如何用配方法解交點式

Ⅰ 二次函數交點式的推導

一般老師剛開始教一般用配方法

設 二次函數為 y=ax²+bx+c

y=ax²+bx+c
=a（x²+b/ax+c/a）

因為要求與x軸的交點，所以y=0

x²+b/ax+c/a=0

x²+b/ax+(b/2a)²-（b/2a)²+c/a=0

（x+b/2a)²=(b/2a)²-c/a

y=a（x-（-b+根號b²-4ac）/2a)(x-(-b+根號b²-ac）/2a)

一般這種題用十字相乘因式分解就行了

Ⅱ 誰能告訴我十字相乘法和交點式的具體內容

1、十字相乘法的方法：十字左邊相乘等於二次項系數，右邊相乘等於常數項，交叉相乘再相加等於一次項系數。
2、十字相乘法的用處：（1）用十字相乘法來分解因式。（2）用十字相乘法來解一元二次方程。
3、十字相乘法的優點：用十字相乘法來解題的速度比較快，能夠節約時間，而且運用算量不大，不容易出錯。
4、十字相乘法的缺陷：1、有些題目用十字相乘法來解比較簡單，但並不是每一道題用十字相乘法來解都簡單。2、十字相乘法只適用於二次三項式類型的題目。3、十字相乘法比較難學。
5、十字相乘法解題實例：
1)、 用十字相乘法解一些簡單常見的題目
例1把m²+4m-12分解因式
分析：本題中常數項-12可以分為-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1當-12分成-2×6時，才符合本題
解：因為 1 -2
1 ╳ 6
所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）
例2把5x²+6x-8分解因式
分析：本題中的5可分為1×5,-8可分為-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。當二次項系數分為1×5，常數項分為-4×2時，才符合本題
解： 因為 1 2
5 ╳ -4
所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）
例3解方程x²-8x+15=0
分析：把x²-8x+15看成關於x的一個二次三項式，則15可分成1×15，3×5。
解： 因為 1 -3
1 ╳ -5
所以原方程可變形（x-3）（x-5）=0
所以x1=3 x2=5
例4、解方程 6x²-5x-25=0
分析：把6x²-5x-25看成一個關於x的二次三項式，則6可以分為1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。
解： 因為 2 -5
3 ╳ 5
所以 原方程可變形成（2x-5）（3x+5）=0
所以 x1=5/2 x2=-5/3
2)、用十字相乘法解一些比較難的題目
例5把14x²-67xy+18y²分解因式
分析：把14x²-67xy+18y²看成是一個關於x的二次三項式,則14可分為1×14,2×7, 18y²可分為y.18y , 2y.9y , 3y.6y
解: 因為 2 -9y
7 ╳ -2y
所以 14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y)
例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式
分析：在本題中，要把這個多項式整理成二次三項式的形式
解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
=10x²-（27y+1）x -（28y²-25y+3） 4y -3
7y ╳ -1
=10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）
=[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] 2 -（7y – 1）
5 ╳ 4y - 3
=（2x -7y +1）（5x +4y -3）
說明：在本題中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解為（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解為[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]
解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3 2 -7y
=[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3] 5 ╳ 4y
=（2x -7y+1）（5x -4y -3） 2 x -7y 1
5 x - 4y ╳ -3
說明:在本題中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解為（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解為[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3].
例7：解關於x方程：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0
分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法進行因式分解
解：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0
x²- 3ax +（2a²–ab - b²）=0
x²- 3ax +（2a+b）（a-b）=0 1 -b
2 ╳ +b
[x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0 1 -（2a+b）
1 ╳ -（a-b）
所以 x1=2a+b x2=a-b

兩種相關聯的變數之間的二次函數的關系，可以用三種不同形式的解析式表示：一般式、頂點式、交點式
交點式．
利用配方法，把二次函數的一般式變形為
Y=a[(x+b/2a)^2-(b^2-4ac)/4a^2]
應用平方差公式對右端進行因式分解，得
Y=a[x+b/2a+√b^2-4ac/2a][x+b/2a-√b^2-4ac/2a]
=a[x-(-b-√b^2-4ac)/2a][x-(-b+√b^2-4ac)/2a]
因一元二次方程ax^2+bx+c=0的兩根分別為x1，2=(-b±√b^2-4ac)/2a
所以上式可寫成y=a(x-x1)(x-x2),其中x1，x2是方程ax^2+bx+c=0的兩個根
因x1，x2恰為此函數圖象與x軸兩交點（x1，0），（x2，0）的橫坐標，故我們把函數y=a(x-x1)(x-x2)叫做函數的交點式．
在解決與二次函數的圖象和x軸交點坐標有關的問題時，使用交點式較為方便．
二次函數的交點式還可利用下列變形方法求得：
設方程ax^2+bx+c=0的兩根分別為x1，x2
根據根與系數的關系x1+x2=-b/a，x1x2=c/a，
有b/a=-(x1+x2),a/c=x1x2
∴y=ax^2+bx+c=a[x^2+b/a*x+c/a]
=a[x^2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)

Ⅲ 二次函數交點式具體推導過程

設y=ax²+bx+c此函數與x軸有兩交點,, 即ax²+bx+c=0有兩根 分別為 x1,x2,
a(x²+bx/a+c/a)=0 根據韋達定理 a[x²-(x1+x2)x+x1*x2]=0
十字交叉相乘：
1x -x1
1x -x2
a(x-x1)(x-x2) 就這樣推出的。
解決二次函數，還有一般式和頂點式
一般式：y=ax²+bx+c
頂點式：y=a(x-h)²+k
交點式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限於與x軸有交點A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線]
一般地，如果a，b，c是常數(a≠0)，那麼y叫做x的二次函數。
2.二次函數 的性質
（1）拋物線的頂點是坐標原點，對稱軸是y 軸.
（2）函數 的圖像與 的符號關系.
①當 時拋物線開口向上 頂點為其最低點；
②當 時拋物線開口向下 頂點為其最高點.
（3）頂點是坐標原點，對稱軸是 軸的拋物線的解析式形式為 .
3.二次函數 的圖像是對稱軸平行於（包括重合）y 軸的拋物線.
4.二次函數 用配方法可化成： 的形式，其中 .
5.二次函數由特殊到一般，可分為以下幾種形式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.
① 的符號決定拋物線的開口方向：當 時，開口向上；當 時，開口向下；

相等，拋物線的開口大小、形狀相同.
②平行於 軸（或重合）的直線記作 .特別地， 軸記作直線 .
7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數，如果二次項系數相同，那麼拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.
8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法（1）公式法： ，∴頂點是 ，對稱軸是直線 .
（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為 的形式，得到頂點為( , )，對稱軸是直線 .
（3）運用拋物線的對稱性：由於拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.
用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失.
9.拋物線 中， 的作用
（1） 決定開口方向及開口大小，這與 中的 完全一樣.
（2） 和 共同決定拋物線對稱軸的位置.由於拋物線 的對稱軸是直線
，故：① 時，對稱軸在對稱軸上；② （即 、 同號）時，對稱軸在 軸左側；③ （即 、 異號）時，對稱軸在 軸右側.
（3） 的大小決定拋物線 與 軸交點的位置.
當 時， ，∴拋物線 與 軸有且只有一個交點（0， ）：
① ，拋物線經過原點; ② ,與 軸交於正半軸；③ ,與 軸交於負半軸.
以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在 軸右側，則 .
10.幾種特殊的二次函數的圖像特徵如下：

函數解析式

開口方向

對稱軸

頂點坐標

當 時
開口向上
當 時
開口向下

（ 軸）

（0,0）

（ 軸）

(0, )

( ,0)

( , )

( )

11.用待定系數法求二次函數的解析式
（1）一般式： .已知圖像上三點或三對 、 的值，通常選擇一般式.
（2）頂點式： .已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.
（3）交點式：已知圖像與 軸的交點坐標 、 ，通常選用交點式： .
12.直線與拋物線的交點
（1） 軸與拋物線 得交點為(0, ).
（2）與 軸平行的直線 與拋物線有且只有一個交點( , ).
（3）拋物線與 軸的交點
二次函數 的圖像與 軸的兩個交點的橫坐標 、 ，是對應一元二次方程的兩個實數根.拋物線與 軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：
①有兩個交點拋物線與 軸相交；
②有一個交點（頂點在 軸上）拋物線與 軸相切；
③沒有交點拋物線與 軸相離.
（4）平行於 軸的直線與拋物線的交點
同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為 ，則橫坐標是 的兩個實數根.
（5）一次函數的圖像 與二次函數 的圖像 的交點，由方程組的解的數目來確定：①方程組有兩組不同的解時 與 有兩個交點; ②方程組只有一組解時 與 只有一個交點；③方程組無解時 與 沒有交點.
（6）拋物線與 軸兩交點之間的距離：若拋物線 與 軸兩交點為 ，由於 、 是方程 的兩個根，故
一次函數與反比例函數
考點一、平面直角坐標系（3分）
1、平面直角坐標系
在平面內畫兩條互相垂直且有公共原點的數軸，就組成了平面直角坐標系。
其中，水平的數軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；兩軸的交點O（即公共的原點）叫做直角坐標系的原點；建立了直角坐標系的平面，叫做坐標平面。
為了便於描述坐標平面內點的位置，把坐標平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x軸和y軸上的點，不屬於任何象限。
2、點的坐標的概念
點的坐標用（a，b）表示，其順序是橫坐標在前，縱坐標在後，中間有「，」分開，橫、縱坐標的位置不能顛倒。平面內點的坐標是有序實數對，當 時，（a，b）和（b，a）是兩個不同點的坐標。
考點二、不同位置的點的坐標的特徵（3分）
1、各象限內點的坐標的特徵
點P(x,y)在第一象限
點P(x,y)在第二象限
點P(x,y)在第三象限
點P(x,y)在第四象限
2、坐標軸上的點的特徵
點P(x,y)在x軸上 ，x為任意實數
點P(x,y)在y軸上 ，y為任意實數
點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上 x，y同時為零，即點P坐標為（0，0）
3、兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特徵
點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上 x與y相等
點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上 x與y互為相反數
4、和坐標軸平行的直線上點的坐標的特徵
位於平行於x軸的直線上的各點的縱坐標相同。
位於平行於y軸的直線上的各點的橫坐標相同。
5、關於x軸、y軸或遠點對稱的點的坐標的特徵
點P與點p』關於x軸對稱 橫坐標相等，縱坐標互為相反數
點P與點p』關於y軸對稱縱坐標相等，橫坐標互為相反數
點P與點p』關於原點對稱橫、縱坐標均互為相反數
6、點到坐標軸及原點的距離
點P(x,y)到坐標軸及原點的距離：
（1）點P(x,y)到x軸的距離等於
（2）點P(x,y)到y軸的距離等於
（3）點P(x,y)到原點的距離等於
考點三、函數及其相關概念（3~8分）
1、變數與常量
在某一變化過程中，可以取不同數值的量叫做變數，數值保持不變的量叫做常量。
一般地，在某一變化過程中有兩個變數x與y，如果對於x的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應，那麼就說x是自變數，y是x的函數。
2、函數解析式
用來表示函數關系的數學式子叫做函數解析式或函數關系式。
使函數有意義的自變數的取值的全體，叫做自變數的取值范圍。
3、函數的三種表示法及其優缺點
（1）解析法
兩個變數間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變數及數字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法。
（2）列表法
把自變數x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫做列表法。
（3）圖像法
用圖像表示函數關系的方法叫做圖像法。
4、由函數解析式畫其圖像的一般步驟
（1）列表：列表給出自變數與函數的一些對應值
（2）描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內描出相應的點
（3）連線：按照自變數由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。
考點四、正比例函數和一次函數（3~10分）
1、正比例函數和一次函數的概念
一般地，如果 （k，b是常數，k 0），那麼y叫做x的一次函數。
特別地，當一次函數中的b為0時， （k為常數，k 0）。這時，y叫做x的正比例函數。
2、一次函數的圖像
所有一次函數的圖像都是一條直線
3、一次函數、正比例函數圖像的主要特徵：一次函數 的圖像是經過點（0，b）的直線；正比例函數 的圖像是經過原點（0，0）的直線。

Ⅳ 關於二次函數的幾個問題——二次函數交點式是如何推導的

解決二次函數，還有一般式和頂點式
一般式：y=ax^2+bx+c
頂點式：y=a(x-h)^2+k
交點式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限於與x軸有交點A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線]
在解決與二次函數的圖象和x軸交點坐標有關的問題時，使用交點式較為方便．y=a(x-x1)(x-x2) 找到函數圖象與X軸的兩個交點，分別記為x1和x2,代入公式，再有一個經過拋物線的點的坐標，即可求出a的值。 將a、X1、X2帶入y=a(x-x1)(x-x2)，即可得到一個解析式，這是y=ax2+bx+c因式分解得到的，將括弧打開，即為一般式。X1,X2是關於ax^2+bx+c=0的兩個根
一般地，如果 是常數， ，那麼 叫做 的二次函數. 求拋物線的頂點、對稱軸的方法（1）公式法： ，∴頂點是 ，對稱軸是直線 .
（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為 的形式，得到頂點為( , )，對稱軸是直線 .
（3）運用拋物線的對稱性：由於拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.
用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失.
9.拋物線 中， 的作用
（1） 決定開口方向及開口大小，這與 中的 完全一樣.
（2） 和 共同決定拋物線對稱軸的位置.由於拋物線 的對稱軸是直線

Ⅳ 初中數學二次函數解析式交點式怎麼用

交點式：y=a(x-x1)(x-x2)
[僅限於與x軸有交點A（x1，0）和
B（x2，0）的拋物線]
在解決與二次函數的圖象和x軸交點坐標有關的問題時，使用交點式較為方便．y=a(x-x1)(x-x2)
找到函數圖象與X軸的兩個交點，分別記為x1和x2,代入公式，再有一個點的坐標，即可求出解析式。
這是y=ax2+bx+c因式分解得到的。X1,X2是關於ax^2+bx+c=0時兩個根

Ⅵ 二元一次方程的交點式怎麼用

用法是根據函數與x軸交點求出函數或是根據函數求與x軸的交點

交點式：y=a(X-x1)(X-x2) [僅限於與x軸有交點A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線]
在解決與二次函數的圖象和x軸交點坐標有關的問題時，使用交點式較為方便。y=a(x-x1)(x-x2) 找到函數圖象與X軸的兩個交點，分別記為x1和x2,代入公式，再有一個經過拋物線的點的坐標，即可求出a的值。 將a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2)，即可得到一個解析式，這是y=ax²;+bx+c因式分解得到的，將括弧打開，即為一般式。X1,X2是關於ax²+bx+c=0的兩個根。

Ⅶ 二次函數交點式

解：設二次函數的解析式是交點式y=a(x+2)(x-6),把x=0,y=-2√3代入解析式，得：
-2√3=a(0+2)(0-6)
-2√3=-12a
a=√3/6
再把a=√3/6代入y=a(x+2)(x-6)得二次函數的解析式y=(√3/6)(x+2)(x-6),化成一般式，是：
y=(√3/6)x²-(2√3/3)x-2√3,配方：
y=(√3/6)(x²-4x)-2√3
y=(√3/6)(x²-4x+2²)-2√3-(√3/6)×2²
y=(√3/6)(x-2)²-8√3/3
所以頂點坐標是(2, -8√3/3)

Ⅷ 二次函數交點式怎麼求解析式舉個例。

二次函數交點式為：y=a（x-x1）（x-x2），這里與x軸的交點坐標為（x1，0），（x2，0）還需要知道第三點即可求解。

舉例如下：

已知二次函數與x軸的交點為（1，0）（2，0），以及函數圖像像一點（4，12），求解析式。

解：設二次函數解析式為y=a（x-1）（x-2），則

12=a（4-1）（4-2）

12=a×3×2

12=6a

解得：a=2

故，函數解析式為：y=2（x-1）（x-2）。

頂點決定拋物線的位置，幾個不同的二次函數，如果二次項系數相同，那麼拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同。

(8)如何用配方法解交點式擴展閱讀：

交點式：y=a(X-x1)(X-x2)[僅限於與x軸有交點A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線]

在解決與二次函數的圖象和x軸交點坐標有關的問題時，使用交點式較為方便。y=a(x-x1)(x-x2) 找到函數圖象與X軸的兩個交點，分別記為x1和x2,代入公式，再有一個經過拋物線的點的坐標，即可求出a的值。

將a、X1、X2代入y=a(x-x1)(x-x2)，即可得到一個解析式，這是y=ax²;+bx+c因式分解得到的，將括弧打開，即為一般式。X1，X2是關於ax²+bx+c=0的兩個根。

一次函數、正比例函數圖像的主要特徵：一次函數 的圖像是經過點（0，b）的直線；正比例函數 的圖像是經過原點（0，0）的直線。

Ⅸ 二次函數解析式的交點式的頂點坐標和對稱軸怎麼算

二次函數的解析式一般有以下三種基本形式：

1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)。

2、頂點式：y=a(x－m)2+k(a≠0)，其中頂點坐標為(m,k)，對稱軸為直線x=m。

3、交點式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標。

歷史

大約在公元前480年，古巴比倫人和中國人已經使用配方法求得了二次方程的正根，但是並沒有提出通用的求解方法。公元前300年左右，歐幾里得提出了一種更抽象的幾何方法求解二次方程。

7世紀印度的婆羅摩笈多是第一位懂得使用代數方程的人，它同時容許有正負數的根。

11世紀阿拉伯的花拉子密 獨立地發展了一套公式以求方程的正數解。亞伯拉罕·巴希亞（亦以拉丁文名字薩瓦索達著稱）在他的著作Liber embadorum中，首次將完整的一元二次方程解法傳入歐洲。