數值分析求積方法

A. 數值計算的構造數值積分

構造數值積分公式最通常的方法是用積分區間上的n 次插值多項式代替被積函數，由此導出的求積公式稱為插值型求積公式。特別在節點分布等距的情形稱為牛頓-柯茨公式，例如梯形公式與拋物線公式就是最基本的近似公式。但它們的精度較差。龍貝格演算法是在區間逐次分半過程中，對梯形公式的近似值進行加權平均獲得准確程度較高的積分近似值的一種方法，它具有公式簡練、計算結果准確、使用方便、穩定性好等優點，因此在等距情形宜採用龍貝格求積公式。當用不等距節點進行計算時，常用高斯型求積公式計算，它在節點數目相同情況下，准確程度較高，穩定性好，而且還可以計算無窮積分。數值積分還是微分方程數值解法的重要依據。許多重要公式都可以用數值積分方程導出。

B. 數值計算的數值積分

numerical integration
求定積分的近似值的數值方法。即用被積函數的有限個抽樣值的離散或加權平均近似值代替定積分的值。求某函數的定積分時，在多數情況下，被積函數的原函數很難用初等函數表達出來， 因此能夠藉助微積分學的牛頓-萊布尼茲公式計算定積分的機會是不多的。另外，許多實際問題中的被積函數往往是列表函數或其他形式的非連續函數，對這類函數的定積分，也不能用不定積分方法求解。由於以上原因，數值積分的理論與方法一直是計算數學研究的基本課題。對微積分學作出傑出貢獻的數學大師，如I.牛頓、L.歐拉、C.F.高斯等人也在數值積分這個領域作出了各自的貢獻，並奠定了它的理論基礎。

C. 實驗3 求數值積分

數值分析實驗報告——實驗目的[1] 掌握復化梯形和辛普森數值積分法的基本原理和方法；[2] 編程MATLAB程序實現復化梯形和辛普森數值積分實驗內容與步驟實驗內容與步驟1. 編程序實現復化梯形數值積分求積公式function y=f(x)y=sqrt(x).*log(x);function T_n=F_H_T(a,b,n)h=(b-a)/n;for k=0:n x(k+1)=a+k*h; if x(k+1)==0 x(k+1)=10^(-10); endendT_1=h/2*(f(x(1))+f(x(n+1)));for i=2:n F(i)=h*f(x(i));endT_2=sum(F);T_n=T_1+T_2;運行結果：>> T_n=F_H_T(0,1,20)T_n = -0.43362.編程序實現復化辛普森數值積分求積公式function y=f(x)y=sqrt(x).*log(x);function S_n=S_P_S(a,b,n)h=(b-a)/n;for k=0:n x(k+1)=a+k*h; x_k(k+1)=x(k+1)+1/2*h; if (x(k+1)==0)|(x_k(k+1)==0) x(k+1)=10^(-10); x_k(k+1)=10^(-10);endS_1=h/6*(f(x(1))+f(x(n+1)));for i=2:n F_1(i)=h/3*f(x(i));endfor j=1:n F_2(j)=2*h/3*f(x_k(j));endS_2=sum(F_1)+sum(F_2);S_n=S_1+S_2;運行結果：>> S_n=S_P_S(0,1,20)S_n = -0.4423 實驗心得 通過此次實驗的操作，我掌握了復合梯形公式和復合辛普森公式，對編程又有了新的突破！參考文獻地址： http://wenku..com/view/135fd1274b35eefdc8d33395.html

D. 求助數值分析的一道題，高斯型求積公式的，謝啦，有解答的部分，但是看不明白啊，為什麼那麼做啊。。

1. 三次正交多項式與零次、一次、二次多項式正交

2. 上面四個式子為0，即可求出三次正交多項式的系數

E. 數值分析小題目，求解答

設有n+1個求積結點，對於求積公式
∫{a,b}f(x)dx=∑{i=0,n}λi*f(xi) ①
要使①式具有m次代數精度，則要求f(x)為1,x,x^2,x^3,...,x^m時求積公式准確成立，即
∑{i=0,n}λi=∫{a,b}1dx=b-a
∑{i=0,n}λi*xi=∫{a,b}xdx=1/2*(b^2-a^2)
∑{i=0,n}λi*(xi)^2=∫{a,b}x^2dx=1/3*(b^3-a^3)
∑{i=0,n}λi*(xi)^3=∫{a,b}x^3dx=1/4*(b^4-a^4)
...
∑{i=0,n}λi*(xi)^m=∫{a,b}x^mdx=1/(m+1)*[b^(m+1)-a^(m+1)]
該非線性方程組中未知數為λi與xi，i=0,1,...n，總共有2*(n+1)個
因此，要求出所有未知數，最多有2*(n+1)個方程，此時m=2*n+1
即最高代數精度為2*n+1

由於原題為兩個求積結點，故n=1，最高代數精度m=2*n+1=3
令a=-1,b=1，則方程組為
∑{i=0,1}λi =λ₀+λ₁=2 ②
∑{i=0,n}λi*xi =λ₀*x₀+λ₁*x₁=0 ③
∑{i=0,n}λi*(xi)²=λ₀*(x₀)²+λ₁*(x₁)²=2/3 ④
∑{i=0,n}λi*(xi)³=λ₀*(x₀)³+λ₁*(x₁)³=0 ⑤
不妨設a≤x₀<x₁≤b，易知x₀≠0且x₁≠0（否則方程組無解）
∵λi≠0，由③⑤得x₀=-x₁<0 ⑥
將⑥代入③得λ₀-λ₁=0 ⑦
聯立②⑦得λ₀=1，λ₁=1
將λ₀與λ₁代入④得x₀=-√3/3，x₁=√3/3

F. 數值分析中常用的求積公式有哪幾中

構造一個多項式近似代替某個未知函數或復雜函數。據此，可以推導用來近似計算該未知函數或復雜函數的定積分或導數的公式。這就是數值積分與數值微分的基本內容.推導積分和導數的數值計算公式的重要性是顯而易見的
插值理論是解決數值計算定積分的有效途徑之一。
插值型求積公式
復合求積公式
Romberg求積公式
牛頓－科特斯求積公式及其餘項
機械型求積公式
梯形求積公式
龍貝格求積公式
辛普森(Simpson)求積公式
拋物線求積公式
復合Simpson求積公式
牛頓求積公式
Gauss型求積公式
有理Gauss-Lobatto求積公式
Gauss - Legendre求積公式
復化Gauss型求積公式
柯特斯求積公式及其餘項公式
三角形三斜求積公式
辛普森 (Simpson) 求積公式或拋物線求積公式:
梯形求積公式對所有次數不超過1 的多項式是准確成立的；
辛普森求積公式對所有次數不超過3 的多項式是准確成立的；
牛頓求積公式對所有次數不超過3 的多項式是准確成立的；
柯特斯求積公式對所有次數不超過5 多項式是准確成立的。
此牛頓-柯特斯求積公式在求積系數不為負數時是數值穩定的。
由於龍格現象存在，不難得知，牛頓-柯特斯求積公式不一定具有收斂性。
穩定性和收斂性可知，數值計算中應主張使用低階的牛頓-柯特斯求積公式。太多了，不再列舉了，有時間切磋切磋

G. 數值分析試題 證明題 確定下列求積公式中的待定系數，並證明確定後的求積公式具有3次代數精度

計算3個積分，另f(x)分別取1，x，x^2會3個方程,為方便輸入，我用ABC代替系數

1:2k=A+B+C

x:0=A-h+0B+Ch

x^2:2/3k^3=Ah^2+0B+Ch^2

解關於ABC的線性方程組，解是唯一的。是k和h的函數。我用軟體解了（實際手算作業一般都是k，h是數而不是字母）

然後再取f(x)=x^3，算得左邊≠右邊，證明只有3次精度。。。。這種數值分析題目很典型，也比較簡單，必須掌握。