如何用兩種方法證明絕對值不等式

『壹』 如何解含絕對值的不等式

絕對值不等式解法的基本思路是：去掉絕對值符號，把它轉化為一般的不等式求解，轉化的方法一般有：

（1）絕對值定義法；

（2）平方法；

（3）零點區域法。常見的形式有以下幾種。

1、形如不等式：|x|<a(a>0)

利用絕對值的定義得不等式的解集為：-a<x<a

2、形如不等式：|x|>=a(a>0)

它的解集為：x<=-a或x>=a。

3、形如不等式|ax+b|<c(c>0)

它的解法是：先化為不等式組：-c<ax+b<c，再利用不等式的性質來得解集。

4、形如 |ax+b|>c(c>0)

它的解法是：先化為不等式組：ax+b>c或ax+b<-c，再利用不等式的性質求出原不等式的解集。

(1)如何用兩種方法證明絕對值不等式擴展閱讀：

等式的特殊性質有以下三種：

①不等式性質1：不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數（或式子），不等號的方向不變；

②不等式性質2：不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；

③不等式性質3：不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數，不等號的方向變。總結：當兩個正數的積為定值時，它們的和有最小值；當兩個正數的和為定值時，它們的積有最大值。

常用定理

①不等式F（x）< G（x）與不等式 G（x）>F（x）同解。

②如果不等式F（x） < G（x）的定義域被解析式H（ x ）的定義域所包含，那麼不等式 F（x）<G（x）與不等式F（x）+H（x）<G（x）+H（x）同解。

③如果不等式F（x）<G（x） 的定義域被解析式H（x）的定義域所包含，並且H（x）>0，那麼不等式F(x)<G（x）與不等式H（x）F（x）<H（ x ）G（x） 同解；如果H（x）<0，那麼不等式F（x）<G（x）與不等式H (x)F（x）>H（x）G（x）同解。

『貳』 如何證明絕對值不等式成立

絕對值的意思是帶絕對值符號的部分去去掉絕對值符號後這部分的值必須大於或等於0；
這個式子帶有字母，就要分
1）a>3.5，b<3；
2）a>3.5，b>3；
3）a<3.5,b<3；
4）a<3.5，b》3；
四種情況進行討論，再去掉絕對值符號運算。方程可化為：
|3+4/k||3k+4|=6
|(3+4/k)(3k+4)|=6
9k+24+16/k=6，或9k+24+16/k=-6
由9k+24+16/k=6得9k²+18k+16=0
該方程無實數根又由9k+24+16/k=-6得：
9k²+30k+16=0
3k+2=0或3k+8=0
所以，原方程的根為：k1=-3/2,k2=-8/3
(2)如何用兩種方法證明絕對值不等式擴展閱讀：
性質：
|a|表示數軸上的點a與原點的距離叫做數a的絕對值。

兩個重要性質：
1、|ab|
=
|a||b|
|a/b|
=
|a|/|b|
（b≠0）
2、|a|<|b|
可逆推出
|b|>|a|
||a|
-
|b||
≤
|a+b|
≤
|a|+|b|，當且僅當
ab≤0
時左邊等號成立，ab≥0
時右邊等號成立。
另外有：|a-b|
≤
|a|+|-b|
=
|a|+|-1|*|b|
=
|a|+|b|
|
|a|-|b|
|
≤
|a±b|
≤
|a|+|b|

『叄』 解絕對值不等式時，有幾種常見的方法

一、 絕對值定義法

對於一些簡單的，一側為常數的含不等式絕對值，直接用絕對值定義即可，

1、如|x| < a在數軸上表示出來。利用數軸可將解集表示為−a< x < a

2、|x| ≥ a同理可在數軸上表示出來，因此可得到解集為x≥ a或x≤ a

3、|ax +b| ≥ c型，利用絕對值性質化為不等式組−c ≤ ax + b ≤ c，再解不等式組。

二、平方法

對於不等式兩邊都是絕對值時，可將不等式兩邊同時平方。

解不等式 |x+ 3| > |x− 1|將等式兩邊同時平方為(x + 3)2 > (x − 1)2得到x2 + 6x + 9 > x2 − 2x + 1之後解不等式即可，解得x > −1

三、零點分段法

對於不等式中含有有兩個及以上絕對值，且含有常數項時，一般使用零點分段法。例 解不等式|x + 1| + |x − 3| > 5

在數軸上可以看出，數軸可以分成x < −1,−1 ≤ x < 3, x ≥ 3三個區間，由此進行分類討論。

當x < −1時，因為x + 1 < 0, x − 3 < 0所以不等式化為 −x− 1 −x + 3 > 5解得x < −322．當−1 ≤x < 3時， 因為x + 1 > 0,x− 3 < 0所以不等式化為x + 1 − x + 3 > 5無解。

當 x ≥ 3時 因為x + 1 > 0 ,x − 3 > 0所以不等式化為x + 1 + x− 3 > 5解得x >72綜上所述，不等式的解為x < −32或x >72。

(3)如何用兩種方法證明絕對值不等式擴展閱讀

1、實數的絕對值的概念

(1)|a|的幾何意義

|a|表示數軸上實數a對應的點與原點之間的距離.

(2)兩個重要性質

①(ⅰ)|ab|=|a||b|

②|a|<|b|⇔a2<b2

(3)|x-a|的幾何意義:數軸上實數x對應的點與實數a對應的點之間的距離,或數軸上表示x-a的點到原點的距離.

(4)|x+a|的幾何意義:數軸上實數x對應的點與實數-a對應的點之間的距離,或數軸上表示x+a的點到原點的距離。

2、絕對值不等式定理

(1)定理：對任意實數a和b,有|a+b|≤|a|+|b|,當且僅當ab≥0時,等號成立.

(2)定理的另一種形式：對任意實數a和b,有|a-b|≤|a|+|b|,當且僅當ab≤0時,等號成立.

絕對值不等式定理的完整形式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.

其中,(1)|a+b|=|a|-|b|成立的條件是ab≤0,且|a|≥|b|;

(2)|a+b|=|a|+|b|成立的條件是ab≥0;

(3)|a-b|=|a|-|b|成立的條件是ab≥0,且|a|≥|b|;

(4)|a-b|=|a|+|b|成立的條件是ab≤0.

『肆』 絕對值不等式怎麼證明

就是取+或-都成立,相當於是兩個不等式，可通過平方的方法證明.

『伍』 含有絕對值的不等式怎麼解

解含絕對值的不等式只有兩種模型，它的解法都是由以下兩個得來：
（1）|X|>1那麼X>1或者X<-1; |X|>3那麼X>3或者X<-3;
即）|X|>a那麼X>a或者X<-a;(兩根之外型)
(2)）|X|<1那麼-1<X<1；|X|<3那麼-3<X<3
即)）|X|<a那麼-a<X<a；(兩根之內型)
遇到這類不等式只需用對型把絕對值去掉即可：
如：|1-3X|＞4 我把絕對值中的所有式子看成整體，不等式是兩根之外型，則：1-3X>4或者1-3X<-4，從而又解一次不等式得解集為：X>5/3或者X<-1
又如：|1-3X|<2我把絕對值中的所有式子看成整體，不等式是兩根之內型
則：-2<1-3X<2從而又解一次不等式得解集為：-1/3<x<1

記憶：大於取兩根之外,小於取兩根之間

『陸』 絕對值不等式的證明

解絕對值不等式分情況討論的目的就是去掉絕對值符號
只有一個絕對值時，比如：
| x-2 | > 4
那麼我們要去絕對值符號，就要討論 x-2 是正是負，討論x - 2 的正負 即討論 x 與 2 的大小關系
所以 (1)x < 2 時，原式為 2 - x > 4 解得x < -2 （x<2即是x-2<0）
(2)x ≥2 時，原式為 x - 2 > 4 解得 x > 6 （x ≥2 即是x-2≥0）
所以不等式解為 x < -2或 x > 6

當有2個絕對值時，比如：
| x - 3| + | 2x + 4| > 6
那麼我們要去絕對值符號，就要討論 x-3 和 2x + 4 是正是負，討論 x-3 和 2x + 4 的正負，即討論x 與3 、-2的大小關系 （x-3=0得到3，2x-4=0得到-2）
(1) x < -2時，……（x<-2,即 x-3 <0 , 2x + 4<0）
(2)-2 ≤ x ≤ 3時，……（-2 ≤ x ≤ 3，即x-3≥0 ，2x-4≤0）
(3) x > 3時，……（ x > 3，即x-3>0，2x-4>0）
更多的絕對值也一樣，找到所有斷點（使絕對值內的式子為0的點，x-3=0的3，2x-4=0的-2……）
然後談論x與他們的關系（可以看成在數軸上列出這些點，x不斷向右移動）
比如斷點 x1、x2、x3、x4……
談論：
(1) x < x1時
(2)x1≤x<x2時
(3)x2≤x<x3時
(4)x3≤x<x4時
……
斷點處的等號比較隨意，只要考慮到就行
就像上面討論也可以是
(1) x ≤ x1時
(2)x1<x≤x2時
(3)x2<x≤x3時
(4)x3<x≤x4時
甚至
(1) x ≤ x1時
(2)x1<x<x2時
(3)x2≤x≤x3時
(4)x3<x<x4時
都沒關系，只要討論了x=x1、x2、x3、x4……的情況就行

『柒』 絕對值不等式證明

原式兩邊平方開根號 整理得 √<x^2+y^2+(-2|x||y|)>≤√<x^2+y^2+（±2xy）>≤√<x^2+y^2+(2|x||y|)> 要證不等號成立 即證 -2|x||y|≤±2xy≤2|x||y| 易知上不等式成立 所以原不等式也成立。

個實數的絕對值的幾何意義為:在數軸上表示這個數的點與原點之間的距離。正數的絕對值等於它本身, 0的絕對值還是0, 負數的絕對值等於它的相反數，對於|a|，當a>0時，|a|=a，距離為正，此時表示a的點在原點右側；當a=0時，|a|=0，距離為0，此時表示a的點即為原點。

當a<0時，|a|=-a，距離為負，此時表示a的點在原點左側。

舉例：|-2.5|指在數軸上-2.5與原點的距離，這個距離是2.5，所以-2.5的絕對值是-2.5。同樣，指在數軸上表示2與原點的距離，這個距離是2，所以2的絕對值是2。