㈠ 對數函數的祥細解法
一、對數定義及運演算法則問題
利用對數的運演算法則可以將對數的乘、除、乘方、開方運算轉化為對數的加、減、乘、除運算，反之也可以將對數的加、減、乘、除運算轉化為乘、除、乘方、開方運算，這充分顯示了對數運算的優越性
中學生數理化學研版對數函數選擇題是考查對數函數基礎知識的常見題型，其解題基本原則是:小題巧做，避免小題大做.下面結合例題介紹對數函數選擇題的常用解法，給大家參考.一、篩選法它是充分利用選擇題中單選題的特徵，從選擇支人手，根據條件與選擇支的關系，通過分析、推理、計算、判斷，對選擇支進行篩選，將其中與題設矛盾的選擇支逐一排除，從而得到正確結論的方法.例l函數y一2，(xeR)的反函數是().
A.y一fogZx(x>0)
B.夕=logZx(x)1)
C.夕一109，2(x)o)
D.夕=109二2(x)l)分析:因為函數y~2，經過(0，l)點，所以反函數經過點(1，0).故只有A、B滿足此條件.又函數y一2z的值域是y>O，所以反函數的定義域為x>O，排除B.解:A.評注:根據題意排除是最簡單的方法，不過有時還得深層挖掘題意，才能得到結果.二、特值法就是運用滿足條件的某些特殊數值、特殊位置、特殊關系等對各選擇支進行檢驗或推理，利用問題在某一特殊情況下不正確，則它在一般情況下也不正確的原理進行解題的方法.解:B.評注:圖解法解題既節省時間，又直觀易懂，它是解......(
㈡ 計算對數函數的方法
log2 12=log2(4x3)=log24+log23=log2 2^2+log2 3=2log 2 2+log2 3=2+log2 3
把真數化成n個因數的乘積，然後利用公式loga(x1*x2*x3*.......*xn)=logax1+logax2+logx3+.......logxn
再化簡，把對數能開出來的開出來，如果不能開出來的就保留。
㈢ 對數函數的方法與例題 公式
1對數的概念
如果a(a>0，且a≠1)的b次冪等於N，即ab=N，那麼數b叫做以a為底N的對數，記作：logaN=b,其中a叫做對數的底數，N叫做真數.
由定義知：
①負數和零沒有對數;
②a>0且a≠1,N>0;
③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b.
特別地，以10為底的對數叫常用對數，記作log10N,簡記為lgN；以無理數e(e=2.718 28…)為底的對數叫做自然對數，記作logeN，簡記為lnN.
2對數式與指數式的互化
式子名稱abN指數式ab=N(底數)(指數)(冪值)對數式logaN=b(底數)(對數)(真數)
3對數的運算性質
如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那麼
(1)loga(MN)=logaM+logaN.
(2)logaMN=logaM-logaN.
(3)logaMn=nlogaM (n∈R).
問：①公式中為什麼要加條件a>0,a≠1，M>0,N>0?
②logaan=? (n∈R)
③對數式與指數式的比較.(學生填表)
式子ab=NlogaN=b名稱a—冪的底數
b—
N—a—對數的底數
b—
N—運
算
性
質am·an=am+n
am÷an=
(am)n=
(a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN
logaMN=
logaMn=(n∈R)
(a>0,a≠1,M>0,N>0)
難點疑點突破
對數定義中，為什麼要規定a＞0,，且a≠1?
理由如下：
①若a＜0，則N的某些值不存在，例如log-28�
②若a=0，則N≠0時b不存在；N=0時b不惟一，可以為任何正數�
③若a=1時，則N≠1時b不存在；N=1時b也不惟一，可以為任何正數�
為了避免上述各種情況，所以規定對數式的底是一個不等於1的正數�
解題方法技巧
1
(1)將下列指數式寫成對數式：
①54=625；②2-6=164；③3x=27；④13m=5�73.
（2）將下列對數式寫成指數式：
①log1216=-4；②log2128=7；
③log327=x；④lg0.01=-2；
⑤ln10=2.303；⑥lgπ=k.
解析由對數定義：ab=N�logaN=b.
解答(1)①log5625=4.②log2164=-6.
③log327=x.④log135.73=m.
解題方法
指數式與對數式的互化，必須並且只需緊緊抓住對數的定義：ab=N�logaN=b.(2)①12-4=16.②27=128.③3x=27.
④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π.
2
根據下列條件分別求x的值：
(1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0；
(3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1.
解析(1)對數式化指數式，得：x=8-23=?
(2)log5x=20=1. x=?
(3)31+log32=3×3log32=?27=x?
(4)2+3=x-1=1x. x=?
解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.
(2)log5x=20=1，x=51=5.
(3)logx27=3×3log32=3×2=6，
∴x6=27=33=(3)6,故x=3.
(4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3.
解題技巧
①轉化的思想是一個重要的數學思想，對數式與指數式有著密切的關系，在解決有關問題時，經常進行著兩種形式的相互轉化.
②熟練應用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3
已知logax=4,logay=5，求A=〔x·3x-1y2〕12的值.
解析思路一，已知對數式的值，要求指數式的值，可將對數式轉化為指數式，再利用指數式的運算求值；
思路二，對指數式的兩邊取同底的對數，再利用對數式的運算求值�
解答解法一∵logax=4,logay=5,
∴x=a4,y=a5,
∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1.
㈣ 對數函數技巧
可通過指數函數或對數函數的單調性來比較兩個指數式或對數式的大小。
（2）求函數y=af（x）的單調區間，應先求出f（x）的單調區間，然後根據y=au的單調性來求出函數y=af（x）的單調區間．求函數y=logaf（x）的單調區間，則應先求出f（x）的單調區間，然後根據y=logau的單調性來求出函數y=logaf（x）的單調區間。
（3）根據對數的定義，可將一些對數問題轉化為指數問題來解。
（4）通過換底，可將不同底數的對數問題轉化為同底的對數問題來解。
（5）指數方程的解法：
（iii）對於方程f（ax）=0，可令ax=y，換元化為f（y）=0。
（6）對數方程的解法：
（ii）對數方程f（logax）=0，可令logax=y化為f（y）=0。
（7）對於某些特殊的指數方程或對數方程可通過作函數圖象來求其近似解。
㈤ 指數,對數函數解題應注意的問題和方法
1、指數和對數的運算
指數和對數的運算是學習指數函數和對數函數的基礎,在初中我們接觸了一些指數和對數的運演算法則,但是在高中階段我們對純粹的計算要求不高,但是應用很多的,所以必須記住相應的計演算法則,和一些常用的特殊值如 這樣的恆等式,對解答本部分題目用處很大,也對我們接指數對數方程和不等式用處很大.
2、指數函數和對數函數
指數函數和對數函數是高考考查的重點,必須記住常見的指對數函數,
如 還有兩個特殊的
利用這些函數記住相應的函數的性質和圖像,這部分題目考查有函數過定點,函數值得大小比較,函數的圖像變換等等
3、指數方程,對數方程及其不等式
這是我們在解題過程中常用到的,也是由函數的單調性得到的函數的一類應用問題,化成同底是解決這類問題的關鍵,方程就要注意特殊值,不等式就要注意函數的單調性,但是對於對數函數來說的話,必須注意定義域的限制!
4、指數型和對數型的復合函數
復合函數的求值,復合函數的單調性等都是考查的重點,所以必須熟悉常見的復合函數的處理方法,復合函數的單調性的判斷法則等.對數型復合函數是考查的重點,因為涉及到定義域問題是學生最最容易出現的問題,所以應該明白為什麼上課的時候總是在強調函數問題在處理的時候一定要定義域優先了!
5、指數函數和對數函數的關系
指數函數和對數函數互為反函數,圖像關於直線 對稱,把握住這兩點就沒有問題了,像2013年的陝西文科的最後一道題的第一問就涉及到指數函數的反函數問題,其實就是所對應的對數函數而已!
總之函數的學習一定要注意歸納題型和方法,總結解題的常見思路和方法,從而慢慢的掌握解題的思路和方法,解題是一個復雜的過程,還是需要多多的練習了!
解題方法：
（1）可通過指數函數或對數函數的單調性來比較兩個指數式或對數式的大小.
（2）求函數y=af（x）的單調區間,應先求出f（x）的單調區間,然後根據y=au的單調性來求出函數y=af（x）的單調區間．求函數y=logaf（x）的單調區間,則應先求出f（x）的單調區間,然後根據y=logau的單調性來求出函數y=logaf（x）的單調區間.
（3）根據對數的定義,可將一些對數問題轉化為指數問題來解.
（4）通過換底,可將不同底數的對數問題轉化為同底的對數問題來解.
（5）指數方程的解法：
（iii）對於方程f（ax）=0,可令ax=y,換元化為f（y）=0.
（6）對數方程的解法：
（ii）對數方程f（logax）=0,可令logax=y化為f（y）=0.
（7）對於某些特殊的指數方程或對數方程可通過作函數圖象來求其近似解.
㈥ 關於對數函數計算的方法
1對數的概念如果a(a>0，且a≠1)的b次冪等於N，即ab=N，那麼數b叫做以a為底N的對數，記作：logaN=b,其中a叫做對數的底數，N叫做真數. 由定義知： ①負數和零沒有對數; ②a>0且a≠1,N>0; ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特別地，以10為底的對數叫常用對數，記作log10N,簡記為lgN；以無理數e(e=2.718 28…)為底的對數叫做自然對數，記作logeN，簡記為lnN. 2對數式與指數式的互化 式子名稱abN指數式ab=N(底數)(指數)(冪值)對數式logaN=b(底數)(對數)(真數) 3對數的運算性質如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那麼 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaMN=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM (n∈R). 問：①公式中為什麼要加條件a>0,a≠1，M>0,N>0? ②logaan=? (n∈R) ③對數式與指數式的比較.(學生填表) 式子ab=NlogaN=b名稱a—冪的底數 b— N—a—對數的底數 b— N—運算性質am·an=am+n am÷an= (am)n= (a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN logaMN= logaMn=(n∈R) (a>0,a≠1,M>0,N>0) 難點疑點突破對數定義中，為什麼要規定a＞0,，且a≠1? 理由如下： ①若a＜0，則N的某些值不存在，例如log-28� ②若a=0，則N≠0時b不存在；N=0時b不惟一，可以為任何正數� ③若a=1時，則N≠1時b不存在；N=1時b也不惟一，可以為任何正數�為了避免上述各種情況，所以規定對數式的底是一個不等於1的正數� 解題方法技巧 1 (1)將下列指數式寫成對數式： ①54=625；②2-6=164；③3x=27；④13m=5�73. （2）將下列對數式寫成指數式： ①log1216=-4；②log2128=7； ③log327=x；④lg0.01=-2； ⑤ln10=2.303；⑥lgπ=k. 解析由對數定義：ab=N�logaN=b. 解答(1)①log5625=4.②log2164=-6. ③log327=x.④log135.73=m. 解題方法指數式與對數式的互化，必須並且只需緊緊抓住對數的定義：ab=N�logaN=b.(2)①12-4=16.②27=128.③3x=27. ④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π. 2 根據下列條件分別求x的值： (1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0； (3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1. 解析(1)對數式化指數式，得：x=8-23=? (2)log5x=20=1. x=? (3)31+log32=3×3log32=?27=x? (4)2+3=x-1=1x. x=? 解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14. (2)log5x=20=1，x=51=5. (3)logx27=3×3log32=3×2=6， ∴x6=27=33=(3)6,故x=3. (4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3
㈦ 對數函數的運演算法則及公
1.對數源於指數，是指數函數反函數
因為：y = ax
所以：x = logay
2. 對數的定義
【定義】如果 N=ax（a>0,a≠1），即a的x次方等於N（a>0，且a≠1），那麼數x叫做以a為底N的對數（logarithm），記作：
x=logaN
其中，a叫做對數的底數，N叫做真數，x叫做 「以a為底N的對數」。
2.1對數的表示及性質：
1.以a為底N的對數記作：logaN
2.以10為底的常用對數：lgN = log10N
3.以無理數e（e=2.71828...）為底的自然對數記作：lnN = logeN
4.零沒有對數.
5.在實數范圍內，負數無對數。 [3]在虛數范圍內，負數是有對數的。
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註： 自然對數的底數 e ：https://www.guokr.com/article/50264/
細胞分裂現象是不間斷、連續的，每分每秒產生的新細胞，都會立即和母體一樣繼續分裂，一個單位時間(24小時)最多可以得到多少個細胞呢？答案是：當增長率為100%保持不變時，在單位時間內細胞種群最多隻能擴大2.71828倍。 數學家把這個數就稱為e，它的含義是單位時間內，持續的翻倍增長所能達到的極限值。
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3.對數函數
【3.1定義】
函數 叫做對數函數（logarithmic function），其中x是自變數。對數函數的定義域是 。
【3.2函數基本性質】
1、過定點 ，即x=1時，y=0。
2、當 時，在 上是減函數；
當 時，在 上是增函數。
4.對數運演算法則(rule of logarithmic operations）
對數運演算法則，是一種特殊的運算方法。指 積、商、冪、方根 的對數的運演算法則
由指數和對數的互相轉化關系可得出:
1.兩個正數的積的對數，等於同一底數的這兩個數的對數的和，即：
2.兩個正數商的對數，等於同一底數的被除數的對數減去除數對數的差，即：
3一個正數冪的對數，等於冪的底數的對數乘以冪的指數，即：
4.若式中冪指數則有以下的正數的算術根的對數運演算法則:一個正數的算術根的對數，等於被開方數的對數除以根指數，即：
5.推導
5.對數公式
5.1基本知識
① ；
② ；
③負數與零無對數.
④ * =1；
⑤ ；
5.2恆等式及證明
a^log(a)(N)=N (a>0 ，a≠1）
對數公式運算的理解與推導by尋韻天下(8張)
推導：log(a) (a^N)=N恆等式證明
在a>0且a≠1，N>0時
設：當log(a)(N)=t，滿足(t∈R)
則有a^t=N;
a^(log(a)(N))=a^t=N;
證明完畢
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㈧ 對數函數的解題技巧
您好。對數函數一些必要的數值要熟練 比如一些常用的乘方立方的值。對於計算題要多做，對數函數十分靈活～
㈨ 解答對數時有什麼技巧 對數的解答有技巧沒
解題方法技巧 1 (1)將下列指數式寫成對數式： ①54=625；②2-6=164；③3x=27；④13m=5 73. （2）將下列對數式寫成指數式： ①log1216=-4；②log2128=7； ③log327=x；④lg0.01=-2； ⑤ln10=2.303；⑥lgπ=k. 解析由對數定義：ab=N logaN=b. 解答(1)①log5625=4.②log2164=-6. ③log327=x.④log135.73=m. 解題方法 指數式與對數式的互化,必須並且只需緊緊抓住對數的定義：ab=N logaN=b.(2)①12-4=16.②27=128.③3x=27. ④10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=π. 2 根據下列條件分別求x的值： (1)log8x=-23；(2)log2(log5x)=0； (3)logx27=31+log32；(4)logx(2+3)=-1. 解析(1)對數式化指數式,得：x=8-23=? (2)log5x=20=1. x=? (3)31+log32=3×3log32=?27=x? (4)2+3=x-1=1x. x=? 解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14. (2)log5x=20=1,x=51=5. (3)logx27=3×3log32=3×2=6, ∴x6=27=33=(3)6,故x=3. (4)2+3=x-1=1x,∴x=12+3=2-3. 解題技巧 ①轉化的思想是一個重要的數學思想,對數式與指數式有著密切的關系,在解決有關問題時,經常進行著兩種形式的相互轉化. ②熟練應用公式：loga1=0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3 已知logax=4,logay=5,求A=〔x·3x-1y2〕12的值. 解析思路一,已知對數式的值,要求指數式的值,可將對數式轉化為指數式,再利用指數式的運算求值； 思路二,對指數式的兩邊取同底的對數,再利用對數式的運算求值 解答解法一∵logax=4,logay=5, ∴x=a4,y=a5, ∴A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53·a-53=a0=1. 解法二對所求指數式兩邊取以a為底的對數得 logaA=loga(x512y-13) =512logax-13logay=512×4-13×5=0, ∴A=1. 解題技巧 有時對數運算比指數運算來得方便,因此以指數形式出現的式子,可利用取對數的方法,把指數運算轉化為對數運算.4 設x,y均為正數,且x·y1+lgx=1(x≠110),求lg(xy)的取值范圍. 解析一個等式中含兩個變數x、y,對每一個確定的正數x由等式都有惟一的正數y與之對應,故y是x的函數,從而lg(xy)也是x的函數.因此求lg(xy)的取值范圍實際上是一個求函數值域的問題,怎樣才能建立這種函數關系呢?能否對已知的等式兩邊也取對數? 解答∵x>0,y>0,x·y1+lgx=1, 兩邊取對數得：lgx+(1+lgx)lgy=0. 即lgy=-lgx1+lgx(x≠110,lgx≠-1). 令lgx=t, 則lgy=-t1+t(t≠-1). ∴lg(xy)=lgx+lgy=t-t1+t=t21+t. 解題規律 對一個等式兩邊取對數是解決含有指數式和對數式問題的常用的有效方法；而變數替換可把較復雜問題轉化為較簡單的問題.設S=t21+t,得關於t的方程t2-St-S=0有實數解. ∴Δ=S2+4S≥0,解得S≤-4或S≥0, 故lg(xy)的取值范圍是(-∞,-4〕∪〔0,+∞). 5 求值： (1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2； (2)2log32-log3329+log38-52log53； (3)設lga+lgb=2lg(a-2b),求log2a-log2b的值; (4)求7lg20·12lg0.7的值. 解析(1)25=52,50=5×10.都化成lg2與lg5的關系式. (2)轉化為log32的關系式. (3)所求log2a-log2b=log2ab由已知等式給出了a,b之間的關系,能否從中求出ab的值呢? (4)7lg20·12lg0.7是兩個指數冪的乘積,且指數含常用對數, 設x=7lg20·12lg0.7能否先求出lgx,再求x? 解答(1)原式=lg52+lg2·lg(10×5)+(lg2)2 =2lg5+lg2·(1+lg5)+(lg2)2 =lg5·(2+lg2)+lg2+(lg2)2 =lg102·(2+lg2)+lg2+(lg2)2 =(1-lg2)(2+lg2)+lg2+(lg2)2 =2-lg2-(lg2)2+lg2+(lg2)2=2. (2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59 =2log32-5log32+2+3log32-9 =-7. (3)由已知lgab=lg(a-2b)2 (a-2b>0), ∴ab=(a-2b)2, 即a2-5ab+4b2=0. ∴ab=1或ab=4,這里a>0,b>0. 若ab=1,則a-2b<0, ∴ab=1（ 捨去）. ∴ab=4, ∴log2a-log2b=log2ab=log24=2. (4)設x=7lg20·12lg0.7,則 lgx=lg20×lg7+lg0.7×lg12 =(1+lg2)·lg7+(lg7-1)·(-lg2) =lg7+lg2=14, ∴x=14, 故原式=14. 解題規律 ①對數的運演算法則是進行同底的對數運算的依據,對數的運演算法則是等式兩邊都有意義的恆等式,運用法則進行對數變形時要注意對數的真數的范圍是否改變,為防止增根所以需要檢驗,如(3). ②對一個式子先求它的常用對數值,再求原式的值是代數運算中常用的方法,如(4).6 證明(1)logaN=logcNlogca(a>0,a≠1,c>0,c≠1,N>0)； (2)logab·logbc=logac； (3)logab=1logba(b>0,b≠1)； (4)loganbm=mnlogab. 解析(1)設logaN=b得ab=N,兩邊取以c為底的對數求出b就可能得證. (2)中logbc能否也換成以a為底的對數. (3)應用(1)將logab換成以b為底的對數. (4)應用(1)將loganbm換成以a為底的對數. 解答(1)設logaN=b,則ab=N,兩邊取以c為底的對數得：b·logca=logcN, ∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca. (2)由(1)logbc=logaclogab. 所以logab·logbc=logab·logaclogab=logac. (3)由(1)logab=logbblogba=1logba. 解題規律 (1)中logaN=logcNlogca叫做對數換底公式,(2)(3)(4)是(1)的推論,它們在對數運算和含對數的等式證明中經常應用. 對於對數的換底公式,既要善於正用,也要善於逆用.(4)由(1)loganbm=logabmlogaan=mlogabnlogaa= mnlogab. 7 已知log67=a,3b=4,求log127. 解析依題意a,b是常數,求log127就是要用a,b表示log127,又3b=4即log34=b,能否將log127轉化為以6為底的對數,進而轉化為以3為底呢? 解答已知log67=a,log34=b, ∴log127=log67log612=a1+log62. 又log62=log32log36=log321+log32, 由log34=b,得2log32=b. ∴log32=b2,∴log62=b21+b2=b2+b. ∴log127=a1+b2+b=a(2+b)2+2b. 解題技巧 利用已知條件求對數的值,一般運用換底公式和對數運演算法則,把對數用已知條件表示出來,這是常用的方法技巧 8 已知x,y,z∈R+,且3x=4y=6z. (1)求滿足2x=py的p值； (2)求與p最接近的整數值； (3)求證：12y=1z-1x. 解析已知條件中給出了指數冪的連等式,能否引進中間量m,再用m分別表示x,y,z?又想,對於指數式能否用對數的方法去解答? 解答（1）解法一3x=4y log33x=log34y x=ylog34 2x=2ylog34=ylog316, ∴p=log316. 解法二設3x=4y=m,取對數得： x·lg3=lgm,ylg4=lgm, ∴x=lgmlg3,y=lgmlg4,2x=2lgmlg3,py=plgmlg4. 由2y=py, 得 2lgmlg3=plgmlg4, ∴p=2lg4lg3=lg42lg3=log316. (2)∵2=log39<log316<log327=3, bdsfid="114" ∴log32716<log3169,∴p-2="" 而2716<169,="" p-2="log316-log39=log3169," 又3-p="log327-log316=log32716," ∴2<p 3-p. ∴與p最接近的整數是3. 解題思想 ①提倡一題多解.不同的思路,不同的方法,應用了不同的知識或者是相同知識的靈活運用,既發散了思維,又提高了分析問題和解決問題的能力,何樂而不為呢? ②(2)中涉及比較兩個對數的大小.這是同底的兩個對數比大小.因為底3>1,所以真數大的對數就大,問題轉化為比較兩個真數的大小,這里超前應用了對數函數的單調性,以鼓勵學生超前學習,自覺學習的學習積極性.(3)解法一令3x=4y=6z=m,由於x,y,z∈R+, ∴k>1,則 x=lgmlg3,y=lgmlg4,z=lgmlg6, 所以1z-1x=lg6lgm-lg3lgm=lg6-lg3lgm=lg2lgm,12y=12·lg4lgm=lg2lgm, 故12y=1z-1x. 解法二3x=4y=6z=m, 則有3=m1x①,4=m1y②,6=m1z③, ③÷①,得m1z-1x=63=2=m12y. ∴1z-1x=12y. 9 已知正數a,b滿足a2+b2=7ab.求證：logma+b3=12(logma+logmb)(m>0且m≠1). 解析已知a>0,b>0,a2+b2=7ab.求證式中真數都只含a,b的一次式,想：能否將真數中的一次式也轉化為二次,進而應用a2+b2=7ab? 解答logma+b3=logm(a+b3)212=</log316