面角帶來很多的方便。

尤其，於高一新生來說，平面角的作法，顯得更為艱難。

傳統

一作二證三求

02

方法二：位置不佳就用「分割法」

其實，對於高一新生來說，如果不能如願做出二面角的平面角，還是可以採取一些折中的辦法的。

比如，將二面角分割成多個易做平面角的二面角。

當然，過軸線找豎直或水平的平面就很重要了。否則就算勉強分割了，也會讓分割就失去意義。

就象是這個題，根據直稜柱的特點，找到中間豎直的平面BDD1B1，就可以嘗試分割了。

只是，對於高一新生來說，難點在於要計算兩角和的三角函數值，沒有學習必修4，恐怕也會有點艱難。

不過記住這種姿式，總歸沒有壞處。

2. 求二面角的方法 總結

1、定義法：過二面角棱上任一點，在兩個面內分別作垂直於棱的直線，則兩直線所構成的角即為所求二面角的平面角。

二、射影面積求二面角。平面ABC與平面a所成二面角為θ，它在平面a內的投影為DBC，則平面ABC與平面a所成二面角的餘弦值為射影面積與原面積的比。

3、面積射影定理：二面角的餘弦值等於某一個半平面在另一個半平面的射影的面積和該平面自己本身的面積的比值。即公式cosθ=S'/S（S'為射影面積，S為斜面面積）。運用這一方法的關鍵是從圖中找出斜面多邊形和它在有關平面上的射影，而且它們的面積容易求得。

3. 二面角的做法

二面角是高考常考的一類問題，幾乎每年的理科卷都會涉及到二面角的求法。而有些同學在解決這塊內容是往往無從下手，今天把常見方法進行整理，希望可以給你們帶來幫助。

一、定義法

是指過二面角的棱上任一點在兩個面內分別作垂直於棱的直線，則兩直線所構成的角即為二面角的平面角，繼而在平面中求出其平面角的一種方法。

二、三垂線法

是指利用三垂線定理，根據 「與射影垂直 ，則也與斜線垂直」的思想構造 出二面角的平面角 ，繼而求出平面角的方法。

三、垂面法

是指用垂直於棱的平面去截二面角，則截面與二面角的兩個面必有兩條交線，這兩條交線構成的角即為二面角的平面角，繼而再求出其平面角的一種方法。

四、面積射影法

所謂面積射影法 ，就是根據圖形及其在某一個平面上的射影面積之間的關系，利用射影的面積比上原來的面積等於二面角的餘弦值，來計算二面角。此法常用於無棱的二面角。

五、法向量法

法向量法是通過求與二面角垂直的兩個向量所成 的角，繼而利用這個角與二面角的平面角相等或互補的關系，求出二面角的一種方法。（如何判斷相等還是互補的問題，將在近期公布）

六、垂線法

是指先利用待定系數法確定垂足，再利用公式求出二面角的大小。

4. 如何利用建立坐標系算二面角的餘弦值、點到面的距離、異面直線垂直

建立坐標系關鍵是想把位置關系(向量)用坐標表示,所以歸根結底還是使用向量解決問題

1.二面角的餘弦值（α,β的二面角）
面的"方向"可以由這個面的法向量完全確定,所以你先要建立坐標系把兩個面的單位法向量表示成坐標.然後計算兩個單位法向量的數量積,結果就是餘弦值,即:
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cos<α,β>=n1*n2 （n1,n2分別是面α,面β的單位法向量）
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2.點面距離（點P到面α的距離）
先計算面α的單位法向量n,然後在面α任意選一個比較」好」的點Q，計算向量PQ和單位法向量的數量積，結果就是距離
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H=PQ*n （n是α的單位法向量，Q是α上任意的一點）
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3．異面直線垂直（證明AB⊥CD)
計算兩直線的方向向量（和直線平行的向量)s1,s2
如過兩方向向量的數量積為0，則直線垂直
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s1*s2=0 等效於 AB⊥CD
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5. 求二面角的方法步驟是怎樣的

向量法：利用兩個平面的法向量m，n的夾角來求，這是高考中最有效的辦法不管有多難都可求出二面角的大小，也是最好的辦法。不過求出後要根據二面角的實際大小來判斷算出的結果與實際情況下的角是否相同利用空間向量求二面角的平面角步驟（設二面角平面角為θ）
1）建立空間直角坐標系；
2）設平面
的法向量為n(x1，y1，z1)，平面
法向量為m(x2，y2，z2)；
3）在
內找兩條線l1，l2，讓n×l1=0，n×l2=0求出n的坐標，m也是如此求出；
4）然後利用cosθ=n?m/|n|×|m|即可求出θ的值
說明：銳二面角時，法向量的夾角即該二面角的平面角鈍二面角時，法向量的夾角的補角為二面角的平面角

6. 空間直角坐標系怎麼求二面角

二面角求解方法有兩種幾何法和向量法。

一、幾何法：

1、作出二面角的平面角

2、證明該角為平面角

3、歸納到三角形求角

二、向量法：

1、先建立直角坐標系，求出各點坐標。

2、求出平面的兩個向量，再求出法向量。

3、最後求出夾角θ的餘弦。

(6)如何用建系的方法求二面角擴展閱讀：

作二面角的平面角的常用方法有以下幾種：

1、定義法 ：在棱上取一點A，然後在兩個平面內分別作過棱上A點的垂線。有時也可以在兩個平面內分別作棱的垂線，再過其中的一個垂足作另一條垂線的平行線。

2、垂面法 ：作與棱垂直的平面，則垂面與二面角兩個面的交線所成的角就是二面角的平面角

3、面積射影定理：二面角的餘弦值等於某一個半平面在另一個半平面的射影的面積和該平面自己本身的面積的比值。即公式cosθ=S'/S（S'為射影面積，S為斜面面積）。運用這一方法的關鍵是從圖中找出斜面多邊形和它在有關平面上的射影，而且它們的面積容易求得。

7. 求二面角的方法

在立體幾何運算中，很多人都會覺得太過復雜，難以達到最簡單的求解方法，最後總是出現錯誤，而且現在高考中幾何立體運算也是必考的重點，尤其是二面角，那麼求二面角的方法是什麼呢?

1、垂面法——和棱垂直的平面，並且垂面和二面角相交的線所組成的角，也就是二面角和平面角。

2、定義法——在棱上任意取一點，並且在兩個平面中都做出棱上A點的垂線，有的時候這條垂線可以在兩個不同的平面內做垂線，再在其中一個垂足和垂線之間的平行線，也可以求出二面角。

3、向量法——把兩個半平面的法向量求出，主要是通過夾角公式的方法求得。所求的二面角也就是這個夾角或者是補角。

4、異面直線距離法——將二面角假設為C-AB-D，那麼其中的AC和BD就是異面之線AC⊥AB，而AB也就是異面直線中AC和BD的公垂線，根據AB,CD,AC,BD的值，就可以計算出二面角。

求二面角的方法有很多，比如異面之線距離法，向量法，定義法和垂面法都是非常好的求二面角的方法，要靈活的運用這些方法，簡便的計算出最終的結果，才是最關鍵的。

8. 二面角的求法

二面角的求法如下：

1、定義法（分別向交線作垂線，求兩線的夾角）

2、三垂線法：過某一半平面內一點向另一半平面和交線作垂線，作出射影由tan角求解，其中COS二面角=射影面積/原面積。

3、垂面法：找出交線的垂面，並作出垂面與半平面的交線，求夾角。

二面角的定義：平面內的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形，叫做二面角（這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面)。

大小范圍：

0≤θ≦π（二面角不小於0°，不大於180°）

既然是空間立體圖形，那麼可以將180°～360°的另一邊看成0°～180°。

9. 高中數學求二面角的方法

到了高三都不用傳統方法求二面角了
直接建系,找兩個面的法向量,COS〈N1,N2〉
OVER
法向量指向二面角內部（即二面所夾之處）為指向
法向量指向二面角外部（即二面所夾以外處）為背離
兩法向量都為指向或都為背離時,二面角和這兩個平面的法向量的夾角應該是互補的
兩法向量一個指向,另一個背離時,二面角和這兩個平面的法向量的夾角應該是相等的

10. 數學，怎麼求二面角的大小

作二面角的平面角的常用方法有六種：
1.定義法
2.垂面法
3.射影定理
4.三垂線定理
5.向量法
6.轉化法
二面角一般都是在兩個平面的相交線上，取恰當的點，經常是端點和中點。過這個點分別在兩平面做相交線的垂線，然後把兩條垂線放到一個三角形中考慮。有時也經常做兩條垂線的平行線，使他們在一個更理想的三角形中。
由公式s射影=s斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。運用這一方法的關鍵是從圖中找出斜面多邊形和它在有關平面上的射影，而且它們的面積容易求得 。
另外也可以建系用向量法，這是在找不出作和輔助線也找不到二面角的情況下就使用的。把兩平面的法向量n1,n2的坐標求出來。然後根據n1·n2=｜n1｜｜n2｜cosα，θ=α為兩平面的夾角。這里需要注意的是如果兩個法向量都是垂直平面，指向兩平面內，所求兩平面的夾角θ=π-α。