二次根式解題方法和技巧

⑴ 二次根式的解題技巧

一般地，形如√ā（a≥0）的代數式叫做二次根式。當a＞0時，√a表示a的算數平方根,√0=0
[編輯本段]ii.二次根式√ā的簡單性質和幾何意義
1）a≥0
;
√ā≥0
[
雙重非負性
]
2）（√ā）^2=a
（a≥0）[任何一個非負數都可以寫成一個數的平方的形式]
3)
√(a^2+b^2)表示平面間兩點之間的距離，即勾股定理推論。
[編輯本段]iii.二次根式的性質和最簡二次根式
1）二次根式√ā的化簡
a(a≥0）
√ā=|a|={
-a(a＜0)
2）積的平方根與商的平方根
√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）
√a/b=√a
/√b（a≥0，b>0）
3）最簡二次根式
條件：
（1）被開方數的因數是整數或字母，因式是整式；
（2）被開方數中不含有可化為平方數或平方式的因數或因式。
如：不含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有√2、√3、√a（a≥0）、√x+y
等；
含有可化為平方數或平方式的因數或因式的有√4、√9、√a^2、√（x+y）^2、√x^2+2xy+y^2等
[編輯本段]iv.二次根式的乘法和除法
1
運演算法則
√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）
√a/b=√a
/√b（a≥0，b>0）
二數二次根之積，等於二數之積的二次根。
2
共軛因式
如果兩個含有根式的代數式的積不再含有根式，那麼這兩個代數式叫做共軛因式，也稱互為有理化根式。
[編輯本段]v.二次根式的加法和減法
1
同類二次根式
一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式後，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式。
2
合並同類二次根式
把幾個同類二次根式合並為一個二次根式就叫做合並同類二次根式。
3二次根式加減時，可以先將二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數相同的進行合並
[編輯本段]ⅵ.二次根式的混合運算
1確定運算順序
2靈活運用運算定律
3正確使用乘法公式
4大多數分母有理化要及時
5在有些簡便運算中也許可以約分，不要盲目有理化
[編輯本段]vii.分母有理化
分母有理化有兩種方法
i.分母是單項式
如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b
ii.分母是多項式
要利用平方差公式
如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b

⑵ 二次根式計算與化解的技巧是什麼急用

一般地，形如√ā（a≥0）的式子叫做二次根式。
1）二次根式√ā的化簡
a（a≥0）
√ā=|a|={
-a（a＜0）
2）積的平方根與商的平方根
√ab=√a·√b（a≥0，b≥0）
√a/b=√a
/√b（a≥0，b≥0）
3）最簡二次根式
條件：（1）被開方數的因數是整數或字母，因式是整式；（2）被開方數中不含有可化為平方數或平方式的因數或因式。
1
運演算法則
√a·√b=√ab（a≥0，b≥0）
√a/b=√a
/√b（a≥0，b≥0）
2
共軛因式
如果兩個含有根式的代數式的積不再含有根式，那麼這兩個代數式叫做共軛因式，也稱互為有理化根式。
1
同類二次根式
一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式後，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式。
2
合並同類二次根式
把幾個同類二次根式合並為一個二次根式就叫做合並同類二次根式。

⑶ 初中數學二次根式的常用化簡技巧

二次根式化簡，對於很多初學的同學來說，確實有些難度，不知如何下手，特別對於一些稍微復雜的一點的二次根式的化簡題，就更加無從動筆了。

很多家長，也是因為畢業多年，二次根式也忘記的差不多。當年初中數學基礎不差的家長，現在也只需要稍微多看幾遍，之前學過的解題方法，就撿回來了。

那麼，在二次根式的化簡過程中，除了掌握基本的運演算法則之外，還有哪些常用的化簡技巧，可以快速准確解題呢?

技巧三：利用分母有理化進行化簡，這也是常用的方法之一。

分母有理化，也就是分母套用平方差公式即可確定，分子和分母同時乘以一個什麼樣的二次根式。

這類題型而且特別多，各種變式題型也不少，同學們自己在平時做練習題的時候，要多思考，多總結。從簡單的基礎題型開始，逐步提升難度，慢慢的做一些拓展培優題型。舉一反三，熟能生巧，考試成績自然提高。

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⑷ 二次根式化簡技巧口訣

二次根式化簡技巧口訣如下：
1、首先，最簡二次根式中，不管是分子分母以及根號下的數字，都必須是整數，不是整數的要先轉換成整數，包括但不限於根號下不能有分數、分母不能為根式等。
2、根號內帶有幾又幾分之幾的，需要先將分數轉化成假分數，再分別對裡面的分子和分母進行簡化計算。
3、一個可以被分解成多個因子的數值，若是有平方算式，需要先分解出來，在進行簡化。
4、根號內帶有字母的，分別把數值和字母開根號，注意，字母開根號如果剛好是平算算術，一定要加上絕對值符號。因為根號開出來一定是正數或0。
5、還是分數，上下存在算術公式的，比如加減乘除之類的，先把分母化為整數再來計算。
6、最後，關於根號內帶有字母的算式，需要注意一點，開根號後，得到絕對值，需要分成兩種情況計算，否則就錯了。

⑸ 誰能告訴我二次根式計算的方法啊

二次根式的化簡與計算的策略與方法

二次根式是初中數學教學的難點內容，讀者在掌握二次根式有關的概念與性質後，進行二次根式的化簡與運算時，一般遵循以下做法：

①先將式中的二次根式適當化簡

②二次根式的乘法可以參照多項式乘法進行，運算中要運用公式 （ ， ）

③對於二次根式的除法，通常是先寫成分式的形式，然後通過分母有理化進行運算．

④二次根式的加減法與多項式的加減法類似，即在化簡的基礎上去括弧與合並同類項．

⑤運算結果一般要化成最簡二次根式．

化簡二次根式的常用技巧與方法

二次根式的化簡是二次根式教學的一個重要內容，對於二次根式的化簡，除了掌握基本概念和運演算法則外，還要掌握一些特殊的方法和技巧，會收到事半功倍的效果，下面通過具體的實例進行分類解析．

1．公式法

【例1】計算① ； ②

【解】①原式

②原式

【解後評注】以上解法運用了「完全平方公式」和「平方差公式」，從而使計算較為簡便．

2．觀察特徵法

【例2】計算：

【方法導引】若直接運用根式的性質去計算，須要進行兩次分母有理化，計算相當麻煩，觀察原式中的分子與分母，可以發現，分母中的各項都乘以 ，即得分子，於是可以簡解如下：

【解】原式 ．

【例3】 把下列各式的分母有理化．

（1） ；（2） （ ）

【方法導引】①式分母中有兩個因式，將它有理化要乘以兩個有理化因式那樣分子將有三個因式相等，計算將很繁，觀察分母中的兩個因式如果相加即得分子，這就啟示我們可以用如下解法：

【解】①原式



【方法導引】②式可以直接有理化分母，再化簡．但是，不難發現②式分子中 的系數若為「1」，那麼原式的值就等於「1」了！因此，②可以解答如下：

【解】②原式





3．運用配方法

【例4】化簡

【解】原式



【解後評注】注意這時是算術根，開方後必須是非負數，顯然不能等於「 」

4．平方法

【例5】化簡

【解】∵





∴ ．

【解後評注】對於這類共軛根式 與 的有關問題，一般用平方法都可以進行化簡

5．恆等變形公式法

【例6】化簡

【方法導引】若直接展開，計算較繁，如利用公式 ，則使運算簡化．

【解】原式





6．常值換元法

【例7】化簡

【解】令 ，則：

原式











7．裂項法

【例8】化簡

【解】原式各項分母有理化得

原式



【例9】化簡



【方法導引】這個分數如果直接有理化分母將十分繁鎖，但我們不難發現每一個分數的分子等於分母的兩個因數之和，於是則有如下簡解：

【解】原式







8．構造對偶式法

【例10】化簡

【解】構造對偶式，於是沒

，

則 ， ，

原式



9．由里向外，逐層化簡



【解】∵



而



∴原式

【解後評注】對多重根式的化簡問題，應採用由里向外，由局部到整體，逐層化簡的方法處理．

10．由右到左，逐項化簡

【例11】化簡



【方法導引】原式從右到左是層層遞進的關系，因此從右向左進行化簡．

【解】原式







．

【解後評注】平方差公式和整體思想是解答本題的關鍵，由平方差公式將多重根號逐層脫去，逐項化簡，其環節緊湊，一環扣一環，如果不具有熟練的技能是難以達到化簡之目的的．

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二次根式大小比較的常用方法

二次根式的化簡具有極強的技巧性，而在不求近似值的情況下比較兩個無理數（即二次根式）的大小同樣具有很強的技巧性，對初中生來說是一個難點，但掌握一些常見的方法對它的學習有很大的幫助和促進作用．

1．根式變形法

【例1】比較 與 的大小

【解】將兩個二次根式作變形得

，

∵ ，∴ 即

【解後評注】本解法依據是：當 ， 時，① ，則 ；②若 ，則

2．平方法

【例2】比較 與 的大小

【解】 ，

∵ ，∴

【解後評注】本法的依據是：當 ， 時，如果 ，則 ，如果 ，則 ．

3．分母有理化法

通過運用分母有理化，利用分子的大小來判斷其倒數的大小．

【例3】比較 與 的大小

【解】∵



又∵

∴

4．分子有理化法

在比較兩個無理數的差的大小時，我們通常要將其進行分子有理化，利用分母的大小來判斷其倒數的大小．

【例4】比較 與 的大小

【解】∵



又∵

∴ ．而

5．等式的基本性質法

【例5】比較 與 的大小

【解法1】∵



又



∴

即

【解後評注】本解法利用了下面兩個性質：①都加上同一個數後，兩數的大小關系不變．②非負底數和它們的二次冪的大小關系一致．

【解法2】將它們分別乘以這兩個數的有理化因式的積，得





又∵ ∴

【解後評注】本解法的依據是：都乘以同一個正數後，兩數的大小關系不變．

6．利用媒介值傳遞法

【例6】比較 與 的大小

【解】∵ ∴

又∵ ∴

∴

【解後評注】適當選擇介於兩個無理數之間的媒介法，利用數值的傳遞性進行比較．

7．作差比較法

在對兩數進行大小比較時，經常運用如下性質：

① ；②

【例7】比較 與 的大小

【解】∵



∴

8．求商比較法

與求差比較法相對應的還有一種比較的方法，即作商比較法，它運用的是如下性質，當 ， 時，則：

① ；②

【例8】比較 與 的大小．

【解】

∵

∴

∴

【解後評注】得上所述，含有根式的無理數大小的比較往往可採用多種方法，來求解．有時還需各種方法配合使用，其中根式變形法，平方法是最基本的，對於具體的問題要作具體分析，以求用最佳的方法解出正確的結果．

⑹ 二次根式的解題技巧

二次根式的加法和減法
1 同類二次根式
一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式後，如果它們的被開方數相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式。
2 合並同類二次根式
把幾個同類二次根式合並為一個二次根式就叫做合並同類二次根式。
3二次根式加減時，可以先將二次根式化為最簡二次根式，再將被開方數相同的進行合並
Ⅵ.二次根式的混合運算
1確定運算順序
2靈活運用運算定律
3正確使用乘法公式
4大多數分母有理化要及時
5在有些簡便運算中也許可以約分，不要盲目有理化
VII.分母有理化
分母有理化有兩種方法
I.分母是單項式
如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b
II.分母是多項式
要利用平方差公式
如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b
如圖
II.分母是多項式
要利用平方差公式
如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b
二次根式計算不難，主要是要靠仔細，平時要多加練習哦。掌握了解題方法，再加上靈活運用，再難的題也會快速解出來！

⑺ 二次根式的化簡方法講解 這些技巧建議收藏起來

1、乘法公式法，一般都是運用到平方差公式，這個過程中，可以化二次根式為整數。

關鍵是通過觀察數字特徵，找出可以套用乘法公式的部分，簡化計算步驟和難度。

2、拆項因式分解法。也就是分子或者分母，通過拆項的方法，因式分解，方便分子分母約分。那麼二次根式的因式分解方法，類似於整式的因式分解。

3、倒數法。也就是先算二次根式的倒數，解除結果後，再倒回來的一個計算方法。這個方法，應用特別廣發。一般特徵是，原式的分子可以化成單項式的形式，分母是一個多項式，若先算倒數而且方便約分，就適用這個方法。