圓周角定理運用方法技巧

⑴ 圓周角定理及其推論

圓周角定理指的是一條弧所對圓周角等於它所對圓心角的一半。這一定理叫做圓周角定理。

定理推論指的是在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，相等的圓周角所對的弧也相等。

定理內容:
圓周角的度數等於它所對弧上的圓心角度數的一半，同弧或等弧所對的圓周角相等。
圓周角：頂點在圓上，並且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角，這一定義實質上反映的是圓周角所具備的兩個特徵：①頂點在圓上，②兩邊都和圓相交。這兩個條件缺一不可。

圖二

⑵ 圓周角定理是什麼

圓周角定理：同弧所對的圓周角等於它所對的圓心的角的一半。

圓周角定理的推論：

同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等弧。

半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧的半圓，所對的弦是直徑。

若三角形一邊上的中線等於這邊的一半，那麼這個三角形是直角三角形。

(2)圓周角定理運用方法技巧擴展閱讀

當圓心O在∠BAC的一邊上時，即A、O、B在同一直線上時：

∵OA、OC是半徑

解：∴OA=OC

∴∠BAC=∠ACO（等邊對等角）

∵∠BOC是△AOC的外角

∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC

⑶ 怎樣證明圓周角定理

圓周角定理：一條弧所對圓周角等於它所對圓心角的一半

證明：

已知在⊙O中，∠BOC與圓周角∠BAC同對弧BC，求證：∠BOC=2∠BAC.

證明：

情況1：

如圖1，當圓心O在∠BAC的一邊上時，即A、O、B在同一直線上時：

圖1

連接AO，並延長AO交⊙O於D連接OA,OB。

解：∵OA、OB、OC、是半徑

∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO（等邊對等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）

∵∠DOB、∠DOC分別是△AOB、△AOC的外角

∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和）

∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和）

∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC

從而得證：∠BOC=2∠BAC.

⑷ 圓周角定理的定理證明

圓周角定理：一條弧所對圓周角等於它所對圓心角的一半

證明：

已知在⊙O中，∠BOC與圓周角∠BAC同對弧BC，求證：∠BOC=2∠BAC.

證明：

情況1：如圖1，當圓心O在∠BAC的一邊上時，即A、O、B在同一直線上時：

∵OA、OC是半徑

解：∴OA=OC

∴∠BAC=∠ACO（等邊對等角）

∵∠BOC是△AOC的外角

∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC

圖1

(4)圓周角定理運用方法技巧擴展閱讀：

定理推論

1.一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半;

2.圓周角的度數等於它所對的弧度數的一半;

3.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等;相等的圓周角所對的弧也相等。

4.半圓(直徑)所對的圓周角是直角。

5.90°的圓周角所對的弦是直徑。

6.等弧對相等的圓周角。(因為相等的弧只有一個圓心角)

注意:在圓中，同一條弦所對的圓周角有無數個。

⑸ 圓周角的定理推論

圓周角定理:在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都等於這條弧所對的圓心角的一半。
證明略（分類思想，3種，半徑相等）
①圓周角度數定理：圓周角的度數等於它所對的弧的度數的一半。
②同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，相等圓周角所對的弧也相等。（不在同圓或等圓中其實也相等的。註：僅限這一條。 ）
③半圓（或直徑）所對圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑。
④圓的內接四邊形的對角互補，並且任何一個外角都等於它的內對角。
⑤在同圓或等圓中，圓周角相等<=>弧相等<=>弦相等<=>弦心距相等。

⑹ 圓周角公式

圓周角公式：A=vf*kl。圓周角定理指的是一條弧所對圓周角等於它所對圓心角的一半。這一定理叫做圓周角定理。該定理反映的是圓周角與圓心角的關系。
圓是一種幾何圖形。根據定義，通常用圓規來畫圓。同圓內圓的直徑、半徑的長度永遠相同，圓有無數條半徑和無數條直徑。圓是軸對稱、中心對稱圖形。對稱軸是直徑所在的直線。同時，圓又是「正無限多邊形」，而「無限」只是一個概念。當多邊形的邊數越多時，其形狀、周長、面積就都越接近於圓。所以，世界上沒有真正的圓，圓實際上只是一種概念性的圖形。

⑺ 圓周角定理的內容

一條弧所對圓周角等於它所對圓心角的一半。這一定理叫做圓周角定理

推論有：
1.一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半；
2.圓周角的度數等於它所對的弧度數的一半；
3.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；相等的圓周角所對的弧也相等。
4.半圓（直徑）所對的圓周角是直角。
5.90°的圓周角所對的弦是直徑。
注意：在圓中，同一條弦所對的圓周角有兩個，一個是優弧所對的角，一個是劣弧所對的角。

⑻ 圓心角定理 圓周角定理

圓心角定理：在同圓等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等,所對弦的弦心距也相等．
圓周角定理：①圓周角度數定理,圓周角的度數等於它所對的弧的度數的一半
②同圓或等圓中,圓周角等於它所對的弧上的圓心角的一半
③同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等,相等圓周角所對的弧也相等
④半圓（或直徑）所對圓周角是直角,90°的圓周角所對的弦是直徑
⑤圓的內接四邊形的對角互補,並且任何一個外角都等於它的內對角.

⑼ 數學圓周角的知識

1.
圓周角的概念
頂點在圓上，並且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。
圓周角必須具備兩個特徵：（1）頂點在圓上；（2）角的兩邊都和圓相交，二者缺一不可。
2.
圓周角定理
一條弧所對的圓周角等於它所對圓心角的一半。
定理的證明要分類，因為一條弧所對的圓心角唯一，而它所對的圓周角卻有無數個，這無數個圓周角與圓心位置有三種：（1）圓心在圓周角的一邊上；（2）圓心在圓周角的內部；（3）圓心在圓周角外部。
3.
圓內角
角的頂點在圓內的角叫圓內角。
圓內角的度數等於它所對弧與它對頂角所對弧的度數之和的一半。
如下圖圓內角∠3的度數為∠1＋∠2，∠1的度數是
的一半，∠2的度數是
的一半。
4.
圓外角
角的頂點在圓外，並且兩邊都和圓相交的角，叫圓外角。
圓外角的度數等於它所截兩條弧度數之差的一半。
如下圖，圓外角∠3的度數為∠2－∠1，∠2的度數是
的一半，∠1的度數是
的一半。
5.
四邊形的外角，四邊形的對角
四邊形一邊延長線與相鄰一邊組成的角叫四邊形的外角。
四邊形中不相鄰的兩個角互稱為對角。
所有頂點都在同一個圓上的多邊形叫圓內接多邊形，這個圓叫這個多邊形的外接圓。
6.
圓內接四邊形的性質定理
圓的內接四邊形的對角互補，並且任何一個外角都等於它的內對角。

例1.
如圖，四邊形ABCD內接於⊙O，∠BOD＝110°，則∠BCD＝_________。
解：∵∠BOD＝110°，∴∠BAD＝55°
又∠BAD＋∠BCD＝180°
∴∠BCD＝180°－55°＝125°
例2.
已知：如圖，∠APC＝∠BPC＝60°，則∠BAC＝__________。
解：∵∠APC＝∠BPC＝60°
∴∠APB＝120°，BC＝AC
∵四邊形APBC內接於⊙O
∴∠ACB＝60°
∴△ABC是等邊三角形
∴∠BCA＝60°，故填60°
點撥：本題較綜合，考察：①相等的圓周角所對弦相等，②圓內接四邊形對角互補，③一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
例3.
半徑為4的圓上一段弧長等於半徑為2的圓的周長，則這段弧所對圓心角是___________。
解：半徑為2的圓的周長是
，半徑為4的圓的周長為
∴這段弧長正好是周長的一半
∴這段弧所對圓心角180°
故填180°
點撥：本題有難度，要理解圓心角的度數等於它所對弧度數。

⑽ 圓周角的定理及4個推論

圓周角的定理及4個推論如下：

3.三角形的三條角平分線交於一點，稱作三角形內心。三角形的內心到三角形三邊的距離相等。

4.三角形一個角的平分線，這個角平分線其對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應成比例。