裂項相減的方法和技巧

㈠ 數列中裂項求或錯位相減的使用方法

裂項求和，主要是適合用於含根式的，或由等差數列的相鄰兩（幾）項積的倒數構成的新數列的求和。

如：

1.

㈡ 高中數學數列里常用的裂項方法

裂項法裂項法求和
這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用.
裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.
通項分解（裂項）如：
（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]
（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5）
n·n!=(n+1)!-n!
[例1]
【分數裂項基本型】求數列an=1/n(n+1)
的前n項和.
解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)
（裂項）
則
Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂項求和）
＝
1-1/(n+1)
＝
n/(n+1)

[例2]
【整數裂項基本型】求數列an=n(n+1)
的前n項和.
解：an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂項）
則
Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂項求和）
＝
(n-1)n(n+1)/3
小結：此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之後，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。
注意：
餘下的項具有如下的特點
1餘下的項前後的位置前後是對稱的。
2餘下的項前後的正負性是相反的。
易錯點：注意檢查裂項後式子和原式是否相等，典型錯誤如：1/(3×5)=1/3-1/5（等式右邊應當除以2）
附：數列求和的常用方法：
公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。(關鍵是找數列的通項結構)
1、分組法求數列的和：如an=2n+3n
2、錯位相減法求和：如an=n·2^n
3、裂項法求和：如an=1/n(n+1)
4、倒序相加法求和：如an=
n
5、求數列的最大、最小項的方法：
①
an+1-an=……
如an=
-2n2+29n-3
②
(an>0)
如an=
③
an=f(n)
研究函數f(n)的增減性
如an=
an^2+bn+c(a≠0)
6、在等差數列
中,有關Sn
的最值問題——常用鄰項變號法求解：
(1)當
a1>0,d<0時，滿足{an}的項數m使得Sm取最大值.
(2)當
a1<0,d>0時，滿足{an}的項數m使得Sm取最小值.
在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的應用。

㈢ 裂項相消萬能公式有哪些

裂項法，這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用。是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的。 通項分解（裂項）倍數的關系。通常用於代數，分數，有時候也用於整數。

裂項相消的公式

1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

n·n!=(n+1)!-n!

裂項法求和

（1）1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]

（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5） n·n!=(n+1)!-n!

（6）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]

（7）1/[√n+√（n+1）]=√（n+1）-√n

（8）1/（√n+√n+k）=（1/k）·[√（n+k）-√n]

數列求和的常用方法

1、分組法求數列的和：如an=2n+3n

2、錯位相減法求和：如an=n·2^n

3、裂項法求和：如an=1/n(n+1)

4、倒序相加法求和：如an= n

5、求數列的最大、最小項的方法：

① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3

② (an>0) 如an=

③ an=f(n) 研究函數f(n)的增減性 如an= an^2+bn+c(a≠0)

6、在等差數列 中,有關Sn 的最值問題——常用鄰項變號法求解：

(1)當 a1>0,d<0時，滿足{an}的項數m使得Sm取最大值.

(2)當 a1<0,d>0時，滿足{an}的項數m使得Sm取最小值.

7、對於1/n+1/(n+1)+1/(n+2)……+1/(n+n)的算式同樣適用。

㈣ 裂項相減法

裂項相消法:（分母可寫成2個數相乘的數列求和）
eg:
1/2+1/6+1/12+……+1/n(n+1)
=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+(1/n-1/n+1)
=1-1/n+1
錯位相減法:（適用於是由一個等差數列和一個等比數列組成的數列求和）
eg:
1x2+2x4+3x8+……+nx2的n次方 ……………… 1式

1x4+2x8+3x16……+（n-1)x2的n次方+ nx2的n+1次方 ……………2式

將1式和2式相減，可得答案。

㈤ 裂項相減法

裂項相消法:（分母可寫成2個數相乘的數列求和）eg:1/2+1/6+1/12+……+1/n(n+1)=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+(1/n-1/n+1)=1-1/n+1錯位相減法:（適用於是由一個等差數列和一個等比數列組成的數列求和）eg:1x2+2x...

㈥ 裂項公式是什麼

裂項公式是：1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]。1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]。1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}。

1/(3n-2)(3n+1)

1/(3n-2)-1/(3n+1)=3/(3n-2)(3n+1)

只要是分式數列求和,可採用裂項法。裂項的方法是用分母中較小因式的倒數減去較大因式的倒數，通分後與原通項公式相比較就可以得到所需要的常數。

裂項求和與倒序相加、錯位相減、分組求和等方法一樣，是解決一些特殊數列的求和問題的常用方法.這些獨具特點的方法,就單個而言,確實精巧。

例子：

求和：1/2+1/6+1/12+1/20

＝1/(1*2)+1/(2*3)+1/(3*4)1/(4*5)

＝（1－1/2）+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+(1/4-1/5)

＝1-1/5=4/5

㈦ 分數裂項公式口訣是什麼

只要是分式數列求和可採用裂項法，裂項的方法是用分母中較小因式的倒數減去較大因式的倒數,通分後與原通項公式相比較就可以得到所需要的常數。

裂項法，這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用。是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的。 通項分解（裂項）倍數的關系。通常用於代數，分數，有時候也用於整數。

此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之後，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。

注意： 餘下的項具有如下的特點

1餘下的項前後的位置前後是對稱的。

2餘下的項前後的正負性是相反的。

易錯點：注意檢查裂項後式子和原式是否相等，典型錯誤如：1/(3×5)=1/3-1/5（等式右邊應當除以2）。

附：數列求和的常用方法：

公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。(關鍵是找數列的通項結構)。

1、分組法求數列的和：如an=2n+3n。

2、錯位相減法求和：如an=n·2^n。

3、裂項法求和：如an=1/n(n+1)。

4、倒序相加法求和：如an= n。

5、求數列的最大、最小項的方法：

① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3。

② (an>0) 如an=6。

③ an=f(n) 研究函數f(n)的增減性 如an= an^2+bn+c(a≠0)。

6、在等差數列 中,有關Sn 的最值問題——常用鄰項變號法求解：

(1)當 a1>0,d<0時，滿足{an}的項數m使得Sm取最大值。

(2)當 a1<0,d>0時，滿足{an}的項數m使得Sm取最小值。

7、對於1/n+1/(n+1)+1/(n+2)……+1/(n+n)的算式同樣適用。

㈧ 怎樣裂項相減

裂項相消法:（分母可寫成2個數相乘的數列求和）
eg:
1/2+1/6+1/12+……+1/n(n+1)
=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+……+(1/n-1/n+1)
=1-1/n+1
錯位相減法:（適用於是由一個等差數列和一個等比數列組成的數列求和）
eg:
1x2+2x4+3x8+……+nx2的n次方 ……………… 1式
1x4+2x8+3x16……+（n-1)x2的n次方+ nx2的n+1次方 ……………2式
將1式和2式相減,可得答案.

㈨ 數學中的裂項相消和錯位相減怎麼運用，在什麼情況

裂項相消求和：這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用.常見形如：（1）1/[n(n+1)]=（1/n）-[1/(n+1)]（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]（3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)（5）n·n!=(n+1)!-n!（6）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]（7）1/（√n+√n+1）=√（n+1）-√n（8）1/（√n+√n+k）=（1/k）·[√（n+k）-√n]錯位相減法求和：如果數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那麼這個數列的前n項和Sn可用此法來求和。
裂項相消其實應該算是最有局限性的一種數列題，一般公式有：
1/[(x-1)x] =1/(x-1) - 1/x 以及通性 1/[(x-a)x] =1/a[1/(x-a) -1/x]
1/[(2x-1)(2x+1)]=1/2[1/(2x-1)-1/(2x+1)]
這應該是最常用的，數列裡面用n，只要記住是分母小的減分母大的，再注意一下前面要成幾分之幾，就行了

錯位相減，就令我印象深刻的一種題，是等差數列乘等比數列 求和
比如（2n-1）*2^n,這樣寫出Sn=2+3*2^2+...+（2n-1）*2^n
2*Sn=2*2+3*2^3+...+2n-1）*2^(n+1)
注意這一步一定乘的是公比，然後上式減下式，即可化成等比數列求和，別忘了等式左邊還有系數。並且如果是字母的話，討論q=1的情況即可