數學奧林匹克不等式證明方法和技巧pdf

Ⅰ 高中數學不等式 證明 要過程 ，高手進

原不等式為：√[(a1+b1)²+(a2+b2)²+......+(an+bn)²]≤√(a1²+a2²+....an²)+√(b1²+b2²+......bn²)
左右兩邊非負，且左邊根號內的內容也非負，故兩邊同時平方，原不等式即證：
(a1+b1)²+(a2+b2)²+......+(an+bn)²≤(a1²+a2²+....an²)+(b1²+b2²+......bn²)+2√[(a1²+a2²+....an²)·(b1²+b2²+......bn²)]

即證：
(a1²+a2²+....an²)+(b1²+b2²+......bn²)+(2a1·b1+2a2·b2+…+2an·bn)≤(a1²+a2²+....an²)+(b1²+b2²+......bn²)+2√[(a1²+a2²+....an²)(b1²+b2²+......bn²)]

即證：
(a1·b1+a2·b2+…+an·bn)≤√[(a1²+a2²+....an²)(b1²+b2²+......bn²)]

即證：
(a1·b1+a2·b2+…+an·bn)²≤(a1²+a2²+....an²)(b1²+b2²+......bn²)
根據柯西不等式，上式顯然成立。

Ⅱ 中學數學不等式證明方法

不等式的證明，基本方法有
比較法：比較兩個式子的大小，求差或求商。是最基本最常用的方法
綜合法：用到了均值不等式的知識，一定要注意的是何時等號才成立。
分析法：當無法從條件入手時，就用分析法去思考，但還是要用綜合法去證明。兩個方法是密不可分的。
換元法：把不等式想像成三角函數，方便思考
反證法：假設不成立，但是不成立時又無法解出本題，於是成立
放縮法：
用柯西不等式證。等等……
高考不是重點，但是難點。
大學數學也會講到柯西不等式。

如果a、b都為實數，那麼a平方+b平方≥2ab，當且僅當a=b時等號成立
如果a、b都是正數，那麼（a+b）/2 ≥√ab ，當且僅當a=b時等號成立。（這個不等式也可理解為兩個正數的算數平均數大於或等於它們的幾何平均數，當且僅當a=b時等號成立。）
和定積最大：當a+b=S時，ab≤S^2/4（a=b取等）
積定和最小：當ab=P是，a+b≥2√P（a=b取等

概念：N個正實數的算術平均數大於等於其幾何平均數
算術平均數，arithmetic mean，用一組數的個數作除數去除這一組數的和所得出的平均值，也作average
幾何平均數，geometric mean，作為n個因數乘積的數的n次方根，通常是n的正數根
設a1,a2,a3,...,an是n個正實數，則(a1+a2+a3+...+an)/n≥n次√(a1*a2*a3*...*an)，當且僅當a1=a2=…=an時，均值不等式左右兩邊取等號
[編輯本段]●【均值不等式的變形】
(1)對正實數a,b，有a^2+b^2≥2ab (當且僅當a=b時取「=」號)，a^2+b^2>0>-2ab
(2)對非負實數a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0
(3)對負實數a,b，有a+b<0<2√(a*b)
(4)對實數a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b)
(5)對非負數a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0
(6)對非負數a,b，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥ab
(7)對非負數a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2
(8)對非負數a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac
(9)對非負數a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2
2/（1/a+1/b）≤√ab≤a+b/2≤√（(a^2+b^2)/2）
[編輯本段]●【均值不等式的證明】
方法很多，數學歸納法（第一或反向歸納）、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等
下面介紹個好理解的方法
琴生不等式法
琴生不等式：上凸函數f(x)，x1,x2,...xn是函數f(x)在區間(a,b)內的任意n個點，
則有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]
設f(x)=lnx，f(x)為上凸增函數
所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=lnn次√(x1*x2*...*xn)
即(x1+x2+...+xn)/n≥n次√(x1*x2*...*xn)
[編輯本段]●【均值不等式的應用】
例一 證明不等式：2√x≥3-1/x (x>0)
證明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*3次√(√x)*(√x)*(1/x)=3
所以，2√x≥3-1/x
例二 長方形的面積為p，求周長的最小值
解：設長,寬分別為a,b，則a*b=p
因為a+b≥2√ab，所以2(a+b)≥4√ab=4√p
周長最小值為4√p
例三 長方形的周長為p，求面積的最大值
解：設長,寬分別為a,b，則2(a+b)=p
因為a+b=p/2≥2√ab，所以ab≤p^2/16
面積最大值是p^2/16
[編輯本段]●【均值不等式的總結】
1、調和平均數：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、幾何平均數：Gn=(a1a2...an)^(1/n)=n次√(a1*a2*a3*...*an)
3、算術平均數：An=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均數：Qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
這四種平均數滿足Hn≤Gn≤An≤Qn
a1、a2、… 、an∈R +，當且僅當a1=a2= … =an時取「=」號

【柯西不等式的證法】
柯西不等式的一般證法有以下幾種：
■①Cauchy不等式的形式化寫法就是：記兩列數分別是ai, bi，則有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.
我們令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
則我們知道恆有 f(x) ≥ 0.
用二次函數無實根或只有一個實根的條件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
於是移項得到結論。
■②用向量來證.
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX．
因為cosX小於等於1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小於等於a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)
這就證明了不等式．
柯西不等式還有很多種，這里只取兩種較常用的證法．
[編輯本段]【柯西不等式的應用】
柯西不等式在求某些函數最值中和證明某些不等式時是經常使用的理論根據，我們在教學中應給予極大的重視。
■巧拆常數：
例：設a、b、c 為正數且各不相等。
求證： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)＞9/(a+b+c)
分析：∵a 、b 、c 均為正數
∴為證結論正確只需證：2*(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＞9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又 9=(1+1+1)(1+1+1)
證明：Θ2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9
又 a、b 、c 各不相等，故等號不能成立
∴原不等式成立。
像這樣的例子還有很多，詞條里不再一一列舉，大家可以在參考資料里找到柯西不等式的證明及應用的具體文獻．

Ⅲ 《數學奧林匹克小叢書》（高中卷）共有那幾本

1集合 2函數與函數方程 3三角函數

4 平均值不等式與柯西不等式

5:不等式的解題方法與技巧6:數列與數學歸納法

7平面幾何

8復數與向量 9幾何不等式 10數論

11組合數學 12圖論 14:高中數學競賽中的解題方法與策略
求採納！打字打的好辛苦！

Ⅳ 數學奧林匹克不等式證明方法和技巧 難不難

我估計樓主說的代數不等式的證明方法和技巧。
按我自己的培訓過程和參賽體會，
不等式證明方法和技巧不算太難，最難的是組合數學和數論的賽題。
代數不等式的證明方法和技巧，我常用的有：
①作差法、作商法、分析、綜合法、反證法、三角代換法、縮放法、局部不等式法、磨光變換法、增量代換法、切函數法、數形結合法等等.
②重要不等式法，如均值不等式法(基本不等式)、柯西不等式法(Cauchy不等式法)、排序不等式法、赫爾德不等式法、母不等式(嵌入不等式法)、舒爾不等式法(Scher不等式法)、凸函數法(Jensen不等式法及其多元推廣)、權方和不等式法、卡爾松不等式法、微分中值定理法(主要是拉格朗日中值定理法),等等.
③構造法，如構造函數求導數用函數單調性法、構造向量法、構造復數法、構造圖形法，等等.
總之，初等代數不等式的證明方法和技巧非常多，但是不算太難，希望樓主對自己要有自信心。

Ⅳ 高中數學競賽 不等式證明（高手進）

見圖

Ⅵ 數學奧林匹克小叢書 初中卷．因式分解技巧 求PDF

1. 提取公因式
   這個是最基本的.就是有公因式就提出來,這個大家都會,就不多說了
   2.完全平方
   a&#178;+2ab+b&#178;=(a+b)&#178;

   a&#178;-2ab+b^2=(a-b)&#178;
   2.看到式字內有兩個數平方就要注意下了,找找有沒有兩數積的兩倍,有的話就按上面的公式進行.
   3.平方差公式
   a²-b²=(a+b)(a-b)
   這個要熟記,因為在配完全平方時有可能會拆添項,如果前面是完全平方,後面又減一個數的話,就可以用平方差公式再進行分解.
   4.十字相乘
   x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
   這個很實用,但用起來不容易.
   在無法用以上的方法進行分解時,可以用下十字相乘法.
   例子:x²+5x+6
   首先觀察,有二次項,一次項和常數項,可以採用十字相乘法.
   一次項系數為1.所以可以寫成1*1
   常數項為6.可以寫成1*6,2*3,-1*-6,-2*-3(小數不提倡)
   然後這樣排列
   1 - 2
   
   1 - 3
   (後面一列的位置可以調換,只要這兩個數的乘積為常數項即可)
   然後對角相乘,1*2=2,1*3=3.再把乘積相加.2+3=5,與一次項系數相同(有可能不相等,此時應另做嘗試),所以可一寫為(x+2)(x+3) (此時橫著來就行了)

Ⅶ 初等不等式的證明方法.pdf

《初等不等式的證明方法》為韓京俊所著，共分15章，選取300餘個國內外初等不等式的典型問題，以解析解題方法，並對部分問題加以拓展，不少例題都配有較大篇幅的註解，本書可作為數學奧林匹克訓練的參考教材，供高中及以上文化程度的學生、教師使用，也可作為不等式愛好者及從事初等不等式研究的相關專業人員閱讀參考。

Ⅷ 求一道數形結合的奧林匹克數學不等式證明題

這方面的題目實在是太多了啊，有很多不等式都是用這個方法做的。我提供你我這個暑假碰到的一道題目：
已知正數A,B,C,A1,B1,C1,他們滿足A+A1=B+B1=C+C1=K(K為常數)。求證：A*B1+B*C1+C*A1<K^2
本題通過構造一個變長為K的等邊三角行，並在3邊上取點，設線段長度分別為A,A1,B,B1,C,C1，然後在通過三角形面積公式S=1/2*A*B*SINα這個公式來表是三角形面積，最後通過這個大正三角形的面積大於裡面部分小三角形的面積來證的
樓主想要解法，其實很簡單。
先畫一個等邊三角形XYZ，去XY邊上任意一點為P，去YZ邊上任意一點為Q，去ZX邊上任意一點為R，設線段長度XY=YZ=XZ=K，XP=A，PY=A1，YQ=B，QZ=B1，ZR=C，RX=C1。那麼顯然就有A+A1=B+B1=C+C1=K，這道題目的幾何構形就這樣建造完畢了。
等式兩邊同時乘以1/2*SIN60得：1/2*SIN60*A*B1+1/2*SIN60*B*C1+1/2*SIN60C*A1=1/2*SIN60*K*K
等式左邊是三角形PQY，三角形QRZ，三角形PRX的面積之和，而等式右邊是三角形XYZ的面積，看一下圖就知道顯然是三角形XYZ的面積大於三角形PQY，三角形QRZ，三角形PRX的面積之和。所以此題得證。
你只要對三角形的面積公式S=1/2*SIN60*A*B這個公式很熟悉，那麼這個構造是很容易想到的。