函數研究的基本思路與方法

⑴ 總結函數性質及其研究方法

函數的定義
（1）傳統定義：如果在某個變化過程中有兩個變數x和y，並且對於x在某個范圍內的每一個確定的值，按照某個對應法則，y都有唯一確定的值和它對應，那麼把y叫做x的函數，x叫做自變數，和x的值對應的y的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域。y是x 的函數，可以記作y ＝f（x）（f表示對應法則）。
（2）近代定義：設A、B都是非空的數的集合，f是從A到B的一個對應法則，那麼A到B的映射f : A→B就叫做A到B的函數，記作y ＝f（x），其中x �8�3 A ,y�8�3B。原象的集合A叫做函數f（x）的定義域，象的集合C叫做函數f（x）的值域，顯然C�8�2 B。
注意
①由函數的近代定義可知，函數是數集間的映射。
②對應法則f是聯系x、y的紐帶，是函數的核心，常用一個解析式表示，但在不少問題中，對應法則f也可能不便用或不能用上個解析式來表示，而是採用其他方式（如數表或圖象等）。定義域（或原象集合）是自變數的取值范圍，它是函數的一個不可缺少的組成部分，它和對應法則是函數的兩個重要因素。定義域不同而解析式相同的函數，應看作是兩個不同的函數。
③f（a）與f（x）的涵義是不同的，f（a）表示自變數x＝a時所得的函數值，它是一個常量，而f（x）是x的函數，是表示對應關系的。
2、函數的性質
（1）函數的單調性
設y ＝f（x）是給定區間上的一個函數， 是給定區間上的任意兩個值，且x1<x2，如果都有f(x1)<f(x2)，則稱f（x）在這個區間上是增函數（也稱f（x）在這個區間上單調遞增）；如果都有f(x1)>f(x2)，則稱f（x）在這個區間上是減函數（也稱f（x）在這個區間上單調遞減）。
如果函數y ＝f（x）在某個區間上是增函數或減函數，就說f（x）在這一區間上具有（嚴格）單調性，這一區間叫做f（x）的單調區間。
（2）函數的奇偶性
①如果對於函數定義域內任意一個x，都有f（－x）＝－f（x），那麼函數f（x）就叫做奇函數。
②如果對於函數定義域內任意一個x，都有f（－x）＝f（x），那麼函數f（x）就叫做偶函數。
奇函數的圖象關於原點成中心對稱圖形；偶函數的圖象關於y軸成軸對稱圖形。
3、反函數
（1）逆映射：設f : A→B是集合A到集合B上的一一映射，如果對於B中的每一個元素b，使b在A的原象a和它對應；這樣所得的映射叫做映射f : A→B的逆映射，記作：f ^-1: A→B。
註：映射f : A→B也是映射f ^-1: A→B的逆映射，而且f ^-1: A→B 也是一一映射（從B到A上的一一映射）。
（2）如果確定函數y ＝f（x）的映射f : A→B是f（x）的定義域A到值域B上的一一映射，那麼這個映射的逆映射f ^-1: A→B所確定的函數x=f^-1(y)叫做函數y ＝f（x）的反函數。
函數y ＝f（x）的定義域、值域分別是函數x=f^-1(y)的值域、定義域。
函數y ＝f（x）的反函數，習慣上寫成y=f^-1(x)。
一般地，求函數y ＝f（x）的反函數的方法是先由y ＝f（x）解出x=f^-1(y)，然後把x=f^-1(y)改寫成y=f^-1(x)。
函數y ＝f（x）和其反函數y=f^-1(x)的圖象關於直線y＝x對稱。
三角函數的圖象和性質是平面三角的主體內容，它是代數中學過的函數的重要補充．本章復習的重點是進一步熟練和運用代數中已學過的研究函數的基本理論和方法，與三角變換配合由三角函數組成的較復雜函數的性質，在諸多性質中，三角函數的周期性和對應法則的「多對一」性，又是這里的特點所在，復習中不僅要注意知識、方法的綜合性，還要注意它們在數學、生產、生活中的應用．

周期函數和最小正周期是函數性質研究的新課題，不僅要了解它們的意義，明確周期函數，函數值的變化規律，還要掌握周期性的研究對周期函數性質研究的意義，並會求函數的周期，或者經過簡單的恆等變形可化為上述函數的三角函數的周期．

三角函數指的是，，，等函數，了解它們的圖象的特徵，會正確使用「五點法」作出它們的圖象，並依據圖象讀出它們的性質，是本章的基礎．對於性質的復習，不要平均使用力量，只要強調已學函數理論、方法的運用，強調數形結合的思想，而要把重點放在周期函數表達某些性質的規范要求上．例如，對於，怎麼表述它的遞增（減）區間，怎麼表述它取最大（小）值時的取值集合，怎麼由已知的函數值的取值范圍，寫出角的取值范圍來，等等．還可對性質作些延伸，例如，研究它們的無數條對稱軸的表示，無數個對稱中心的表示等等．

正弦型函數是這里研究的又一個重點，除了會用「五點法」畫出它的簡圖外，還要從圖象變換的角度認識它與的圖象的關系，對於三種基本的圖象變換（平移變換，伸縮變換，對稱變換）進一步進行復習和適當提交．

本章復習還要注意適當提交起點，注意把簡單的三角變換與有關函數的性質結合起來，注意把三角函數和代數函數組合起來的綜合性研究，注意在函數圖象和單位圓函數線這兩工具中的綜合，擇優使用．注意從數學或實際問題中概括出來的與正弦曲線有關的問題的研究，並注意立體幾何、復數、解析幾何等內容，對平面三角要求的必要准備的復習．

本章中數學思想最重要的是數形結合，另外換元的思想，等價變換和化歸的思想，以及綜合法、分析法、待定系數法等等，在復習中應有所體現．
反函數總是相對原函數而言的，原函數如果單調，反函數也單調（當然並不是單調性完全相同），原函數定義域就是反函數的值域，原函數的值域就是反函數的定義域。其他還有周期性，對稱性，都要針對原函數來考慮。
一次函數y=kx+b (k≠0) k>0,b>0,則圖象過1,2,3象限 k>0,b<0,則圖象過1,3,4象限 k<0,b>0,則圖象過1,2,4象限 k<0,b<0,則圖象過2,3,4象限當k>0時，y隨x的增大而增大；圖像經過一、三象限當k<0時，y隨x的增大而減小；圖像經過二、四象限

⑵ 三角函數解題思路和技巧

三角函數解題思路和技巧：

求三角函數值的問題，可依循三種途徑：

1、先化簡再求值，將式子化成能夠利用題設已知條件的最簡形式；

2、從已知條件出發，選擇合適的三角公式進行變換，推出要求式的值；

3、將已知條件與求值式同時化簡再求值。

一、直接法

顧名思義，就是直接進行正確的運算和公式變形，結合已知條件，得到正確的答案。三角函數中大量的題型都是根據該方法求值解答的，需要對三角函數的基本公式要牢牢掌握。

二、換元法

換元法就是用一個量替代另一個量，發現題設中（隱含）條件，進行帶式替換，從而將三角函數求值轉變成代數式求值。

三、比例法

對三角等式變形，找出與之有關的函數值，利用比例性質，對三角函數值進行計算。

(2)函數研究的基本思路與方法擴展閱讀：

三角函數的常見技巧性公式：

1、sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

2、sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

3、cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

4、cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

5、tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

6、tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

⑶ 函數概念基本思路是怎麼樣的呢

為使把函數說得簡明易解，函數的基本思路可描述為：
「若任指定某一特定集合（如X集合）中的一個元素，就有另一特定集合（如Y集合）中的唯一一個元素與之對應，即Y就是X的函數。」 例如某校某班的同學，每人在某地各種兩棵松樹（記錄檔案），這里，，這某地記錄檔案的松樹就是某一特定集合（X集合），而某校某班的同學就是另一特定集合（Y集合），任指定X集合中的一棵松樹，就能在Y集合中找到一位同學與之對應，因此，這某校某班的同學就是某地記錄檔案的松樹的函數。 相反，這里的X不是Y的函數，因為在Y中指定一個同學在X中找到的不是唯一的一棵松樹。這里的松樹與其他班級無關，這里的同學也與其他的松樹無關，這就是特定集合的概念。
在數學中，常見的函數是指數與數之間的關系，這里的X集合的元素俗稱自變數，而Y集合的元素俗稱因變數。函數的種類實在太多，有冪函數，三角函數，對數函數，一元函數，多元函數，隱函數等等等等。
很多函數可以用圖線表示，有遞增，遞減，間斷，連續，極大值，極小值，拐點等。
函數是數學一門大分支，實踐中也很有用，無底深。希望我說的對你有所啟發。

⑷ 總結用導數研究函數性態的主要方法

函數
y
的性態主要是指單調性、極值以及曲線的凹凸性拐點。
先說一階導數：
y'≥0，函數單調增加；y'≤0，函數單調減少。（這里兩個不等式要求等號僅在有限個點成立）
使得
y'=0
成立的點（即駐點），或者使得
y'
不存在的點，有可能是極值點。
注意：僅僅是有可能！
如何判斷是不是極值點呢？需要看該點左右兩側的一階導數符號是否改變。
極值存在的充分條件一：
若左負右正，表示函數先減後增，該點是極小值點；反之就是極大值點。
當然對於駐點的情形，判斷是否是極值點還有另一個方法，極值存在的充分條件二：
對於y'=0的點，計算該點的二階導數y"，當y"<0時，是極大值；當y">0時，是極小值。而當y"=0時，無法判斷是否是極值，仍需回到前一種方法。
再說二階導數：
當y"≥0時，曲線凹；當y「≤0時，曲線凸。
曲線上凹與凸的分界點就是拐點。
因此與前面討論極值點類似，使得
y」=0
成立的點，或者使得
y「
不存在的點，有可能是拐點。
判斷拐點的方法也是研究上述點左右兩側二階導數是否變號，變了就是拐點，沒變就不是。

⑸ 高中函數概念和解題思路

在某變化過程中有兩個變數x,y，按照某個對應法則，對於給定的x，有唯一確定的值y與之對應，那麼y就叫做x的函數。其中x叫自變數，y叫因變數。函數是高考重點中的重點，也就是高考的命題當中確實含有以函數為綱的思想，怎樣學好函數主要掌握以下幾點。第一，要知道高考考查的六個重點函數，一，指數函數；二，對數函數；三，三角函數；四，二次函數；五，最減分次函數；六，雙勾函數Y＝X＋A/X(A＞0)。要掌握函數的性質和圖象，利用這些函數的性質和圖象來解題。另外，要總結函數的解題方法，函數的解題方法主要有三種，第一種方法是基本函數法，就是利用基本函數的性質和圖象來解題；第二種方法是構造輔助函數；第三種方法是函數建模法。要特別突出函數與方程的思想，數形結合思想。

⑹ 怎樣學習函數

1，首先把握定義和題目的敘述 2，記住一次函數與坐標軸的交點坐標，必須很熟 3，掌握問題的敘述，通法通則是連立方程（當然是有交點的情況） 函數其實在初中的時候就已經講過了，當然那時候是最簡單的一次和二次，而整個高中函數最富有戲劇性的函數實際上也就是二次函數，學好函數總的策略是掌握每一種函數的性質，這樣就可以運用自如，有備無患了。函數的性質一般有單調性、奇偶性、有界性及周期性。能夠完美體現上述性質的函數在中學階段只有三角函數中的正弦函數和餘弦函數。以上是函數的基本性質，通過奇偶性可以衍生出對稱性，這樣就和二次函數聯系起來了，事實上，二次函數可以和以上所有性質聯系起來，任何函數都可以，因為這些性質就是在大量的基本函數中抽象出來為了更加形象地描述它們的。我相信這點你定是深有體會。剩下的冪函數、指數函數對數函數等等本身並不復雜，只要抓住起性質，例如對數函數的定義域，指數函數的值域等等，出題人可以大做文章，答題人可以縱橫捭闔暢游其中。性質是函數最本質的東西，世界的本質就是簡單，復雜只是起外在的表現形式，函數能夠很好到體現這點。另外，高三還要學導數，學好了可以幫助理解以前的東西，學不好還會擾亂人的思路，所以，我建議你去預習，因為預習絕對不會使你落後，我最核心的學習經驗就是預習，這種方法使我的數學遠遠領先其它同學而立於不敗之地。 綜上，在學習函數的過程中，你要抓住其性質，而反饋到學習方法上你就應該預習（有能力的話最好能夠自學） 。函數是高考重點中的重點，也就是高考的命題當中確實含有以函數為綱的思想，怎樣學好函數主要掌握以下幾點。第一，要知道高考考查的六個重點函數，一，指數函數；二，對數函數；三，三角函數；四，二次函數；五，最減分次函數；六，雙勾函數Y＝X＋A/X(A＞0)。要掌握函數的性質和圖象，利用這些函數的性質和圖象來解題。另外，要總結函數的解題方法，函數的解題方法主要有三種，第一種方法是基本函數法，就是利用基本函數的性質和圖象來解題；第二種方法是構造輔助函數；第三種方法是函數建模法。要特別突出函數與方程的思想，數形結合思想 .你還說做題不知道怎樣入手，其實函數有很多工具，函數的圖像、單調性、奇偶性、周期性、極值，最值、導數等等，這些都是研究函數的工具，也是解題的入手點，先把這些地方的基礎題（就是直接要你求單調區間，定義域，值域，周期、奇偶性，導數這一類的題）做好，在相應地做一些應用到這些知識的綜合題、類型題，做完之後總結一下，就能發現命題規律與解題思路技巧。

⑺ 函數定義域、值域、單調性、奇偶性的解題思路和方法

1.
求函數的解析式（1）求函數解析式的常用方法：①換元法（
注意新元的取值范圍）②待定系數法（已知函數類型如：一次、二次函數、反比例函數等）③整體代換（配湊法）④構造方程組（如自變數互為倒數、已知f（x）為奇函數且g（x）為偶函數等）（2）求函數的解析式應指明函數的定義域，函數的定義域是使式子有意義的自變數的取值范圍，同時也要注意變數的實際意義。（3）理解軌跡思想在求對稱曲線中的應用。2.
求函數的定義域求用解析式y＝f（x）表示的函數的定義域時，常有以下幾種情況：①若f（x）是整式，則函數的定義域是實數集R；②若f（x）是分式，則函數的定義域是使分母不等於0的實數集；③若f（x）是二次根式，則函數的定義域是使根號內的式子大於或等於0的實數集合；④若f（x）是由幾個部分的數學式子構成的，則函數的定義域是使各部分式子都有意義的實數集合；⑤若f（x）是由實際問題抽象出來的函數，則函數的定義域應符合實際問題.3.
求函數值域（最值）的一般方法：（1）利用基本初等函數的值域；（2）配方法（二次函數或可轉化為二次函數的函數）；（3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如型的函數）（4）函數的單調性：特別關注的圖象及性質（5）部分分式法、判別式法（分式函數）（6）換元法（無理函數）（7）導數法（高次函數）（8）反函數法（9）數形結合法4.
求函數的單調性（1）定義法：（2）導數法：
（3）利用復合函數的單調性：（4）關於函數單調性還有以下一些常見結論：①兩個增（減）函數的和為_____；一個增（減）函數與一個減（增）函數的差是______；②奇函數在對稱的兩個區間上有_____的單調性；偶函數在對稱的兩個區間上有_____的單調性；③互為反函數的兩個函數在各自定義域上有______的單調性；
（5）求函數單調區間的常用方法：定義法、圖象法、復合函數法、導數法等（6）應用：比較大小，證明不等式，解不等式。5.
函數的奇偶性奇偶性：定義：注意區間是否關於原點對稱，比較f（x）
與f（－x）的關系。f（x）
－f（－x）＝0f（x）
＝f（－x）
f（x）為偶函數；f（x）+f（－x）＝0f（x）
＝－f（－x）
f（x）為奇函數。判別方法：定義法，圖象法，復合函數法應用：把函數值進行轉化求解。6.
周期性：定義：若函數f（x）對定義域內的任意x滿足：f（x+T）＝f（x），則T為函數f（x）的周期。其他：若函數f（x）對定義域內的任意x滿足：f（x+a）＝f（x－a），則2a為函數f（x）的周期.應用：求函數值和某個區間上的函數解析式。

⑻ 初三函數的解題思路

1.配方法:將函數解析式化成含有自變數的平方式與常數的和，然後根據變數的取值范圍確定函數的最值.形如 的函數值域均可用此法，要特別注意自變數的范圍.
2分離常數法：將函數解析式化成含有一個常數和含有 的表達式，利用自變數取值范圍確定表達式取值范圍。形如 的函數的值域，均可以使用此法，此外這種函數的值域也可以利用反函數法，利用反函數的定義域進行值域的求解。
3.判別式法:把函數轉化成關於的二次方程 ，通過方程有實根模型解題法，判別式 ，從而求得原函數的值域。形如 的函數的值域常用此法解決。
注意事項：①函數定義域為R；②分子、分母沒有公因式。
4.不等式法:利用基本不等式取等號確定函數的最值，常用不等式有：
① 當且僅當a = b時，「=」號成立；
② 當且僅當a = b時，「=」號成立；
③ 當且僅當a = b = c時,「=」號成立；
④ ,當且僅當a = b = c時,「=」號成立.
注意事項：①基本不等式求最值時一定要注意應用的條件是「一正二定三等」.
②熟悉一個重要的不等式鏈：
5.換元法:運用代數或者三角代換，將所給函數化成值域容易確定的另一函數，從而求得原函數的值域。形如 的函數等常用此法解決.
注意事項：換元法使用時一定要注意新變元的取值范圍.

6.數形結合法:當一個函數 圖象較容易作出時，通過圖像可以求出其值域和最值；或利用函數所表示的幾何意義，藉助幾何方法求出函數的值域。例如距離、斜率等.
7.函數的單調性法:確定函數在定義域（或某個定義域的子集）上的單調性以求出函數的值域.例如形如 的函數， 的函數等.
注意事項：1 函數單調性問題必須先在討論定義域條件下進行。
2函數的單調性的判斷方法有定義法，導數判斷法等方法。
二 函數最值求解例析
例1 求下列函數的值域：

解：（1）方法一（分離常數法）由 知 ，
所以函數值域為
方法二（反函數法）由 ，得 ，所以 即
所以函數值域為
（2）方法一（換元法）設 ，得 ，


方法二（函數單調性法）


註：函數 的單調性也可以用導數法進行判斷（ ）.
(3)方法一（判別式法）
。
，

所以函數值域為 。
方法二（不等式法）

。

（4）方法一（基本不等式法）
由 得

即 或 ，所以函數的值域為
方法二（判別式法）
由 得 。
方程有實根，

解得 或 ，所以函數的值域為
方法三（函數單調性法）由 得
所以當 和 時， 所以函數在 和 上是減少的，
當 和 時， 所以函數在 和 上是增加的，
所以
所以函數的值域為
註：函數 圖象及性質
(1)函數 圖象：
(2)函數 性質：
①值域： ；
②單調遞增區間： ， ；
單調遞減區間： ， .
例2對 ，記 ，函數 的最小值是（ ）
A C D
解法一(圖像法):
函數 的圖像如圖所示，由圖像可得，其最小值為 。[來源:Z,xx,k.Com]
解法二(零點分區間討論法)：
當x＜﹣1時，|x+1|=﹣x﹣1，|x﹣2|=2﹣x， 2﹣x＞﹣x﹣1；
當﹣1≤x＜ 時，|x+1|=x+1，|x﹣2|=2﹣x， x+1＜2﹣x；
當 ＜x＜2時，|x+1|=x+1，|x﹣2|=2﹣x，x+1>2﹣x；
當x≥2時，|x+1|=x+1，|x﹣2|=x﹣2， x+1＞x﹣2；
故 ,故函數最小值為 ．
例3 設函數 ，求 在區間 上的最大值 和最小值 。
解：(函數單調性法)
由於 ，所以 ，
由 得： ；由 得： ，
所以函數 在區間 上是減少的；在區間 上是增加的。又由於
所以： ，
三 訓練
1 下列函數中，值域是（0，+∞）的是（）
A、 B、
C、y=x2+x+1 D、
2 函數 的值域是（）
A、（﹣∞，﹣1） B、（﹣∞，0）∪（0，+∞）
C、（﹣1，+∞） D、（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）
3 函數 的值域是
4 函數 的值域為

⑼ 研究對數函數和指數函數的一般思路和方法

經濟數學團隊為你解答，請及時評價謝謝！

一般來說，比較大小，判斷關系，作圖就可以了，通過作圖可以判斷增減，以及值域定義域

⑽ 函數解決實際問題的基本方法有哪些

您好。函數實際上就是一個等量關系，而且還是帶有變數的動態的等量關系。在數學生活中，找到正確的等量關系，找到自變數因變數，列出函數表達式，求定義域值域，求出最值