如何判斷求積分方法

A. 如何判斷一個函數不可積，方便求積分的一些方法

正態分布函數的密度函數是不可積的，雖然它的原函數(即不定積分)存在，但不能用初等函數表達出來。
習慣上，如果一個已給的連續函數的原函數能用初等函數表達出來，就說這函數是「積得出的函數」，否則就說它是「積不出」的函數。比如下面列出的幾個積分都是屬於「積不出」的函數，但是這些積分在概率論，數論，光學，傅里葉分析等領域起著重要作用。
（1）∫e^(-x²)dx；（2）∫(sinx)/xdx；
（3）∫1/(lnx)dx；（3）∫sinx²dx；
（5）∫根號(a²sin²x+b²cos²x)dx(a²≠b²)
標准正態分布函數：φ(x)=[1/根號(2π)]∫(-∞,x)e^(-x²/2)dx
這個函數是不可積的，但是它的原函數是存在的，只是不能用初等函數表示而已。
習慣上，如果一個已給的連續函數的原函數能用初等函數表達出來，就說這函數是「積得出的函數」，否則就說它是「積不出」的函數。比如下面列出的幾個積分都是屬於「積不出」的函數
∫e^(-x*x)dx,∫(sinx)/xdx,∫1/(lnx)dx,∫sin(x*x)dx
∫(a*a*sinx*sinx+b*b*cosx*cosx)^(1/2)dx(a*a不等於b*b)
--------------------------------------
以下是從別人那粘貼過來的..原函數我也不知道,不過希望下面的對你有幫助
___________________________________
下面證明∫sint/tdt=π/2(積分上限為∞，下限為0）
因為sint/t不存在初等函數的原函數，所以下面引入一個「收斂因子」e^(-xt)(x>=0),轉而討論含參量的積分。
i(x)=∫e^(-xt)sint/tdt
(積分上限為∞，下限為0）
顯然：
i(0)=∫sint/tdt(積分上限為∞，下限為0）
i`(x)=∫∂（e^(-xt)sint/t)/∂x
dt
(積分上限為∞，下限為0）
=∫e^(-xt)sin(t)sint(積分上限為∞，下限為0）
=e^(-xt)(xsint+cost)/(1+x^2)|(上限為∞，下限為0）
=-1/(1+x^2)
從而有
i(x)=-∫(1/(1+x^2))dx=-arctan(x)+c
(1)
|i(x)|=|∫e^(-xt)sint/tdt|
≤∫|e^(-xt)sint/t|dt
≤∫e^(-xt)dt
=-(1/x)*e^(-xt)|(對t的積分原函數，上限為∞，下限為0）
=1/x
－－>0
(x－－>+∞)
即lim(i(x))－－>0
(x－－>+∞)
對（1）式兩端取極限：
lim(i(x))(x－－>+∞)
=-lim(-arctan(x)+c
)
(x－－>+∞)
=-π/2+c
即有0=-π/2+c，可得c=π/2
於是（1）式為
i(x）=-arctan(x)+π/2
limi(x）=lim(-arctan(x)+π/2)
(x－－>0)
i(0)=π/2
所以有
i(0)=∫sint/tdt(積分上限為∞，下限為0）=π/2
因為sinx/x是偶函數，所以
∫sint/tdt(積分上限為∞，下限為-∞）
=π
。
...

B. 定積分與不定積分的區別是什麼 在做一道定積分題時,如何去判斷用換元積分法還是分部積分法

不定積分計算的是原函數（得出的結果是一個式子）
定積分計算的是具體的數值（得出的借給是一個具體的數字）
不定積分是微分的逆運算
而定積分是建立在不定積分的基礎上把值代進去相減
積分
積分,時一個積累起來的分數,現在網上,有很多的積分活動.象各種電子郵箱,qq等.
在微積分中
積分是微分的逆運算,即知道了函數的導函數,反求原函數.在應用上,積分作用不僅如此,它被大量應用於求和,通俗的說是求曲邊三角形的面積,這巧妙的求解方法是積分特殊的性質決定的.
一個函數的不定積分（亦稱原函數）指另一族函數,這一族函數的導函數恰為前一函數.
其中：[F(x) + C]' = f(x)
一個實變函數在區間[a,b]上的定積分,是一個實數.它等於該函數的一個原函數在b的值減去在a的值.
定積分
我們知道,用一般方法,y=x^2不能求面積(以x軸,y=x^2,x=0,x=1為界)
定積分就是解決這一問題的.
那摸,怎摸解呢?
用定義法和 微積分基本定理(牛頓-萊布尼茲公式)
具體的,導數的幾條求法都知道吧.
微積分基本定理求定積分
進行逆運算
例:求f(x)=x^2在0~1上的定積分
∫(上面1,下面0)f(x)dx=F(x)|(上面1,下面0)=(三分之一倍的x的三次方)|(上面1,下面0)≈0.3333×1－0.3333×0=0.3333(三分之一)
完了
應該比較簡單
不定積分
設F（x)是函數f(x)的一個原函數,我們把函數f(x)的所有原函數F(x)+C（C為任意常數）叫做函數f(x)的不定積分,記作,即∫f(x)dx=F(x)+C.
其中∫叫做積分號,f(x)叫做被積函數,x叫做積分變數,f(x)dx叫做被積式,C叫做積分常數,求已知函數的不定積分的過程叫做對這個函數進行積分.
由定義可知：
求函數f(x)的不定積分,就是要求出f(x)的所有的原函數,由原函數的性質可知,只要求出函數f(x)的一個原函數,再加上任意的常數C,就得到函數f(x)的不定積分.
總體來說定積分和不定積分的計算對象是不同的
所以他們才有那麼大的區別

C. 請問不定積分的求法應該怎麼確定如何確定用哪種方法謝謝老師。

先多刷題，做多了，就有路子了
第一，一定要自己推導基本的積分公式，如冪函數，三角函數，指數對數函數的積分公式；
第二，學會一些必要的變換，如三角變換，雙曲變換，..等
第三，盡可能的學會使用基本的數學軟體，如Matlb,Maple等，至少會一些基本的輸入，輸出

D. 積分方法有哪些

換元積分法可分為第一類換元法與第二類換元法。
一、第一類換元法（即湊微分法）
通過湊微分，最後依託於某個積分公式。進而求得原不定積分。例如 。
二、註：第二類換元法的變換式必須可逆。
第二類換元法經常用於消去被積函數中的根式。當被積函數是次數很高的二項式的時候，為了避免繁瑣的展開式，有時也可以使用第二類換元法求解。常用的換元手段有兩種：
1、 根式代換法，
2、 三角代換法。
在實際應用中，代換法最常見的是鏈式法則，而往往用此代替前面所說的換元。
鏈式法則是一種最有效的微分方法，自然也是最有效的積分方法，下面介紹鏈式法則在積分中的應用：
鏈式法則：
我們在寫這個公式時，常常習慣用u來代替g，即：

如果換一種寫法，就是讓：

就可得：
這樣就可以直接將dx消掉，走了一個捷徑。 設函數和u，v具有連續導數，則d(uv)=udv+v。移項得到udv=d(uv)-v
兩邊積分，得分部積分公式
∫udv=uv-∫v。 ⑴
稱公式⑴為分部積分公式．如果積分∫v易於求出，則左端積分式隨之得到．
分部積分公式運用成敗的關鍵是恰當地選擇u,v
一般來說，u,v 選取的原則是：
1、積分容易者選為v， 2、求導簡單者選為u。
例子：∫Inx dx中應設U=Inx,V=x
分部積分法的實質是：將所求積分化為兩個積分之差，積分容易者先積分。實際上是兩次積分。
有理函數分為整式（即多項式）和分式（即兩個多項式的商），分式分為真分式和假分式，而假分式經過多項式除法可以轉化成一個整式和一個真分式的和．可見問題轉化為計算真分式的積分．
可以證明，任何真分式總能分解為部分分式之和。

E. 怎樣求積分

求積分的過程：

求積分的方法：

第一類換元其實就是一種拼湊,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是關於f（x）的函數，再把f（x）看為一個整體，求出最終的結果。（用換元法說，就是把f（x）換為t，再換回來）

分部積分，就那固定的幾種類型，無非就是三角函數乘上x，或者指數函數、對數函數乘上一個x這類的，記憶方法是把其中一部分利用上面提到的f『（x）dx=df（x）變形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx這樣的公式，當然x可以換成其他g（x）

(5)如何判斷求積分方法擴展閱讀：

常用積分公式：

1）∫0dx=c

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c

10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c

11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c

12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c

13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c

F. 求定積分時怎樣判斷什麼時候使用區間再現公式 求具體解

判斷方法：一般用於被積函數含有較復雜的三角函數時。區間通常為0到π內。

一個函數，可以存在不定積分，而不存在定積分；也可以存在定積分，而不存在不定積分。一個連續函數，一定存在定積分和不定積分；若只有有限個間斷點，則定積分存在；若有跳躍間斷點，則原函數一定不存在，即不定積分一定不存在。

設函數f(x) 在區間[a,b]上連續，將區間[a,b]分成n個子區間[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各區間的長度依次是：△x1=x1-x0，在每個子區間(xi-1,xi]中任取一點ξi（1,2,...,n），作和式用文字表述為：一個定積分式的值，就是原函數在上限的值與原函數在下限的值的差。

正因為這個理論，揭示了積分與黎曼積分本質的聯系，可見其在微積分學以至更高等的數學上的重要地位，因此，牛頓-萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理。

G. 求積分方法

1、不定積分

設函數f（x）的一個原函數，我們把函數f（x）的所有原函數F（x）+C（C為任意常數）叫做函數f（x）的不定積分，記作，即∫f（x）dx=F（x）+C.其中∫叫做積分號，f（x）叫做被積函數，x叫做積分變數，f（x）dx叫做被積式，C叫做積分常數，求已知函數不定積分的過程叫做對這個函數進行積分。

2、定積分

積分是微積分學與數學分析里的一個核心概念。通常分為定積分和不定積分兩種。直觀地說，對於一個給定的實函數f（x），若f（x）在[a,b]上恆為正，可以將定積分理解為在Oxy坐標平面上，由曲線（x，f（x））、直線x=a、x=b以及x軸圍成的面積值（一種確定的實數值）。

(7)如何判斷求積分方法擴展閱讀：

勒貝格積分

勒貝格積分的出現源於概率論等理論中對更為不規則的函數的處理需要。黎曼積分無法處理這些函數的積分問題。因此，需要更為廣義上的積分概念，使得更多的函數能夠定義積分。

同時，對於黎曼可積的函數，新積分的定義不應當與之沖突。勒貝格積分就是這樣的一種積分。 黎曼積分對初等函數和分段連續的函數定義了積分的概念，勒貝格積分則將積分的定義推廣到測度空間里。

勒貝格積分的概念定義在測度的概念上。測度是日常概念中測量長度、面積的推廣，將其以公理化的方式定義。黎曼積分實際可以看成是用一系列矩形來盡可能鋪滿函數曲線下方的圖形，而每個矩形的面積是長乘寬，或者說是兩個區間之長度的乘積。

測度為更一般的空間中的集合定義了類似長度的概念，從而能夠「測量」更不規則的函數曲線下方圖形的面積，從而定義積分。在一維實空間中，一個區間A= [a,b] 的勒貝格測度μ(A)是區間的右端值減去左端值，b−a。

這使得勒貝格積分和正常意義上的黎曼積分相兼容。在更復雜的情況下，積分的集合可以更加復雜，不再是區間，甚至不再是區間的交集或並集，其「長度」則由測度來給出。