數列求通項的方法與技巧

Ⅰ 數列求通項的方法總結

按一定次序排列的一列數稱為數列，而將數列{an} 的第n項用一個具體式子（含有參數n）表示出來，稱作該數列的通項公式。為大家總結數列求通項的方法，一起來看看吧！

一、累差法

遞推式為：an+1=an+f(n)(f(n)可求和)

思路：:令n=1,2,…,n-1可得

a2-a1=f(1)

a3-a2=f(2)

a4-a3=f(3)

……

an-an-1=f(n-1)

將這個式子累加起來可得

an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)

∵f(n)可求和

∴an=a1+f(1)+f(2)+ …+f(n-1)

當然我們還要驗證當n=1時,a1是否滿足上式

例1、已知數列{a}中,a1=1,an+1=an+2,求an

解： 令n=1,2,…,n-1可得

a2-a1=2

a3-a2=22

a4-a3=23

……

an-an-1=2n-1

將這個式子累加起來可得

an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)

∵f(n)可求和

∴an=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1)

當n=1時,a1適合上式

故an=2n-1

二、累商法

遞推式為：an+1=f(n)an（f(n)要可求積）

思路：令n=1,2, …,n-1可得

a2/a1=f(1)

a3/a2=f(2)

a4/a3=f(3)

……

an/an-1=f(n-1)

將這個式子相乘可得an/a1=f(1)f(2) …f(n-1)

∵f(n)可求積

∴an=a1f(1)f(2) …f(n-1)

當然我們還要驗證當n=1時，a1是否適合上式

例2、在數列{an}中,a1=2,an+1=(n+1)an/n,求an

解： 令n=1,2, …,n-1可得

a2/a1=f(1)

a3/a2=f(2)

a4/a3=f(3)

……

an/an-1=f(n-1)

將這個式子相乘後可得an/a1=2/1×3/24×/3×…×n/(n-1)

即an=2n

當n=1時，an也適合上式

∴an=2n

三, 構造法

1、遞推關系式為an+1=pan+q (p,q為常數)

思路：設遞推式可化為an+1+x=p(an+x),得an+1=pan+(p-1)x,解得x=q/(p-1)

故可將遞推式化為an+1+x=p(an+x)

構造數列{bn},bn=an+q/(p-1)

bn+1=pbn即bn+1/bn=p,{bn}為等比數列.

故可求出bn=f(n)再將bn=an+q/(p-1)代入即可得an

例3、(06重慶)數列{an}中,對於n>1(nN)有an=2an-1+3,求an

解：設遞推式可化為an+x=2(an-1+x),得an=2an-1+x,解得x=3

故可將遞推式化為an+3=2(an-1+3)

構造數列{bn},bn=an+3

bn=2bn-1即bn/bn-1=2,{bn}為等比數列且公比為3

bn=bn-1·3,bn=an+3

bn=4×3n-1

an+3=4×3n-1,an=4×3n-1-1

2、遞推式為an+1=pan+qn(p,q為常數)

思路：在an+1=pan+qn兩邊同時除以qn+1得

an+1/qn+1=p/qan/qn+i/q

構造數列{bn},bn=an/qn可得bn+1=p/qbn+1/q

故可利用上類型的解法得到bn=f(n)

再將代入上式即可得an

例4、數列{an}中,a1+5/6,an+1=(1/3)an+(1/2)n,求an

解： 在an+1=(1/3)an+(1/2)n兩邊同時除以(1/2)n+1得

2n+1an+1=(2/3)×2nan+1

構造數列{bn},bn=2nan可得bn+1=(2/3)bn+1

故可利用上類型解法解得bn=3-2×(2/3)n

2nan=3-2×(2/3)n

an=3×(1/2)n-2×(1/3)n

3、遞推式為：an+2=pan+1+qan（p,q為常數）

思路：設an+2=pan+1+qan變形為an+2-xan+1=y(an+1-xan)

也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an，則可得到x+y=p,xy= -q

解得x,y，於是｛bn｝就是公比為y的等比數列（其中bn=an+1-xan）

這樣就轉化為前面講過的類型了．

例5、已知數列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=(2/3)·an+1+(1/3)·an,求an

解：設an+2=(2/3)an+1+(1/3)an可以變形為an+2-xan+1=y(an+1-xan)

也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an，則可得到x+y=2/3,xy= -1/3

可取x=1,y= -1/3

構造數列｛bn｝，bn=an+1-an

故數列｛bn｝是公比為-1/3的`等比數列

即bn=b1(-1/3)n-1

b1=a2-a1=2-1=1

bn=(-1/3)n-1

an+1-an=(-1/3)n-1

故我們可以利用上一類型的解法求得an=1+3/4×[1-(-1/3)n-1](nN*)

例題

1、利用sn和n的關系求an

思路：當n=1時，an=sn

當n≥2 時, an=sn-sn-1

例6、已知數列前項和s=n2+1,求{an}的通項公式.

解：當n=1時，an=sn＝2

當n≥2 時, an=sn-sn-1＝n+1-[(n-1)2+1]=2n-1

而n=1時，a1=2不適合上式

∴當n=1時，an=2

當n≥2 時, an=2n-1

2、利用sn和an的關系求an

思路：利用an=sn-sn-1可以得到遞推關系式，這樣我們就可以利用前面講過的方法求解

例7、在數列｛an｝中，已知sn=3+2an，求an

解：即an=sn-sn-1=3+2an-(3+2an-1)

an=2an-1

∴｛an｝是以2為公比的等比數列

∴an=a1·2n-1= -3×2n-1

2、用不完全歸納法猜想, 用數學歸納法證明.

思路:由已知條件先求出數列前幾項，由此歸納猜想出an，再用數學歸納法證明

例8、(2002全國高考)已知數列{an}中,an+1=a2n-nan+1,a1=2,求an

解：由已知可得a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,a5=6

由此猜想an=n+1，下用數學歸納法證明：

當n=1時，左邊＝2，右邊＝2，左邊＝右邊

即當n=1時命題成立

假設當n=k時，命題成立，即ak=k+1

則 ak+1=a2k-kak+1

=(k+1)2-k(k+1)+1

=k2+2k+1-k2-2k+1

=k+2

=(k+1)+1

∴當n=k+1時，命題也成立．

綜合(1),(2),對於任意正整數有an=n+1成立

即an=n+1

Ⅱ 計算數列通項公式有哪些方法

一、題目已知或通過簡單推理判斷出是等比數列或等差數列，直接用其通項公式。

二，已知數列的前n項和，用公式

三、已知an與sn的關系時，通常用轉化的方法，先求出sn與n的關系，再由上面的(二)方法求通項公式。

四、用累加、累積的方法求通項公式
對於題中給出an與an+1、an-1的遞推式子，常用累加、累積的方法求通項公式。

Ⅲ 數列求通項的七種方法

一、累差法遞推式為：an+1=an+f(n)(f(n)可求和)思路：:令n=1,2,…,n-1可得a2-a1=f(1)a3-a2=f(2)a4-a3=f(3)……an-an-1=f(n-1)將這個式子累加起來可得an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)∵f(n)可求和∴an=a1+f(1)+f(2)+ …+f(n-1)當然我們還要驗證當n=1時,a1是否滿足上式例1、已知數列{a}中,a1=1,an+1=an+2,求an 令n=1,2,…,n-1可得a2-a1=2a3-a2=22a4-a3=23……an-an-1=2n-1將這個式子累加起來可得an-a1=f(1)+f(2)+…+f(n-1)∵f(n)可求和∴an=a1+f(1)+f(2)+…+f(n-1)當n=1時,a1適合上式故an=2n-1
二、累商法遞推式為：an+1=f(n)an（f(n)要可求積）思路：令n=1,2, …,n-1可得a2/a1=f(1)a3/a2=f(2)a4/a3=f(3)……an/an-1=f(n-1)將這個式子相乘可得an/a1=f(1)f(2) …f(n-1)∵f(n)可求積∴an=a1f(1)f(2) …f(n-1)當然我們還要驗證當n=1時，a1是否適合上式例2、在數列{an}中,a1=2,an+1=(n+1)an/n,求an 令n=1,2, …,n-1可得a2/a1=f(1)a3/a2=f(2)a4/a3=f(3)……an/an-1=f(n-1)將這個式子相乘後可得an/a1=2/1×3/24×/3×…×n/(n-1)即an=2n當n=1時，an也適合上式∴an=2n
三,構造法1、遞推關系式為an+1=pan+q (p,q為常數)思路：設遞推式可化為an+1+x=p(an+x),得an+1=pan+(p-1)x,解得x=q/(p-1)故可將遞推式化為an+1+x=p(an+x)構造數列{bn},bn=an+q/(p-1)bn+1=pbn即bn+1/bn=p,{bn}為等比數列.故可求出bn=f(n)再將bn=an+q/(p-1)代入即可得an例3、(06重慶)數列{an}中,對於n>1(n?N)有an=2an-1+3,求an設遞推式可化為an+x=2(an-1+x),得an=2an-1+x,解得x=3故可將遞推式化為an+3=2(an-1+3)構造數列{bn},bn=an+3bn=2bn-1即bn/bn-1=2,{bn}為等比數列且公比為3bn=bn-1·3,bn=an+3bn=4×3n-1an+3=4×3n-1,an=4×3n-1-12、遞推式為an+1=pan+qn(p,q為常數)思路：在an+1=pan+qn兩邊同時除以qn+1得an+1/qn+1=p/qan/qn+i/q構造數列{bn},bn=an/qn可得bn+1=p/qbn+1/q故可利用上類型的解法得到bn=f(n)再將代入上式即可得an例4、數列{an}中,a1+5/6,an+1=(1/3)an+(1/2)n,求an 在an+1=(1/3)an+(1/2)n兩邊同時除以(1/2)n+1得2n+1an+1=(2/3)×2nan+1構造數列{bn},bn=2nan可得bn+1=(2/3)bn+1故可利用上類型解法解得bn=3-2×(2/3)n2nan=3-2×(2/3)nan=3×(1/2)n-2×(1/3)n3、遞推式為：an+2=pan+1+qan（p,q為常數）思路：設an+2=pan+1+qan變形為an+2-xan+1=y(an+1-xan)也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an，則可得到x+y=p,xy= -q解得x,y，於是｛bn｝就是公比為y的等比數列（其中bn=an+1-xan）這樣就轉化為前面講過的類型了．例5、已知數列{an}中,a1=1,a2=2,an+2=(2/3)·an+1+(1/3)·an,求an設an+2=(2/3)an+1+(1/3)an可以變形為an+2-xan+1=y(an+1-xan)也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an，則可得到x+y=2/3,xy= -1/3可取x=1,y= -1/3構造數列｛bn｝，bn=an+1-an故數列｛bn｝是公比為-1/3的等比數列即bn=b1(-1/3)n-1b1=a2-a1=2-1=1bn=(-1/3)n-1an+1-an=(-1/3)n-1故我們可以利用上一類型的解法求得an=1+3/4×[1-(-1/3)n-1](n?N*)
四、利用sn和n、an的關系求an1、利用sn和n的關系求an思路：當n=1時，an=sn當n≥2 時, an=sn-sn-1例6、已知數列前項和s=n2+1,求{an}的通項公式.當n=1時，an=sn＝2當n≥2 時, an=sn-sn-1＝n+1-[(n-1)2+1]=2n-1而n=1時，a1=2不適合上式∴當n=1時，an=2當n≥2 時, an=2n-12、利用sn和an的關系求an思路：利用an=sn-sn-1可以得到遞推關系式，這樣我們就可以利用前面講過的方法求解例7、在數列｛an｝中，已知sn=3+2an，求an即an=sn-sn-1=3+2an-(3+2an-1)an=2an-1∴｛an｝是以2為公比的等比數列∴an=a1·2n-1= -3×2n-1五、用不完全歸納法猜想,用數學歸納法證明.思路:由已知條件先求出數列前幾項，由此歸納猜想出an，再用數學歸納法證明例8、(2002全國高考)已知數列{an}中,an+1=a2n-nan+1,a1=2,求an由已知可a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,a5=6由此猜想an=n+1，下用數學歸納法證明：當n=1時，左邊＝2，右邊＝2，左邊＝右邊即當n=1時命題成立假設當n=k時，命題成立，即ak=k+1則 ak+1=a2k-kak+1=(k+1)2-k(k+1)+1=k2+2k+1-k2-2k+1=k+2=(k+1)+1∴當n=k+1時，命題也成立．綜合(1),(2),對於任意正整數有an=n+1成立即an=n+1
2

Ⅳ 高考中求數列的通項公式共有幾種方法。

高考中求數列的通項公式主要有以下七種方法，具體情況說明如下：

1. 公式法，當題意中知道，某數列的前n項和sn，則可以根據公式求得an=sn-s(n-1).

2. 待定系數法：若題目特徵符合遞推關系式a1＝A,an＋1＝Ban＋C(A,B,C均為常數，B≠1,C≠0)時，可用待定系數法構造等比數列求其通項公式。

3. 逐項相加法：若題目特徵符合遞推關系式a1＝A(A為常數)，an+1=an+f(n)時，可用逐差相加法求數列的通項公式。

4. 逐項連乘法：若題目特徵符合遞推關系式a1=A（A為常數）,an+1=f(n)•an時，可用逐比連乘法求數列的通項公式。

5. 倒數法：若題目特徵符合遞推關系式a1=A,Ban+Can+1+Dan·an+1=0，(A,B,C,D均為常數)時，可用倒數法求數列的通項公式。

6. 其他觀察法或歸納法等。

Ⅳ 求數列通項公式的方法

在高考中數列部分的考查既是重點又是難點，不論是選擇題或填空題中對基礎知識的檢驗，還是壓軸題中與其他章節知識的綜合，抓住數列的通項公式通常是解題的關鍵。
求數列通項公式常用以下幾種方法：
一、題目已知或通過簡單推理判斷出是等比數列或等差數列，直接用其通項公式。
例：在數列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求該數列的通項公式an。
解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出數列{an}為a1=1，d=2的等差數列。所以an=2n-1。此類題主要是用等比、等差數列的定義判斷，是較簡單的基礎小題。
二、已知數列的前n項和，用公式
s1 (n=1)
sn-sn-1 (n2)
例：已知數列{an}的前n項和sn=n2-9n，第k項滿足5
(a) 9 (b) 8 (c) 7 (d) 6
解：∵an=sn-sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8 ∴k=8 選 (b)
此類題在解時要注意考慮n=1的情況。
三、已知an與sn的關系時，通常用轉化的方法，先求出sn與n的關系，再由上面的(二)方法求通項公式。
例：已知數列{an}的前n項和sn滿足an=snsn-1(n2)，且a1=-，求數列{an}的通項公式。
解：∵an=snsn-1(n2)，而an=sn-sn-1，snsn-1=sn-sn-1，兩邊同除以snsn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-} 是以-為首項，-1為公差的等差數列，∴-= -，sn= -，
再用(二)的方法：當n2時，an=sn-sn-1=-，當n=1時不適合此式，所以，
- (n=1)
- (n2)
四、用累加、累積的方法求通項公式
對於題中給出an與an+1、an-1的遞推式子，常用累加、累積的方法求通項公式。
例：設數列{an}是首項為1的正項數列，且滿足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求數列{an}的通項公式
解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解為[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0
又∵{an}是首項為1的正項數列，∴an+1+an ≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,這n-1個式子，將其相乘得：∴ -=-，
又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈n*)

五、用構造數列方法求通項公式
題目中若給出的是遞推關系式，而用累加、累積、迭代等又不易求通項公式時，可以考慮通過變形，構造出含有 an(或sn)的式子，使其成為等比或等差數列，從而求出an(或sn)與n的關系，這是近一、二年來的高考熱點，因此既是重點也是難點。
例：已知數列{an}中，a1＝2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,……
(1)求{an}通項公式 (2)略
解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--＝ (--1)(an--)
∴{an--}是首項為a1--，公比為--1的等比數列。
由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--) ，於是an=(--1)n-1(2--)+-
又例：在數列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈n*)，證明數列{an-n}是等比數列。
證明：本題即證an+1-(n+1)=q(an-n) (q為非0常數)
由an+1=4an-3n+1，可變形為an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，
所以數列{an-n}是首項為1，公比為4的等比數列。
若將此問改為求an的通項公式，則仍可以通過求出{an-n}的通項公式，再轉化到an的通項公式上來。
又例：設數列{an}的首項a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通項公式。(2)略
解：由an=-，n=2,3,4,……，整理為1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首項為1-a1，公比為--的等比數列，得an=1-(1-a1)(--)n-1
解題方略

Ⅵ 高考中求數列的通項公式有哪些常見的方法

數列是高考中重要考察的內容，而數列求通項公式也是高考中常常出現的，並且對於廣大同學來說，這一塊的知識是必須要掌握的，高考中這一塊的考題也要盡可能的拿滿分。

其實數列求通項的方法很多，例如，直接法，公式法，歸納猜想法，累加法，累乘法，取倒數，取對數，迭代法，待定系數法，不動點法，換元法，周期型數列，特徵根法……等等！

下面我們來介紹一下幾種常用的方法

一、累加法

Ⅶ 求數列通項公式有哪些方法

求數列通項公式常用以下幾種方法：
一、題目已知或通過簡單推理判斷出是等比數列或等差數列，直接用其通項公式。
例：在數列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求該數列的通項公式an。
解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出數列{an}為a1=1，d=2的等差數列。所以an=2n-1。此類題主要是用等比、等差數列的定義判斷，是較簡單的基礎小題。
二、已知數列的前n項和，用公式
S1 (n=1)
Sn-Sn-1 (n2)
例：已知數列{an}的前n項和Sn=n2-9n，第k項滿足5
(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6
解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8 ∴k=8 選 (B)
此類題在解時要注意考慮n=1的情況。
三、已知an與Sn的關系時，通常用轉化的方法，先求出Sn與n的關系，再由上面的(二)方法求通項公式。
例：已知數列{an}的前n項和Sn滿足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求數列{an}的通項公式。
解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，兩邊同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-} 是以-為首項，-1為公差的等差數列，∴-= -，Sn= -，
再用(二)的方法：當n2時，an=Sn-Sn-1=-，當n=1時不適合此式，所以，
- (n=1)
- (n2)
四、用累加、累積的方法求通項公式
對於題中給出an與an+1、an-1的遞推式子，常用累加、累積的方法求通項公式。
例：設數列{an}是首項為1的正項數列，且滿足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求數列{an}的通項公式
解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解為[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0
又∵{an}是首項為1的正項數列，∴an+1+an ≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,這n-1個式子，將其相乘得：∴ -=-，
又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N*)