高二數學解不等式的方法與技巧

1. 解高中不等式題的幾個技巧

1、m2x2+2x+1＞0 → m2＞（-2x-1）/x2 式子右邊=-（1/x）2-2（1/x） 因為x有范圍所以1/x也有范圍再把它看成一個整體就變成了一個二次函數了，相當於m2大於右邊的最大值，注意m2大於0（具體的你自己算吧，別太懶） 2、x2-2mx+2m+1＞0 → m＞（-x2-1）/（-2x+2）令t=-2x+2 式子右邊=（-t2+4t-8）/（4t） 分子分母同時消掉t就變成對勾函數了（這個換元很基礎，請掌握） 3、大同小異......m2x2-2mx+2m＞0 先分類m大於0小於1，兩邊同時除以m之後的做法參照第一問吧。再是m=0，最後m小於0大於-1，都是同樣的做法，不難的。如果是高一那問題還比較小，高三了就要抓緊了啊~~（本人高三）

2. 高中數學不等式解題技巧主要有什麼急！！！

高中數學不等式一般常考的主要有兩個：基本不等式和絕對值不等式。尤其是基本不等式：幾何平均值<=算術平均值。注意到「一正」，「二定」，「三相等」，一般用採用拼湊法或待定系數法來構造滿足條件的兩項或三項，使其乘積為一定值。一般在各個省市的高考中都會或多或少的考到，比較容易以一道選擇題或填空題出現，以及大題中的應用題中求極值會頻繁用到基本不等式（一般這種求極值的問題，通過求導也能得到相同答案，但利用基本不等式會使計算更簡單）。

3. 高中解各種不等式的方法有那些

不等式證明方法 1.比較法： 比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。 (1)差值比較法的理論依據是不等式的基本性質：「a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b」。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作一個整體；②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經常使用的變形手段；③判斷：根據已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最後肯定所求證不等式成立的結論。應用范圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時一般使用差值比較法。 (2)商值比較法的理論依據是：「若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b」。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商；②變形：化簡商式到最簡形式；③判斷商與1的大小關系，就是判定商大於1或小於1。應用范圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數式時，一般使用商值比較法。 2.綜合法 ： 利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，藉助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最後推出所要證明的不等式，其特點和思路是「由因導果」，從「已知」看「需知」，逐步推出「結論」。其邏輯關系為：AB1 B2 B3… BnB，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論B。 3.分析法 ： 分析法是指從需證的不等式出發，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是「執果索因」，即從「未知」看「需知」，逐步靠攏「已知」。用分析法證明AB的邏輯關系為：BB1B1 B3 … BnA，書寫的模式是：為了證明命題B成立，只需證明命題B1為真，從而有…，這只需證明B2為真，從而又有…，……這只需證明A為真，而已知A為真，故B必為真。這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。 4.反證法： 有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設A≤B，由題設及其它性質，推出矛盾，從而肯定A>B。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有「至多」、「至少」、「不存在」、「不可能」等詞語時，可以考慮用反證法。 5.換元法： 換元法是對一些結構比較復雜，變數較多，變數之間的關系不甚明了的不等式可引入一個或多個變數進行代換，以便簡化原有的結構或實現某種轉化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。(1)三角代換法：多用於條件不等式的證明，當所給條件較復雜，一個變數不易用另一個變數表示，這時可考慮三角代換，將兩個變數都有同一個參數表示。此法如果運用恰當，可溝通三角與代數的聯系，將復雜的代數問題轉化為三角問題根據具體問題，實施的三角代換方法有：①若x2+y2=1，可設x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可設x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③對於含有的不等式，由於|x|≤1，可設x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可設x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t進行換元。 6.放縮法 ： 放縮法是要證明不等式A<B成立不容易，而藉助一個或多個中間變數通過適當的放大或縮小達到證明不等式的方法。放縮法證明不等式的理論依據主要有：(1)不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為不等量；(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較。常用的放縮技巧有：①舍掉(或加進)一些項；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應用均值不等式進行放縮。 [1]

4. 高中數學不等式證明的八種方法

不等式證明知識概要

河北/趙春祥

不等式的證明問題，由於題型多變、方法多樣、技巧性強，加上無固定的規律可循，往往不是用一種方法就能解決的，它是多種方法的靈活運用，也是各種思想方法的集中體現，因此難度較大。解決這個問題的途徑在於熟練掌握不等式的性質和一些基本不等式，靈活運用常用的證明方法。

一、要點精析

1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。

(1)差值比較法的理論依據是不等式的基本性質：「a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b」。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作一個整體；②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經常使用的變形手段；③判斷：根據已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最後肯定所求證不等式成立的結論。應用范圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時一般使用差值比較法。

(2)商值比較法的理論依據是：「若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b」。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商；②變形：化簡商式到最簡形式；③判斷商與1的大小關系，就是判定商大於1或小於1。應用范圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數式時，一般使用商值比較法。

2.綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，藉助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最後推出所要證明的不等式，其特點和思路是「由因導果」，從「已知」看「需知」，逐步推出「結論」。其邏輯關系為：AB1 B2 B3… BnB，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論B。

3.分析法分析法是指從需證的不等式出發，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是「執果索因」，即從「未知」看「需知」，逐步靠攏「已知」。用分析法證明AB的邏輯關系為：BB1B1 B3 … BnA，書寫的模式是：為了證明命題B成立，只需證明命題B1為真，從而有…，這只需證明B2為真，從而又有…，……這只需證明A為真，而已知A為真，故B必為真。這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。

4.反證法有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設A≤B，由題設及其它性質，推出矛盾，從而肯定A>B。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有「至多」、「至少」、「不存在」、「不可能」等詞語時，可以考慮用反證法。

5.換元法換元法是對一些結構比較復雜，變數較多，變數之間的關系不甚明了的不等式可引入一個或多個變數進行代換，以便簡化原有的結構或實現某種轉化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。(1)三角代換法：多用於條件不等式的證明，當所給條件較復雜，一個變數不易用另一個變數表示，這時可考慮三角代換，將兩個變數都有同一個參數表示。此法如果運用恰當，可溝通三角與代數的聯系，將復雜的代數問題轉化為三角問題根據具體問題，實施的三角代換方法有：①若x2+y2=1，可設x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可設x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③對於含有的不等式，由於|x|≤1，可設x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可設x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是通過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t進行換元。

6.放縮法放縮法是要證明不等式A<B成立不容易，而藉助一個或多個中間變數通過適當的放大或縮小達到證明不等式的方法。放縮法證明不等式的理論依據主要有：(1)不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為不等量；(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較。常用的放縮技巧有：①舍掉(或加進)一些項；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應用均值不等式進行放縮。

二、難點突破

1.在用商值比較法證明不等式時，要注意分母的正、負號，以確定不等號的方向。

2.分析法與綜合法是對立統一的兩個方面，前者執果索因，利於思考，因為它方向明確，思路自然，易於掌握；後者是由因導果，宜於表述，因為它條理清晰，形式簡潔，適合人們的思維習慣。但是，用分析法探求證明不等式，只是一種重要的探求方式，而不是一種好的書寫形式，因為它敘述較繁，如果把「只需證明」等字眼不寫，就成了錯誤。而用綜合法書寫的形式，它掩蓋了分析、探索的過程。因而證明不等式時，分析法、綜合法常常是不能分離的。如果使用綜合法證明不等式，難以入手時常用分析法探索證題的途徑，之後用綜合法形式寫出它的證明過程，以適應人們習慣的思維規律。還有的不等式證明難度較大，需一邊分析，一邊綜合，實現兩頭往中間靠以達到證題的目的。這充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉化的辯證統一關系。分析的終點是綜合的起點，綜合的終點又成為進一步分析的起點。

3.分析法證明過程中的每一步不一定「步步可逆」，也沒有必要要求「步步可逆」，因為這時僅需尋找充分條件，而不是充要條件。如果非要「步步可逆」，則限制了分析法解決問題的范圍，使得分析法只能使用於證明等價命題了。用分析法證明問題時，一定要恰當地用好「要證」、「只需證」、「即證」、「也即證」等詞語。

4.反證法證明不等式時，必須要將命題結論的反面的各種情形一一加以導出矛盾。

5.在三角換元中，由於已知條件的限製作用，可能對引入的角有一定的限制，應引起高度重視，否則可能會出現錯誤的結果。這是換元法的重點，也是難點，且要注意整體思想的應用。

6.運用放縮法證明不等式時要把握好「放縮」的尺度，即要恰當、適度，否則將達不到預期的目的，或得出錯誤的結論。另外，是分組分別放縮還是單個對應放縮，是部分放縮還是整體放縮，都要根據不等式的結構特點掌握清楚。

（摘自：《考試報·高二數學版》2004年/07月/20日）

1、比較法（作差法）
在比較兩個實數 和 的大小時，可藉助 的符號來判斷。步驟一般為：作差——變形——判斷（正號、負號、零）。變形時常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應用已知定理、公式等。
例1、已知： ， ，求證： 。
證明： ，故得 。
2、分析法（逆推法）
從要證明的結論出發，一步一步地推導，最後達到命題的已知條件（可明顯成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推導過程都必須可逆。
例2、求證： 。
證明：要證 ，即證 ，即 ， ， ， ， ，由此逆推即得 。
3、綜合法
證題時，從已知條件入手，經過逐步的邏輯推導，運用已知的定義、定理、公式等，最終達到要證結論，這是一種常用的方法。
例3、已知： ， 同號，求證： 。
證明：因為 ， 同號，所以 ， ，則 ，即 。
4、作商法（作比法）
在證題時，一般在 ， 均為正數時，藉助 或 來判斷其大小，步驟一般為：作商——變形——判斷（大於1或小於1）。
例4、設 ，求證： 。
證明：因為 ，所以 ， 。而 ，故 。
5、反證法
先假設要證明的結論不對，由此經過合理的邏輯推導得出矛盾，從而否定假設，導出結論的正確性，達到證題的目的。
例5、已知 ， 是大於1的整數，求證： 。
證明：假設 ，則 ，即 ，故 ，這與已知矛盾，所以 。
6、迭合法（降元法）
把所要證明的結論先分解為幾個較簡單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質，使原不等式獲證。
例6、已知： ， ，求證： 。
證明：因為 ， ，
所以 ， 。
由柯西不等式
，所以原不等式獲證。
7、放縮法（增減法、加強不等式法）
在證題過程中，根據不等式的傳遞性，常採用捨去一些正項（或負項）而使不等式的各項之和變小（或變大），或把和（或積）里的各項換以較大（或較小）的數，或在分式中擴大（或縮小）分式中的分子（或分母），從而達到證明的目的。值得注意的是「放」、「縮」得當，不要過頭。常用方法為：改變分子（分母）放縮法、拆補放縮法、編組放縮法、尋找「中介量」放縮法。
例7、求證： 。
證明：令 ，則
，
所以 。
8、數學歸納法
對於含有 的不等式，當 取第一個值時不等式成立，如果使不等式在 時成立的假設下，還能證明不等式在 時也成立，那麼肯定這個不等式對 取第一個值以後的自然數都能成立。
例8、已知： ， ， ，求證： 。
證明：（1）當 時， ，不等式成立；
（2）若 時， 成立，則

= ，
即 成立。
根據（1）、（2）， 對於大於1的自然數 都成立。
9、換元法
在證題過程中，以變數代換的方法，選擇適當的輔助未知數，使問題的證明達到簡化。
例9、已知： ，求證： 。
證明：設 ， ，則 ，

（因為 ， ），
所以 。
10、三角代換法
藉助三角變換，在證題中可使某些問題變易。
例10、已知： ， ，求證： 。
證明：設 ，則 ；設 ，則
所以 。
11、判別式法
通過構造一元二次方程，利用關於某一變元的二次三項式有實根時判別式的取值范圍，來證明所要證明的不等式。
例11、設 ，且 ，求證： 。
證明：設 ，則
代入 中得 ，即
因為 ， ，所以 ，即 ，
解得 ，故 。
12、標准化法
形如 的函數，其中 ，且
為常數，則當 的值之間越接近時， 的值越大（或不變）；當 時， 取最大值，即
。
標准化定理：當A+B為常數時，有 。
證明：記A+B=C，則
，
求導得 ，由 得C=2A，即A=B
又由 知 的極大值點必在A=B時取得
由於當A=B時， ，故得不等式。
同理，可推廣到關於 個變元的情形。
例12、設A，B，C為三角形的三內角，求證： 。
證明：由標准化定理得，當A=B=C時， ，取最大值 ，故 。
13、等式法
應用一些等式的結論，可以巧妙地給出一些難以證明的不等式的證明。
例13（1956年波蘭數學競賽題）、 為 的三邊長，求證：
。
證明：由海倫公式 ，
其中 。
兩邊平方，移項整理得

而 ，所以 。
14、函數極值法
通過變換，把某些問題歸納為求函數的極值，達到證明不等式的目的。
例14、設 ，求證： 。
證明：
當 時， 取最大值 ；
當 時， 取最小值－4。
故 。
15、單調函數法
當 屬於某區間，有 ，則 單調上升；若 ，則 單調下降。推廣之，若證 ，只須證 及 即可， 。
例15、 ，求證： 。
證明：當 時， ，而

故得 。
16、中值定理法
利用中值定理： 是在區間 上有定義的連續函數，且可導，則存在 ， ，滿足 來證明某些不等式，達到簡便的目的。
例16、求證： 。
證明：設 ，則
故 。
17、分解法
按照一定的法則，把一個數或式分解為幾個數或式，使復雜問題轉化為簡單易解的基本問題，以便分而治之，各個擊破，從而達到證明不等式的目的。
例17、 ，且 ，求證： 。
證明：因為

所以 。
18、構造法
在證明不等式時，有時通過構造某種模型、函數、恆等式、復數等，可以達到簡捷、明快、以巧取勝的目的。
例18、已知： ， ，求證： 。
證明：依題設，構造復數 ， ，則 ，
所以

故 。
19、排序法
利用排序不等式來證明某些不等式。
排序不等式：設 ， ，則有
，其中 是 的一個排列。當且僅當 或 時取等號。
簡記作：反序和 亂序和 同序和。
例19、求證： 。
證明：因為 有序，所以根據排序不等式同序和最大，即 。
20、幾何法
藉助幾何圖形，運用幾何或三角知識可使某些證明變易。
例20、已知： ，且 ，求證： 。
證明：以 為斜邊， 為直角邊作
延長AB至D，使 ，延長AC至E，使 ，過C作AD的平行線交DE於F，則 ∽ ，令 ，
所以
又 ，即 ，所以 。

另外，還可以利用重要的不等式來證題，如平均不等式、柯西（Cauchy）不等式、琴生（Jensen）不等式、絕對值不等式、貝努利（J.Bernoulli）不等式、赫爾德（O.HÖlder）不等式、三角形不等式、閔可夫斯基（H.Minkowski）不等式等，這里不再煩述了。
在實際證明中，以上方法往往相互結合、互相包含，證題時，可能同時運用幾種方法，結合起來加以證明。

參考文獻
[1]李玉琪主編•初等代數研究•北京：中國礦業大學出版社，1993
[2]方初寶等編•數學猜想法淺談•重慶：科技文獻出版社重慶分社，1988
[3]吳德風•不等式與線性規劃初步•北京：科學普及出版社，1983

5. 解不等式技巧

（1）解一元一次不等式和解一元一次方程相類似，但要特別注意不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數時，不等號的方向必須改變。

（2）解不等式組一般先分別求出不等式組中各個不等式的解集，再求出它們的公共部分，就得到不等式組的解集。

列一元一次不等式（組）解決實際問題，掌握解不等式應用題的步驟：

（1）找出實際問題的不等關系，設定未知數，列出不等式（組）；

（2）解不等式（組）；

（3）從不等式組的解集中求出符合題意的答案。
、一元一次方程的解法及其解的三種情況：

咳
（1）解一元一次方程的一般步驟是去分母、去括弧、移項、合並同類項和將未知數的系數化為1；

（2）最簡一元一次方程ax=b的解有以下三種情況：

①當 a≠0時，方程有且僅有一個解；

②當 a=0，b≠0時，方程無解；

③當 a=0，b=0時，方程有無窮多個解.
其他
數學的解題方法是隨著對數學對象的研究的深入而發展起來的。六年級的同學們很快就要小學畢業，中學的大門已經向我們敞開。為了能進一步學好數學，有必要掌握初中數學的特點尤其是解題方法。 下面介紹的解題方法，都是初中數學中最常用的，有些方法也是中學教學大綱要求掌握的。同樣這些方法也能給你們現在的學習有些幫助。請同學們把它作為資料好好保存，當然，以後全部學會弄懂，保存大腦當中再好不過了。
1、配方法
所謂配方，就是把一個解析式利用恆等變形的方法，把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數次冪的和形式。通過配方解決數學問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數學中一種重要的恆等變形的方法，它的應用十分非常廣泛，在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數的極值和解析式等方面都經常用到它。
2、因式分解法
因式分解，就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恆等變形的基礎，它作為數學的一個有力工具、一種數學方法在代數、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定系數等等。

3、換元法

換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數或變數稱為元，所謂換元法，就是在一個比較復雜的數學式子中，用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子，使它簡化，使問題易於解決。

4、判別式法與韋達定理

一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c屬於R，a≠0）根的判別，△=b2-4ac，不僅用來判定根的性質，而且作為一種解題方法，在代數式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。

韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根；已知兩個數的和與積，求這兩個數等簡單應用外，還可以求根的對稱函數，計論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應用。

5、待定系數法

在解數學問題時，若先判斷所求的結果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數，而後根據題設條件列出關於待定系數的等式，最後解出這些待定系數的值或找到這些待定系數間的某種關系，從而解答數學問題，這種解題方法稱為待定系數法。它是中學數學中常用的方法之一。

6、構造法

在解題時，我們常常會採用這樣的方法，通過對條件和結論的分析，構造輔助元素，它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數、一個等價命題等，架起一座連接條件和結論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數學方法，我們稱為構造法。運用構造法解題，可以使代數、三角、幾何等各種數學知識互相滲透，有利於問題的解決。

7、反證法

反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結論相反的假設，然後，從這個假設出發，經過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設；(2)歸謬；(3)結論。

反設是反證法的基礎，為了正確地作出反設，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行於/不平行於；垂直於/不垂直於；等於/不等於；大(小)於/不大(小)於；都是/不都是；至少有一個/一個也沒有；至少有n個/至多有(n一1)個；至多有一個/至少有兩個；唯一/至少有兩個。

歸謬是反證法的關鍵，導出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設出發，否則推導將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設矛盾；自相矛盾。

作者： 菁菁9383 2006-5-24 16:39 回復此發言

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2 初中數學解題方法
8、面積法

平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計算有關的性質定理，不僅可用於計算面積，而且用它來證明平面幾何題有時會收到事半功倍的效果。運用面積關系來證明或計算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。

用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在添置輔助線。面積法的特點是把已知和未知各量用面積公式聯系起來，通過運算達到求證的結果。所以用面積法來解幾何題，幾何元素之間關系變成數量之間的關系，只需要計算，有時可以不添置補助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。

9、幾何變換法

在數學問題的研究中，常常運用變換法，把復雜性問題轉化為簡單性的問題而得到解決。所謂變換是一個集合的任一元素到同一集合的元素的一個一一映射。中學數學中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至於無法下手的習題，可以藉助幾何變換法，化繁為簡，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點滲透到中學數學教學中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運動中的研究結合起來，有利於對圖形本質的認識。

幾何變換包括：（1）平移；（2）旋轉；（3）對稱。

10、客觀性題的解題方法

選擇題是給出條件和結論，要求根據一定的關系找出正確答案的一類題型。選擇題的題型構思精巧，形式靈活，可以比較全面地考察學生的基礎知識和基本技能，從而增大了試卷的容量和知識覆蓋面。

填空題是標准化考試的重要題型之一，它同選擇題一樣具有考查目標明確，知識復蓋面廣，評卷准確迅速，有利於考查學生的分析判斷能力和計算能力等優點，不同的是填空題未給出答案，可以防止學生猜估答案的情況。

要想迅速、正確地解選擇題、填空題，除了具有準確的計算、嚴密的推理外，還要有解選擇題、填空題的方法與技巧。下面通過實例介紹常用方法。

（1）直接推演法：直接從命題給出的條件出發，運用概念、公式、定理等進行推理或運算，得出結論，選擇正確答案，這就是傳統的解題方法，這種解法叫直接推演法。

（2）驗證法：由題設找出合適的驗證條件，再通過驗證，找出正確答案，亦可將供選擇的答案代入條件中去驗證，找出正確答案，此法稱為驗證法（也稱代入法）。當遇到定量命題時，常用此法。

（3）特殊元素法：用合適的特殊元素（如數或圖形）代入題設條件或結論中去，從而獲得解答。這種方法叫特殊元素法。

（4）排除、篩選法：對於正確答案有且只有一個的選擇題，根據數學知識或推理、演算，把不正確的結論排除，餘下的結論再經篩選，從而作出正確的結論的解法叫排除、篩選法。

（5）圖解法：藉助於符合題設條件的圖形或圖象的性質、特點來判斷，作出正確的選擇稱為圖解法。圖解法是解選擇題常用方法之一。

（6）分析法：直接通過對選擇題的條件和結論，作詳盡的分析、歸納和判斷，從而選出正確的結果，稱為分析法。
希望能對您有所幫助

6. 不等式解題技巧高中

高中數學經典的解題技巧和方法（不等式）

【編者按】不等式是高中數學考試的必考內容，而且是這幾年考試解答題的必選，無論是期中、期末還是會考、高考，都是高中數學的必考內容之一。因此，馬博士教育網數學頻道編輯部特意針對這部分的內容和題型總結歸納了具體的解題技巧和方法，希望能夠幫助到高中的同學們，讓同學們有更多、更好、更快的方法解決數學問題。好了，下面就請同學們跟我們一起來探討下集合跟常用邏輯用語的經典解題技巧。

首先，解答不等式這方面的問題時，先要搞清楚以下幾個方面的基本概念性問題，同學們應該先把基本概念和定理完全的吃透了、弄懂了才能更好的解決問題：

1．不等關系

了解現實世界和日常生活中的不等關系，了解不等式（組）的實際背景。

2．一元二次不等式

（1）會從實際情境中了解一元二次不等式與相應的二次函數、一元二次方程的聯系。

（3）會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設計求解的程序框圖。

3．二元一次不等式組與簡單線性規劃問題

（1）會從實際情境中抽象出二元一次不等式組。

（2）了解二地一次不等式的幾何意義，能用平面區域表示二元一次不等式組。

（3）會從實際情境中抽出一些簡單的二元線性規劃問題，並能加以解決。

4．基本不等式：

（1）了解基本不等式的證明過程。[來源:學科網]

（2）會用基本不等式解決簡單的最大（小）值問題。

好了，搞清楚不等式的基本內容之後，下面我們就看下針對這方面內容的具體的解題技巧。

一、不等式的求解問題

考情聚焦：1.求不等式解集及構建不等求參數取值范圍問題是高考中對不等式考查的一個重要考向,每年高考均有重要體現。

2.常考查一元二次不等及可轉化為一元二次不等式的簡單分式不等式、指數、對數不等式的解法。以選擇、填空為主，屬中檔題。

解題技巧：1.求解一元二次方程不等式的基本思路：先化為一般形式，再求相應一元二次方程的根，最後根據相應二次函數圖象與x軸的位置關系，確定一元二次不等式的解集。

2.解簡單的分式、指數、對數不等式的基本思想是利用相關知識轉化為整式不等式（一般為一元二次不等式）求解。

3.解含參數不等的難點在於對參數的恰當分類，關鍵是找到對參數進行討論的原因。確定分類標准、層次清楚地求解。

例1：（2010·全國卷Ⅰ文科·T13）)不等式的解集是 .

【命題立意】本小題主要考查不等式及其解法

【思路點撥】首先將因式分解，然後將化為三個因式乘積的形式，

採用「序軸標根法」即穿根法求解集.

【規范解答】，

數軸標根得：

【答案】

二、不等式恆成立問題

考情聚集：1.不等式恆成立以及可轉化為不等式恆成立的問題是近幾年高考的熱點，在各省市高考中占較大比重且點重要的位置。

2.常與函數的圖象、性質、方程及重要的思想方法交匯命題，多以解答題的形式出現，屬中檔偏上題目。

解題技巧：求解不等式恆成立問題的常用思想方法：

1.分離參數法：通過分離參數，轉化為不含參數的函數的最值問題求解。

2.函數思想：轉化為求含參數的最值問題求解。

3.數形結合思想：轉化為兩熟悉函數圖象間的上、下關系求解。

例2：已知二次函數f(x)滿足f(-1)=0,且8x≤f(x)≤4(x2+1)對於x∈R恆成立.

(1)求f(1);

(2)求f(x)的表達式；

(3)設,定義域為D，現給出一個數學運算程序：

若xn∈D,則運算繼續下去；若xnD,則運算停止.給出, 請你寫出滿足上述條件的

集合D={x1,x2,x3,…,xn}.．（滿分13分）

解析：(1)由8x≤f (x)≤4(x2+1),令x=1得8≤f (1)≤8,

∴f (1)=8.

(2)設f (x)=ax2+bx+c(a≠0),由(1)及f (-1)=0得b=4,a+c=4.

又ax2+bx+c≥8x,即ax2-4x+c≥0,對x∈R恆成立,

∴,即(a-2)2≤0,∴a=2,c=2.故f (x)=2(x+1)2.

(3)由g(x)=

由題意x1=,x2=g(x1)=,x3=g(x2)=-,x4=g(x3)=-1,x5無意義，故D={,,-,-1}

三、線性規劃問題

考情聚焦:1.線性規劃是中學教材中僅有的幾個具有實際應用操作的考點之一,又具有全面考查直線知識與數形結合思想的強大功能,是各省市高考的重點.

2.常與函數、直線、實際問題等交匯命題，多以選擇、填空題形式出現。

解題技巧：1.線性規劃問題一般有三種題型:一是求最值;二是求區域面積;三是最優解情況或可行域情況確定參數的值或取值范圍.

2.解決線性規劃問題首先要找到可行域,再注意目標函數所表示的幾何意義,數形結合找到目標函數達到最值時可行域的頂點(或邊界上的點),但要注意作圖一定要准確,整點問題要驗證解決.

例3: （2010·安徽高考文科·T8）設x,y滿足約束條件則目標函數z=x+y的最大值是（ ）

（A）3 （B） 4 （C） 6 （D）8

【命題立意】本題主要考查線性規劃問題，考查考生的作圖、運算求解能力。

【思路點撥】由約束條件畫可行域確定目標函數的最大值點計算目標函數的最大值

【規范解答】選C．約束條件表示的可行域是一個三角形區域，3個頂點分別是，目標函數在取最大值6，故C正確．

【方法技巧】解決線性規劃問題，首先作出可行域，若為封閉區域（即幾條直線圍成的區域），則區域中的某個端點使目標函數取得最大或最小值．

四、利用基本不等式求最值問題

考情聚焦:1.利用基本不等式求函數最值是確定函數最值的重要方法,為近幾年各省市高考的熱點.

2.常與函數、解析幾何、立體幾何和實際問題交匯命題，多以中檔題形式出現.

例4: （2009江蘇高考）按照某學者的理論，假設一個人生產某產品單件成本為元，如果他賣出該產品的單價為元，則他的滿意度為；如果他買進該產品的單價為元，則他的滿意度為.如果一個人對兩種交易(賣出或買進)的滿意度分別為和，則他對這兩種交易的綜合滿意度為.

現假設甲生產A、B兩種產品的單件成本分別為12元和5元，乙生產A、B兩種產品的單件成本分別為3元和20元，設產品A、B的單價分別為元和元，甲買進A與賣出B的綜合滿意度為，乙賣出A與買進B的綜合滿意度為

(1)求和關於、的表達式；當時，求證：=；

(2)設，當、分別為多少時，甲、乙兩人的綜合滿意度均最大？最大的綜合滿意度為多少？

(3)記(2)中最大的綜合滿意度為，試問能否適當選取、的值，使得和同時成立，但等號不同時成立？試說明理由。

【解析】(1)

當時，,

, =

（2）當時，

由，故當即時，

甲乙兩人同時取到最大的綜合滿意度為。

（3）由（2）知：=

由得：，

令則，即：。

同理，由得：

另一方面，

當且僅當，即=時，取等號。由（1）知=時h甲=h乙

所以不能否適當選取、的值，使得和同時成立，但等號不同時成立。

7. 不等式的解題方法與技巧

不等式的解法：1、找出未知數的項、常數項，該化簡的化簡。2、未知數的項放不等號左邊，常數項移到右邊。3、不等號兩邊進行加減乘除運算。4、不等號兩邊同除未知數的系數，注意符號的改變。
1.符號：

不等式兩邊都乘以或除以一個負數，要改變不等號的方向。

2.確定解集：

比兩個值都大，就比大的還大；

比兩個值都小，就比小的還小；

比大的大，比小的小，無解；

比小的大，比大的小，有解在中間。

三個或三個以上不等式組成的不等式組，可以類推。

3.另外，也可以在數軸上確定解集：

把每個不等式的解集在數軸上表示出來，數軸上的點把數軸分成若干段，如果數軸的某一段上面表示解集的線的條數與不等式的個數一樣，那麼這段就是不等式組的解集。有幾個就要幾個。帶=號的，數軸上的點是實心的，反之，就是空心的。

用符號「>」「<」表示大小關系的式子，叫作不等式。用「≠」表示不等關系的式子也是不等式。

通常不等式中的數是實數，字母也代表實數，不等式的一般形式為F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z )（其中不等號也可以為 中某一個），兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域，不等式既可以表達一個命題，也可以表示一個問題。
一般地，用純粹的大於號「>」、小於號「<」表示大小關系的式子，叫作不等式。用「≠」表示不等關系的式子也是不等式。
其中，兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域。
整式不等式兩邊都是整式（即未知數不在分母上）。
一元一次不等式：含有一個未知數(即一元),並且未知數的次數是1次(即一次)的不等式。如3-x>0
同理，二元一次不等式：含有兩個未知數(即二元),並且未知數的次數是1次(即一次)的不等式。
①如果x>y，那麼y<x；如果y<x，那麼x>y；（對稱性）
②如果x>y，y>z；那麼x>z；（傳遞性）
③如果x>y，而z為任意實數或整式，那麼x+z>y+z；（加法原則，或叫同向不等式可加性）
④ 如果x>y，z>0，那麼xz>yz；如果x>y，z<0，那麼xz<yz；[1] （乘法原則）
⑤如果x>y，m>n，那麼x+m>y+n；(充分不必要條件)
⑥如果x>y>0，m>n>0，那麼xm>yn；
⑦如果x>y>0，xn>yn（n為正數)，xn<yn（n為負數）;
或者說，不等式的基本性質的另一種表達方式有：
①對稱性；
②傳遞性；
③加法單調性，即同向不等式可加性；
④乘法單調性；
⑤同向正值不等式可乘性；
⑥正值不等式可乘方；
⑦正值不等式可開方；
⑧倒數法則。
如果由不等式的基本性質出發，通過邏輯推理，可以論證大量的初等不等式。
另，不等式的特殊性質有以下三種：
①不等式性質1：不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數（或式子），不等號的方向不變；
②不等式性質2：不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；
③不等式性質3：不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數，不等號的方向變。 總結：當兩個正數的積為定值時，它們的和有最小值；當兩個正數的和為定值時，它們的積有最大值。

8. 高中不等式解題方法與技巧

1、解決絕對值問題（化簡、求值、方程、不等式、函數），把含絕對值的問題轉化為不含絕對值的問題。具體轉化方法有：

（1）分類討論法:根據絕對值符號中的數或式子的正、零、負分情況去掉絕對值。

（2）零點分段討論法：適用於含一個字母的多個絕對值的情況。

（3）兩邊平方法：適用於兩邊非負的方程或不等式。

（4）幾何意義法：適用於有明顯幾何意義的情況。

2、根據項數選擇方法和按照一般步驟是順利進行因式分解的重要技巧。

3、利用完全平方公式把一個式子或部分化為完全平方式就是配方法，它是數學中的重要方法和技巧。配方法的主要根據有：

4、解某些復雜的特型方程要用到:換元法。換元法解方程的一般步驟是：

5、待定系數法是在已知對象形式的條件下求對象的一種方法。適用於求點的坐標、函數解析式、曲線方程等重要問題的解決。

9. 解不等式(詳細步驟)

不等式就是用不等式符號把一個式子連接起來的算式；不等式和等式主要的區別就是他們的符號不同，一個是「=」，一個是「＞、＜、≥、≤」。但解不等式是完全可以用等式的性質來解。下面我就以一道例題來講一下解不等式的標准步驟。

第一步、如果是應用題就要先理清楚思路，然後列出不等式，最後再解不等式；如果是解不等式的計算題，就直接寫「解」，開始寫出計算過程。

(9)高二數學解不等式的方法與技巧擴展閱讀：

1、如果x>y，則y<x；如果y<x，則x>y（對稱性）

2、如果x>y，y>z；則x>z（傳遞性）

3、如果x>y，而z為任意實數或整式，則x+z>y+z；（同向不等式可加性）

4、如果x>y，z>0，則xz>yz；如果x>y，z<0，則xz<yz；（乘法原則）

5、如果x>y，m>n，則x+m>y+n；(充分不必要條件)

6、如果x>y>0，m>n>0，則xm>yn；

7、如果x>y>0，則x的n次冪>y的n次冪（n為正數)，x的n次冪<y的n次冪（n為負數）。

8、不等式的基本性質的另一種表達方式有：①對稱性；②傳遞性；③加法單調性，即同向不等式可加性；④乘法單調性。

10. 解高二不等式的方法有哪些

1.先說高次不等式 用穿根法 就是未知數次數很大 因式分解之後把最高次項化成正數，然後把所有零點在x軸從小到大標出，全部標號後，從右上方開始穿根，如果有重的，穿而不過，也就是過這個點 但是不過去，是x軸上方還在上方，在下方還在下方 2.一般的二元一次不等式，找出零點，然後看開口方向，是兩個根中間 還是兩個根外邊 就知道了 3.一元一次。。 不說了