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復分析可視化方法作者

發布時間:2022-04-28 01:15:14

⑴ 泛函分析、實分析、復分析有什麼經典的教材

實分析的《陶哲軒實分析》很好。但是很可惜,在當當、卓越都缺貨、你可以去當當網看看其他的,復分析就看《復分析:可視化方法 》這個好,泛函分析《泛函分析(原書第2版)——華章數學譯叢 》。這些你到當當網去找,都能找到。總之像這些數學高等分支還是看一看國外的比較好。(僅個人建議、但並非崇洋媚外)

⑵ 大學高數問題

大學無法理解高等數學怎麼辦?
匿名不能邀請呢,要不來關注的同學們幫我邀請一些大牛來作答?
說來也好笑,我從國內某top5高校理工科畢業多年,一直苦惱於高等數學學不好【畢業以後從事的事情跟高數尚未發生半點關系。。。我就是單純奇怪一下這個事情】。自我感覺問題在於我對於高數里的東西無法做出直觀的想像。
厚顏無恥地說一句,高中物理我學得非常輕松而且成績非常好,基本就是翻一遍書考試就接近滿分【高考物理部分滿分】,我感覺我能把書上的理論公式轉變為動畫片一樣的場景,做題時字面的意思會自動形象化地鑲嵌到那些動畫片裡面出現在我腦子里,就像放電影似的。
但是高數就不行了,我努力多時也沒法把那些公式定理形象化理解,貌似只能死記硬背。所以直接導致大學物理、電磁場電磁波等科目成績也相當一般。
是不是我的腦子學到高中就是極限了?直說也無妨,因為我發現我現在乾的這活其實學到初中就能做了,賺的貌似也還可以。。。囧。。。
==============我舉個栗子==========
最近知乎上一個很火的文章:傅里葉分析之掐死教程(完整版)更新於2014.06.06 - 與時間無關的故事 - 知乎專欄
我前面都能看懂,但是到了歐拉公式這兒就不懂了。我想不出e的iπ次是怎樣形成的,後面就理解不了了。。。主要是國內教材太差,其實高考范圍內就有差距了,你看北京四中,人大附的和三線城市普通老師對同樣內容的解讀,不在一個維度。

但是題主的智商,應付初等數學,物理內容不在話下,就忽略了這個因素,到了高等數學,理論物理的階段,就發現遇到了瓶頸,這是很正常的,下面就推薦下數學方面的教材吧。

大學數學基礎課是數學分析,高等代數,概率三門。

數學分析(或叫做高等數學,微積分)經典名著太多了,比如菲赫金哥爾茨的《微積分學教程》,柯朗的《微積分和數學分析引論》,卓里奇的《數學分析》,還有美國教材《托馬斯微積分》,都是好書,不過這些都是惶惶巨著,需要下大功夫研讀,如果想從很淺的基礎開始看,可以看《普林斯頓微積分讀本》(網上有48課時視頻)。所有這些都比國內教材(比如同濟的)好很多很多。如果英語基礎好的話直接看英文版的,否則看中文的也行。

高等代數(或者叫做線性代數),可以看David C.Lay的《線性代數及其應用》,這本書入門級別,但是質量很高,掌握之後可以看《線性代數應該這樣學》,看完線性代數後還覺得不過癮,可以看高等代數,或者矩陣分析,矩陣理論等等教材,有了線性代數的基礎,就有了免疫力,不至於被國內的枯燥教材弄惡心了。

概率論,看國外的最好

這三門學完後,就可以進階了,首先是在這三門的基礎上進階,數學分析進階可以看實變函數方面的書,比如《陶哲軒實分析》,不過這本書偏重數學分析的內容,算是對數學分析的深化理解。高等代數進階剛才說過了,可以看矩陣分析方面的書。多個方向同時進階可以看咱們華羅庚的《高等數學引論》。

數學的主要幾個分支大概是:代數,幾何,分析,概率,離散,計算,當然分類不是唯一的。進階結束之後就可以向著這些方向進發了:

代數方面的,可以看Artin的《代數》,算是入門書,看完之後就可以看代數里的各個方向的著作,比如數論,群論,環,域,拓撲等等。這些方面也是經典著作雲集,以國外的為主。

幾何方面的,其實幾何與代數到了最後好像要統一了。可以先看解析幾何入門,然後進入微分幾何,黎曼幾何,流形,射影幾何,畫法幾何,雙曲幾何等等。幾何與代數統一敘述的著作,可以看代數拓撲,代數幾何,代數曲線,同調論方面的書。

數學中最大的一個分支應該是分析吧,它主要包括:實分析,復分析,泛函分析,調和分析,向量分析,張量分析,場論,函數論,常微分方程,偏微分方程,積分方程,積分變換,變分法,特殊函數等等。分析這方面相比代數之類的方向來說,更加偏應用一些。這些方面好書實在太多了,首先就是stein的四部曲:《傅里葉分析》,《實分析》,《復分析》,《泛函分析》。這四部書不厚,但是內容多,不過只要懂微積分和線性代數就可以學習了。
復分析還可以看拉夫連季耶夫的《復變函數論方法》,以及一本超級好書:《復分析:可視化方法》,前者講復分析的方法(主要是共形映射)在各個物理,經濟等學科里的應用方法,後者主要是把復變函數的抽象思想用非常美的圖形表現出來,而且很深刻。
函數論方面可以看法蘭西數學系列(藍色封皮的)一些書,以及國內的兩本:路見可的《解析函數邊值問題教程》,聞國椿的《共形映射與邊值問題》,函數論常常和奇異積分方程相聯系,這方面有經典巨著:穆斯海里什維利的《奇異積分方程》
實分析常常和泛函分析相聯系,可以看國內夏道行的《實變函數與泛函分析》,以及俄羅斯柯爾莫戈洛夫的《函數論與泛函分析初步》,美國Rudin的《泛函分析》等等。
學完實分析與復分析之後就可以看調和分析方面的書了,先推薦一本,stein的超級名著:《調和分析》,很厚,牛人stein的專業就是搞調和分析方面的,細細品味吧。
向量分析,張量分析,場論,其實這三個學科說是分析也是分析,說是幾何也是幾何,他們和微分幾何有著很多聯系,可以先看點入門的,比如國內的兩本,一本工程數學類的綠色封皮的《矢量分析與場論》,一本白色封皮的《向量分析與場論》,都很薄,不過可以同時看美國Matthews的《向量微積分》,這本書也不厚,但是它後面的內容會過渡到指標和張量,便於進入張量的學習。張量分析方面可以看國內黃克智的《張量分析》,絕對是好書,作者留學俄羅斯,數學推導功底深不可測,所以學習該書也需要親自動手推導,不過講的還是比較清楚的。如果還覺得不夠,可以看國外的《張量幾何》,誰寫的名字我忘了。張量本來就是和微分幾何一道由黎曼一手發展的,所以到了最後會偏向幾何了。
方程類的(常微分,偏微分,積分高數問題

⑶ 求復分析和解析數論的教材推薦,最好中文

復分析中文版
華章數學譯叢:《復分析基礎及工程應用》E.B.Saff,A.D.Snider著
華章數學譯叢: 《復分析》 Ahlfors著
華章數學譯叢:《實分析與復分析》Rudin著
俄羅斯數學教材選譯:《復分析導論》沙巴特 著,第一卷、第二卷,
圖靈數學 統計學叢書:《復分析·可視化方法》尼達姆 著
中國科學技術大學精品教材:《簡明復分析》龔升
北京大學數學教學系列叢書:《復分析導引》李忠
另外可參考:方企勤、Conway、stein、小平邦彥的相關著作,這里不列舉了。

解析數論中文版
圖靈數學 統計學叢書:《哈代數論》哈代,本書有部分內容是解析數論
《數論導引》華羅庚,這個就不必介紹了
《初等數論》陳景潤,共三卷,哈工大出版社,挺不錯,可以作為參考,
《解析數論基礎》[俄] 卡拉楚巴 著 潘承彪,張南嶽 譯,哈工大出版社
《解析數論引論》[美] 阿普斯托 著 趙宏量,唐太明 譯,哈工大出版社

國內的其他教材就不推薦了,如果願意,可以隨便看看。要想學好數學,還是要下功夫看英文版的。某些知識點的譯文不怎麼樣,估計譯者完全沒弄明白原文。以上教材除了華羅庚的《數論導引》其他都是從網上可以可以買到的,一些經典書籍可以到圖書館找。
更多內容可以參考一下下面的文章,挺不錯,只是有些書不好找。
http://wenku..com/link?url=_sw5JR1AAgg2WY9pb6R2_

⑷ 說說《微積分和數學分析引論》怎麼樣吧

《微積分和數學分析引論》是講初等分析的書
托馬斯是純粹的計算流的書 應付AP足夠

如果你想念數學系的話 第一本略好(精華在向量微積分那一卷) 其實看哪本都差不多 都是比較直覺和偏應用的書 反正無論念哪一本遲早也要上rudin
如果你以後不想念數學系就讀托馬斯就行

⑸ 圖靈教育出版的「圖靈數學統計學系列」

我們上課用過圖靈的一本 金融數學導論 感覺非常難 大部分同學覺得很難理解 可能與這門課程內容本身比較難有關 因為涉及到隨機過程 泛函分析和偏微分方程 P.S(我所在的是國內數學排名前十的大學數學專業)
其他圖靈的書沒用過 翻過他的一本概率論 感覺內容沒什麼難度 就是英文看起來賊慢 英文課本的通病 寫得老厚 廢話大堆 搞到你不知道重點在哪。。。尤其不是那麼習慣看英文書的時候

我不知道你所謂的數學菜鳥是指的什麼水平 所以不好給建議 不過如果你想從微積分 線代 學起的話 那英文版教材對於你可能弊大於利 因為學習效率太低了 可能你學過一遍中文版的 知道大體框架之後再去閱讀會收獲更大

另外,據我所知,計算機圖形學與計算數學關系更大,不清楚你為什麼要看這么多概率論的書,學一本概率論和數理統計的就好了...

⑹ 數學方面的能力怎樣培養

大家都有這樣的體會:小學的時候你根本不知道初中數學是什麼樣,高中的時候你也根本想不到大學數學是什麼樣。而大學生,如果你不專注於數學,恐怕也不知道現代數學是什麼模樣。下面將分別從學數學的動機、數學不同學科的分類以及如何切實可行培養數學能力等幾個方面闡述如何學習數學。

我的建議是在閱讀數學的過程中開拓眼界,純數學和應用數學學科都看看,找到感興趣、應用廣泛、工作好找(來錢)的方向再一猛紮下去成為你的事業。比如數學扎實,編程能力也強的人就很有前途。

⑺ 數學方面的能力該怎麼培養 知乎

一、認清你的需要
為什麼需要學習數學,這是你首先需要想清楚的問題。數學學科子分類多、每一本數學書中都有許多定理和結論,需要花大量時間研究。而人的時間是寶貴的、有限的,所以你需要大體有一個目標和計劃,合理安排時間。
1.1 你的目標是精通數學、鑽研數學,以數學謀生,你可能立志掌握代數幾何,或者想精通前沿物理。那麼你需要打下堅實的現代代數、幾何以及分析基礎,你需要准備大量時間和精力,擁有堅定不移的決心。(要求:精通全部三級高等數學)
1.2 你的目標是能夠熟練運用高等數學,解決問題,掌握探索新應用領域的武器,你可能立志進入計算機視覺領域、經濟學領域或數據挖掘領域。那麼,你需要打下堅實的矩陣論、微積分以及概率統計基礎。(要求:精通第一級高等數學)
1.3 你的目標是想了解數學的樂趣,把學數學作為人生一大業余愛好。那麼,你需要打下堅實的線性代數、數學分析、拓撲學以及概率統計基礎,對你來說,體會學數學的樂趣是一個更重要的目標。(精通第一級高等數學,在第二級高等數學中暢游,嘗試接觸第三級高等數學)

二、給自己足夠的動力
學數學需要智力,更需要時間和精力。下面的幾個事實相大家都深有體會:
1. 凡是沒有用的東西,或者雖然有用,但是你用不到的東西,學得快忘得也快。不信你回憶一下你大一或者初一的基礎課,你還記的清楚嗎?
2. 凡是你不感興趣(或者感覺不到樂趣)的東西,你很難堅持完成它。很多人都有這樣的經歷,一本書,前三章看的很仔細,後面就囫圇吞棗,越看越快,反正既沒意思也沒用。
3. 小學數學是中學數學的基礎,中學數學是高中數學的基礎,高中數學是大學數學的基礎(你可以以此類推)。
因此,無論你的目標是什麼,搞數學、用數學、還是體會數學的樂趣、滿足自己從少年時就有的夢想。學有所樂、學有所用,永遠是維持你動力不衰退的兩個最主要的因素。

三、高等數學學什麼?
好了,來看看標准大學數學的科技樹:
一級:
線性代數(矩陣論),數學分析,近世代數(群環域),分別囊括了了幾何、分析和代數的基礎理論。別忘了還有概率論(建立在分析之上的一門基礎學科)。
二級:
有了這些基礎,接著是基礎的基礎、抽象和推廣:測度論(積分的基礎,當然也是概率論的基礎),拓撲學(有關集合、空間、幾何的一門極度重要的基礎學科),泛函分析(線性代數的推廣),復變函數(分析的推廣),常微分方程與偏微分方程(分析的推廣),數理統計和隨機過程(概率論的推廣),微分幾何(分析和幾何的結合)。
然後是一些小清新和應用學科:數值分析(演算法),密碼學,圖形學,資訊理論,時間序列,圖論等等。
三級:
再往上是研究生課題,往往是代數、幾何和分析要一起上:微分流形、代數幾何、隨機動力學等等。
這個科技樹的三級,和小學、初中、高中數學很相似,一層學不精通,下一層看天書。

四、如何學習
4.1 適量做題
千萬千萬千萬不要狂做題。玩過戰略對抗游戲的同學都知道,低級兵造幾個就行了,要攢錢出高級兵才能在後期取勝,低級兵不僅攻擊力低,還沒有好玩的魔法,它們存在的意義在於讓你有能力熬到後期。上面列舉了那麼多課程,你先花5年做完吉米諾維奇六本數學分析習題集,你就30歲了,後面的二級課程還沒開始學呢。因此,做一些課後習題,幫助你復習、思考、維持大腦運轉就行,要不斷地向後學。如果完全學不懂了,返回來做習題幫自己理清頭緒。
4.2 了解思想
數學的精髓不是做題的數量,而是掌握思想。每一個數學分支都有自己的主線思想和方法論,不同分支也有相互可供對比和借鑒的思維方式。留意它,模仿它,瑣碎的知識就串成了一條項鏈,你也就掌握了一門課。思想並不是讀一本教材就能輕易了解的,你要讀好幾本書,了解一些應用才能體會。舉兩個例子:
微積分的主線有這么幾條:認識到微觀和宏觀是有聯系的,微分用來刻畫事物如何變化,它把細節放大給你看,而積分用來刻畫事物的整體性質;微分和積分有時是描述一個現象的不同方式,這一點你在數學分析書中可能不容易發現,但是如果學點物理,就會發現麥克斯韋方程組同時有等價的微分形式和積分形式;積分變換能夠建立不同空間之間的的聯系,建立空間和空間邊界的聯系,這就是Stokes定理:,這個公式最遲要在微分流形中你才能一窺全貌。
矩陣是空間中線性變換的抽象,線性代數這門課的全部意義在於研究如何表達、化簡、分類空間線性變換運算元;SVD分解不僅在應用學科用有極為廣泛的亮相,也是你理解矩陣的有力工具;矩陣是有限維空間上的線性運算元,對"空間"的理解不僅能讓你重新認識矩陣,更為泛函分析的學習開了個好頭。
4.3 漸進式迂迴式學習,對比學習
很多時候,只讀一本書,可能由於作者在某處思維跳躍了一下,以後你就再也跟不上了。學習數學的一個訣竅,就是你同時拿到好幾本國際知名教材,相互對比著看,或者看完一本然後再看同一主題的另一本書,已經熟悉的內容跳過去,如果看不懂了,停下來思考或者做做習題,還是不懂則往後退一退,從能看懂的部分向前推進,當你看的多了,就會發現一個東西出現在很多地方,對它的理解就加深了。舉兩個例子:
外微分這個東西,國內有的數學分析書里可能不介紹,我第一次遇到是在彭家貴的《微分幾何》里,覺得這是個方便巧妙的工具;後來讀卓里奇的《數學分析》和Rudin的《數學分析原理》,都講了這個東西,可見在西方外微分是一個基礎知識。你要讀懂它,可能要首先理解矩陣,明白行列式恰好是空間體積在矩陣的變換下拉伸的倍數,它是一種線性形式。最後,當你讀微分流形後,將發現外微分是獲得流形上的Stokes定理的工具。
點集拓撲學這個東西,搞應用用不到。但是但凡你想往深處學,這一門學科就必須要掌握,因為它提供對諸如開集、緊集、連續、完備等數學基本概念的精準刻畫。往後學泛函分析、微分流形,沒有這些概念你將寸步難行。首先你要讀芒克里斯的曠世名著《拓撲學》,接著在讀其他外國人寫的書時,或多或少都會接觸一些相關概念,你的理解就加深了,比如讀Rudin的《泛函分析》,開始就是介紹線性拓撲空間,前面的知識你就能用上了。
4.4 建立不同學科的聯系
看到一個東西在很多地方用,你對它的理解就加深了,慢慢也就能體會到這個東西的精妙,最後你會發現所有的基礎學科相互交織,又在後續應用中相互幫助,切實體會到它們真的很基礎,很有用。這是一種體會數學樂趣的途徑。
4.5 關注應用學科
沒有什麼比應用更能激發你對新知識、新工具的渴望。找一些感興趣的應用學科教材,讀一讀,開闊眼界,為自己的未來積累資源。以下結合自己的專業(計算機視覺)和愛好說說一些優秀的專業書籍:

學了微積分,就可以無壓力閱讀《費恩曼物理學講義第一卷》,了解力、熱、光、時空的奧秘;學了偏微分方程,就可以無壓力閱讀《費恩曼物理學講義第二卷》,了解電的奧秘;學了矩陣論,可以買一本《計算機視覺中的多視圖幾何》,了解成像的奧秘,編程進行圖像序列的三維重建;學了概率論的同學應該會聽說過貝葉斯學派和頻率學派,這兩個學派的人把戰場拉到了機器學習領域,成就了兩本經典著作《Pattern Recognition And Machine Learning》和《The Elements of Statistical Learning》,讀了它們,我被基礎數學為機器學習領域提供的豐碩成果和深刻見解深深折服;讀了《Ray Tracing from the Ground Up》,自己寫了一個光線追蹤器渲染真實場景,它的基礎就是一點點微積分和矩陣......
高等數學的應用實在是太多了,如果你喜歡編程,自動化、機器人、計算機視覺、模式識別、數據挖掘、圖形圖像、資訊理論和密碼學......到處都有大量模型供你玩耍,而且只需要一點點高等數學。在這些領域,你可能能發現比數學書更有趣,也更容易找到工作的目標。
4.6 找有趣的書看
數學家寫的書有時是比較死板的,但是總有一些教材,它們的作者有強烈的慾望想向你展示"這個東西其實很有趣","這個東西完全不是你想的那個樣子"等等,他們成功了;還有些作者,他們喜歡把一個東西在不同領域的應用,和不同東西在某一領域的應用集中展示給你看。這樣的書會提供給你充足的樂趣讀下去。典型代表就是國內出版的一套《圖靈數學統計學叢書》,這一套書實在是太棒了,比如《線性代數應該這樣學》《復分析:可視化方法》《微分方程、動力系統與混沌導論》,個人認為都是學數學必讀的經典教材,非常非常有趣。

五、多讀書,讀好書
如果只有一句話概括如何培養數學能力,那麼就是這一句:多讀書,讀好書。因此這一步我想單獨拿出來多說兩句。
想必大家都十分精通並能熟練應用小學數學。想讀懂代數幾何,或者退一步,想讀懂資訊理論基礎,你就要挑幾本好的基礎教材,最好是外國人寫的,像掌握小學數學那樣掌握它。不要只看一本,找三本不同作者的書,對比著看,逐行逐字看。有的地方肯定看不懂,記下來,說不定在另一本書的某個地方就從另一個角度說到了這個東西。
如果你以後還要往後學,現在看到的每一個基礎定理,以後還會用到。
每一本基礎書,你今天放棄,明天還要乖乖重頭再來。
要像讀經文一樣,交叉閱讀對比不同教材內容的異同。

5.1. 推薦教材(其實就是我讀過的覺得好的書):
第一級:
《線性代數應該這樣學》
卓里奇《數學分析(兩冊)》(讀英文版吧,不難。有知友說這個還是不太簡單,那你可以先看個國內教材,然後回過頭來再看這個)
復旦大學《概率論》

第二級:
芒克里斯《拓撲學》
圖靈叢書的一些分冊
柯斯特利金《代數學引論》
Vapnik《統計學習理論的本質》
Rudin《數學分析原理》
Rudin《泛函分析》
Gamelin《復分析》
彭家貴《微分幾何》
Cover《資訊理論基礎》
第三級:
《微分流行與黎曼幾何》
《現代幾何學,方法與應用》三卷

5.2. 閱讀一些科普教材
《數學是什麼》
《高觀點下的初等數學》
《巴赫、埃舍爾、哥德爾》
《e的故事》

5.3. 閱讀各個領域最有趣、最活潑、最讓你長知識、最重視應用、文筆最易懂的教材和書籍
《費恩曼物理學講義》三冊
《混沌與分形:科學的新疆界》
《微分方程、動力系統與混沌導論》
《復分析:可視化方法》

最後想說,數學是一個無底洞,會消耗掉你寶貴的青春。一無所知的你可能勵志搞懂現代數學,但是多會半途卻步,同時剩下的時間又不夠精通另一門科學。而且即使你精通純數學,沒有幾篇好文章也並不容易找工作。
我的建議是在閱讀數學的過程中開拓眼界,純數學和應用數學學科都看看,找到感興趣、應用廣泛、工作好找(來錢)的方向再一猛紮下去成為你的事業。比如數學扎實,編程能力也強的人就很有前途。

作者:王小龍
鏈接:http://www.hu.com/question/19556658/answer/26950430
來源:知乎
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⑻ 復分析可視化方法的圖書目錄

第1章 幾何和復算術. 1
1.1 引言 1
1.1.1 歷史的概述 1
1.1.2 龐貝利的奇想 3
1.1.3 一些術語和記號 5
1.1.4 練習 6
1.1.5 符號算術和幾何算術的等價性 7
1.2歐拉公式 8
1.2.1 引言 8
1.2.2 用質點運動來論證 9
1.2.3 用冪級數來論證 10
1.2.4 用歐拉公式來表示正弦和餘弦 12
1.3 一些應用 12
1.3.1 引言 12
1.3.2 三角 13
1.3.3 幾何 14
1.3.4 微積分 17
1.3.5 代數 19
1.3.6 向量運算 24
1.4 變換與歐氏幾何 26
1.4.1 克萊因眼中的幾何 26
1.4.2 運動的分類 30
1.4.3 三反射定理 32
1.4.4 相似性與復算術 34
1.4.5 空間復數 37
1.5 習題 3
第2章 作為變換看的復函數 47
2.1 引言 47
2.2 多項式 49
2.2.1 正整數冪 49
2.2.2 回顧三次方程 50
2.2.3 卡西尼曲線 51
2.3 冪級數 54
2.3.1 實冪級數的神秘之處 54
2.3.2 收斂圓 57
2.3.3 用多項式逼近冪級數 60
2.3.4 唯一性 61
2.3.5 對冪級數的運算 62
2.3.6 求收斂半徑 64
2.3.7 傅里葉級數 67
2.4 指數函數 69
2.4.1 冪級數方法 69
2.4.2 這個映射的幾何意義 70
2.4.3 另一種方法 71
2.5 餘弦與正弦 73
2.5.1 定義與恆等式 73
2.5.2 與雙曲函數的關系 74
2.5.3 映射的幾何 76
2.6 多值函數 78
2.6.1 例子:分數冪 78
2.6.2 多值函數的單值支 80
2.6.3 與冪級數的關聯 82
2.6.4 具有兩個支點的例子 83
2.7 對數函數 85
2.7.1 指數函數的逆 85
2.7.2 對數冪級數 87
2.7.3 一般冪級數 88
2.8 在圓周上求平均值 89
2.8.1 質心 89
2.8.2 在正多邊形上求平均值 91
2.8.3 在圓周上求平均值 94
2.9 習題 96
第3章 默比烏斯變換和反演 106
3.1 引言 106
3.1.1 默比烏斯變換的定義和意義 106
3.1.2 與愛因斯坦相對論的聯系 107
3.1.3 分解為簡單的變換 107
3.2 反演 108
3.2.1 初步的定義和事實 108
3.2.2 圓周的保持 110
3.2.3 用正交圓周構作反演點 112
3.2.4 角的保持 114
3.2.5 對稱性的保持 115
3.2.6 對球面的反演 116
3.3 反演應用的三個例子 118
3.3.1 關於相切圓的問題 118
3.3.2 具有正交對角線的四邊形的一個奇怪的性質 119
3.3.3 托勒密定理 120
3.4 黎曼球面 121
3.4.1 無窮遠點 121
3.4.2 球極射影 121
3.4.3 把復函數轉移到球面上 124
3.4.4 函數在無窮遠點的性態 125
3.4.5 球極射影的公式 127
3.5 默比烏斯變換:基本結果 129
3.5.1 圓周.角度和對稱性的保持 129
3.5.2 系數的非唯一性 130
3.5.3 群性質 131
3.5.4 不動點 132
3.5.5 無窮遠處的不動點 132
3.5.6 交比 134
3.6 默比烏斯變換作為矩陣 136
3.6.1 與線性代數的聯系的經驗上的證據 136
3.6.2 解釋:齊次坐標 138
3.6.3 特徵向量與特徵值 139
3.6.4 球面的旋轉作為默比烏斯變換 141
3.7 可視化與分類 143
3.7.1 主要思想 143
3.7.2 橢圓型.雙曲型和斜駛型變換 144
3.7.3 乘子的局部幾何解釋 146
3.7.4 拋物型變換 147
3.7.5 計算乘子 149
3.7.6 用特徵值解釋乘子 150
3.8 分解為2個或4個反射 151
3.8.1 引言 151
3.8.2 橢圓型情況 151
3.8.3 雙曲型情況 152
3.8.4 拋物型情況 154
3.8.5 總結 154
3.9 單位圓盤的自同構 155
3.9.1 計算自由度的數目 155
3.9.2 用對稱原理來求公式 156
3.9.3 最簡單的公式的幾何解釋 157
3.9.4 介紹黎曼映射定理 158
3.10 習題 159
第4章 微分學:伸扭的概念 166
4.1 引言 166
4.2 一個令人迷惑的現象 166
4.3 平面映射的局部描述 168
4.3.1 引言 168
4.3.2 雅可比矩陣 168
4.3.3 伸扭的概念 170
4.4 復導數作為伸扭 170
4.4.1 重新考察實導數 170
4.4.2 復導數 171
4.4.3 解析函數 173
4.4.4 簡短的總結 174
4.5 一些簡單的例子 175
4.6 共形=解析 176
4.6.1 引言 176
4.6.2 在整個區域中的共形性 177
4.6.3 共形性與黎曼球面 179
4.7 臨界點 179
4.7.1 擠壓的程度 179
4.7.2 共形性的破壞 180
4.7.3 支點 181
4.8 柯西-黎曼方程 182
4.8.1 引言 182
4.8.2 線性變換的幾何學 183
4.8.3 柯西-黎曼方程 184
4.9 習題 185
第5章 微分學的進一步的幾何研究 190
5.1 柯西-黎曼的真面目 190
5.1.1 引言 190
5.1.2 笛卡兒形式 190
5.1.3 極坐標形式 191
5.2 關於剛性的一個啟示 192
5.3 log(z)的可視微分法 195
5.4 微分學的各法則 196
5.4.1 復合 196
5.4.2 反函數 197
5.4.3 加法與乘法 198
5.5 多項式.冪級數和有理函數 198
5.5.1 多項式 198
5.5.2 冪級數 199
5.5.3 有理函數 201
5.6 冪函數的可視微分法 201
5.7 exp(z)的可視微分法 203
5.8 E'=E的幾何解法 204
5.9 高階導數的一個應用:曲率 206
5.9.1 引言 206
5.9.2 曲率的解析變換 207
5.9.3 復曲率 209
5.10 天體力學 212
5.10.1 有心力場 212
5.10.2 兩類橢圓軌道 213
5.10.3 把第一種橢圓軌道變為第二種 215
5.10.4 力的幾何學 216
5.10.5 一個解釋 216
5.10.6 卡斯納-阿諾爾德定理 217
5.11 解析拓展 218
5.11.1 引言 218
5.11.2 剛性 219
5.11.3 唯一性 220
5.11.4 恆等式的保持 222
5.11.5 通過反射作解析拓展 223
5.12 習題 227
第6章 非歐幾何學 236
6.1 引言 236
6.1.1 平行線公理 236
6.1.2 非歐幾何的一些事實 238
6.1.3 彎曲曲面上的幾何學 239
6.1.4 內蘊幾何與外在幾何的對立 241
6.1.5 高斯曲率 241
6.1.6 常曲率曲面 243
6.1.7 與默比烏斯變換的聯系 244
6.2 球面幾何 245
6.2.1 球面三角形的角盈 245
6.2.2 球面上的運動:空間旋轉和反射.. 246
6.2.3 球面上的一個共形映射 249
6.2.4 空間旋轉也是默比烏斯變換 252
6.2.5 空間旋轉與四元數 256
6.3 雙曲幾何 259
6.3.1 曳物線和偽球面 259
6.3.2 偽球面的常值負曲率 260
6.3.3 偽球面上的一個共形映射 261
6.3.4 貝爾特拉米的雙曲平面 263
6.3.5 雙曲直線和反射 266
6.3.6 鮑耶-羅巴切夫斯基公式 269
6.3.7 保向運動的三種類型 271
6.3.8 把任意保向運動分解為兩個反射 275
6.3.9 雙曲三角形的角盈 277
6.3.10 龐加萊圓盤 279
6.3.11 龐加萊圓盤中的運動 282
6.3.12 半球面模型與雙曲空間 285
6.4 習題 289
第7章 環繞數與拓撲學 29
7.1 環繞數 298
7.1.1 定義 298
7.1.2 「內」是什麼意思? 299
7.1.3 快速地求出環繞數 299
7.2 霍普夫映射度定理 301
7.2.1 結果 301
7.2.2 環路作為圓周的映射 301
7.2.3 解釋 303
7.3 多項式與輻角原理 303
7.4 一個拓撲輻角原理 304
7.4.1 用代數方法來數原象個數 304
7.4.2 用幾何方法來數原象個數 306
7.4.3 解析函數在拓撲上有何特殊 307
7.4.4 拓撲輻角原理 309
7.4.5 兩個例子 310
7.5 魯歇定理 311
7.5.1 結果 311
7.5.2 代數的基本定理 312
7.5.3 布勞威爾不動點定理 313
7.6 最大值與最小值 313
7.6.1 最大模原理 313
7.6.2 相關的結果 315
7.7 施瓦茨-皮克引理 315
7.7.1 施瓦茨引理 315
7.7.2 劉維爾定理 318
7.7.3 皮克的結果 319
7.8 廣義輻角原理 321
7.8.1 有理函數 321
7.8.2 極點與本性奇點 323
7.8.3 解釋 325
7.9 習題 326
第8章 復積分:柯西定理 334
8.1 引言 334
8.2 實積分 335
8.2.1 黎曼和 335
8.2.2 梯形法則 336
8.2.3 誤差的幾何估計 337
8.3 復積分 339
8.3.1 復黎曼和 339
8.3.2 一個可視化技巧 341
8.3.3 一個有用的不等式 342
8.3.4 積分法則 342
8.4 復反演 343
8.4.1 一個圓弧 343
8.4.2 一般環路 344
8.4.3 環繞數 346
8.5 共軛映射 347
8.5.1 引言 347
8.5.2 用面積來解釋 347
8.5.3 一般環路 349
8.6 冪函數 349
8.6.1 沿圓弧的積分 349
8.6.2 復反演作為極限情況 351
8.6.3 一般迴路和形變定理 351
8.6.4 定理的進一步推廣 353
8.6.5 留數 353
8.7 指數映射 355
8.8 基本定理 356
8.8.1 引言 356
8.8.2 一個例子 356
8.8.3 基本定理 357
8.8.4 積分作為原函數 359
8.8.5 對數作為積分 361
8.9 用參數作計算 362
8.10 柯西定理 363
8.10.1 一些預備知識 363
8.10.2 解釋 364
8.11 一般的柯西定理 366
8.11.1 結果 366
8.11.2 解釋 367
8.11.3 一個更簡單的解釋 368
8.11.4 迴路積分的一般公式 369
8.12 習題 370
第9章 柯西公式及其應用 377
9.1 柯西公式 377
9.1.1 引言 377
9.1.2 第一種解釋 377
9.1.3 高斯平均值定理 378
9.1.4 第二種解釋和一般柯西公式 379
9.2 無窮可微性和泰勒級數 380
9.2.1 無窮可微性 380
9.2.2 泰勒級數 381
9.3 留數計算 383
9.3.1 以極點為中心的羅朗級數 383
9.3.2 計算留數的一個公式 384
9.3.3 對實積分的應用 385
9.3.4 用泰勒級數計算留數 387
9.3.5 在級數求和上的應用 388
9.4 環形域中的羅朗級數 390
9.4.1 一個例子 390
9.4.2 羅朗定理 391
9.5 習題 394
第10章 向量場:物理學與拓撲學 398
10.1 向量場 398
10.1.1 復函數作為向量場 398
10.1.2 物理向量場 399
10.1.3 流場和力場 400
10.1.4 源和匯 402
10.2 環繞數與向量場 403
10.2.1 奇點的指數 403
10.2.2 龐加萊怎樣看指數 406
10.2.3 指數定理 407
10.3 閉曲面上的流 408
10.3.1 龐加萊-霍普夫定理的陳述 408
10.3.2 定義曲面上的指數 410
10.3.3 龐加萊-霍普夫定理的解釋 411
10.4 習題 413
第11章 向量場與復積分 417
11.1 流量與功 417
11.1.1 流量 417
11.1.2 功 419
11.1.3 局部流量和局部功 420
11.1.4 散度和旋度的幾何形式 422
11.1.5 零散度和零旋度向量場 423
11.2 從向量場看復積分 425
11.2.1 波利亞向量場 425
11.2.2 柯西定理 427
11.2.3 例子:面積作為流量 428
11.2.4 例子:環繞數作為流量 429
11.2.5 向量場的局部性態 430
11.2.6 柯西公式 431
11.2.7 正冪 432
11.2.8 負冪和多極子 433
11.2.9 無窮遠處的多極子 435
11.2.10 羅朗級數作為多極子展開 435
11.3 復位勢 436
11.3.1 引言 436
11.3.2 流函數 437
11.3.3 梯度場 439
11.3.4 勢函數 440
11.3.5 復位勢 441
11.3.6 例 444
11.4 習題 445
第12章 流與調和函數 448
12.1 調和對偶 448
12.1.1 對偶流 448
12.1.2 調和對偶 451
12.2 共形不變性 453
12.2.1 調和性的共形不變性 453
12.2.2 拉普拉斯運算元的共形不變性 454
12.2.3 拉普拉斯運算元的意義 456
12.3 一個強有力的計算工具 457
12.4 回顧復曲率 459
12.4.1 調和等勢線的幾何性質 459
12.4.2 調和等勢線的曲率 460
12.4.3 關於復曲率的進一步計算 463
12.4.4 復曲率的其他幾何性質 464
12.5 繞障礙物的流 466
12.5.1 引言 466
12.5.2 一個例子 466
12.5.3 鏡像法 470
12.5.4 把一個流映為另一個流 476
12.6 黎曼映射定理的物理學 478
12.6.1 引言 478
12.6.2 外映射和繞障礙物的流 479
12.6.3 內映射和偶極子 481
12.6.4 內映射.渦旋和源 483
12.6.5 一個例子:圓盤的自同構 485
12.6.6 格林函數 487
12.7 狄里希萊問題 491
12.7.1 引言 491
12.7.2 施瓦茨的解釋 492
12.7.3 圓盤的狄里希萊問題 494
12.7.4 諾依曼和波歇的解釋 496
12.7.5 一般的格林公式 501
12.8 習題 504
參考文獻 507
譯後記... 514

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