數列極限定理證明論文的研究方法

㈠ 關於數列極限的證明，求詳細解答和步驟

用數學歸納法來解

(1)
x1 =1 , x 2 = √（1+Xn）= √2
假設 x{k}滿足: 1<= x{k} <2
x{k+1} = √（1+X{k} ）< √（1+2) <√4 = 2
x{k+1} = √（1+X{k} ）>√1 =1

故 xn: 1<= xn <2 成立

(2)
x2/ x1 = √2 / 1 >1
假設 x{k}/x{k-1}滿足: x{k}/x{k-1}>1

X{k+1}/Xk =√(1+Xk）/√(1+X{k-1}） >√(1+X{k-1}/√(1+X{k-1} =1
故Xn是遞增數列

㈡ 前人怎麼研究數列的極限

前人也是一開始用最朴實的方法一個一個推導，後來經過長時間的觀察與推理得出了一系列結論，世上無難事只怕有心人。
數列的極限問題是我們學習的一個比較重要的部分，同時，極限的理論也是高等數學的基礎之一。數列極限的問題作為微積分的基礎概念，其建立與產生對微積分的理論有著重要的意義。
存在的條件編輯：單調有界定理在實數系中，單調有界數列必有極限。緻密性定理任何有界數列必有收斂的子列。數列求極限方法匯總：一、利用數列極限的定義、二、利用夾逼准則、三、利用單調有界定理、四、利用定積分的定義

㈢ 求數列極限的幾種方法

摘要：本文介紹了計算極限的幾種方法，討論如何用定積分、冪級數、微分中值定理、O-Stolz公式、泰勒展式等方法計算極限．關鍵詞：計算極限；定積分；冪級數；泰勒展式1. 引言極限思想是許多科學領域的重要思想之一. 因為極限的重要性，從而怎樣求極限也顯得尤其重要. 對於一些復雜極限，直接按照極限的定義來求就顯得非常困難，不僅計算量大，而且不一定能求出結果. 為了解決求極限的問題，有不少學者曾探討了計算極限的方法（見 [1]-[4]）. 本文也介紹了計算極限的幾種方法，並對文獻[1]-[4]的結論進行了推廣，討論如何利用定積分、冪級數、O-Stolz公式、泰勒展式、微分中值定理計算極限，並且以實例來闡述方法中蘊涵的數學思想.2. 利用定積分求極限3. 利用冪級數求極限 利用簡單的初等函數（特別是基本初等函數）的麥克勞林展開式，常能求得一些特殊形式的數列極限.4. 利用級數收斂性判定極限存在由於級數與數列在形式上可以相互轉化，使得級數與數列的性質有了內在的密切聯系. 因此，數列極限的存在性及極限值問題，可轉化為研究級數收斂性問題.5 .利用O-Stolz公式計算極限6. 利用泰勒公式求極限等價無窮小代換是求極限的重要方法，往往可以減少計算量，使問題得以簡化. 但一般說來，這種方法僅限於求兩個無窮小量的乘積或除的極限，而對兩個無窮小量非乘且非除的極限，以上方法不能湊效，而Taylor公式代換是解決此類極限問題的一種有效的方法.7. 利用微分中值定理求極限Lagrange定理是微分學重要的基本定理，它利用函數的局部性質來研究函數的整體性質，其應用十分廣泛，下面我們來看一下Lagrange定理在求極限中的應用 .參考文獻[1]裴禮文. 數學分析中的典型問題與方法[M]. 北京：高等教育出版社，1993. [2]劉玉璉. 數學分析講義[M]. 北京: 高等教育出版社, 1997.[3]同濟大學數學教研室. 高等數學（第四版）[M]. 北京：高等教育出版社, 1996.[4]費定暉,周學聖. 數學分析習題集題解[M]. 山東: 山東科學技術出版社,2002.（作者楊海珍系首都師范大學在讀研究生）註：「本文中所涉及到的圖表、註解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。（剩餘0字）

㈣ 怎樣利用極限定義證明數列的極限

用極限定義證明數列極限的關鍵是:

1、對Πε>0,都能找到一個正整數N,當n>N時,有|an-a|<ε成立・這里的Πε>0,由證題者自己給出・因此,關鍵是找出N・那麼,如何尋找N呢?

2、顯然,要尋找的N,一定要滿足當n>N時,有|an-a|<ε成立・而|an-a|可以看成是關於正整數n的函數,我們可以通過求解不等式|an-a|<ε,找到使|an-a|<ε成立,n所要滿足的條件,亦即不等式|an-a|<ε的解集・該解集是自然數集N的無限子集・對同一個ε,N並不惟一。

3、因此,只需在該解集找出一個作為N即可・這樣尋找N的工作就轉化成求解不等式|an-a|<ε的問題了。

㈤ 用數列極限的定義證明題什麼原理

答：
1、數學最基本的兩大思想就是：歸納和演繹；也可以說，歸納和演繹是數學的靈魂，從現實中講，這種思維方法已經觸及到了每個人的思維深處了，常說的「吃一塹長一智」「由此及彼」等都是這個原理。
2、但數學作為一門抽象邏輯學科，不能僅從簡單的歸納或演繹中得出結論就了事，因為這樣構成不了邏輯體系，因此，對於歸納或演繹出的結論，結果必須給予證明。例如，科德巴赫猜想就是歸納出的結論，雖然都感覺是對的，但是證明卻非常困難，目前也僅僅停留在（1+2）上。
3、你所遇到的數列極限的證明方法是「ε-δ」證明法，它的由來你可以去查一查，是經過了幾代數學家，大量的理論邏輯建立才達到的，你所用到的只是最初級的應用，它是一種極限推進證明法，∀和∃是其中非常重要的邏輯含量，表明了任意取值的完備性和存在數值的唯一性，堪稱數學史上的偉大創新。就如哥德巴赫猜想一樣，在初級就是體現在了（1+1）上，你能說好證明么？
4、數學是非常嚴密高度抽象的邏輯學科，新的數學理論的誕生往往就會支撐一個產業的誕生，試想，如果牛頓沒有在微積分有所建樹，他能發現動量守恆么？高斯在7歲就能算從1加到100，以後他在數論方面有了驚人的成就，因此，很多人都說，學物理可以靠勤奮，學數學一定要天才！愛因斯坦是偉大的物理天才，但是很少有人知道，他12歲就自學了微積分，在他後半生都在致力於研究的「統一場論」中，大部分時間都在研究空間數學和微積分，他可以算是半個數學家！
5、數學講求的就是思維和方法，「ε-δ」證明法是一種對於極限的遞推式定義證明法，它不是推演證明法，因此會讓你感覺有點「湊形」的意思。但是，你必須要理解這種證明思維，學會這種遞推式的極限思維，這些才是「ε-δ」證明法的精髓，也是幾代數學家畢生研究的精華所在！
6、最後，要分清楚歸納證明法和推演求解之間的區別，你可能對推演求解更感興趣吧

㈥ 怎麼證明數列極限存在

1.概念法：存在一個正數ε,當n>N時,|an-M| < ε恆成立
2.定理法：
(1)單調且有界數列必存在極限；
(2)夾逼准則；
(3)數學歸納法（有可能和（1）、（2）結合使用）
3.函數法：將數列的通項公式構成成函數,利用對函數求極限來判定數列的極限,要和夾逼准則或者概念法一起使用
1,證明數列{xn=(n-1)/(n+1)}極限存在並求出其極限
證明：
∵1 -1/(1+1/n) = 1- n/(n+1)< 1-2/(n+1) = xn < (n-1)/n = 1-1/n
即：1 -1/(1+1/n) < xn < (n-1)/n = 1-1/n
已知：當n無窮大時：lim 1/n =0
∴lim[1 -1/(1+1/n)]=1
lim[1-1/n]=1
根據夾逼准側：xn極限存在,且limxn=1

㈦ 用數列極限定義證明，求高手 求詳細過程

往證：對於任意小e>0;總存在正整數N>0;使得只要n>N時，|(n^2+1)/(n^2-1)-1|<e.
證明：對於任意小e>0,我們令(n^2+1)/(n^2-1)-1<e；
化簡得n>√(2/e-1);
這里我們取N=[√(2/e-1)]+1;
則有隻要n>N時，|(n^2+1)/(n^2-1)-1|<e總成立。
即(n^2+1)/(n^2-1)關於n趨向無窮大的極限為1。
證畢。

㈧ 用數列極限的定義證明，過程詳細些

|1/n^k-0|=1/n^k

對任意ε>0，要1/n^k<ε，只要取N=[(1/ε)^(1/k)]+1>0。

當n>N，就有|1/n^k-0|<ε。

因此，根據定義：lim 1/n^k=0。

例如：

|往證：對於任意小e>0；總存在正整數N>0；使得只要n>N時，|(n^2+1)/(n^2-1)-1|<e。

證明：對於任意小e>0，令(n^2+1)/(n^2-1)-1<e；

化簡得n>√(2/e-1);

這里取N=[√(2/e-1)]+1;

則有隻要n>N時，|(n^2+1)/(n^2-1)-1|<e總成立。

即(n^2+1)/(n^2-1)關於n趨向無窮大的極限為1。

證畢。

數列極限的求法：

1、如果代入後，得到一個具體的數字，就是極限。

2、如果代入後，得到的是無窮大，答案就是極限不存在。

3、如果代入後，無法確定是具體數或是無窮大，就是不定式類型。

存在條件：

單調有界定理 在實數系中，單調有界數列必有極限。

緻密性定理，任何有界數列必有收斂的子列。