正弦定理的技巧和方法

❶ 正弦定理是什麼 內容及證明方法

正弦定理是三角學中的一個基本定理，它指出「在任意一個平面三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等於外接圓的直徑」，即a/sinA=b/sinB=c/sinC= 2r=D（r為外接圓半徑，D為直徑）。

正弦定理的證明方法

正弦定理的作用

正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應角的正弦值之間的一個關系式。由正弦函數在區間上的單調性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數量關系。

一般地，把三角形的三個角 A 、 B 、 C 和它們的對邊 a 、 b 、 c 叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具

在解三角形中，有以下的應用領域：

已知三角形的兩角與一邊，解三角形。

已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角，解三角形。

運用 a : b : c =sin A :sin B :sin C 解決角之間的轉換關系。

物理學中，有的物理量可以構成矢量三角形 。因此, 在求解矢量三角形邊角關系的物理問題時, 應用正弦定理，常可使一些本來復雜的運算，獲得簡捷的解答。

❷ 證明正弦定理的幾種方法

步驟1.
在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，
b/sinB=c/sinC
步驟2.
證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.
作直徑BD交⊙O於D.
連接DA.
因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度
因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等於∠C.
所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R
類似可證其餘兩個等式。
步驟3
記向量i
，使i垂直於AC於C，△ABC三邊AB,BC,CA為向量a,b,c
∴a+b+c=0
則i（a+b+c）
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)
=-asinC+csinA=0
接著得到正弦定理

❸ 正弦定理的幾種證明方法

為了對一個數學結論能夠充分理解,必須明確它的原理,它的來龍去脈.只有這樣才能真正地了解數學概念的內涵和外延,從而學好數學.正弦定理:在△ABC中,設BC=a,AC=b,AB=c,則a/sinA=b/sinB=c/sinC它的證明方法有很多種,本文列舉六種,供同學們參考.

❹ 正弦定理的證明方法

證明方法有四種：
1、利用三角形高來證明正弦定理；
2、利用三角形面積來證明正弦定理；
3、向量法證明正弦定理；
4、外接圓證明正弦定理；
具體證明方面見下圖：

❺ 正弦定理證明推導方法

正弦定理應用的學科是數學，使用的領域范圍是幾何。下面是我給大家整理的正弦定理證明推導方法，供大家參閱!
正弦定理證明推導方法
顯然，只需證明任意三角形內，任一角的邊與它所對應的正弦之比值為該三角形外接圓直徑即可。

現將△ABC，做其外接圓，設圓心為O。我們考慮∠C及其對邊AB。設AB長度為c。若

1 ∠C為直角，則AB就是⊙O的直徑，即c= 2R。

正弦定理∵

(特殊角正弦函數值)

正弦定理∴

2 若∠C為銳角或鈍角，過B作直徑BC`'交 ⊙O於C`，連接C'A，顯然BC'= 2R。

∵在同圓或等圓中直徑所對的圓周角是直角。∴∠C'AB是直角。

2A 若∠C為銳角，則C'與C落於AB的同側，此時

∵在同圓或等圓中同弧所對的圓周角相等。

∴∠C'=∠C

正弦定理∴

，有

。

示意圖2B

若∠C為鈍角，則C'與C落於AB的異側，此時∠C'=180°-∠C，亦可推出

。

在△DAB中，應用正弦函數定義，知

因此，對任意三角形的任一角及其對邊，均有上述結論。

考慮同一個三角形內的三個角及三條邊，應用上述結果，分別列式可得

。故對任意三角形，定理得證。

實際上該定理也可以用向量方法證明。
正弦定理定義
正弦定理(The Law of Sines)是三角學中的一個基本定理，它指出“在任意一個平面三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等於外接圓半徑的2倍”，即a/sinA = b/sinB =c/sinC = 2R(R為外接圓半徑)。正弦定理是解三角形的重要工具。正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應角的正弦值之間的一個關系式。一般地，把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素。一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有兩解、一解、無解三種情況，可參考三角形性質、鈍角三角形性質進行判斷。
正弦定理意義
正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應角的正弦值之間的一個關系式。由正弦函數在區間上的單調性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中邊與角的一種數量關系。

一般地，把三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。正弦定理是解三角形的重要工具。
正弦定理實際應用
1、在解三角形中，有以下的應用領域：

已知三角形的兩角與一邊，解三角形。

已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角，解三角形。

運用a:b:c=sinA:sinB:sinC解決角之間的轉換關系。

注意：

銳角三角形解三角形時，已知兩角與一邊，三角形是確定的，利用正弦定理解三角形時，其解是唯一的;已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，由於該三角形具有不穩定性，所以其解不確定，可結合平面幾何作圖的方法及“大邊對大角，大角對大邊”定理和三角形內角和定理去考慮解決問題。

一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有兩解、一解、無解三種情況，可參考三角形性質、鈍角三角形性質進行判斷。若已知A、A的對邊a、A與a的夾邊C，則：

對於鈍角三角形，

若a≤b，則無解;

若a>b，則有一解;

對於銳角三角形，

若a

若a=bsinA，則有一解;

若bsinA

若a≥b，則有一解。

鈍角三角形2、三角形面積的計算。

❻ 高中正弦和餘弦公式定理

正弦定理（The Law of Sines）是三角學中的一個基本定理，它指出「在任意一個平面三角形中，各邊和它所對角的正弦值的比相等且等於外接圓的直徑」，即a/sinA=b/sinB=c/sinC= 2r=D（r為外接圓半徑，D為直徑）。

餘弦定理，歐氏平面幾何學基本定理。餘弦定理是描述三角形中三邊長度與一個角的餘弦值關系的數學定理，是勾股定理在一般三角形情形下的推廣，勾股定理是餘弦定理的特例。

餘弦定理是揭示三角形邊角關系的重要定理，直接運用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求三角的問題，若對餘弦定理加以變形並適當移於其它知識，則使用起來更為方便、靈活。cos A=(b²+c²-a²)/2bc

(6)正弦定理的技巧和方法擴展閱讀：

在△ABC中，

sin²A+sin²B-sin²C

=[1-cos（2A）]/2+[1-cos（2B）]/2-[1-cos（2C）]/2（降冪公式）

=-[cos（2A）+cos（2B）]/2+1/2+1/2-1/2+[cos（2C）]/2

=-cos（A+B）cos（A-B）+[1+cos（2C）]/2（和差化積）

=-cos（A+B）cos（A-B）+cos²C（降冪公式）

=cosC*cos（A-B）-cosC*cos（A+B）（∠A+∠B=180°-∠C以及誘導公式）

=cosC[cos(A-B)-cos（A+B）]

=2cosC*sinA*sinB（和差化積）（由此證明餘弦定理角元形式）

設△ABC的外接圓半徑為R

∴（RsinA）²+（RsinB）²-（RsinC）²=2（RsinA）*（RsinB）*cosC

∴a²+b²-c²=2ab*cosC（正弦定理）

∴c²=a²+b²-2ab*cosC

❼ 正弦定理的證明方法

正弦定理的證明方法一

如圖1,△ABC中,AD平分乙A交BC於D,由三角形內角平分線有AB BDAC一DC由正弦定理有:由(1)(2)(3,得:韶=韶幼朋=Ac:.△ABc為等腰三角形。證明‘三角證法,:BE平分匕B二器二黯…(l)AB AC AB滋nC舀石乙二蕊麗勸元二舀麗””’‘(2)CF平分二C幼器二默…(2);EF//BC

用餘弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2

COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

SINc^2=1-COSc^2

SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2

=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2

同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2

得證

正弦定理：三角形ABC中 BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC

證明如下：在三角形的外接圓里證明會比較方便

例如，用BC邊和經過B的直徑BD，構成的直角三角形DBC可以得到：

2RsinD=BC (R為三角形外接圓半徑)

角A=角D

得到：2RsinA=BC

同理：2RsinB=AC，2RsinC=AB

這樣就得到正弦定理了

正弦定理的.證明方法二

一種是用三角證asinB=bsinA

用面積證

用幾何法，畫三角形的外接圓

聽說能用向量證，咋么證呢?

三角形ABC為銳角三角形時，過A作單位向量j垂直於向量AB，則j 與向量AB夾角為90，j與向量BC夾角為(90-B),j與向量CA夾角為(90+A),設AB=c,BC=a,AC=b,

因為AB+BC+CA=0

即j*AB+J*BC+J*CA=0

|j||AB|cos90+|j||BC|cos(90-B)+|j||CA|cos(90+A)=0

所以asinB=bsinA

用餘弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2

COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

SINc^2=1-COSc^2

SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2

=[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2

同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2

得證用餘弦定理：a^2+b^2-2abCOSc=c^2 COSc=(a^2+b^2-c^2)/2ab SINc^2=1-COSc^2 SINc^2/c^2=4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2*c^2 =[2(a^2*b^2+b^2*c^2+c^2*a^2)-a^2-b^2-c^2]/4a^2*b^2*c^2 同理可推倒得SINa^2/a^2=SINb^2/b^2=SINc^2/c^2 得證

正弦定理證明具體步驟

步驟1.

在銳角△ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足為點H

CH=a·sinB

CH=b·sinA

∴a·sinB=b·sinA

得到 a/sinA=b/sinB

同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC

步驟2.

證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：

如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.

作直徑BD交⊙O於D.

連接DA.

因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度

因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等於∠C.

所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 類似可證其餘兩個等式。

餘弦定理

平面向量證法：

∵如圖，有a+b=c(平行四邊形定則：兩個鄰邊之間的對角線代表兩個鄰邊大小)

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ)

(以上粗體字元表示向量)

又∵Cos(π-θ)=-CosC

∴c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ(注意：這里用到了三角函數公式)

再拆開，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC

同理可證其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是將CosC移到左邊表示一下。

平面幾何證法：

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a

則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根據勾股定理可得：

AC^2=AD^2+DC^2

b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2

b^2=sinB²·c²+a^2+cosB²·c^2-2ac*cosB

b^2=(sinB^2+cosB^2)*c^2-2ac*cosB+a^2

b^2=c^2+a^2-2ac*cosB

cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac

---

❽ 正弦定理sinA/a=sinB/b=sinC/c=2R是怎麼證明的

1. 在銳角△ABC中,設BC=a,AC=b,AB=c.作CH⊥AB垂足為點H
   CH=a·sinB
   CH=b·sinA
   ∴a·sinB=b·sinA
   得到
   a/sinA=b/sinB
   同理,在△ABC中,
   b/sinB=c/sinC

2. 
   步驟2.
   證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
   如圖,任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.
   作直徑BD交⊙O於D.
   連接DA.
   因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠DAB=90度
   因為同弧所對的圓周角相等,所以∠D等於∠C.
   所以c/sinC＝c/sinD=BD(直徑)=2R

❾ 高中正弦餘弦定理主要題型以及做題方法

1.根據正弦定理和餘弦定理公式解三角形（餘弦定理中要注意驕傲的的取值個數）
2.三角形解的個數的討論：若已知a,b,A,由正弦定理得sinB=(b/a)sinA=m,由此試進一步求三角形時，需結合sinB的取值范圍及A+B＜180°來討論：
（1）若m＞1時，則不存在這樣的角B，故三角形無解；
（2）若m≤1，則在[0°，180°]內存在角B，但此時三角形是否有解還需繼續討論。
①當m=1時，則B=90°，
a.若此時A＜90°，則三角形有一解；
b.
.若此時A≥90°，則三角形無解。
②當0＜m＜1時，滿足sinB=m的B為銳角時設為α，B為鈍角時設為β。則
a.當A+α＞180°時，三角形無解；
b.當A+α＜180°時，三角形有解；
c..當A+β＜180°時，三角形有兩解；
d.當A+β≥180°時，三角形無解。
3.利用正弦定理和餘弦定理判斷三角形的形狀（主要是公式的換算）
4利用正弦定理和餘弦定理證明恆等式（主要是公式的換算）
5.求三角形的面積：公式：S△=½ah^a=½absinC=(abc)/4R=½（a+b+c)r=√p(p-a)(p-b)(p-c)
(海倫公式）=½√（
|向量AB|×|向量AC|)^2-（向量AB×向量AC）^2=2RsinAsinBsinC=(a^2sinBsinC)/2sinA
其中r為△ABC內切圓半徑，R為△ABC外接圓半徑，P=½（a+b+c)
6應用舉例：①測量距離
②測量高度
③測量角度