常用的數值分析方法

A. 除有限單元法外，岩土工程常用到哪些數值方法，並對比其優缺點

岩土工程常用的數值方法包括：有限差分法、邊界元法、離散元法、顆粒元法、不連續變形分析法、流形元法、模糊數學方法、概率論與可靠度分析方法、灰色系統理論、人工智慧與專家系統、神經網路方法、時間序列分析法。
有限單元法的優缺點：有限單元法的理論基礎是虛功原理和基於最小勢能的變分原理，它將研究域離散化，對位移場和應力場的連續性進行物理近似。有限單元法適用性廣泛，從理論上講對任何問題都適用，但計算速度相對較慢。即，物理概念清晰、靈活、通用、計算速度叫慢。
有限差分法：該方法適合求解非線性大變形問題，在岩土力學計算中有廣泛的應用。有限差分法和有限單元法都產生一組待解方程組。盡管這些方程是通過不同方式推導出來的，但兩者產生的方程是一致。另外，有限單元程序通常要將單元矩陣組合成大型整體剛度矩陣，而有限差分則無需如此，因為它相對高效地在每個計算步重新生成有限差分方程。在有限單元法中，常採用隱式、矩陣解算方法，而有限差分法則通常採用「顯式」、時間遞步法解算代數方程。
邊界元法：該方法的理論基礎是Betti功互等定理和Kelvin基本解，它只要離散求解域的邊界，因而得到離散代數方程組中的未知量也只是邊界上的量。邊界元法化微分方程為邊界積分方程，離散劃分少，可以考慮遠場應力，有降低維數的優點，可以用較少的內存解決較大的問題，便於提高計算速度。
離散元法：離散元法的理論基礎是牛頓第二定律並結合不同的本構關系，適用對非連續體如岩體問題求解。該方法利用岩體的斷裂面進行網格劃分，每個單元就是被斷裂面切割的岩塊，視岩塊的運動主要受控於岩體節理系統。它採用顯式求解的方法，按照塊體運動、弱面產生變形，變形是接觸區的滑動和轉動，由牛頓定律、運動學方程求解，無需形成大型矩陣而直接按時步迭代求解，在求解過程中允許塊體間開裂、錯動，並可以脫離母體而下落。離散元法對破碎岩石工程，動態和准動態問題能給出較好解答。
顆粒元法：顆粒元方法是通過離散單元方法來模擬圓形顆粒介質的運動及其相互作用，它採用數值方法將物體分為有代表性的多個顆粒單元，通過顆粒間的相互作用來表達整個宏觀物體的應力響應，從而利用局部的模擬結果來計算顆粒群群體的運動與應力場特徵。 不連續變形分析方法：該方法是並行於有限單元法的一種方法，其不同之處是可以計算不連續面的錯位、滑移、開裂和旋轉等大位移的靜力和動力問題。此方法在岩石力學中的應用備受關注。
流形元法；該方法是運用現代數學「流形」的有限覆蓋技術所建立起來的一種新的數值方法。有限覆蓋是由物理覆蓋和數學覆蓋所組成的，它可以處理連續和非連續的問題，在統一解決有限單元法、不連續變形分析法和其他數值方法的耦合計算方面，有重要的應用前景。
無單元法：該方法是一種不劃分單元的數值計算方法，它採用滑動最小二乘法所產生的光滑函數去近似場函數，而且又保留了有限單元法的一些特點。它只要求結點處的信息，而不需要也沒有單元的信息。無單元法可以求解具有復雜邊界條件的邊值問題，如開裂問題，只要加密離散點就可以跟蹤裂縫的傳播。它在解決岩石力學非線性、非連續問題等方面具有重要價值和發展前景。
混合法：對於復雜工程問題，可採用混合法，即有限單元法、邊界元法、離散元法等兩兩耦合來求解。
模糊數學方法：模糊理論用隸屬函數代替確定論中的特徵函數描述邊界不清的過渡性問題，模糊模式識別和綜合評判理論對多因素問題分析適用。 概率論與可靠度分析方法：運用概率論方法分析事件發生的概率，進行安全和可靠度評價。對岩土力學而言，包括岩石（土）的穩定性判斷、強度預測預報、工程可靠度分析、頂板穩定性分析、地震研究、基礎工程穩定性研究等。
灰色系統理論：以「灰色、灰關系、灰數」為特徵，研究介於「黑色」和「白色」之間事件的特徵，在社會科學及自然科學領域應用廣泛。岩土力學中，用灰色系統理論進行岩體分類、滑坡發生時間預測、岩爆分析與預測、基礎工程穩定性、工程結構分析，用灰色關聯度分析岩土體穩定性因素主次關系等。
人工智慧與專家系統：應用專家的知識進行知識處理、知識運用、搜索、不確定性推理分析復雜問題並給出合理的建議和決策。岩石力學中，可進行如岩土（石）分類、穩定性分析、支護設計、加固方案優化等研究。 神經網路方法：試圖模擬人腦神經系統的組織方式來構成新型的信息處理系統，通過神經網路的學習、記憶和推理過程進行信息處理。岩石力學中，用於各種岩土力學參數分析、地應力處理、地壓預測、岩土分類、穩定性評價與預測等。
時間序列分析法：通過對系統行為的漲落規律統計，用時間序列函數研究系統的動態力學行為。岩石力學中，用於礦壓顯現規律研究、岩石蠕變、岩石工程的位移、邊坡和硐室穩定性等、基礎工程中降水、開挖、沉降變形等與時間相關的問題。

B. 數值分析中常見遞推類型及方法

摘要 數列這一塊，除了基本的等差等比數列外，還有兩大塊內容：各種求和，各種遞推。

C. 數學常識中數值分析法有哪些特點

在數值分析中用到迭代法的情形會比直接法要多。例如像牛頓法、二分法、雅可比法、廣義最小殘量方法（GMRES）及共軛梯度法等。在計算矩陣代數中，大型的問題一般會需要用迭代法來求解。許多時候需要將連續模型的問題轉換為一個離散形式的問題，而離散形式的解可以近似原來的連續模型的解，此轉換過程稱為離散化。例如求一個函數的積分是一個連續模型的問題，也就是求一曲線以下的面積若將其離散化變成數值積分，就變成將上述面積用許多較簡單的形狀（如長方形、梯形）近似，因此只要求出這些形狀的面積再相加即可。

利用離散化的方式，可以假設賽車在0:00到0:40之間的速度、0:40到1:20之間的速度及1:20到2:00之間的速度分別為三個定值，因此前40分鍾的總位移可近似為(2/3h×140km/h)=93.3公里。可依此方式近似二小時內的總位移為93.3公里 + 100公里 + 120公里 = 313.3公里。位移是速度的積分，而上述的作法是用黎曼和進行數值積分的一個例子。

D. 統計分析學習之數值分析方法

統計分析學習之數值分析方法
最近補了一些統計學的知識，大多都在這些年的學習中接觸過，這里做個總結，以便回頭方便看。
從以下幾個方面對數值進行分析：
數值的位置
平均數與中位數
這個最常見的就是平均值和中位數了，平均值指的是數據在數值上的中心位置，是所有數和的平均，而中位數是一個樣本序列在數值上的中間，序列長度為奇數是，中位數就是最中間的那個。我們可以吧平均數理解為樣本序列在數學上的中間位置，把中位數理解為樣本序列在物理上的中間位置。
加權平均數
權值對於學過演算法或者圖論的小夥伴都不陌生，權值不同則認為每個數據的權值（可以簡單理解為重要性）不同，在上邊提到的平均數中是認為每個數的權值相同。那加權平均數就是求平均時對每個數值乘上了他的權值。
ps,加權的樣本序列就比普通的樣本序列多了一維的信息量。
幾何平均數
這是個很有意思的平均數，在之前並沒有接觸過，它是n個數值乘積的n次方根，既然是幾何平均數，那小夥伴們可以把它放在歐幾里得空間來理解它的意義。
眾數
樣本序列中出現次數最多的數，這個在一些基本演算法的面試題中經常出現，比如怎麼在海量數據中找出重復次數最多的一個？（這個主要是採用分而治之的思想，外加hash等方法，有興趣的可以網路一下）
四分位數
四分位數是百分位數的一種特殊情況，但是這個數值的位置具有比較高的工程使用價值，在統計分析中出現頻率很高，比如後邊用到的箱形分析法等跟此關系很大。
數值的離散程度
數據的離散程度也可以成為數據的變異程度，學過聚類演算法的小夥伴說離散程度應該比變異程度更容易理解一些。有極差、四分位數間距、方差、標准差等指標（MAE、MSE等指標對機器學習的小夥伴應該都不陌生）。這個變異程度可以放在歐幾里得幾何空間來理解，都是描述數值之間分散的程度。注意：1.極值是最容易計算的，但是它比較容易受到異常值影響，單獨計算時的工程意義並不大。2.四分位數間距能很好的避免異常值影響，甚至能進一步的檢測異常值。（箱形法）
3.樣本方差是總體方差的無偏估計，標准差是方差的正平方根。
分布形態和相對位置
偏度
偏度是分布形態的最常用度量。偏度的計算公式這里就不貼出來了，也可以通過平均數和中位數的關系來判斷偏度。其關系如下所示：偏度為正值 = 數據右偏 = （平均數>中位數）偏度為0 = 數據對稱 = （平均數=中位數）
偏度為負值 = 數據左偏 = （平均數<中位數）
切比雪夫定理
學概率論的時候都接觸過這個，這里就不做過多解釋。他能幫我們指出與平均數的距離在某個特定個數的標准差之內的數據值所佔的比例。（與平均數的距離在z個標准差之內的數據項所佔比例至少為（1-1/z^2），其中z是大於1的任何實數）。
異常點的檢測
異常點也成為離群點（outlier），對於機器學習的小夥伴也不陌生，在統計工程上常用的方法有簡單的統計量分析，比如最大值最小值是否超出合理的范圍，還有就是比較經典的箱形法。
以上方法是基於統計的方法，其在多維數據上表現的很無力。除此之外還有基於位置，基於偏差和基於密度的方法。還有一些比較新的論文，是基於信息熵（Correntropy）和深度學習的異常點檢測演算法。有興趣的小夥伴可以下一些論文看看。

E. 應力場數值模擬方法

近30年來，人們採用現場測試、實驗室試驗、理論分析與模型試驗等多種方法，使岩土力學研究取得很大進展^{［162～166］}。如今隨著計算機技術的快速發展，岩土力學的研究進入了一個新的階段，其中數值計算方法已成為解決岩土力學問題的重要手段之一。

6.1.1 概述

許多工程分析問題，如固體力學中的位移場和應力場分布分析、電磁學中的電磁場分析、振動特性分析、傳熱學中的溫度場分析以及流體力學中的流場分布等，都可以通過在給定邊界條件下對其控制方程進行求解得到，但是利用解析方法只能求出一些方程性質比較簡單且幾何邊界相當規則的極少數問題。對於大多數實際工程技術問題，由於物體的幾何形狀比較復雜或者問題的某些特性是非線性的，因而一般無解析解。為了解決此類問題，一般採用兩種處理方法：一種是進行簡化處理，將方程和邊界條件簡化為能夠處理的問題，從而得到在簡化情況下的解，但這種方法應用非常有限，且假設過多將會導致錯誤的解；另一種是在廣泛接收現代數學和力學理論的基礎上，藉助於計算機和計算軟體來獲得工程上要求的數值解，這就是目前應用非常廣泛的數值模擬方法。

目前在工程技術領域內常用的數值分析方法包括：有限單元法、邊界元法、離散單元法以及有限差分法。最初常用的是有限差分法，它可以處理一些相當復雜的問題。但對於幾何形狀復雜的邊界條件，其解的精度受到影響。20世紀60年代出現並得到廣泛應用的有限單元法，使經典力學解析方法難以解決的工程力學問題都可以用有限元方法求解。它將連續的求解域離散為一組有限個單元的組合體，解析地模擬或逼近求解區域。由於單元能按各種不同的聯結方式組合在一起，且單元本身又可有不同的幾何形狀，所以能適應幾何形狀復雜的求解域。但有限單元法需要的存貯容量常非常巨大，甚至大得無法計算。由於相鄰界面上只能位移協調，對於奇異性問題（應力出現間斷）的處理比較麻煩，這是有限單元法的不足之處。70年代末期，出現了另一種重要的數值方法為邊界元法。邊界元方法是把求解區域的邊界剖分為若干個單元，將求解簡化為求單元結點上的函數值，通過求解一組線性代數方程實現求解積分方程。上述兩種數值方法的主要區別在於，邊界元法是「邊界」方法，而有限元法是「區域」方法，它們都是針對連續介質，只能獲得某一荷載或邊界條件下的穩定解。對於具有明顯塑性應變軟化特性和剪切膨脹特性的岩體，無法對其大變形過程中所表現出來的幾何非線性和物理非線性進行模擬，這就使得人們去尋求適合模擬節理岩體運動變形特性的有效數值方法。

1971年Cundall，P.A^［167］提出了一種不連續介質數值分析模型——離散單元法。該方法優點在於適用於模擬節理系統或離散顆粒組合體在准靜態或動態條件下的變形過程。離散單元法的基本原理不同於基於最小總勢能變分原理的有限單元法，也不同於基於Betti互等定理的邊界單元法，而是建立在牛頓第二運動定律基礎上。最初的離散元法是基於剛性體的假設，由於沒有考慮岩塊自身的變形，在模擬高應力狀態或軟弱、破碎岩體時，不能反映岩塊自身變形的特徵，使計算結果與實際情況產生較大出入。Maini，T.，Cundall，P.A.^{［168～169］}等人針對剛體單元沒有考慮岩塊自身變形的缺點，利用差分方法提出了考慮岩石自身變形的改進的離散單元法，編制了通用的離散元程序UDEC（Universal Discrete Element Code），將離散元推廣到模擬岩體破碎和變形情況，推動了離散元的進一步發展。我國學者也相繼開展這方面的研究，王泳嘉教授^［170］等將離散單元法應用於采礦工程方面的研究。

6.1.2 FLAC數值模擬方法

（1）概述

數值模擬技術通過計算機程序在工程中得到廣泛的應用。一直到20世紀80年代初期，國際上較大型的面向工程的通用程序有：ANSYS、NASTRAN、FLAC、UNDEC、ASKS以及ADINA等程序。它們功能越來越完善，不僅包含多種條件下的有限元分析程序，而且帶有功能強大的前、後處理程序。

連續介質快速拉格朗日差分法（Fast Lagrangian Analysis of Continua，簡寫FLAC）是近年來逐步成熟完善起來的一種新型數值分析方法。把拉格朗日法移植到固體力學中，即將所研究的區域劃分為網格，節點相當於流體質點，然後按照時步用拉格朗日方法來研究網格節點的運動，這就是固體力學變形研究中的拉格朗日數值研究方法。

FLAC與基本離散元法相似，但它克服了離散元法的缺陷，吸取了有限元法適用於各種材料模型及邊界條件的非規則區域連續問題解的優點。FLAC所採用的動態鬆弛法求解，不需要形成耗機時量較大的整體剛度矩陣，佔用計算機內存少，利於在微機的工程問題。同時，FLAC還應用了節點位移連續的條件，可以對連續介質進行大變形分析。

（2）數學模型

顯式有限差分法的基本方程主要包括：平衡方程、幾何方程、物理方程和邊界條件。在FLAC^3D2.0中採用的拉格朗日描述方程，一般規定介質中一點由向量分量x_i，u_i，v_i，dv_i/dt（i=1，2，3）來表徵，其分別代表位置、位移、速度和加速度分量。

其基本原理和基本公式簡單敘述如下：

空間導數的有限差分近似

三維FLAC方法中採用了混合離散方法，區域被劃分為常應變六面體單元的集合體；而在計算過程中，又將每個六面體分為常應變四面體，變數均在四面體上進行計算，六面體單元的應力、應變取值為其四面體的體積加權平均。

如圖6.1所示，所研究區域任一四面體，節點編號為1～4，規定與節點n相對的面為第n面，設定其內任一點的速度分量為v_i，則由高斯散度定理得

煤岩動力災害力電耦合

式中：V——四面體體積，m³；S——四面體外表面，m²；n_j——外表面單位法向向量分量。

圖6.1 四面體

對於常應變單元，n_j在每個面上為常量，因此通過上式積分可得

煤岩動力災害力電耦合

式中上標f表示f面的變數值，對於為線性分布的速率分量，速度分量的平均值為

煤岩動力災害力電耦合

式中上標l表示節點l的變數值。將（6.3）式代入（6.2）式可得

煤岩動力災害力電耦合

經過變換可得節點速率計算公式：

煤岩動力災害力電耦合

1）平衡方程（運動方程）

顯式有限差分法採用的平衡方程就是人們熟知的牛頓第二運動定律，即

煤岩動力災害力電耦合

式中：F_i——節點合力在i方向分力，N；m_i——節點質量，kg；a_i——節點加速度在i方向分量，m/s²。

作用於各個節點的合力：外力（集中力、均布力、重力等）和內力（單元變形引起的應力在單元節點上的分量）。節點質量是根據節點相鄰單元的面積（體積）和密度，按照面積（體積）加權求出。

FLAC^3D以節點為計算對象，將力和質量均集中在節點上，然後通過運動方程在時域內進行求解。節點運動方程可以表示為如下形式：

煤岩動力災害力電耦合

式中：（t）———t時刻l節點在i方向的不平衡力分量，可以由虛功原理導出；m^l———l節點的集中質量，在分析靜態問題時，採用虛擬質量；而在分析動態問題時，則採用實際的集中質量。

將（6.7）式左端用中心差分來近似，則可得

煤岩動力災害力電耦合

2）變形協調方程——幾何方程

作為連續介質力學，變形體之間必須滿足變形協調方程（幾何方程），否則變形體就會出現分離或嵌入。變形協調方程反映了位移與應變間的關系，對於某一時步的單元應變增量可由下式確定：

煤岩動力災害力電耦合

求出應變增量後，即可由本構方程得到應力增量，各時步的應力增量疊加即可得到總應力，在大變形時，還需根據本時步單元的轉角對本時步前的總應力進行旋轉修正，然後即可由虛功原理求出下一時步的節點不平衡力，進入下一時步的計算。

3）物理方程——本構關系

物理方程反映應力與應變之間的關系，在程序中通常被稱為材料模式或材料模型。在FLAC^3D2.0中提供了10種基本材料模型，它們是：①Null；②Elastic，isotropic；③Elastic，transversely isotropic；④Druck-Prager plasticity；⑤Mohr-Coulomb plasticity；⑥Ubiquitous joint plasticity；⑦Strain-hardening／softening Mohr-Coulomb plasticity；⑧bilinear strain-hardening/softening ubiquitous-joint plasticity；⑨Modified Cam-clay plasticity 和⑩elastic，orthotropic。

本文進行應力場數值模擬時採用的是Mohr-Coulomb應變硬化軟化破壞准則，在FLAC^3D2.0中，Mohr-Coulomb 模型的破壞准則以主應力σ₁，σ₂，σ₃來描述，相應的應變為三個主應變ε₁，ε₂，ε₃。根據Hooke定律，應力、應變增量具有如下表達形式：

煤岩動力災害力電耦合

式中α₁，α₂為材料常數，可以由體積模量K和剪切模量G確定：

煤岩動力災害力電耦合

不失一般性，令σ₁≥σ₂≥σ₃，摩爾—庫侖准則為

其中：

煤岩動力災害力電耦合

式中C，φ分別為煤岩的粘聚力和內摩擦角。

FLAC^3D2.0的Mohr-Coulomb 破壞准則如圖6.2所示。

圖6.2 FLAC^3D的Mohr-Coulomb 破壞准則

本著作中就是選用上述的Strain-hardening／softening Mohr-Coulomb plasticity模型，對單軸壓縮煤岩以及礦山地下煤岩獨巷掘進時圍岩的變形破壞過程進行模擬。

4）阻尼力

對於靜態問題，FLAC^3D2.0在式（6.7）的不平衡力中加入了非黏性阻尼，以使系統的振動逐漸衰減直至達到平衡狀態（即不平衡力接近零），此時節點運動方程變為：

煤岩動力災害力電耦合

式中阻尼力（t）由下式確定：

煤岩動力災害力電耦合

上式中α為阻尼系數，其默認值為0.8；而：

煤岩動力災害力電耦合

5）初始條件與邊界條件

邊界條件包括面積力、集中載荷等應力邊界條件和位移邊界條件。此外也可載入體力和初始應力。在編寫程序代碼時，一般所有的應力和節點速度初始化為零，然後指定初始化應力。集中載荷則載入在面節點上，位移邊界條件則以運動方程形式施加到相應的邊界節點上。

邊界條件分為應力邊界條件和位移邊界條件，應力邊界條件為：

煤岩動力災害力電耦合

式中：F_i———作用於節點i上的力；——作用於邊界上的應力；n_j———邊界上的法線沿j方向的矢量大小；Δs———邊界的長度。

若是位移邊界條件，應將邊界條件以運動方程的形式施加到相應的邊界節點上。

FLAC^3D2.0^［171］與FLAC^2D3.3也是由美國Itasca Consulting Group Inc開發的三維顯式有限差分法程序，它可以模擬岩土或其他材料的三維力學行為。FLAC^3D2.0的計算循環過程如圖6.3所示。

圖6.3 FLAC^3D2.0的計算循環

6.1.3 FLAC數值模擬方法在采礦工程中的應用^{［172～179］}

采礦過程中圍岩活動規律及巷道圍岩穩定性問題涉及岩體力學特性、圍岩壓力、支護圍岩相互作用關系及巷道與工作面時空關系等一系列復雜力學問題。隨著我國經濟建設的高速發展，岩土工程穩定性分析問題日益突出，除采礦工程外，在水利、交通（鐵道和公路）、高層建築的地基等行業也都存在著大量的岩土力學數值計算分析問題。能否用計算機數值模擬分析采礦岩層控制問題和岩土工程問題已成為一個大學岩層控制技術和岩土力學學科水平高低的標志之一。

與ANSYS、ADINA相比，FLAC 和UDEC的最大特點是計算分析岩土工程中的物理不穩定問題，因而特別適用於岩土工程中幾何和物理高度非線性問題的穩定性分析，如采場的采動影響規律，軟岩巷道的大變形問題，采動後的地表沉陷，露天礦的邊坡穩定，水壩的穩定性等問題。

從力學計算方法上講其主要特點

1）可以直接計算非線性本構關系；

2）物理上的不穩定問題不會引起數值計算的不穩定；

3）開放式程序設計（FISH），用戶可以根據需要自己設計程序；

4）既可以分析連續體問題（FLAC），也可以分析非連續體問題（UDEC）；

5）可以模擬分析很大的工程問題；

6）高度非線性問題不增加計算時間。

在采礦工程中，許多學者利用FLAC軟體對采礦過程中圍岩活動規律及巷道圍岩穩定性問題涉及到岩體力學特性、圍岩壓力、支護圍岩相互作用關系及巷道與工作面的時空關系等一系列復雜的力學問題進行了一系列的研究，取得了顯著的效果。梅松華等以施工期監測結果為基礎，在正交設計原理的基礎上，選定反演參數與水平，採用二維顯式差分法FLAC進行彈塑性位移反分析。朱建明等在分析FLAC有限差分程序的基礎上，提出了變彈性模量方法模擬時間因素對巷道圍岩穩定性影響的衰減曲線，為揭示巷道圍岩變形機理和有效指導圍岩支護提供了有效的分析方法。來興平等探討了岩石力學非線性計算軟體FLAC^2D3.3在地下巷道離層破壞數值計算中的應用。康紅普對回採巷道錨桿支護影響因素進行了FLAC分析，認為FLAC^2D3.3在分析幾何非線性和大變形問題方面性能優越。

在煤岩動力災害預測中，這些方法的優點

1）可以提前知道煤與瓦斯突出、沖擊礦壓等煤岩動力災害防治的重點區域；

2）可以得到大范圍內的空間信息；

3）可以提前預測預報煤岩動力災害的危險性；

4）可以確定在採掘過程中，應力的分布狀況和集中程度。

在煤岩動力災害預測中，這些方法也具有以下缺點

1）對實際問題均進行了簡化處理；

2）對於煤岩體的力學特性，如彈性模量、泊松比等力學參數，也進行了簡化，沒有考慮其局部非均質性和各向異性；

3）只能作為一種近似方法使用。

F. 怎樣學習數值分析

首先，必須明白數值分析的用途。通常所學的其他數學類學科都是由公式定理開始，從研究他們的定義，性質再到證明與應用。但實際上，尤其是工程，物理，化學等其它具體的學科。往往你拿到手的只是通過實驗得到的數據。

如果是驗證性試驗，需要代回到公式進行分析，驗證。但往往更多面對的是研究性或試探性試驗，無具體公式定理可代。那就必須通過插值，擬合等計算方法進行數據處理以得到一個相對可用的一般公式。還有許多計算公式理論上非常復雜，在工程中不實用，所以必須根據實際情況把它轉化成多項式近似表示。這都是數值分析的任務。

學習數值分析，不應盲目記公式，因為公事通常很長且很乏味。我個人認為，應從公式所面臨的問題以及用途出發。比如插值方法，就是就是把實驗所得的數據看成是公式的解（好比函數圖像上的各個點），由這些解反推出一個近似公式，可以具有局部一般性。再比如說擬合，在插值的基礎上考慮實驗誤差，通過擬合能將誤差盡可能縮小，之後目的也是得到一個具有一定條件下的一般性的公式。

好好學吧，數值分析挺實用，與數學建模一起構成數學學科中最實用的兩門學科，在工程，經濟等許多鄰域都有廣泛的用途。

G. 統計中數值分析有什麼方法可以使用什麼軟體完成

均值、方差、相關性分析等等，可以用SPSS軟體來實現！

H. 數值計算方法的主要研究對象有哪些其常用基本演算法主要包括哪三個方面

數值計算方法的主要研究對象：研究各種數學問題的數值方法設計、分析、有關的數學理論和具體實現。其常用基本演算法在數值分析中用到迭代法的情形會比直接法要多。例如像牛頓法、二分法、雅可比法、廣義最小殘量方法及共軛梯度法等等。在計算矩陣代數中，大型的問題一般會需要用迭代法來求解。

許多時候需要將連續模型的問題轉換為一個離散形式的問題，而離散形式的解可以近似原來的連續模型的解，此轉換過程稱為離散化。

例如求一個函數的積分是一個連續模型的問題，也就是求一曲線以下的面積若將其離散化變成數值積分，就變成將上述面積用許多較簡單的形狀（如長方形、梯形）近似，因此只要求出這些形狀的面積再相加即可。

(8)常用的數值分析方法擴展閱讀

數值分析也會用近似的方式計算微分方程的解，包括常微分方程及偏微分方程。

常微分方程往往會使用迭代法，已知曲線的一點，設法算出其斜率，找到下一點，再推出下一點的資料。歐拉方法是其中最簡單的方式，較常使用的是龍格－庫塔法。

偏微分方程的數值分析解法一般都會先將問題離散化，轉換成有限元素的次空間。可以透過有限元素法、有限差分法及有限體積法，這些方法可將偏微分方程轉換為代數方程，但其理論論證往往和泛函分析的定理有關。另一種偏微分方程的數值分析解法則是利用離散傅立葉變換或快速傅立葉變換。

I. 數值分析（試位法）

scau某人好，似乎你的懸賞分太少了。嘻嘻
FalsePosition就是結合bisection與secant兩種方法，每次以secant求出分割點，以二分法確定新區間，其中剛剛算出來的分割點必是新區間的一個端點，至於另外一個端點就要由原區間哪個端點與分割點函數值異號來確定。
似乎鄙人文字表達能力有限，希望能對你有幫助。
---你的異班同學

J. 數值計演算法

6.1.2.1 邊坡數值計算的安全系數確定

數值分析方法考慮岩土體應力應變關系，克服了極限平衡方法的缺點，為邊坡穩定分析提供了較深入的概念。

目前，數值計算的失穩判據主要有兩類:一是以數值計算不收斂作為失穩的標志;二是以廣義塑性應變或者等效塑性應變從坡腳到坡頂貫通作為邊坡破壞的標志。而用數值分析結果獲取邊坡安全系數也主要有兩種方法:強度折減法、數值計算與極限平衡的耦合分析法。

(1)強度折減法:首先選取初始折減系數，將岩土體強度參數進行折減，將折減後的參數輸入，進行數值計算，若程序收斂，則岩土體仍處於穩定狀態，然後需要再增加折減系數，直到程序恰好不收斂，此時的折減系數即為穩定或安全系數。_[52]

(2)數值計算與極限平衡的耦合分析法:首先採用數值分析法，計算邊坡內的應力應變以及位移分布;然後將計算的應力分布結果，通過應力張量變換，求出指定滑動面上的應力分布;最後通過極限平衡方法求出與該滑動面對應的穩定性安全系數。_[52]

6.1.2.2 邊坡數值計算方法存在的問題剖析

應該指出，盡管近年來數值模擬方法和理論方面取得了顯著的進展，但仍不能很好的適應岩土工程的復雜情況，其主要原因有兩方面:(1)數學模型的不確定性。由於岩體力學性質千變萬化(彈性、塑性、流變、應變硬化及應變軟化等)，且具有復雜的結構特性(岩體結構、岩體介質結構及地質結構等)，不但至今對岩體的失穩或破壞還缺少可靠的判據或准則，而且工程開挖方法、開挖步序對圍岩的力學狀態(應力和應變)及穩定條件具有重大的影響，在某些情況下還起到決定性的作用，這使得目前對於數學模型的建立，尤其是本構模型的給定還帶有相當程度的盲目性。(2)參數的不確定性。岩體的物理力學性質、初始地應力等參數多變，僅通過有限的現場調查和室內試驗來獲得參數輸入信息，數據往往具有很大的離散性，很難全面反映岩體真實情況。

「數學模型給不準」和「輸入參數給不準」的困難已成為岩體力學數值分析應用的「瓶頸」問題。事實上，無論數值分析技術多麼發達，它們總只是某種手段，關鍵還是對岩體基本特性的認識。