如何求二面角的方法

㈠ 求二面角的方法步驟是怎樣的

求二面角的平面角的常用方法有3類：
一、 直接法：其中包括定義法、垂線法、垂面法
定義法 ：步驟 ：
1、在二平面的棱上取恰當的點（經常是端點和中點、如利用等腰(含等邊)三角形底邊的中點）
2、過這個點分別在兩半平面內做相棱的垂線，然後把兩條垂線放到一個三角形中考慮。（有時也經常做兩條垂線的平行線，使它們在一個更理想的三角形中）。
說明：因為題目中所給的點或你能找到的特殊點分別向交線作垂線多半不交於一點，所以這種情況很少，因此有必要引導學生探究其他方法。
垂線法：利用作（或找）面的垂線（線面垂直的判定和性質）作平面角。
例1 銳二面角a-L-β,如圖（1）所示，過a面的一點P，向β面作垂線，垂足為B，再過B向這二面角的棱L作垂線，垂足C，連接PC。可用三垂線定理證明 PCB就是這兩個面的二面角
例2 鈍二面角a-L-β,如圖（2）所示，過a面的一點P，向β面作垂線，垂足為B，過B向這二面角的棱l作垂線，垂足C，連接PC。
則角 PCB為二面角a-L-β的平面角的補角。

說明：引導學生在具體題目中注意判斷二面角是鈍二面角還是銳二面角是解決問題的前提。
垂面法：（教材復習參考題二A組第10題提示）作二面角棱的垂面，則垂面與二面角形成的兩交線所成的角就是二面角的平面角。
說明：棱的垂面經常不會直接給出，而是以點到面的距離的條件呈現的。這樣過此點所作的面的垂線是否落在半平面內，直接影響到所得到的兩射線所成的角是二面角的平面角還是其補角。
例3 二面角內一點到兩個面的距離分別為 、4，到棱的距離為 ，則二面角的度數為（75°或165°）
解析：分兩種情況：銳二面角和鈍二面角
1. 當二面角為銳二面角時，過點P向a、β半平面引垂線，垂足落在半平面內，此時P點的棱的垂面與兩半平面的交線所成的角為二面角的平面角。
2. 當二面角為鈍二面角時，作平面 平面 ，作平面 平面 ，當P點在二面角 內時，過點P向a、 兩半平面作垂線，垂足均落在半平面內，此時過P點且與棱垂直的平面與兩半平面形成的兩射線所成的角為二面角的平面角。
當P點在二面角 內時，過點P向a、 兩半平面作垂線，垂足不能同時落在兩個半平面內，此時過P點且與棱垂直的平面與兩半平面形成的兩射線所成的角為二面角的平面角的補角。

二、 間接法：
面積射影定理：「平面圖形射影面積等於被射影圖形的面積S乘以該圖形所在平面與射影面所夾角的餘弦。」
S射影面積＝S原圖形面積＊cos(兩個平面所成的二面角）
即cosθ=S射影圖/S原圖
(平面多邊形及其射影的面積分別是S原,S射影,它們所在平面所成銳二面角的為θ)
證明思路：因為射影就是將原圖形的長度（三角形中稱高）縮放，所以寬度是不變的，又因為平面多邊形的面積比=邊長的平方比。所以就是圖形的長度（三角形中稱高）的比。那麼這個比值應該是平面所成角的餘弦值。在兩平面中作一直角三角形，並使斜邊和一直角邊垂直於棱（即原多邊形圖的平面和射影平面的交線），那麼三角形的斜邊和另一直角邊就是其多邊形的長度比，即為平面多邊形的面積比，而將這個比值放到該平面三角形中去運算，即可。
說明：運用這一方法可以解決求無棱二面角的大小問題，關鍵是從圖中找出斜面多邊形和它在有關平面上的射影（即找到從一個面內一點向另一面的垂線）通常求兩個面內的三角形的面積比較容易。
三、向量法：利用兩個平面的法向量M，N的夾角來求，這是高考中最有效的辦法不管有多難都可求出二面角的大小，也是最好的辦法。不過求出後要根據二面角的實際大小來判斷算出的結果與實際情況下的角是否相同利用空間向量求二面角的平面角步驟（設二面角平面角為θ）
1）建立空間直角坐標系；
2）設平面 的法向量為N(X1，Y1，Z1)，平面 法向量為M(X2，Y2，Z2)；
3）在 內找兩條線L1，L2，讓N×L1=0，N×L2=0求出N的坐標，M也是如此求出；
4）然後利用cosθ=N?M/|N|×|M|即可求出θ的值
說明：銳二面角時，法向量的夾角即該二面角的平面角鈍二面角時，法向量的夾角的補角為二面角的平面角
小結：
①方法一是基礎，是基本概念的運用；方法二、三是射影、向量與二面角定義的綜合，是拓展。只有理解掌握了第一類方法才能理解第二、三類方法。
②文科學生只需掌握第一類即可，對於理科學生掌握了上述三類方法，則有利於解決比較復雜的二面角問題。用代數的方法解決立體幾何問題是立體幾何的發展趨勢，兒向量是用代數的方法解決立體幾何問題的主要工具，故，學會用向量法解決立體幾何問題是學好立體幾何的基礎。

㈡ 求二面角的方法

在立體幾何運算中，很多人都會覺得太過復雜，難以達到最簡單的求解方法，最後總是出現錯誤，而且現在高考中幾何立體運算也是必考的重點，尤其是二面角，那麼求二面角的方法是什麼呢?

1、垂面法——和棱垂直的平面，並且垂面和二面角相交的線所組成的角，也就是二面角和平面角。

2、定義法——在棱上任意取一點，並且在兩個平面中都做出棱上A點的垂線，有的時候這條垂線可以在兩個不同的平面內做垂線，再在其中一個垂足和垂線之間的平行線，也可以求出二面角。

3、向量法——把兩個半平面的法向量求出，主要是通過夾角公式的方法求得。所求的二面角也就是這個夾角或者是補角。

4、異面直線距離法——將二面角假設為C-AB-D，那麼其中的AC和BD就是異面之線AC⊥AB，而AB也就是異面直線中AC和BD的公垂線，根據AB,CD,AC,BD的值，就可以計算出二面角。

求二面角的方法有很多，比如異面之線距離法，向量法，定義法和垂面法都是非常好的求二面角的方法，要靈活的運用這些方法，簡便的計算出最終的結果，才是最關鍵的。

㈢ 二面角怎麼求

二面角的通常求法： （1）由定義作出二面角的平面角； （2）作二面角棱的垂面，則垂面與二面角兩個面的交線所成的角就是二面角的平面角； （3）利用三垂線定理（逆定理）作出二面角的平面角； （4）空間坐標求二面角的大小。 其中，（1）、（2）點主要是根據定義來找二面角的平面角，再利用三角形的正、餘弦定理解三角形。 求二面角大小的基本步驟 （1）作出二面角的平面角： A：利用等腰(含等邊)三角形底邊的中點作平面角； B：利用面的垂線（三垂線定理或其逆定理）作平面角； C：利用與棱垂直的直線，通過作棱的垂面作平面角； D：利用無棱二面角的兩條平行線作平面角。 （2）證明該角為平面角； （3）歸納到三角形求角。 另外，也可以利用空間向量求出。 利用空間向量：（設二面角平面角為A） 1）先建立直角坐標系，求出個點坐標； 2）設面S1的法向量為N(X1，Y1，Z1)，面S2法向量為M(X2，Y2，Z2)； 3）在S1內找兩條線L1，L2，讓N×L1=0，N×L2=0求出N的坐標，M也是如此求出； 4）然後利用cosA=N×M/|N|×|M|即可求出A的值

㈣ 求二面角的方法

有六種：1.定義法2.垂面法3.射影定理4.三垂線定理5.向量法6.轉化法二面角一般都是在兩個平面的相交線上，取恰當的點，經常是端點和中點。過這個點分別在兩平面做相交線的垂線，然後把兩條垂線放到一個三角形中考慮。有時也經常做兩條垂線的平行線，使他們在一個更理想的三角形中。由公式s射影=s斜面cosθ，作出二面角的平面角直接求出。運用這一方法的關鍵是從圖中找出斜面多邊形和它在有關平面上的射影，而且它們的面積容易求得
也可以用解析幾何的辦法，把兩平面的法向量n1,n2的坐標求出來。然後根據n1·n2=｜n1｜｜n2｜cosα，θ=α為兩平面的夾角。這里需要注意的是如果兩個法向量都是垂直平面，指向兩平面內，所求兩平面的夾角θ=π-α
二面角的通常求法：（1）由定義作出二面角的平面角；
（2）作二面角棱的垂面，則垂面與二面角兩個面的交線所成的角就是二面角的平面角；
（3）利用三垂線定理（逆定理）作出二面角的平面角；
（4）空間坐標求二面角的大小。
其中，（1）、（2）點主要是根據定義來找二面角的平面角，再利用三角形的正、餘弦定理解三角形。
（1）作出二面角的平面角：a：利用等腰(含等邊)三角形底邊的中點作平面角；b：利用面的垂線（三垂線定理或其逆定理）作平面角；c：利用與棱垂直的直線，通過作棱的垂面作平面角；d：利用無棱二面角的兩條平行線作平面角。（2）證明該角為平面角；（3）歸納到三角形求角。另外，也可以利用空間向量求出。

㈤ 怎麼找二面角

找二面角有通法,先找出其中一個面的垂面,藉此找出此面的垂線,與二面角另一面交於一點,過此點作二面角交線的垂線,將此垂足與剛才線面垂直的垂足連結,所成即二面角的平面角
用三垂線定理可證

㈥ 求二面角的方法(越詳細越好)

平面內的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形，叫做二面角（這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面)。二面角的大小可以用它的平面角度來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。

以二面角的公共直線上任意一點為端點，在兩個面內分別作垂直於公共直線的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小可用平面角表示。

平面角是直角的二面角叫做直二面角。

兩個平面垂直的定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。

0≤θ≤π（不小於0°，不大於180°）

（註：既然二面角是空間立體圖形，那麼我們可以將180°～360°的另一邊看成0°～180°）

作二面角的平面角的常用方法有六種：

1、定義法：在棱上取一點A，然後在兩個平面內分別作過棱上A點的垂線。有時也可以在兩個平面內分別作棱的垂線，再過其中的一個垂足作另一條垂線的平行線。

2、垂面法：作與棱垂直的平面，則垂面與二面角兩個面的交線所成的角就是二面角的平面角

3、面積射影定理：二面角的餘弦值等於某一個半平面在另一個半平面的射影的面積和該平面自己本身的面積的比值。即公式cosθ=S'/S（S'為射影面積，S為斜面面積）。運用這一方法的關鍵是從圖中找出斜面多邊形和它在有關平面上的射影，而且它們的面積容易求得。

4、三垂線定理及其逆定理法：先找到一個平面的垂線，再過垂足作棱的垂線，連結兩個垂足即得二面角的平面角。

5、向量法：分別作出兩個半平面的法向量，由向量夾角公式求得。二面角就是該夾角或其補角。

6、轉化法：在二面角α-l-β其中一個半平面α上找一點P，求出P到β的距離h和P到l的距離d，那麼arcsin(h/d)（二面角為銳角）或π-arcsin(h/d)（二面角為鈍角）就是二面角的大小。

7,、三面角餘弦定理法：詳細見相關詞條。

8、三正弦定理法：詳細見相關詞條。

9、異面直線的距離法：設二面角為C-AB-D，其中AC和BD互為異面直線且AC⊥AB，BD⊥AB（即AB是異面直線AC和BD的公垂線）。設AB=d，CD=l，AC=m，BD=n，根據

來求異面直線所成角θ。利用該方法求θ必須先由圖像判斷二面角是銳角還是鈍角。如果是銳角，那麼取正號；鈍角，那麼取負號。待求出θ以後，如果二面角是銳角，那麼二面角的大小就是θ；鈍角，那麼二面角的大小就是π-θ。

其中，（1）、（2）點主要是根據定義來找二面角的平面角，再利用三角形的正、餘弦定理解三角形。

二面角一般都是在兩個平面的相交線上，取恰當的點，經常是端點和中點。過這個點分別在兩平面做相交線的垂線，然後把兩條垂線放到一個三角形中考慮。有時也經常做兩條垂線的平行線，使他們在一個更理想的三角形中。

幾何法

（1）作出二面角的平面角

A：利用等腰(含等邊)三角形底邊的中點作平面角；

B：利用面的垂線（三垂線定理或其逆定理）作平面角；

C：利用與棱垂直的直線，通過作棱的垂面作平面角；

D：利用無棱二面角的兩條平行線作平面角。

（2）證明該角為平面角

（3）歸納到三角形求角

㈦ 二面角的求法

作二面角的平面角的常用方法有九種：
1、定義法 ：在棱上取一點A，然後在兩個平面內分別作過棱上A點的垂線。有時也可以在兩個平面內分別作棱的垂線，再過其中的一個垂足作另一條垂線的平行線。
2、垂面法 ：作與棱垂直的平面，則垂面與二面角兩個面的交線所成的角就是二面角的平面角
3、面積射影定理：二面角的餘弦值等於某一個半平面在另一個半平面的射影的面積和該平面自己本身的面積的比值。即公式cosθ=S'/S（S'為射影面積，S為斜面面積）。運用這一方法的關鍵是從圖中找出斜面多邊形和它在有關平面上的射影，而且它們的面積容易求得。
4、三垂線定理及其逆定理法：先找到一個平面的垂線，再過垂足作棱的垂線，連接兩個垂足即得二面角的平面角。
5、向量法：分別作出兩個半平面的法向量，由向量夾角公式求得。二面角就是該夾角或其補角。
6、轉化法：在二面角α-l-β其中一個半平面α上找一點P，求出P到β的距離h和P到l的距離d，那麼arcsin(h/d)（二面角為銳角）或π-arcsin(h/d)（二面角為鈍角）就是二面角的大小。
7,、三面角餘弦定理法：詳細見相關詞條。
8、三正弦定理法：詳細見相關詞條。
9、異面直線的距離法：設二面角為C-AB-D，其中AC和BD互為異面直線且AC⊥AB，BD⊥AB（即AB是異面直線AC和BD的公垂線）。設AB=d，CD=l，AC=m，BD=n，根據來求異面直線所成角θ。利用該方法求θ必須先由圖像判斷二面角是銳角還是鈍角。如果是銳角，那麼取正號；鈍角，那麼取負號。待求出θ以後，如果二面角是銳角，那麼二面角的大小就是θ；鈍角，那麼二面角的大小就是π-θ。
其中，（1）、（2）點主要是根據定義來找二面角的平面角，再利用三角形的正、餘弦定理解三角形。
二面角一般都是在兩個平面的相交線上，取恰當的點，經常是端點和中點。過這個點分別在兩平面做相交線的垂線，然後把兩條垂線放到一個三角形中考慮。有時也經常做兩條垂線的平行線，使他們在一個更理想的三角形中。

㈧ 二面角怎麼求

兩個相交平面的夾角叫做二面角，其大小是由二面角的平面角來度量的。
求二面角的平面角的步驟為：
1) 找到兩個平面的交線；
2)分別在兩個平面上向交線作垂線，則此二垂線的夾角就是所求的二面角的平面角；
3) 如果這兩條垂線能直接相交於一點最好，否則要設法使其在一個平面內相交於一點，例如同在垂直於交線的平面內,即使構成平面角的兩條在同一個平面內；
4) 通過平面內的幾何圖形，利用勾股定理，三角函數的定義式，正弦定理，餘弦定理等公式求出所求的平面角的二面角的函數值，再由求反函數，即可求出角度的大小。
5) 如果利用立體幾何關系，難以解題的話，可以利用向量關系來求。

附：

㈨ 二面角的求法

1、定義法

在二面角的棱上找一特殊點，在兩個半平面內分別作垂直於棱的垂線，如圖1所示。用定義法求二面角的平面角時，首先需要根據二面角的定義把它轉化為平面角，然後把這個平面角置於一個三角形中，通過解三角形求二面角，其基本的解題步驟為「一作，二證，三求」。

2、垂射線法即垂面法過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面的交線組成的角即為二面角的平面角。

二面角一般都是在兩個半平面的相交線上，取恰當的點(通常是端點或中點），過這個點分別在兩平面做相交線的垂線，然後把兩條垂線放到一個三角形中考慮。有時也經常做兩垂線的平行線，使它們在一個更理想的三角形中。

相關內容：

平面內的一條直線，把這個平面分為兩部分，每一部分都叫作半平面。從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角。這條直線叫作二面角的棱，這兩個半平面叫作二面角的面。

二面角的大小，可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是幾度，就說這個二面角是幾度。二面角也可以看作是從一條直線出發的一個半平面繞著這條直線旋轉，它的最初位置和最終位置組成的圖形。

二面角的平面角的大小，與其頂點在棱上的位置無關。如果兩個二面角能夠完全重合，則說它們是相等的．如果兩個二面角的平面角相等，那麼這兩個二面角相等。反之，相等二面角的平面角相等。