圓錐曲線解題技巧方法

⑴ 圓錐曲線的解題技巧

圓錐曲線的解題技巧：

①定義和相應參數必須掌握。一些問題死算很花時間，而用定義幾乎是秒殺。經常在最值類題目出現。

②注意一些幾何關系。在圓錐曲線題目中，經常用到三角形各心的性質，相似三角形以及全等等平面幾何知識。這個經常在軌跡類題目出現。

③特別注意直線和圓錐曲線的位置關系這塊知識，近幾年各地高考考察率幾乎是100%。尤其注意相交時的設而不求。這塊知識往往是難點，難不是想不到，而是算不出。所以平時必須加強計算能力。常見問題：定值定點，參數范圍，中點弦等、

④
在基礎的掌握後，必須自學一些課堂上講不到的一些知識，對付一些題目可以起到事半功倍的效果。推薦這幾個：極坐標，參數方程，圓錐曲線硬解定理，隱函數求導，圓錐曲線的極點和極線。極坐標對於過焦點的直線的相關問題可謂是秒殺，參數方程可秒某些范圍問題。硬解定理在80%的圓錐曲線題目中可用，但是式子復雜。這個熟悉了之後，常見的一些題目都能在10分鍾內解決了。隱函數求導和圓錐曲線的極點極線二選一，作用一
樣，都是用來解決中點弦問題，比點差法快。

註：極坐標和硬解定理以及參數方程可在答題卡上作答。其他的謹慎，大題老實點差法，小題偷偷用。

⑵ 圓錐曲線的解題技巧有哪些

直線和圓錐曲線的問題是解析幾何中的典型問題，也是考試中容易出大題的考點。解決這類問題的關鍵就是要明白直線和圓錐曲線問題的本質。直線接圓錐曲線就會在曲線內形成弦，這是一個最大的出題點，根據弦就可以涉及到弦長，另外線和圓錐曲線有交點，涉及到交點就會涉及到坐標的一些問題，若是再和交點、原點等一些特殊點構成一些關系還會涉及到角度問題。解析幾何就是利用代數方法解決幾何問題，因此這些幾何上的角度，弦長等一些關系都要轉化成坐標，以及方程的形式。但是問題的本質還是幾何問題，因此更多的利用圓錐曲線的幾何性質可以化簡計算。比如，在坐標法中向量是和幾何問題結合最緊密的方法，因此涉及到角度等一些問題可以用向量去做，這樣會比直接利用直線的夾角公式計算要稍簡單一些。 從解題思路上來說解決直線與圓錐曲線的問題主要有兩各種方法，第一種是將直線方程與圓錐曲線方程聯立。一般來說都是要用參數設出直線方程。個人感覺將直線設為代謝率的方式比較好：若是已知直線過某些點（比如圓錐曲線的頂點、焦點）可以設為y-y0=k(x-x0)，或是y=kx+b，但是設成這兩種形式都要考慮到直線斜率不存在的問題即x=x0，在解題中不妨先考慮這種情況，以免忘記。方程聯立後，就是要利用已知條件找到參數與參數之間或是與已知量之間的關系，這時一般會用到韋達定理進行轉化，不另外不要忘了考慮判別式。 第二種方法是點差法。這種方法是將兩個交點的坐標先帶入圓錐曲線方程，然後進行做差，這樣就會出現平方相減或相加的項，方便轉化和化簡，這里在化簡和轉化的過程中主要利用的是直線方程，因此貌似大部分題的參數都在直線中。 這類題的計算量一般會比較大，在解題時可以使用一些小技巧簡化計算。比如涉及到焦點的問題看看可不可以用圓錐曲線的第二定義轉化。利用第二定義就可以將點到點之間的距離轉化為點到直線之間的距離，而且一般情況下直線還是垂直於x軸或y軸的，這樣直接就和坐標聯繫上了，這種方法在圓錐曲線中含有參數的時候還是挺好使的，一般在答題中應用不多，小題中會有不少應用，因此還是要掌握好第二定義。 一般來說，這種題比較怕遇見第一問是求軌跡方程的問題（其實這種題還是挺常見的）。這是就要確保軌跡方程求的正確。一般軌跡方程不會是生算出來的，需要利用一下圓錐曲線的第一定義或是第二定義。解答完畢後一定要表明曲線的范圍。因為根據已知條件求得的有可能只是某曲線的一部分，如雙曲線的一支。 對於做題這個問題，我認為相同類型的題目適當的做一些就可以了，主要是要把解題的思路給體會到了，至於更多的題，要是還不放心就看看，大該寫寫思路就可以了。在考試前一定要完整的做個一、兩道來保證考試時不會手生。當然多做些題並沒有什麼壞處，有些小題還是很靈活的，多做一些有助於找到思路，只要不陷在題海里就好。 針對於考試來說，主要是要有比較好的應試技巧。學的是知識，但是在高中階段檢學習的方式只有考試。在考試的時候遇到不會的題目當然是要放過去，往後做會的。從我的體會來說，做到這一點真的很難，我們總是不想放棄，或是在掙扎要不要放棄，時間就在這樣的猶豫中過去了，後面的題也沒時間做了。在我看來不如給自己定一個想題的上線時間，一般來說，一道題超過5分鍾連思路都沒有，這樣的題就很難做出來了。對於有思路的題，開始做了之後十分鍾還是不能完全做完或是完全理解也就不要做了，因為也很難進行下去了。放過去了，就不要再想著了，難題對每個人都難。另外，不要老把目光局限在大題上面，要想提高成績小題也很重要。高考數學150分，想上120分並不是很容易的，因為大題里一定會有比較難的題，一般就能占個將近20分。這樣從小題來找分就很劃算，一個小題4、5分錯多了丟分也是很快的。可以找幾張自己考得不理想的卷子，一定是在小題上對了不少分。在卷子自己全會的題都答完的時候，不放在瀏覽一遍前面的選擇填空題，來保證小題的正確率，然後再去沖激難度比較大的解答題。想提高分數的另一個方法就是自己心裡要明白，那些題是一定要穩拿的。比如說概率統計的問題，這部分題應該拿到滿分。立體幾何主要是在積累經驗，這部分題也可以考多做一些題來提高分數，一般立體幾何的填空選擇要想滿分沖刺，大題至少要保證兩問正確。函數題注意細節，數列題注意選擇好方法。對於文科生一般會有一道三角函數或是向量大答題，一定要滿分。理科生會有復數的題（一般是小題）一定不能錯。 考試時要敢於放棄，自己不會的題不會做不後悔，自己會的就要盡量做對，這樣一定會是個高分。考前做好充分的復習，不要給自己太大的壓力，考得自己不理想也不要灰心，平時的每次考試都是在為高考練兵，發現錯誤了，改正在高考中不出現就是好樣的。祝樓主在考試中取得好成績。

⑶ 圓錐曲線的解題方法有哪些

軌跡問題、中點弦問題、垂直類問題等等，不要怕算。【知識結構】

【命題趨勢分析】

從近三年高考情況看，圓錐曲線的定義、方程和性質仍是高考考查的重點內容，三年平均佔分20分，約為全卷分值的13.3%，在題型上一般安排選擇、填空、解答各一道，分別考查三種不同的曲線，而直線與圓錐曲線的位置關系又是考查的重要方面。

例1 （2002年江蘇卷理科第13題）橢圓 的一個焦點是（0，2），則k________________________________________。

分析 本題主要考查橢圓的標准方程，先將其化為標准形式，然後求解。

解 橢圓方程即 ∴ ，∴由 解得k=1。

點評 由焦點在y軸上，其標准方程應化為 的形式，若此題變化為：已知曲線 的焦距為4，則k_____________________________________。

則應分兩種情況討論：（1）若為橢圓，則k=1；（2）若為雙曲線，方程即為
∴ ，由 ，由 ，得 。

例2 （2001年全國卷理科第14題）雙曲線 的兩個焦點為 ，點P在雙曲線上，若 ，則點P到x軸的距離為_________________________________。

分析 本題主要考查雙曲線的定義，從「形」的角度看，只需求出 斜邊 上的高，可用第一定義求解；從「數」的角度看，只需求出點P的縱坐標 ，先利用第二定義即焦半徑公式表示出 ， ，由勾股定理求出 ，再代入雙曲線方程即可求出 的值；由於點P在以 為直徑的圓上，因此，解決本題一個最基本的方法，則是利用交跡法求出點P。

解法一 設 ，且由雙曲線的對稱性不妨設點P在第一象限，則m―n=2a―6 ①， ②，

②－① 得2mn=64，∵mn=32，作PQ⊥x軸於Q，則在 中， ，即點P到x軸的距離為 ，

解法二 設 ，由第二定義可得 ， ，∵ ，

∴ ，

即 ，這里a=3 c=5 ，代入得 。

∴由雙曲線方程得 ，∴ 。

解法三 設 ，∵
∴點P在以 為直徑的圓上，即

①，又點P在雙曲線上，

∴ ②，由①，②消去 ，得 ，∴ 。

點評 （1）由雙曲線的對稱性，可將點P設定在第一象限內，而不必考慮所有的情況。

（2）解題的目標意識很重要，例如在解法一中只需整體求出mn的值，而不必將m，n解出；在解法三中只需求 即可；

（3）在三種解法中，以解法三最簡潔，因此，最基本的方法有時也是最有效的方法。

（4）如果將問題改為：當 為鈍角時，點P的橫坐標的取值范圍是________________________________。

那麼，可先求出使 時的點P的橫坐標為 ，由圖形直觀及雙曲線的范圍可得 ，2000年高考理科第14題考查了橢圓中與此類似的問題。

例3 （2000年全國卷理科第11題）過拋物線 的焦點F作一直線交拋物線於P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是p、q，則 等於（ ）

A．2a B． C．4a D．
分析 此題主要考查拋物線的定義與標准方程，可利用焦半徑公式來解決。

解 拋物線方程即 ，記 ，則F（0，m），而直線PQ的方程可設為x=k（y－m），代入拋物線方程 得

，

設 ，則

而 ，

於是， ，

。

故， 。

當k=0時，易證結論也成立，因而選C。

點評 （1）由於所給拋物線的焦點在y軸上，故其焦點是 ，焦半徑公式是 ，而不能寫成 。（2）解題中，令 以及將直線PQ的方程設為x=k（y－m），都是為了簡化運算。（3）作為一道選擇題，如此解法顯然是不經濟的，可以利用上節例5中的結論3直接得出結果，因此，記住一些重要結論，對提高解題效率無疑是有益的。（4）特例法也是解選擇題的常用的解題方法，本題只需考慮PQ//x軸，即為通徑的情況，可立即得出結果。

例4 （2001年全國卷理科第19題）設拋物線 的焦點F，經過點F的直線交拋物線於A、B兩點，點C在拋物線的准線上，且BC//x軸，證明直線AC經過坐標原點O。

分析 本小題主要考查拋物線的概念和性質，直線的方程和性質，運算能力和邏輯推理能力，證明三點共線，只須證明OC、OA兩直線的斜率相等，也可利用拋物線的性質證明AC與x軸的交點N恰為EF的中點，從而N與O重合，證得結論。

解法一 易知焦點 ，設直線AB的方程是 ，代入拋物線方程得

設 ，則

，即 。

因BC//x軸，且C在准線1上，故點 ，且 ，從而 ，從而

， ，

於是， ，從而A、O、C三點共線，即直線AC經過原點O。

解法二 如圖，設准線1交x軸於點E，AD⊥1於D，連AC交EF於點N，由AD//EF//BC，

得 ，即 ，①

，即 ，②

又由拋物線的性質可知，|AD|=|AF|，|BC|=|BF|，代入①②可得|EN|=|NF|，即N為EF的中點，於是N與點O重合，即直線AC經過原點O。

點評 （1）本例解法一利用曲線的方程研究曲線的性質，充分體現了用坐標法研究幾何問題的基本思想，而解法二則充分利用了拋物線的幾何性質及相似三角形中的有關知識。（2）在解法一中，直線AB方程的設法值得推崇，從思路分析看，若證 ，即證 ，將 代入後即證 ，即證 ，為此應通過直線AB的方程及拋物線方程 聯立消去x得到關於y的一元二次方程，解法一中的這一設法，既迴避了直線方程的變形過程使運算簡單，同時也迴避了當AB⊥x軸的情況的討論，若將AB方程設為 ，則必須對k不存在的情況作出說明。（3）試驗修訂本（必修）《數學》第二冊（上） 習題8．6第6題是：過拋物線焦點的一條直線與它交於兩點P、Q，經過點P和拋物線頂點的直線交准線於點M，求證直線MQ平行於拋物線的對稱軸，可見，這道高考題實際上是課本習題的一個逆命題，同學們在平時的學習中，對課本典型例題，習題要加強研究。

例5 （2002年江蘇卷第20題）設A、B是雙曲線 上的兩點，點N（1，2）是線段AB的中點。

（1）求直線AB的方程；

（2）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交於C、D兩點，那麼A、B、C、D四點是否共圓？為什麼？

分析 本題主要考查直線、圓及雙曲線的方程和性質，運算能力和綜合運用所學知識解決問題的能力。求直線AB的方程，可以設出其點斜式，與雙曲線方程聯立消元，利用韋達定理及中點公式求出其斜率，由於涉及「中點弦」問題，亦可利用「設而不求」法解決。對於第（2）小題，根據圖形特徵，若四點共圓，則CD必為其直徑，至少可有以下三種解題思路：（1）判斷CD中點到四點是否等距；（2）判斷是否有AC⊥AD；（3）判斷A、B兩點是否以CD為直徑的圓上。

解 （1）解法一：設AB：y=k（x－1）+2代入 ，整理得

。①

設 ，則

，且
因N（1，2）是AB的中點，故 ，於是 ，解得k=1，從而所求直線AB的方程為y=x+1。

解法二：設 ，代入雙曲線方程得

。

因N（1，2）為AB的中點，故 ， ，將它們代入上式可得 ，從而 ，於是直線AB的方程為y=x+1。

（2）將k=1代入方程①得， ，解得 ， 。

由y=x+1得， ， ，即A（－1，0），B（3，4），而直線CD的方程是y―1=―（x―2），即y=3－x，代入雙曲線方程並整理得 ②

設 ，則 ， 。

解法一：設CD中點為 ，則 ，於是 ，即M（－3，6）。

因

故 。

又

即A．B．C．D四點與點M的距離相等，從而A、B、C、D四點共圓。

解法二：由 ， 得， ，

，故

，即AC⊥AD。

由對稱性可知，BC⊥BD，於是A、B、C、D四點共圓。

解法三：以CD為直徑的圓的方程是

，即

。

將 ， ， ， ，代入得

，即 。

因 ，

，

故A、B在以CD為直徑的圓上，即A、B、C、D四點共圓。

點評 （1）處理直線與圓錐曲線相交問題時，要重視韋達定理的應用。（2）「設而不求」是解決「中點弦」問題常用的方法，通過「設而不求」可以建立弦所在直線的斜率與弦的中點坐標之間的關系，本題已知中點坐標，即可確定出直線的斜率。（3）判斷四點共圓的方法很多，注意從多種不同的角度進行思考，鍛煉思維的靈活性。

【典型熱點考題】

1．探究

例6 設 分別是橢圓 的左、右焦點，試問：在橢圓上是否存在一點P，使得 ？為什麼？

分析 根據點P滿足的條件，探究是否能夠將點P的坐標求出，若能，則存在；若不能，則不存在，求P點坐標，有以下兩條思路：

思路一 設 ，用焦半徑公式將 ， 用 表示，由 ，探求 是否存在。

思路二 由 知，點P在以 為直徑的圓上，只須考察該圓與橢圓是否存在公共點。

思考：畫一個較為准確的圖形，不難發現，圓 與橢圓 沒有公共點，所以這樣的點P是不存在的，關鍵是這個橢圓太「圓」了，由此引發我們思考：為使點P存在，橢圓應盡量「扁」一些，也即其離心率應該較大，於是我們可以去思考一個一般性的問題：

一般化：若橢圓 上存在一點P，使得 ，求離心率e的取值范圍。

利用例6提供的兩個思路均可得到 ，從而驗證了我們的猜想。

再思考：考察點P從長軸端點 始沿橢圓運動至 的過程， 由0°逐漸增大後又逐漸減小為0°，猜想在某一位置必然取得最大值，試問：這個最大值是多少？又在何處取得？從橢圓的對稱性來看，我們可以猜想：當點P在短軸端點B處時， 取得最大值，是不是這樣呢？

利用焦半徑公式及餘弦定理不難驗證這一猜想是正確的。

若設 ，我們有 。

回頭看，在例6中， ， ，代入可得 ，故0°≤θ≤60°，可見使θ=90°的點P是不存在的。

又一個問題：若橢圓 上存在一點P，使 （ 、 為長軸端點），求離心率e的取值范圍。

分析 不再是橢圓的焦半徑，按照例6中的思路一已經不能解決問題，但是我們知道，使 的點P是軌跡是關於 對稱的兩段圓弧，可先求出圓弧所在圓的方程，然後按照思路二進行研究，下面我們給出這一問題的解答。

解 由對稱性，不妨設 ，則 ， ，由到角公式得

，即 ，

整理得， 。 ①

又 ，故 。 ②

②代入①得， 。

因點P在橢圓上，故 ，即 ，從而 ，即 ，也就是 ，從而 ，解得 ，又0<e<1，故 。

點評 （1）在解析幾何中，直角一般由垂直條件來轉化，而一般角則常用到角公式來轉化，若想用餘弦定理將無法運算進行到底。（2）注意利用橢圓的范圍性，由 來建立a、b、c三者之間的不等式關系，從而求出e的范圍。

2．應用。

例7 某隧道橫斷面由拋物線的一段和矩形的三邊組成，尺寸如圖，某卡車載一集裝箱，箱寬3m，車與箱共高4m，試問：該車能否通過此隧道？為什麼？

分析 此題為拋物線在實際問題中的應用，可利用拋物線的方程和性質進行研究。

解 以拋物線弧的頂點為原點，建立圖示直角坐標系，設拋物線的方程為 ，從圖示可以看出，點（3，－3）在拋物線上，故 ，得2p=3，即拋物線的方程是 。

由拋物線的對稱性可知，為使此車盡量通過此隧道，車應沿隧道中線行駛，令 代入 得 ，所以集裝箱兩側隧道的高度是 。

因為車與箱共高僅4米，即h>4，所以此車能通過此隧道。

點評 （1）實際問題應轉化為數學問題來處理，此處通過建立坐標系轉化為解析幾何中的問題。（2）建系應恰當，盡量使方程為標准方程，分析問題時注意考慮圖形的對稱性。

⑷ 高考圓錐曲線技巧求大體解題思路，我高三了，每次考試都會考個倒數第二題的圓錐曲線，我都覺得沒思路，有

⑸ 圓錐曲線的解題方法

圓錐曲線部分不需要很強的邏輯思維和轉化能力，最基礎的是公式。像橢圓 雙曲線 拋物線的標准方程、焦點坐標、准線方程、通徑、參數方程等等知識都歸納出來，在解題時，把題支語言變成數學或符號語言，然後靈活運用這些公式就可以了 但圓錐曲線部分實質上需要很精準的計算能力。 要是樂意的話 可以上網查些典型例題看看...

⑹ 關於高二圓錐曲線的解題技巧，大題總是找不到簡單一點的思路

解析幾何其實不難，就一個耐心問題。計算量稍大，但你只要掌握方法很容易做題的。大題一般是直線與曲線的位置關系，要你術的是相交，相離，相切，以及和離心離率之間的問題。其方法，你們老師應該都講過。就是設交點坐標，列方程組，解方程組，判斷。就完了。

⑺ 圓錐曲線的解題技巧

圓錐曲線首先要畫圖，觀察圖形，看是否能利用幾何關系。掌握各個量之間的關系，根據條件、設出未知量，設未知量盡量簡單一點，如要建坐標系也要盡量方便，未知量大多數可設而不求，充分挖掘條件後就是計算了，計算照俺們老師的話說就是要堅韌不拔的毅力，還有有些條件是你計算後才能挖掘出來的引申條件，就是這些啦，技巧並不多，但只有量變才能引起質變。

⑻ 圓錐曲線的解題思路方法

那麼我就邊舉例子邊和你談心得吧。
例如給你個橢圓x^2/4+y^2/3=1，求x^2+y^2的取值范圍。
你可以用柯西不等式求解，但既然是說的圓錐曲線，那我就只和你談圓錐曲線的方法。
你可以將y^2=(1-(x^2/4))*3,代入x^2+y^2中求二次函數，但是注意x,y他們有范圍！這種題目表面是圓錐曲線，實際上是考二次函數。
此外，你還可以用橢圓參數方程做
再例如，
橢圓方程x^2/a^2+y^2/b^2=1,(a>b>0)
設直線l與橢圓交於A(x1,y1),B(x2,y2),中點N(x0,y0)，求AB斜率和AB方程
當你看到直線與圓錐曲線有兩交點，並且告訴你中點或者斜率時，一般的方法，點差法。
x1^2/a^2+y1^2/b^2=1
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
兩式相減 (x1+x2)(x2-x1)/a^2+(y2+y1)(y2-y1)/b^2=0
x1+x1=2x0,y1+y2=2y0
kAB=(y2-y1)/(x2-x1)=-b^2* x0/(a^2* y0)
AB方程 y-y0=-b^2* x0/(a^2* y0)(x-x0)
但是點差法有局限性，有時雙曲線中不能用
大題中常考查的是直線與圓錐曲線的關系，
先聯立方程，再消去一個未知數，再韋達定律，最後別忘記判別式。
即口訣：「一聯立，二消去，三韋達，四判別。」你做大題做得多自然而然就了解該方法了。
我還有一個比較好的經驗，就是一般小題中，會碰到兩個點在焦點上，另一個點在橢圓上，有時候你會聯想到用焦點三角形面積，會比一般的方法簡單並且快些
以上是我做圓錐曲線的解題方法，我的經驗或許對你來說只有一點點作用，但我還是想說，解題方法要靠的是自己平時的積累中得到的，可能你某天看到一道難題，千萬別放過它，搞清楚它，記住它。下次說不定你會碰到那種類似的題目時，可能你又會收獲到另外一種更好的方法，我的數學解題方法多就是這樣得來的

⑼ 圓錐曲線大題答題方法

要大膽設出k然後通過韋達定理，如果中點就用點差法，如果特殊長度范圍，可以用向量的加減，建立空間直角坐標系，如果是求未知數，就用k先表示出來，然後分離變數，和曲線方程聯立，剩下的就是大量算，相信自己的答案

⑽ 解決圓錐曲線的特殊方法、技巧和計算小技巧等（理）。除常規題型和方法（如點差法，向量等）。

我專門研究圓錐曲線，我說幾句：
1、離心率求法：首選極坐標方法，次選平面幾何方法，三選定義方法，准線方法。
2009年，2010年都是這樣，給你說一道，餘下的看我博客。2010年全國一卷10題，橢圓短軸頂點B，過B和焦點F的直線與橢圓交與另一點D，若向量BF=2FD。求橢圓離心率。解：設橢圓焦點在x軸上，方程為x²／a²＋y²／b²＝1.過D做DE垂直y軸，垂足E。根據三角形相似得OF比DE=2比3，即DE=1.5c，則D點橫坐標=1.5c，同理D點縱坐標=-0.5b。帶入橢圓方程得e=√3／3。簡單吧。離心率求法，你就找三角形關系。這是簡單步驟。
2、點差和向量。
3、求定點。高中范圍定點一定在坐標軸上，大膽設，不會錯。2010年全國一卷大題拋物線就是求內切圓圓心的坐標。設為（m,0）有同學不理解，你不理解，也大膽設，想理解問我。
4、兩個弦所成傾斜角互補。就是兩弦與坐標軸所成三角形為等腰三角形。不明白問我。
5、凡牽扯內切圓，要想到雙曲線，焦點三角形的內切圓與x軸的切點就是右支頂點。
6、設弦方程，為避免討論k不存在的情況。設成x=my----形式。一定要檢驗方程的正確性。把所過的點帶入檢驗一下。
7、8910111213141516