如何用向量方法證明中線

❶ 怎麼用向量證明三角形中三條中線點

AD、BE、CF是△ABC的三條中線，用向量法求證：AD、BE、CF共點。
［證明］
令BE、CF相交於O，且BO＝mOE、CO＝nOF，其中m、n為非零實數。則：
向量BO＝m向量OE、向量CO＝n向量OF。
∴向量BC＝向量OC－向量OB＝向量BO－向量CO＝m向量OE－n向量OF，
向量FE＝向量OE－向量OF。
顯然有：向量BC＝2向量FE，∴m向量OE－n向量OF＝2（向量OE－向量OF），
∴（m－2）向量OE＝（n－2）向量OF，而向量OE、向量OF不共線，∴m－2＝n－2＝0，
∴m＝n＝2、∴BO＝2OE、CO＝2OF。
令AD、BE相交於G，利用上述結論，則有：BG＝2GE，又BO＝2OE，且O、G都在線段BE上，
∴O、G重合，∴AD、BE、CF共點。

❷ 用向量法證明三角形的中線交於一點

證法1
先做圖,做出過b,
c的兩條中線,分別交ac於m,交ab於n,所以m,n是ac,ab的中點.連接mn
設向量bp=λ向量pm,向量cp=μ向量pn(λ,μ為不等於0的實數)
向量bc=向量pc-向量pb=向量bp-向量cp=λ向量pm-μ向量pn,
向量nm=向量pm-向量pn,而向量bc=2向量nm
所以,λ向量pm-μ向量pn=2向量pm-2向量pn
即(λ-2)向量pm-(μ-2)向量pn=o向量
因為向量pm與向量pn不共線,所以λ=2,μ=2
所以向量bp=2向量pm
由此證得兩中線交點把bm分成2:1.同理可證另一條中線與bm的交點也有此性質,故三角形的三條中線交於一點，並平分每條比為1：2
得證.
證法2
作出一個三角形abc,設d,e,f分別是bc,ca,ab的中點,在平面上任取一點o,設向量oa=a,向量ob=b，向量oc=c
則向量od=1/2（b+c),向量of=1/2(a+b),向量oe=1/2(c+a).
再設p為ad上的三等分點，滿足向量ap=2向量pd，
則向量op=1/3向量oa+2/3od=1/2a+2/3
*
1/2(a+b)=1/3(a+b+c)
同理可證，p也是be，cf的三等分點，因此三條中線交於點p。
三角形的3中線交於一點，並平分每條比為1：2

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❸ 如何用向量證明三角形三條中線交於一點

假設CF與BE交於G點

現在需要證明的是：G點位於AD上：

根據梅氏定理：(CE/EA)(AB/BF)(FG/GC)=1

即：1*2(FG/GC)=1

即：FG/GC=1/2

故：CG=2CF/3

CF=(CA+CB)/2

故：CG=(CA+CB)/3

故：GD=CD-CG=CB/2-CG

=CB/2-(CA+CB)/3

=-CA/3+CB/6

=(-1/6)(2CA-CB)

AG=CG-CA=(CA+CB)/3-CA

=-2CA/3+CB/3

=(-1/3)(2CA-CB)

即：AG=2GD

即：AG、GD共線

即：A、G、D三點共線

即原結論得證

三角形的垂心定理：在三角形ABC中,求證：它的三條高交於一點。

證明：如圖：作BE⊥AC於點E,CF⊥AB於點F,且BE交CF於點H,連接AH並延長交BC於點D.現在我們只要證明AD⊥BC即可。

因為CF⊥AB,BE所以 四邊形BFEC為圓內接四邊形.四邊形AFHE為圓內接四邊形。

以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB由∠FAH=∠FCB得四邊形AFDC為圓內接四邊形所以∠AFC=∠ADC=90°即AD⊥BC。

❹ 請用向量的方法證明任何三角形三條中線共點。

設三角形是ABC，三個中線為AD、BE、CF

那麼，有向量AD＝1/2*（向量AC+向量AB）

向量BE=1/2*（向量BA+向量BC）

向量CF=1/2*（向量CA+向量CB）

由此，向量AD+向量BE+向量CF=0向量

即此，三向量可以構成一三角形，那麼其共點。

(4)如何用向量方法證明中線擴展閱讀：

當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ=0時，λa=0，方向任意。當a=0時，對於任意實數λ，都有λa=0。

當 |λ| >1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上伸長為原來的|λ|倍。當|λ|<1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ>0）或反方向（λ<0）上縮短為原來的 |λ|倍。

❺ 老師 如何用向量證明三角形三條中線共點

AD、BE、CF是△ABC的三條中線,用向量法求證：AD、BE、CF共點.
〔證明〕
令BE、CF相交於O,且BO＝mOE、CO＝nOF,其中m、n為非零實數.則：
向量BO＝m向量OE、向量CO＝n向量OF.
∴向量BC＝向量OC－向量OB＝向量BO－向量CO＝m向量OE－n向量OF,
向量FE＝向量OE－向量OF.
顯然有：向量BC＝2向量FE,∴m向量OE－n向量OF＝2（向量OE－向量OF）,
∴（m－2）向量OE＝（n－2）向量OF,而向量OE、向量OF不共線,∴m－2＝n－2＝0,
∴m＝n＝2,∴BO＝2OE、CO＝2OF.
令AD、BE相交於G,利用上述結論,則有：BG＝2GE,又BO＝2OE,且O、G都在線段BE上,
∴O、G重合,∴AD、BE、CF共點.

❻ 用向量方法證明三角形的中線交於同一點

下面提供您2種證法,請君自便,(向量表示符號弄不出,可能給您帶來閱讀等方面不便,在此深表歉意.)
證法1
先做圖,做出過b,c的兩條中線,分別交ac於m,交ab於n,所以m,n是ac,ab的中點.連接mn
設向量bp=λ向量pm,向量cp=μ向量pn(λ,μ為不等於0的實數)
向量bc=向量pc-向量pb=向量bp-向量cp=λ向量pm-μ向量pn,
向量nm=向量pm-向量pn,而向量bc=2向量nm
所以,λ向量pm-μ向量pn=2向量pm-2向量pn
即(λ-2)向量pm-(μ-2)向量pn=o向量
因為向量pm與向量pn不共線,所以λ=2,μ=2
所以向量bp=2向量pm
由此證得兩中線交點把bm分成2:1.同理可證另一條中線與bm的交點也有此性質,故三角形的三條中線交於一點，並平分每條比為1：2
得證.
證法2
作出一個三角形abc,設d,e,f分別是bc,ca,ab的中點,在平面上任取一點o,設向量oa=a,向量ob=b，向量oc=c
則向量od=1/2（b+c),向量of=1/2(a+b),向量oe=1/2(c+a).
再設p為ad上的三等分點，滿足向量ap=2向量pd，
則向量op=1/3向量oa+2/3od=1/2a+2/3*1/2(a+b)=1/3(a+b+c)
同理可證，p也是be，cf的三等分點，因此三條中線交於點p。
三角形的3中線交於一點，並平分每條比為1：2