一個例題有多種解答方法如何拆分

1. 一道數學題（多種解答方法）

第一種：設甲倉庫存糧x噸，則乙倉庫存糧（880-x）噸。方程：2/5x=2/3（880-x）這就是甲倉庫的2/5和乙倉庫的2/3相等了。方程自己解
第二種：先以甲為單位「1「。根據已知有：甲×2/5=乙×2/3即乙=1×2/5÷2/3，已知甲+乙=880，求單位「1」用除法，列式為：1：甲：880÷（1+3/5）
2： 乙：550× 2/5÷ 2/3
=880÷ 8/5
=550× 2/5 ×3/2
=880× 5/8
=330（噸）
=550（噸）
第三種設 甲×2/5=乙×2/3=1
甲:1÷2/5=5/2
乙:1÷2/3=3/2
甲：乙=5/2:3/2=5:3
甲=880×5/(5+3)=550(噸)
乙=880×3/(5+3)=330(噸)

2. 初三化學計算題中歸一法,XY法, 拆分法,分配法,K值法是怎樣的，最好有具體的例子

歸一法： 找到化學方程式中關鍵的化學式，定其化學式前計量數為1，然後根據關鍵化學式去配平其他化學式前的化學計量數。若出現計量數為分數，再將各計量數同乘以同一整數，化分數為整數，這種先定關鍵化學式計量數為1的配平方法，稱為歸一法。
例如：甲醇（CH3OH）燃燒化學方程式配平可採用此法：CH3OH＋O2――H2O＋CO2，顯然決定生成H2O與CO2的多少的關鍵是甲醇的組成，因而定其計量數為1，這樣可得其燃燒後生成H2O與CO2的分子個數：CH3OH＋O2――2H2O＋CO2。然後配平氧原子：CH3OH＋3/2O2===2H2O＋CO2，將各計量數同乘以2化分為整數：2CH3OH＋3O2＝＝4H2O＋2CO2。 需要注意的是，不論用何種方法配平化學方程式，只能改動化學式前面的化學計量數，而決不能改動化學式中元素右下角的數字。因為改動元素符號右下角的數字即意味著改動反應物與生成物的組成，就可能出現根本不存在的物質或改變了原有化學變化的反應物或生成物，出現根本不存在的化學變化。

交叉法（XY法）
十字交叉法
十字交叉法是確定二元混合物組成的重要方法。
①適用范圍：在二元混合物體系中，各組分的特性數值具有可加性，如：質量、體積、耗氧量、摩爾質量、微粒個數。此時多可以用十字交叉法求算混合物各組分含量。
②數學推導：請看下面兩個典型具體實例：
[例1]C2H4、C3H4混合氣體平均分子量為30，求混合物中兩種烴的體積比。
解：設兩種氣態烴物質的量分別為n1、n2，混合氣體的質量為兩種氣體質量之和。
28n1 + 40n2 = 30 (n1 + n2) n2 (40 -30)= n1 (30 - 28)
將 改為十字交叉的形式
28 40—30
30
40 30—28
10 5
2 1

∴體積比 = 5:1
[例2]量濃度為60%和20%的NaCl溶液混合後濃度為30%，求如何配比？
解：設兩溶液的質量分別為n1克、n2克，混合後溶液中溶質的質量等於原兩溶液中溶質質量之和。
n1×60% + n2×20% = (n1 + n2)×30%
n1× (60%—30%) = n2× (30%—20%)
改為十字交叉：
20% 60%—30%
30%
60% 30%—20%
10% 1
30% 3

③使用十字交叉法應注意的事項：
要弄清用十字交叉法得到的比值是物質的量之比還是質量之比。
當特性數值帶有物質的量的因素時（例如：分子量即摩爾質量，1mol可燃物的耗氧量，1mol物質轉移電子數等），十字交叉法得到的比值是物質的量之比。
當特性數值是質量百分數時（例如：溶液質量百分比濃度，元素質量百分含量等），則用十字交叉法得到的比值是質量比。

④十字交叉法主要應用在以下幾方面的計算中：有關同位素的計算；有關平均分子量的計算；有關平均耗氧量的計算；混合物質量百分含量的計算。

[例3]銅有兩種天然同位素，65Cu和63Cu，銅元素的原子量為63.5，則65Cu的百分含量為___________。
65 0.5
63.5
63 1.5
分析：

答案:25%

3拆分法 高一化學離子反應化學式的拆分
記住以下口訣：
鹼類只溶鉀鈉鈣鋇，
鉀鈉銨硝酸鹽全部溶於水，
硫酸鹽不容硫酸鋇，
碳酸鹽不容碳酸鋇，
氯化鹽不容氯化銀。

拆分原則：
①「寫」：寫出有關反應的化學方程式。
②「拆」：可溶性的強電解質(強酸、強鹼、可溶性鹽)用離子符號表示，其它難溶的物質、氣體、水等仍用分子式表示。微溶的強電解質應看其是否主要以自由離子形式存在，
③「刪」：刪去方程式兩邊不參加反應的離子。
④「查」：檢查式子兩邊的各種原子的個數及電荷數是否相等（看是否配平），還要看所得式子化學計量數是不是最簡整數比，若不是，要化成最簡整數比。

極限法一般用在化學的可逆反應中，即反應生成最大量或者最小量，舉個例子
在一密閉容器中進行反應，N2+3H2=2NH3已知反應過程中某一時刻N2 H2 NH3 的濃度分別為0.1mol\l,0.3mol\l,0.2mol\l 當反應達到平衡時，可能存在的數據是
AN2為0.21mol\l H2 0.6...
BN2 0.15MOL\L
CN2 H2 都為0.18mol\l
DNH2為0.4mol\l
答B
麻煩說明一下0<NH3濃度<0.4MOL/L
0<N2濃度<0.2mol\l
0<H2濃度<0.6mol\l
用極限法
假設0.1molN2和0.3mol3H2都反應完全生成0.2molNH3加上原有0.2molNH3所以NH3的濃度為0.4mol
同理假設逆反應即NH3生成N2和3H2完全，根據方程式知0.2molNH3生成0.1molN20.3molH2加上原有的即N2為0.2molH2為0.6mol。
因為可逆反應不能完全反應，所以以上數據為極限，實際數據必在其之間
差量法
一、差量法
差量法是依據化學反應前後的某些變化找出所謂的理論差量（固體質量差、溶液質量差、氣體體積差、氣體物質的量之差等），與反應或生成物的變化量成正比而建立的一種解題方法。此法將「差量」看作化學方程式右端的一項，將已知差量（實際差量）與化學方程式中的對應差量（理論差量）列成比例，其他解題步驟與按化學方程式列比例或解題完全一樣。
例1、向50gFeCl3溶液中放入一小塊Na，待反應完全後，過濾，得到仍有棕黃色的溶液45.9g，則投入的Na的質量為
A、4.6g B、4.1g C、6.9g D、9.2g
[解析] Na投入到FeCl3溶液發生如下反應
6Na+2FeCl3+6H2O=6NaCl+2Fe(OH)3↓+3H2↑
若2mol FeCl3與6molH2O反應，則生成6molNaCl，溶液質量減少82g，此時參加反應的Na為6mol；
現溶液質量減少4.1g，則參加反應Na應為0.3moL，質量應為6.9g。答案為（C）
例2、同溫同壓下，某瓶充滿O2共重116g，充滿CO2時共重122g，充滿某氣體共重114g，則該氣體相對分子質量為（ ）
A、28 B、60 C、32 D、14
[解析] 由「同溫同壓同體積下，不同氣體的質量比等於它們的摩爾質量比」可知此題中，氣體質量之差與式量之差成正比。因此可不計算本瓶的質量，直接由比例式求解：
（122-116）/（44-32）=（122-114）/（44-M（氣體））

解之得，M（氣體）=28。 故答案為（A）

、守恆法
所謂「守恆」就是以化學反應過程中存在的某些守恆關系如質量守恆、元素守恆、得
失電子守恆，電荷守恆等。運用守恆法解題可避免在紛紜復雜得解題背景中尋找關系式，提高解題的准確度。
例3、有一在空氣中放置了一段時間的KOH固體，經分析測知其含水2.8%、含K2CO337.3% 取1克該樣品投入25毫升2摩／升的鹽酸中後，多餘的鹽酸用1.0摩／升KOH溶液30.8毫升恰好完全中和，蒸發中和後的溶液可得到固體
(A）1克 （B）3.725克 （C）0.797克 （D）2.836克
[解析] 本題化學反應復雜，數字處理煩瑣，但若根據Cl-守恆，便可以看出：蒸發溶液所得KCl固體中的Cl-，全部來自鹽酸中的Cl-，即：生成的n（KCl）=n（HCl）。
m（KCl）=0.025L×2mol/L×74.5g/mol=3.725g 答案為（B）
例4、將KCl和KBr混合物13.4克溶於水配成500mL溶液，通入過量的Cl2，反應後將溶液蒸干，得固體11.175g則原溶液中K+，Cl-，Br-的物質的量之比為 （ ）
A、3:2:1 B、1:2:3 C、1:3:2 D、2:3:1
[解析] 此題的解法有多種，但作為選擇題，可以從答案中求解。原溶液中含有K+，Cl-，Br-，由電荷守恆可知：n（K+）=n（Cl-）+n（Br-），選項中符合這一關系式的只有答案（A）
例5、將純鐵絲5.21克溶於過量稀鹽酸中，在加熱條件下，用2.53克KNO3去氧化溶液中Fe2+，待反應後剩餘的Fe2+離子尚需12毫升0.3摩/升KMnO4溶液才能完全氧化，則KNO3被還原後的產物為 （ ）
A、N2 B、NO C、NO2、 D、NH4NO3
[解析] 根據氧化還原反應中得失電子的總數相等，Fe2+變為Fe3+失去電子的總數等於NO3+和MnO4-得電子的總數
設n為KNO3的還原產物中N的化合價，則
5.21g/56g/moL×（3-2）=0.012L×0.3mol/L×（7-2）+2.53g/101g/mol×（5-n）
解得 n=3 故KNO3的還原產物為NO。 答案為（B）
極值法是一種重要的數學思想和分析方法。化學上所謂「極值法」就是對數據不足而感到無從下手的計算或混合物組成判斷的題目，採用極端假設（即為某一成分或者為恰好完全反應）的方法以確定混合體系中各物質的名稱、質量分數、體積分數，這樣使一些抽象的復雜問題具體化、簡單化，可達到事半功倍之效果。下面結合一些具體的試題，淺談一下極值法在化學計算中的巧妙應用與技巧。

1、用極值法確定混合物的含量問題

例1 某混合物含有KCl、NaCl和Na2CO3，經分析含鈉31.5％，含氯27.08％（以上均為質量分數），則混合物中Na2CO3的質量分數為（ ）

A.25％ B.50％ C.80％ D.無法確定

解析：若混合物質量為100g，則可求出n (Cl－)= 0.763mol ，①假設這0.763mol的Cl－全部來自於KCl（即混合物為KCl和Na2CO3）則m(KCl)=56.84g，②假設這0.763mol的Cl－全部來自於NaCl（即混合物為NaCl和Na2CO3）則m(NaCl)=44.63g，因Cl－來自於NaCl、KCl兩種物質，由平均值原理知（1－56.84％）＜m(Na2CO3) ％＜（1－44.63％）。

答案：B

2、用極值法確定物質的成份

例2 某鹼金屬單質與其普通氧化物的混合物共1.40g，與足量水完全反應後生成1.79g鹼，此鹼金屬可能是（ ）

A.Na B.K C.Rb D.Li

解析: 本題若用常規思路列方程計算，則很難解答此問題。但若將1.40g混合物假設成純品（鹼金屬或氧化物），即可很快算出鹼金屬相對原子質量的取值范圍，以確定是哪一種鹼金屬

①假定1.40g物質全是金屬單質（設為R） ②假定1.40g全是氧化物設為R2O

則：R→ROH △m 則：R2O → 2ROH △m

MR 17 2MR+16 18

1.40 （1.79-1.40） 1.40 （1.79-1.40）

解得：MR=61 解得：MR=24.3

實際上1.40g物質是R和R2O的混合物，故R的相對原子質量應介於24.3—61之間。題中已指明R是鹼金屬，相對原子質量介於24.3—61之間的鹼金屬只有鉀，其相對原子質量為39。

答案：B

3、用極值法確定溶液的濃度

例3 鹼金屬（如鋰、鈉、鉀、銣等）溶於汞中可形成良好的還原劑「汞齊」。取7g某種鹼金屬的汞齊與水作用得到0.2g氫氣，並得到1L 密度為p g•cm-3的溶液，則溶液中溶質的質量分數可以是（ ）

A.0.8g％/p B.0.48g％/p C.0.32g％/p D.0.7g％/p

解析：假設鹼金屬汞齊全部為鹼金屬（用M表示）時，則得：

2M＋2H2O=2MOH＋H2↑

2x 2

7g 0.2g

解得x=35，故鹼金屬汞齊中的鹼金屬可以為鋰或鈉，然後再根據具體的反應2Li＋2H2O=2LiOH＋H2↑、 2Na＋2H2O=2NaOH＋H2↑計算可得0.8g％/p 、0.48g％/p

答案：AB

4、用極值法確定混合氣體的平均相對分子質量

例4 0.03mol Cu完全溶於硝酸，產生氮的氧化物（NO、NO2、N2O4）混合氣體共0.05mol 。該混合氣體的平均相對分子質量是（ ）

A.30 B.46 C.50 D.66

解析：設NO、NO2、N2O4三者的物質的量分別為：x、y、z，根據題意得：x + y + z = 0.05①式，再由電子守恆可得：3x+y+2z=0.06 ②式。②式減去①式得：2x + z = 0.01 ③式。現討論③、①式：

（1）假設x=0時，則z=0.01 mol，即N2O4物質的量的為極值0.01 mol、NO2為0.04 mol，可得此時氣體的平均相對分子質量為：(92×0.01+46×0.04)/0.05 =55.2。

（2）假設z=0時，則x=0.005 mol，即NO物質的量的極值為0.005 mol、NO2為0.045 mol可得此時氣體的平均相對分子質量為：(30×0.005+46×0.045)/0.05 =44.4。

故原混合氣體的平均相對分子質量介於44.4和55.2之間，故選B、C

答案：BC

5、用極值法確定反應物或生成物的取值范圍

例5 將Mg粉放入盛有CO2和O2混合氣體的密閉容器中充分燃燒 。（1）若Mg粉的質量為6.0g，反應後容器內O2剩餘，則在反應後容器內的固體物質中一定含有 ，該固體的質量為 。（2）若Mg粉的質量為ag，混合氣體的體積為bL ，反應後容器內O2有剩餘，則在bL混合氣體中V(O2) 的取值范圍是 。（3）若Mg粉的質量仍為ag，混合氣體的體積仍為bL ，反應後容器內無氣體剩餘，則反應後容器內固體物質質量的最大值是 。（氣體體積均已折算成標況下的數據）

解析：本題涉及的化學反應有：2Mg＋O2 2MgO 2Mg＋CO2 2MgO＋C ，又知CO2的氧化性比O2弱。（1）當反應後容器內有O2剩餘時，則可推知鎂完全反應；CO2沒有反應，即反應後容器內的固體物質中一定含有MgO，根據2Mg＋O2 2MgO計算可得m(MgO) =10g。（2）若求混合氣體中V(O2) 的取值范圍，就影響到極值法。假設氧氣完全反應，根據2Mg＋O2 2MgO可求得V(O2)=(7a/15)L，因而根據題意可知V(O2) 的取值范圍：(7a/15)L<V(O2)<bL。（3）求反應後容器內固體物質質量的最大值時，可採用極端假設混合氣體全部為CO2或O2，當全部為O2時，則容器內固體物質的質量為m=(a+32×b/22.4)g=(a+10b/7)g；當全部為CO2時，則容器內固體物質的質量為m=(a+44×b/22.4)g =(a+55b/28)g，然後經比較可得反應後容器內固體物質質量的最大值是(a+55b/28)g。

答案：（1）MgO 10g （2）(7a/15)L<V(O2)<bL （3）(a+55b/28)g

6、用極值法確定反應中的過量問題

例6 18.4g NaOH 和NaHCO3固體混合物，在密閉容器中加熱到250℃，經過充分反應後排除氣體，冷卻，稱得剩餘固體質量為16.6g，試計算原混合物中NaOH的質量分數。

解析：這是在密閉容器中進行反應，可能的反應有：NaOH+ NaHCO3 = Na2CO3+H2O ---① 2NaHCO3 Na2CO3+ CO2↑+ H2O---②。究竟第②種情況是否發生，必須判斷出NaOH與NaHCO3在反應①中何者過量，然後才能進行計算。若藉助極值法，則很容易解答此問題。

假設NaOH與NaHCO3恰好完全反應，

NaOH+ NaHCO3 = Na2CO3+H2O △m

40 84 106 18

x y (18.4-16.6)g=1.8g

解得：x=4g y=8.4g

因x+y=(4+8.4)g=12.4g<18.4g，故18.4g NaOH 和NaHCO3固體混合物不能恰好反應，所以存在過量問題，再由於NaHCO3受熱能分解、NaOH則不能，因而知過量物質為NaOH。即原混合物中NaHCO3的質量為8.4g 、NaOH的質量為10g。故原混合物中NaOH的質量分數為：w(NaOH)％ = (10 g/18.4g)×100％= 54.3％

答案：54.3％

7、用極值法確定反應的化學方程式

例7 已知Cl2和NO2在一定條件下可以化合成一種氣態化合物A。為了測定A的組成，進行如下實驗：（1）當Cl2和NO2混合氣體以不同比例混合時，測得其平均相對分子質量為51及61，則Cl2在上述混合氣體中的體積分數分別為 和 ；

（2）取上述不同比例的混合氣體各5 L ，分別在一定條件下充分反應，氣體體積仍均為4L，則Cl2與NO2反應的化學方程式為： 。

解析：（1）依據混合氣體平均相對分子質量的定義M=〔n(Cl2)×M(Cl2)+n(NO2)×M(NO2)〕/〔n(Cl2)+n(NO2)〕可求得Cl2在上述混合氣體中的體積分數分別為1/5和 3/5。由於總體積為5 L，故氣體的組成：第一種，V(Cl2)=1 L、V(NO2)= 4L ；第二種，V(Cl2)=3L、V(NO2)= 2L。

（2）由題意知此反應的方程式只有一個，因在不同條件下混合氣體的體積變化值相同，故說明不同比例的混合氣體參加反應的量相同，進而推知在兩種條件下肯定都存在一種反應物完全反應、另一種反應物過量情況，所以第一種情況是1 L Cl2完全反應；第二種情況是2L NO2完全反應，故可知1 L Cl2和2L NO2是恰好完全反應，故化學方程式為：Cl2＋2NO2 = 2 NO2Cl（體積之比等於化學式前面的系數之比）

答案：（1）1/5和 3/5 （2）Cl2＋2NO2 = 2 NO2Cl

鞏固練習：

1.兩種金屬的混合物共12g，加到足量的稀硫酸中可產生1g氫氣，該混合物可能是（ ）

A.A1和Fe B.Zn和Fe C.Mg和Zn D.Mg和Fe

2.CO2 和NO共30mL，將混合氣體通過足量的固體並充分反應後，氣體體積縮小到20mL，原混合氣體中NO的體積是（ ）

A.10mL B.15mL C.20mL D.25mL

3.在標准狀況下，將混合後充入容器，倒置於水中，完全溶解無氣體剩餘。若產物不擴散，則所的溶液物質的量濃度（mol/L）的數值范圍是（ ）

A.0<C<1/22.4 B.1/39.2<C<1/22.4 C.1/39.2<C<1/28 D.1/28<C<1/22.4

4.在一定條件下，對於可逆反應A(g)+B(g) 2C(g)中的A、B、C的起始濃度分別為amol/L、bmol/L、cmol/L（均大於0），達到平衡後，測得A、B、C的濃度分別為0.5mol/L、0.1mol/L、1.6mol/L。求：

（1）a、b應滿足的關系是______________; （2） a的取值范圍是_____________。

5.將適量CO2的通入含0.8gNaOH的鹼溶液中，將產物在減壓、低溫下蒸干後得到1.37g固體物質。問（1）產物是什麼物質？（2）通入CO2的質量為多少?

參考答案：1.A 2.C 3.C 4.(1)a-b=0.4 (2)0.4<a<1.3 5.(1)Na2CO3和NaHCO3 (2)0.66g

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3. 因式分解的方法太多了，我拿到一道題後怎麼選擇解題方法

觀察公式里數字間的關系，如果不能直接提取公因式的話就看能不能拆分或者十字相乘，再不行就試著加上一個數字再減去，套入式中。

4. 公務員考試資料分析題，拆1法

一、什麼叫運算拆分法?
在資料分析中，將計算式中的數據拆分成兩個或兩個以上便於計算的和或差的形式，再分別進行相應的計算，就叫做運算拆分法。
二、運算拆分法的應用環境是什麼?
運算拆分法多適用於簡單的乘法運算，尤其是A×x%型列式計算。
三、運算拆分法的注意事項
可以根據選項以及具體的題目要求來確定拆分到什麼程度，不需要完全拆分，但是要注意結果的縮放。
四、例題展示
例1：635×12.6%=()
A.79.54 B.79.93 C.80.01 D.80.12
例2：8434×56.7%=()
A 3416 B3736 C4342 D4782
例3:14377.29×26.1%=()
A 3329 B 3458 C 3752 D 3998
解析：此三道例題均適用於運算拆分法。接下來我們來說一下這三道例題的解題要點。第一題，按照我們估算的思維來說的話，我們可以直接將12.6%看成12.5%等於八分之一。但是我們發現四個選項差距都很小，需要我們精細的計算才能選擇正確選項。所以我們可以將本題改為635×(12.5%+0.1%)=635×12.5%+635×0.1%=79.375+0.635=80.01
我們再來看第二題，第二題我們發現56.7%不是一個可以轉化成容易計算的百分數，所以我們可以將此題中的56.7%看成55%，然後題目可得8434×(50%+5%)=4217+421.7=46xx，也就是四千六百多，我們所算的結果比題目偏小，所以我們選擇第四個選項。
再來看最後一題，跟上題一樣。我們可以將式子轉化為14377.29×(25%+1%)=3594+143.77=3738略小於我們的真實值。所以我們選擇C選項。

5. 如何對數學習題進行一題多變

變式其實就是創新。當然變式不是盲目的變，應抓住問題的本質特徵，遵循學生認知心理發展，根據實際需要進行變式。實施變式訓練應抓住思維訓練這條主線，恰當的變更問題情境或改變思維角度，培養學生的應變能力，引導學生從不同途徑尋求解決問題的方法。通過多問、多思、多用等激發學生思維的積極性和深刻性。下面本人結合理論學習和數學課堂教學的實踐，談談在數學教學中如何進行變式訓練培養學生的思維能力。 一、在形成數學概念的過程中，利用變式啟發學生積極參與觀察、分析、歸納，培養學生正確概括的思維能力。 從培養學生思維能力的要求來看，形成數學概念，提示其內涵與外延，比數學概念的定義本身更重要。在形成概念的過程中，可以利用變式引導學生積極參與形成概念的全過程，讓學生自己去「發現」、去「創造」，通過多樣化的變式提高學生學習的積極性，培養學生的觀察、分析以及概括能力。 通過對式子的變形，可以對概念的理解逐漸加深，對概念中本質的東西有個非常清晰的認識，因此教師在以後的練習中也明確類似知識點的考查方向，防止教師盲目出題，學生盲目練習，在有限的時間內使得效益最大化。 二、在理解定理和公式的過程中，利用變式使學生深刻認知定理和公式中概念間的多種聯系，從而培養學生多向變通的思維能力。 數學思維的發展，還賴於掌握、應用定理和公式，去進行推理、論證和演算。由於定理和公式的實質，也是人們對於概念之間存在的本質聯系的概括，所以掌握定理和公式的關鍵在於明確理解定理和公式中概念的聯系，對於這種聯系的任何形式的機械的理解，是不能熟練、靈活應用定理和公式的根源，它是缺乏多向變通思維能力的結果。因此在定理和公式的教學中，也可利用變式，展現相關定理和公式之間的聯系以及定理、公式成立依附的條件，培養學生辨析與定理和公式有關的判斷，運用。 通過變式訓練，是要防止形式地、機械地背誦、套用公式和定理提高學生變通思考問題和靈活應用概念、公式以及定理的能力。 三、在解題教學中，利用變式來改變題目的條件或結論，揭示條件、目標間的聯系，解題思路中的方法之間的聯系與規律，從而培養學生聯想、轉化、推理、歸納、探索的思維能力。 （一）多題一解，適當變式，.培養學生求同存異的思維能力。 許多數學習題看似不同，但它們的內在本質（或者說是解題的思路、方法是一樣的），這就要求教師在教學中重視對這類題目的收集、比較，引導學生尋求通法通解，並讓學生自己感悟它們之間的內在聯系，形成數學思想方法。 （二）一題多解，觸類旁通，培養學生發散思維能力，培養學生思維的靈活性。 一題多解的實質是以不同的論證方式，反映條件和結論的必然本質聯系。在教學中教師應積極地引導學生從各種途徑，用多種方法思考問題。這樣，既可暴露學生解題的思維過程，增加教學透明度，又能使學生思路開闊，熟練掌握知識的內在聯系。這方面的例子很多，尤其是幾何證明題。通過一題多解，讓學生從不同角度思考問題、解決問題，可以引起學生強烈的求異慾望，培養學生思維的靈活性。 （三）一題多變，總結規律，培養學生思維的探索性和深刻性。 通過變式教學，不是解決一個問題，而是解決一類問題，遏制「題海戰術」，開拓學生解題思路，培養學生的探索意識，實現「以少勝多」。 伽利略曾說過「科學是在不斷改變思維角度的探索中前進的」。故而課堂教學要常新、善變，通過原題目延伸出更多具有相關性、相似性、相反性的新問題，深刻挖掘例習題的教育功能。 譬如書本上有這樣一道題，求證：順次連接四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形。教師可以不失時機地進行變式，調動起學生的思維興趣。變式（1）順次連接矩形各邊中點所得四邊形是什麼圖形？變式（2）順次連接菱形各邊中點所得四邊形是什麼圖形？變式（3）順次連接正方形各邊中點所得四邊形是什麼圖形？做完這四個練習，教師還可以進一步引導學生概括影響組成圖形形狀的本質的東西是原來四邊形的對角線所具有的特徵。 又如應用題教學是初中教學中的一個難點，在教學中就可以把同類型的題目通過變式的方式展現給學生，把學生的思維逐步引向深刻。 例如在講解一元一次方程的實踐和探究這節課時，教師從奧運冠軍孟關良訓練為題材編了一題關於追及問題的應用題，一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了20米孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，同學們，請你想一想他如果以每秒6米的速度劃行多少秒才能追上快艇？然後教師可對本例作以下變式。 變式1：一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了20秒，孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，同學們，請你想一想他如果以每秒6米的速度劃行多少秒才能追上快艇？（從先行20米改為先行了20秒） 變式2：我們學校有一塊300米的跑道在比賽跑步時經常會涉及到相遇問題和追及問題 現有甲、乙兩人比賽跑步，甲的速度是10米/秒，乙的速度是8米/秒，他們兩人同地出發 （1）兩人同時相向而行經過幾秒兩人相遇。 （2）兩人同時同向而行經過幾秒兩第一次相遇。 （3）乙先出發5秒，然後甲開始出發，問甲經過幾秒兩人第一次相遇。 這題該為平時學生熟悉的操場環形跑道，這里三題也是一組變式題，（1）、（2）是同時同地出發的相遇和追及問題，（3）是不同時出發相遇和追及問題，這題還蘊涵著分類討論的思想。 變式3：一膄快艇與孟關良的皮艇同在起點，快艇以每秒5米的速度先行了10秒，教練要求他用45秒追上快艇，孟關良為了追上快艇，必須奮力前劃，他以每秒6米的速度劃行，劃了5秒後他發現用這樣的速度不能在規定的時間內追上，請問他的想法用45秒不能追上快艇對不對？如果他要追上請你算一算孟關良後來要用多少速度才能在規定的時間內追上快艇？ 這樣的變式覆蓋了同時出發相遇問題、不同時出發相遇問題、同時出發和不同時出發的追及問題等行程問題的基本類型。這樣通過一個題的練習既解決了一類問題，又歸納出各量之間最本質的東西，今後碰到類似問題學生思維指向必定準確，很好培養了學生思維的深刻性。學生也不必陷於題海而不能自拔。 （三）一題多問，通過變式引申發展，擴充、發展原有功能，培養學生的創新意識和探究、概括能力。 牛頓說過：「沒有大膽的猜想就做不出偉大的發現。」中學生的想像力豐富，因此，可以通過例題所提供的結構特點，鼓勵、引導學生大膽地猜想，以培養學生的創造性思維和發散思維。 教學中要特別重視對課本例題和習題的「改裝」或引申。數學的思想方法都隱藏在課本例題或習題中，我們在教學中要善於對這類習題進行必要的挖掘，即通過一個典型的例題，最大可能的覆蓋知識點，把分散的知識點串成一條線，往往會起到意想不到的效果，有利於知識的建構。 總之，在數學課堂教學中，遵循學生認知發展規律，根據教學內容和目標加強變式訓練，對鞏固基礎、培養思維、提高能力有著重要的作用。特別是，變式訓練能培養培養學生敢於思考，敢於聯想，敢於懷疑的品質，培養學生自主探究能力與創新精神。當然，課堂教學中的變式題最好以教材為源，以學生為本，體現出「源於課本，高於課本」，並能在日常教學中滲透到學生的學習中去。讓學生也學會「變題」，使學生自己去探索、分析、綜合，以提高學生的數學素質。

6. 小學數學應用題的解題步驟和方法

小學數學10道經典應用題解題思路及答題

網路網盤鏈接：https://pan..com/s/1vUkp3x_qJYZqH5Y0E394hQ

提取碼：ae3g

若資源有問題歡迎追問~

7. 求分解因式例題解答的每一個步驟，過程！

例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1

解原式=（x15+m12）+(m9+m6)+(m3+1)

=m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1)

=(m3+1)(m12+m6++1)

=(m3+1)[(m6+1)2-m6]

=(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3)

例2分解因式：x4+5x3+15x-9

解析可根據系數特徵進行分組

解原式=（x4-9）+5x3+15x

=(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3)

=(x2+3)(x2+5x-3)

8. 求解一元二次方程有4種解法例題 每種方法5個例題（解一元二次方程：簡單的，詳細過程）

一元二次方程的解法有如下幾種:
第一種:運用因式分解的方法,而因式分解的方法有:(1)十字相乘法(又包括二次項系數為1的和二次項系數不為1,但又不是0的),(2)公式法:(包括完全平方公式,平方差公式,).（3）提取公因式
例1:X^2-4X+3=0
本題運用因式分解法中的十字相乘法,原方程分解為(X-3)(X-1)=0 ,可得出X=3或1。
例2：X^2-8X+16=0
本題運用因式分解法中的完全平方公式，原方程分解為（X-4）^2=0 可以得出X1=4 X2=4（注意：碰到此類問題，一定要寫X1=X2=某個數，不能只寫X=某個數，因為一元二次方程一定有兩個根，兩個根可以相同，也可以不同）
例3：X^2-9=0
本題運用因式分解法中的平方差公式，原方程分解為（X-3）（X+3）=0 ，可以得出X1=3，X2=-3。
例4：X^2-5X=0
本題運用因式分解法中的提取公因式法來解，原方程分解為X（X-5）=0 ，可以得出X1=0 ，X2=5
第二種方法是配方法，比較復雜，下面舉一個例來說明怎樣用配方法來解一元二次方程：
X^2+2X-3=0
第一步：先在X^2+2X後加一項常數項，使之能成為一項完全平方式，那麼根據題目，我們可以得知應該加一個1這樣就變成了（X+1)^2。
第二步：原式是X^2+2X-3，而(X+1)^2=X^2+2X+1，兩個葵花子對比之後發現要在常數項後面減去4，才會等於原式，所以最後用配方法後得到的式子為(X+1)^2-4=0,最後可解方程。
還有一種方法就是開平方法,例如:X^2=121,那麼X1=11,X2=-11。
最後如果用了上面所有的方法都無法解方程，那就只能像樓上所說的用求根公式了。
定理就是韋達定理，還有根的判別式，韋達定理就是一元二方程ax^2+bx+c=0(a不等於0)二根之和就是-b/a,兩根之積就是c/a
舉例：X^2-4X+3=0 兩根之和就是-(-4/1)=4，兩根之積就是3/1=3,（你可以自己解一下，看看是否正確）。
因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式，讓
兩個一次因式分別等於零，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個
根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例4．用因式分解法解下列方程：
(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0
(3) 6x2+5x-50=0 (選學） (4)x2-2( + )x+4=0 （選學）
(1)(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得
x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式，右邊為零)
(x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)
∴x-5=0或x+2=0 (轉化成兩個一元一次方程)
∴x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)2x2+3x=0
x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)
∴x=0或2x+3=0 (轉化成兩個一元一次方程)
∴x1=0，x2=-是原方程的解。
注意：有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解，應記住一元二次方程有兩個解。
(3)6x2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)
∴2x-5=0或3x+10=0
∴x1=, x2=- 是原方程的解。
(4)x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解為2 •2 ，∴此題可用因式分解法）
(x-2)(x-2 )=0
∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。
小結：
一般解一元二次方程，最常用的方法還是因式分解法，在應用因式分解法時，一般要先將方程寫成一般
形式，同時應使二次項系數化為正數。
直接開平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用於任何一元二次方程（有人稱之為萬能法），在使用公式
法時，一定要把原方程化成一般形式，以便確定系數，而且在用公式前應先計算判別式的值，以便判斷方程
是否有解。
配方法是推導公式的工具，掌握公式法後就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法
解一元二次方程。但是，配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用，是初中要求掌握的三種重要的數學方
法之一，一定要掌握好。（三種重要的數學方法：換元法，配方法，待定系數法）。
例5．用適當的方法解下列方程。(選學）
（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0
（3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
分析：（1）首先應觀察題目有無特點，不要盲目地先做乘法運算。觀察後發現，方程左邊可用平方差
公式分解因式，化成兩個一次因式的乘積。
（2）可用十字相乘法將方程左邊因式分解。
（3）化成一般形式後利用公式法解。
（4）把方程變形為 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然後可利用十字相乘法因式分解。
（1）4(x+2)2-9(x-3)2=0
[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0
(5x-5)(-x+13)=0
5x-5=0或-x+13=0
∴x1=1,x2=13
（2） x2+(2- )x+ -3=0
[x-(-3)](x-1)=0
x-(-3)=0或x-1=0
∴x1=-3，x2=1
（3）x2-2 x=-
x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)
△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0
∴x=
∴x1=,x2=
（4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0
4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0
[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0
2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0
∴x1= ,x2=
例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (選學）
分析：此方程如果先做乘方，乘法，合並同類項化成一般形式後再做將會比較繁瑣，仔細觀察題目，我
們發現如果把x+1和x-4分別看作一個整體，則方程左邊可用十字相乘法分解因式（實際上是運用換元的方
法）
[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0
即 (5x-5)(2x-3)=0
∴5(x-1)(2x-3)=0
(x-1)(2x-3)=0
∴x-1=0或2x-3=0
∴x1=1,x2=是原方程的解。
例7．用配方法解關於x的一元二次方程x2+px+q=0
x2+px+q=0可變形為
x2+px=-q (常數項移到方程右邊)
x2+px+( )2=-q+()2 (方程兩邊都加上一次項系數一半的平方)
(x+)2= (配方)
當p2-4q≥0時，≥0（必須對p2-4q進行分類討論）
∴x=- ±=
∴x1= ,x2=
當p2-4q

9. 高考數學題，如果解題的方法和標答不一樣，如何給分

超綱的知識使用是可以的，前提是這道題你必須作對並且是計算題，至少答案的
數字
是必須正確的，如果是壓軸的、大的證明題應該不會給分，這一點要十分注意。
如果解題的方法和標答不一樣在正常情況下老師會考慮的，因為你只要不是使用超綱的知識，那麼會有大量的人使用和你一樣的方法，只一點你可以放心。那我高考來說吧，我是濟南人，高考時有一道
導數
大題
我完全用均值不等式解的，我算的分比高考得分低一分，說明這道題一分沒扣，我是去年高考的。這種
例子
同學們數不勝數。但這都在所學范圍之內，而超綱知識幾乎都不給分，你千萬要小心使用，畢竟上了好大學再說，那是你還有很多機會用
新知識
嘛。

10. 分解因式中的分組分解法.詳解!

分組分解法：把各項適當分組，先使分解因式能分組進行，再使分解因式在各組之間進行．
分組時要用到添括弧：括弧前面是「+」號，括到括弧里的各項都不變符號；括弧前面是「-」號，括到括弧里的各項都改變符號.
當多項式的項數較多時，可將多項式進行合理分組，達到順利分解的目的。當然可能要綜合其他分法，且分組方法也不一定唯一。

例1分解因式：x15+m12+m9+m6+m3+1

解原式=（x15+m12）+(m9+m6)+(m3+1)

=m12(m3+1)+m6(m3+1)+(m3+1)

=(m3+1)(m12+m6++1)

=(m3+1)[(m6+1)2-m6]

=(m+1)(m2-m+1)(m6+1+m3)(m6+1-m3)

例2分解因式：x4+5x3+15x-9

解析可根據系數特徵進行分組

解原式=（x4-9）+5x3+15x

=(x2+3)(x2-3)+5x(x2+3)

=(x2+3)(x2+5x-3)

附：僅供參考

第4課 因式分解
〖知識點〗
因式分解定義，提取公因式、應用公式法、分組分解法、二次三項式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步驟。
〖大綱要求〗
理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分組分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二項式的方法，能把簡單多項式分解因式。
〖考查重點與常見題型〗
考查因式分解能力，在中考試題中，因式分解出現的頻率很高。重點考查的分式提取公因式、應用公式法、分組分解法及它們的綜合運用。習題類型以填空題為多，也有選擇題和解答題。
因式分解知識點
多項式的因式分解，就是把一個多項式化為幾個整式的積．分解因式要進行到每一個因式都不能再分解為止．分解因式的常用方法有：
(1)提公因式法
如多項式
其中m叫做這個多項式各項的公因式， m既可以是一個單項式，也可以是一個多項式．
(2)運用公式法，即用
寫出結果．
(3)十字相乘法
對於二次項系數為l的二次三項式 尋找滿足ab=q，a+b=p的a，b，如有，則 對於一般的二次三項式 尋找滿足
a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，則
(4)分組分解法：把各項適當分組，先使分解因式能分組進行，再使分解因式在各組之間進行．
分組時要用到添括弧：括弧前面是「+」號，括到括弧里的各項都不變符號；括弧前面是「-」號，括到括弧里的各項都改變符號.
(5)求根公式法：如果 有兩個根X1，X2，那麼

考查題型：
1．下列因式分解中，正確的是（ ）���������
(A) 1- 14 x2= 14 (x + 2) (x- 2) (B)4x –2 x2 – 2 = - 2(x- 1)2
(C) ( x- y )3 –(y- x) = (x – y) (x – y + 1) ( x –y – 1)
(D) x2 –y2 – x + y = ( x + y) (x – y – 1)
2．下列各等式(1) a2－ b2 = (a + b) (a–b ),(2) x2–3x +2 = x(x–3) + 2
(3 ) 1 x2 –y2 －1 ( x + y) (x – y ) ,(4 )x2 + 1 x2 －2－（ x －1x )2
從左到是因式分解的個數為（ ）
(A) 1 個 (B) 2 個 (C) 3 個 (D) 4個
3．若x2＋mx＋25 是一個完全平方式，則m的值是（ ）
(A) 20 (B) 10 (C) ± 20 (D) ±10
4．若x2＋mx＋n能分解成( x+2 ) (x – 5)，則m= ,n= ;
5．若二次三項式2x2+x+5m在實數范圍內能因式分解，則m= ;
6．若x2+kx－6有一個因式是(x－2)，則k的值是 ;
7．把下列因式因式分解：
(1)a3－a2－2a (2)4m2－9n2－4m+1

(3)3a2+bc－3ac-ab (4)9－x2+2xy－y2

8．在實數范圍內因式分解：
(1)2x2－3x－1 (2)－2x2+5xy+2y2

考點訓練：
1. 分解下列因式：
(1).10a(x－y)2－5b(y－x) (2).an+1－4an＋4an-1

(3).x3(2x－y)－2x＋y (4).x(6x－1)－1

(5).2ax－10ay＋5by＋6x (6).1－a2－ab－14 b2

*(7).a4＋4 (8).(x2＋x)(x2＋x－3)＋2

(9).x5y－9xy5 (10).－4x2＋3xy＋2y2

(11).4a－a5 (12).2x2－4x＋1

(13).4y2＋4y－5 (14)3X2－7X+2

解題指導：
1．下列運算:(1) (a－3)2＝a2－6a＋9 (2) x－4＝(x ＋2)( x －2)
(3) ax2＋a2xy＋a＝a(x2＋ax) (4) 116 x2－14 x＋14 ＝x2－4x＋4＝(x－2)2其中是因式分解，且運算正確的個數是（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2．不論a為何值，代數式－a2＋4a－5值（ ）
（A）大於或等於0 （B）0 （C）大於0 （D）小於0
3．若x2＋2（m－3）x＋16 是一個完全平方式，則m的值是（ ）
（A）－5 （B）7 （C）－1 （D）7或－1
4．(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0,則x2＋y2的值是 ；
5．分解下列因式：
(1).8xy(x－y)－2(y－x)3 ＊(2).x6－y6

(3).x3＋2xy－x－xy2 ＊(4).(x＋y)(x＋y－1)－12

(5).4ab－（1－a2）（1－b2） (6).－3m2－2m＋4

＊4。已知a＋b＝1,求a3＋3ab＋b3的值

5．a、b、c為⊿ABC三邊，利用因式分解說明b2－a2＋2ac－c2的符號

6．0＜a≤5，a為整數，若2x2＋3x＋a能用十字相乘法分解因式，求符合條件的a

獨立訓練：
1．多項式x2－y2, x2－2xy＋y2, x3－y3的公因式是 。
2．填上適當的數或式，使左邊可分解為右邊的結果：
(1)9x2－( )2＝(3x＋ )( －15 y), (2).5x2＋6xy－8y2＝(x )( －4y).
3．矩形的面積為6x2＋13x＋5 (x>0),其中一邊長為2x＋1,則另為 。
4．把a2－a－6分解因式，正確的是( )
(A)a(a－1)－6 (B)(a－2)(a＋3) (C)(a＋2)(a－3) (D)(a－1)(a＋6)
5．多項式a2＋4ab＋2b2,a2－4ab＋16b2,a2＋a＋14 ,9a2－12ab＋4b2中，能用完全平方公式分解因式的有( )
(A) 1個 (B) 2個 (C) 3個 (D) 4個
6．設(x＋y)(x＋2＋y)－15＝0,則x＋y的值是（ ）
(A)-5或3 (B) -3或5 (C)3 (D)5
7．關於的二次三項式x2－4x＋c能分解成兩個整系數的一次的積式，那麼c可取下面四個值中的（ ）
(A) －8 (B) －7 (C) －6 (D) －5
8．若x2－mx＋n＝(x－4)(x＋3) 則m,n的值為（ ）
(A) m＝－1, n＝－12 (B)m＝－1,n＝12 (C) m＝1,n＝－12 (D) m＝1,n＝12.
9．代數式y2＋my＋254 是一個完全平方式，則m的值是 。
10．已知2x2－3xy＋y2＝0（x,y均不為零），則 xy ＋ yx 的值為 。
11．分解因式:
(1).x2(y－z)＋81(z－y) (2).9m2－6m＋2n－n2

＊(3).ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2) (4).a4－3a2－4

＊(5).x4＋4y4 ＊(6).a2＋2ab＋b2－2a－2b＋1

12．實數范圍內因式分解
（1）x2－2x－4 （2）4x2＋8x－1 （3）2x2＋4xy＋y2

初二數學因式分解測試題
劉錦珍
一、 選擇題：
1. 多項式15x3y4m2－35x4y2m2+20x3ym的各項公因式是（ ）
A 5x3y B 5x3ym C 5x3m D5x3m2y
2. 下列從左到右的變形中是因式分解的是（ ）
A (a+b)2=a2+2ab+b2 B x2-4x+5=(x-2x)2+1
C x2-5x-6=(x+6)(x-1) D x2-10x+25=(x-5)2
3. 若多項式x2+kxy+9y2是一個完全平方式，則k的值為（ ）
A 6 B 3 C －6 D －6或6
4. 把多項式a2+a-b2-b用分組分解法分解因式不同的分組方法有（ ）
A 1種 B 2種 C 3種 D 4種
5. 多項式a2+b2, x2-y2, -x2-y2, -a2+b2中，能分解因式的有（ ）
A 4個 B 3個 C 2個 D 1個
6. 如果多項式x2－mx－15能分解因式，則m的值為（ ）
A 2或－2 B 14或－14 C 2或－14 D ±2或±14
7. 下列各多項式中不含有因式 (x-1) 的是（ ）
A x3-x2-x+1 B x2+y-xy-x C x2-2x-y2+1 D (x2+3x)2-(2x+2)2
8. 若 則x為（ ）
A 1 B －1 C D －2
9. 若多項式4ab－4a2－b2－m有一個因式為（1-2a+b）則m的值為（ ）
A 0 B 1 C －1 D 4
10. 如果 (a2＋b2－3) (a2+b2) －10 = 0那麼a2+b2的值為（ ）
A －2 B 5 C 2 D －2或5
二、分解下列各式：
1、- m2 – n2 + 2mn + 1 2、(a + b)3d – 4(a + b)2cd+4(a + b)c2d

3. (x + a)2 – (x – a)2 4.

5. –x5y – xy +2x3y 6. x6 – x4 – x2 + 1

7. (x +3) (x +2) +x2 – 9 8. (x –y)3 +9(x – y) –6(x – y)2

9. (a2 + b2 –1 )2 – 4a2b2 10. (ax + by)2 + (bx – ay)2

三、 簡便方法計算：
1. 2.

四、 化簡求值：
1. 2ax2 – 8axy + 8ay2 – 2a 2. 已知：a2 – b2 – 5=0 c2 – d2 – 2 =0
其中x –2 y =1 a=3 求：(ac + bd)2 – (ad + bc)2的值

五、 觀察下列分解因式的過程： 分解因式的方法，叫做 配方法。
x2 + 2ax – 3a2 請你用配方法分解因式：
=x2+2ax+a2 – a2 – 3a2 （先加上a2,再減去a2） m2 – 4mn +3n2
=(x+a)2 – 4a2 （運用完全平方公式）
=(x+a+2a) (x+a – 2a) （運用平方差公式）
=(x+3a) (x – a)
像上面這樣通過加減項配出完全平方式把二次三項式
http://www.shitibaodian.com/chu/UploadFiles_8875/200607/20060727002.doc
http://www.kaoshi.ws/html/2005/0311/132010.html
2. 填空
（1）（2m+n）（2m-n）=4m2-n2此運算屬於 。
（2）x2-2x+1=（x-1）2此運算屬於 。
（3）配完全平方式 49x2+y2+ =（ -y）2
自主學習：
1. 993-99能被100整除嗎？你是怎樣想的？與同伴交流。
小時是這樣做的？
993-99
=99×992-99×1
=99（992-1）
=99×9800
=98×99×100
所以，993-99能被100整除。
（1） 小明在判斷993-99能否被100整除時是怎麼做的？
（2） 993-99還能被哪些正整數整除。
答案：（1）小明將993-99通過分解因數的方法，說明993-99是100的倍數，故993-99能被100整除。
（2）還能被98，99，49，11等正整數整除。
2. 計算下列各式：
（1）（m+4）（m-4）= ;
（2）（y-3）2= ；
（3）3x（x-1）= ；
（4）m（a+b+c）= .
根據上面的算式填空：
（1）3x2-3x=（ ）（ ）
（2）m2-16=（ ）（ ）
（3）ma+mb+mc=（ ）（ ）
（4）y2-6y+9=（ ）（ ）
請問，通過以上兩組練習的演練，你認為這兩組練習之間有什麼關系？
答案：第一組：
（1）m2-16；（2）y2-6y+9；（3）3x2-3x；（4）ma+mb+mc；
第二組：
（1）3x（x-1）；（2）（m+4）（m-4）；（3）m（a+b+c）；（4）（y-3）2。
第一組是把多項式乘以多項式展開整理之後的結果，第二組是把多項式寫成了幾個固式的積的形式，它們這間恰好是一個互逆的關系。
3. 下列各式中由等號的左邊到右邊的變形，是因式分解的是（ ）
A．（x+3）（x-3）=x2-9 B．x2+x-5=（x-2）（x+3）+1
C．a2b+ab2=ab（a+b） D．
答案：C
4. 證明：一個三位數的百位數字與個位數字交換位置，則新數與原數之差能被99整除。
證明：設原數百位數字為x，十位數字為y，個位數字為z，則原數可表示為100x+10y+z，交換位置後數字為100 z +10y+ x。
則：（100 z +10y+ x）-（100x+10y+z）
=100 z-100x+x-z
=100（z-x）-（z-x）
=99（z-x）
則原結論成立。
5.（陝西省，中考題）如圖3-1①所示，在邊長為a的正方形中挖掉一個邊長了b的小正方形（a＞b），把餘下的部分剪拼成一個矩形（如圖②所示），通過教育處兩個圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個等式，則這個等式是（ ）
A．（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2 B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．a2-b2=（a+b）（a-b）
答案：D。
§2.2提公因式法
教學目的和要求: 經歷探索多項式各項公因式的過程,並在具體問題中,能確定多項式各項的公因式;會用提公因式法把多項式分解因式(多項式中的字母指數僅限於正整數的情況);進一步了解分解因式的意義,加強學生的直覺思維並滲透化歸的思想方法.
教學重點和難點：
重點：是讓學生理解提公因式的意義與原理。
難點：能確定多項式各項的公因式
關鍵:是讓學生理解提公因式的意義與原理。
快速反應：
1. 2m2x+4mx2的公因式___________。
2. a2b+ab2+a3b3的公因式_____________。
3. 5m（a-b）+10n（b-a）的公因式____________。
4. -5xy-15xyz-20x2y=-5xy（____________）.
自主學習：
1. 張老師准備給航天建模競賽中獲獎的同學頒發獎品。他來到文具商店，經過選擇決定買單價16元的鋼筆10支，5元一本的筆記本10本，4元一瓶的墨水10瓶，由於購買物品較多，商品售貨員決定以9折出售，問共需多少錢。
關於這一問題兩位同學給出了各自的做法。
方法一：16×10×90%+5×10×90%+4×10×90%=144+45+36=225（元）
方法二：16×10×90%+5×10×90%+4×10×90%=10×90%（16+5+4）=225（元）
請問：兩位同學計算的方法哪一位更好？為什麼？
答案：第二位同學（第二種方法）更好，因為第二種方法將因數10×90%放在括弧外，只進行過一次計算，很明顯減小計算量。
2. （1）多項式ab+bc各項都含有相同的因式嗎？多項式3x2+x呢？多項式mb2+nb呢？
（2）將上面的多項式分別寫成幾個因式的乘積，說明你的理由，並與同位交流。
答案：（1）多項式ab+bc各項都含有相同的因式b，多項式3x2+x各項都含有相同的公因式x，多項mb2+nb各項都含有相同的公因式b。
3. 將下列各式分解因式：
3x+6； 7x2-21x； 8a3b2-12ab3c+abc； a（x-3）+2b（x-3）； 5（x-y）3+10（y-x）2。
答案：（1）3x+6=3x+3×2=3（x+2） （2）7x2-21x=7x•x-7x•3=7x（x-3）
（3）8a3b2-12ab3c+abc=ab•8a2b-ab•12b2c+ab•c=ab（8a2b-12b2c+c）
（4）a（x-3）+2b（x-3）=（x-3）（a+2b）
（5）5（x-y）3+10（y-x）2=5（x-y）3+10[-（x-y）]2=5（x-y）3+10（x-y）2=5（x-y）2（x-y+2）
4. 把下列各式分解因式：
（1）3x2-6xy+x （2）-4m3+16m2-26m
答案：（1）3x2-6xy+x=x（3x-6y+1） （2）-4m3+16m2-26m=-2m（2m2-8m+13）
5. 把 分解因式
答案： =
6. 把下列各式分解因式：
（1） 4q（1-p）3+2（p-1）2
（2） 3m（x-y）-n（y-x）
（3） m（5ax+ay-1）-m（3ax-ay-1）
答案：（1）4q（1-p）3+2（p-1）2=2（1-p）2（2q-2pq+1）
（2）3m（x-y）-n（y-x）=（x-y）（3m+n）
（3）m（5ax+ay-1）-m（3ax-ay-1）=2am（x+y）
7. 計算
（1） 已知a+b=13,ab=40,求a2b+ab2的值；
（2） 1998+19982-19992
答案：（1）a2b+ab2=ab（a+b）,當a+b=13時，原式=40×13=520
（2）1998+19982-19992=-1999
8. 比較2002×20032003與2003×20022002的大小。
解答：設2002=x
∵2002×20032003-2003×20022002=x•10001（x+1）-（x+1）•10001 x=0
∴2002×20032003=2003×20022002
§2.3運用公式法
教學目的和要求: 經歷通過整式乘法的平方差公式、完全平方公式逆向得出用公式法分解因式的方法的過程，發展學生的逆向思維和推理能力；運用公式法（直接用公式不超過兩次）分解因式（指數是正整數）
教學重點和難點：
重點：發展學生的逆向思維和推理能力
難點：能夠理解、歸納因式分解變形的特點，同時也可以充分感受到這種互逆變形的過程和數學知識的整體性.
快速反應：
1. 分解因式：①x2-y2= ; x2-4= ;②a2b2-2ab+1= ; = ;
2. 下列多項式中能用平方差公式分解因式的是( )
A．16a2-25b3 B．-16a2-25b2 C．16a2+25b2 D．-(16a2-25b2)
3. 下列各式不能用完全平方公式分解的是( )
A．x2+y2+2xy B．-x2+y2+2xy C．-x2-y2-2xy D．-x2-y2+2xy
4. 把下列各式分解因式：
(1)9a2m2-16b2n2; (2) ; (3)9(a+b)2-12(a+b)+4 (4)
自主學習：
1. (1)觀察多項式x2-25.9x-y2,它們有什麼共同特證？
(2)將它們分別寫成兩個因式的乘積，說明你的理由，並與同伴交流。
答案：(1)多項式的各項都能寫成平方的形式。如x2-25中：x2本身是平方的形式，25=52也是平方的形式；9x-y2也是如此。
(2)逆用乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2,可知x2-25= x2-52=(x+5)(x-5),9x2-y2=(3x)2-y2=(3x+y)(3x-y).
2. 把乘法方式
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a-b)2=a2-2ab+b2,反過來，就得到 a2+2ab+b2=(a+b)2， a2-2ab+b2=(a-b)2
上面這個變化過程是分解因式嗎？說明你的理由。
答案：a2±2ab+b2=(a±b)2是分解因式。因為(a+b)2是因式的乘積的形式，(a-b)2也是因式的乘積的形式。
3. 把下列各式分解因式：
(1)25-16x2； (2) (3)9(m+n)2-(m-n)2; (4)2x3-8x;
(5)x2+14x+49; (6)(m+m)2-6(m+n)+9(7)3ax2+6axy+3ay2; (8)-x2-4y2+4xy
答案：
(1)25-16x2=(5+4x)(5-4x) (2) =
(3)9(m+n)2-(m-n)2=4(2m+n)(m+2n)
(4)2x3-8x=2x(x2-4)=2x(x2-2x)=2x(x+2)(x-2)
(5)x2+14x+49= x2+2×7x+72=(x+7)2
(6)(m+m)2-6(m+n)+9=[(m+n)-3]2=(m+n-3)2
(7)3ax2+6axy+3ay2=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2
(8)-x2-4y2+4xy=-(x-2y)2
4. 把下列各式分解因式：
(1) ； (2)(a+b)2-1； (3)-(x+2)2+16(x-1)2；
(4)
答案： (1) ; (2)(a+b)2-1=(a+b+1)(a+b-1)
(3)-(x+2)2+16(x-1)2=3(x-2)(5x-2);
(4)
5. 把下列各式分解因式：
(1)m2-12m+36； (2)8a-4a2-4；
(3) ； (4) 。
答案：(1)m2-12m+36=(m-6)2； (2)8a-4a2-4=-4(a-1)2；
(3) ；
(4)
6. 求證(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1是一個完全平方式。
證明一：原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
=(x2+5x)2+10(x2+5x)+25
=(x2+5x+5)2 ∴原命題成立
證明二：原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
令a=x2+5x+4，則x2+5x+6=a+2
原式=a(a+2)+1=(a+1)2
即(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x2+5x+5)2
證明三：原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
令
原式=(x2+5x+5-1)(x2+5x+5+1)+1
=(m-1)(m+1)+1=m2=(x2+5x+5)2
7. 已知a,b,c是△ABC的三條邊，且滿足a2+b2+c2-ab-bc-ca=0試判斷△ABC的形狀。
答案：∵a2+b2+c2-ab-bc-ca=0
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0
即a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0
∴(a-b) 2+(b-c) 2+(a-c) 2=0
∵(a-b) 2≥0，(b-c) 2≥0，(a-c) 2≥0
∴a-b=0，b-c=0，a-c=0
∴a=b，b=c，a=c
∴這個三角形是等邊三角形.
8. 設x+2z=3y,試判斷x2-9y2+4z2+4xz的值是不是定值？
答案：當x+2z=3y時，x2-9y2+4z2+4xz的值為定值0。
6. 求證(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1是一個完全平方式。
證明一：原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
=(x2+5x)2+10(x2+5x)+25
=(x2+5x+5)2 ∴原命題成立
證明二：原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
令a=x2+5x+4，則x2+5x+6=a+2
原式=a(a+2)+1=(a+1)2
即(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1=(x2+5x+5)2
證明三：原式=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
令
原式=(x2+5x+5-1)(x2+5x+5+1)+1
=(m-1)(m+1)+1=m2=(x2+5x+5)2
1. 根據因式分解的概念，判斷下列各等式哪些是因式分解，哪些不是，為什麼？
（1）6abxy=2ab•3xy;
（2）
（3）（2x-1）•2=4x-2
（4）4x2-4x+1=4x（x-1）+1.
2. 填空
（1）（2m+n）（2m-n）=4m2-n2此運算屬於 。
（2）x2-2x+1=（x-1）2此運算屬於 。
（3）配完全平方式 49x2+y2+ =（ -y）2