分析問題時常用的方法有限差分法

1. 數值傳熱學的研究方法

數值傳熱學常用的數值方法
1.有限差分法
歷史上最早採用的數值方法，對簡單幾何形狀中的流動與換熱問題最容易實施的數值方法。其基本點是：將求解區域中用於坐標軸平行的一系列網格的交點所組成的點的集合來代替，在每個節點上，將控制方程中每一個導數用相應的差分表達式來代替，從而在每個節點上，形成一個代數方程，每個方程中包括了本節點及其附近一些節點上的未知值，求解這些代數方程就獲得了所需的數值解。
2.有限容積法
將所計算的區域劃分成一系列控制容積劃分為一系列控制容積，每個控制容積都有一個節點做代表。通過將守恆型的控制方程對控制容積坐積分導出離散方程。在導出過程中，需要對界面上的被求函數本身及其一階導數的構成做出假定，是目前流動與換熱問題的數值計算中應用最廣的一種方法。
3.有限元法
把計算區域劃分為一系列原題（在二維情況下，元體多為三角形或四邊形），由每個元體上去數個點作為節點，然後通過對控制方程做積分來獲得離散方程。有限元法最大的優點是對不規則區域的適應性較好。但計算的工作量一般要比有限容積法大，而且在求解流動與換熱問題是，對流項的離散處理方法及不可壓縮流體原始變數法求解方面沒有有限容積法成熟。
4.有限分析法
由陳景仁教授在1981年提出。在這種方法中，也像有限差分法那樣，用一系列網格線將區域離散，所不同的是每一個節點與相鄰4個網格（二維）問題組成計算單元，即一個計算單元由一個中心節點與8個l 鄰點組成。在計算單元中把控制方程中的非線性項局部線性化，並對該單元上未知函數的變化型線作出假設，把所選定型線表達式中系數和常數項用單元邊界節點上位置的變數值來表示，找出其分析解。然後利用其分析解，得到該單元中點及其邊界上的位置值的代數方程，即單元中點的離散方程。

2. 有限積分法和有限差分法

1.1 概念
有限差分方法(FDM)是計算機數值模擬最早採用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。有限差分法以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。

1.2 差分格式
（1）從格式的精度來劃分，有一階格式、二階格式和高階格式。
（2）從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和逆風格式。
（3）考慮時間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。

目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的組合，不同的組合構成不同的差分格式。差分方法主要適用於有結構網格，網格的步長一般根據實際地形的情況和柯朗穩定條件來決定。

1.3 構造差分的方法
構造差分的方法有多種形式，目前主要採用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向後差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，後兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。

2. FEM

2.1 概述
有限元方法的基礎是變分原理和加權餘量法，其基本求解思想是把計算域劃分為有限個互不重疊的單元，在每個單元內，選擇一些合適的節點作為求解函數的插值點，將微分方程中的變數改寫成由各變數或其導數的節點值與所選用的插值函數組成的線性表達式，藉助於變分原理或加權餘量法，將微分方程離散求解。採用不同的權函數和插值函數形式，便構成不同的有限元方法。

2.2 原理
有限元方法最早應用於結構力學，後來隨著計算機的發展慢慢用於流體力學、土力學的數值模擬。在有限元方法中，把計算域離散剖分為有限個互不重疊且相互連接的單元，在每個單元內選擇基函數，用單元基函數的線形組合來逼近單元中的真解，整個計算域上總體的基函數可以看為由每個單元基函數組成的，則整個計算域內的解可以看作是由所有單元上的近似解構成。在河道數值模擬中，常見的有限元計算方法是由變分法和加權餘量法發展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。

根據所採用的權函數和插值函數的不同，有限元方法也分為多種計算格式。
（1）從權函數的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法；
（2）從計算單元網格的形狀來劃分，有三角形網格、四邊形網格和多邊形網格；
（3）從插值函數的精度來劃分，又分為線性插值函數和高次插值函數等。
不同的組合同樣構成不同的有限元計算格式。

對於權函數，伽遼金(Galerkin)法是將權函數取為逼近函數中的基函數；最小二乘法是令權函數等於餘量本身，而內積的極小值則為對代求系數的平方誤差最小；在配置法中，先在計算域內選取N個配置點。令近似解在選定的N個配置點上嚴格滿足微分方程，即在配置點上令方程餘量為0。插值函數一般由不同次冪的多項式組成，但也有採用三角函數或指數函數組成的乘積表示，但最常用的多項式插值函數。

有限元插值函數分為兩大類，一類只要求插值多項式本身在插值點取已知值，稱為拉格朗日(Lagrange)多項式插值；另一種不僅要求插值多項式本身，還要求它的導數值在插值點取已知值，稱為哈密特(Hermite)多項式插值。單元坐標有笛卡爾直角坐標系和無因次自然坐標，有對稱和不對稱等。常採用的無因次坐標是一種局部坐標系，它的定義取決於單元的幾何形狀，一維看作長度比，二維看作面積比，三維看作體積比。在二維有限元中，三角形單元應用的最早，近來四邊形等參元的應用也越來越廣。對於二維三角形和四邊形電源單元，常採用的插值函數為有Lagrange插值直角坐標系中的線性插值函數及二階或更高階插值函數、面積坐標系中的線性插值函數、二階或更高階插值函數等。

2.3 基本原理與解題步驟
對於有限元方法，其基本思路和解題步驟可歸納為：
(1)建立積分方程，根據變分原理或方程餘量與權函數正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式，這是有限元法的出發點。
(2)區域單元剖分，根據求解區域的形狀及實際問題的物理特點，將區域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區域單元劃分是採用有限元方法的前期准備工作，這部分工作量比較大，除了給計算單元和節點進行編號和確定相互之間的關系之外，還要表示節點的位置坐標，同時還需要列出自然邊界和本質邊界的節點序號和相應的邊界值。
(3)確定單元基函數，根據單元中節點數目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數作為單元基函數。有限元方法中的基函數是在單元中選取的，由於各單元具有規則的幾何形狀，在選取基函數時可遵循一定的法則。
(4)單元分析：將各個單元中的求解函數用單元基函數的線性組合表達式進行逼近；再將近似函數代入積分方程，並對單元區域進行積分，可獲得含有待定系數(即單元中各節點的參數值)的代數方程組，稱為單元有限元方程。
(5)總體合成：在得出單元有限元方程之後，將區域中所有單元有限元方程按一定法則進行累加，形成總體有限元方程。
(6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質邊界條件(狄里克雷邊界條件)、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對於自然邊界條件，一般在積分表達式中可自動得到滿足。對於本質邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對總體有限元方程進行修正滿足。
(7)解有限元方程：根據邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，採用適當的數值計算方法求解，可求得各節點的函數值。

3. 有限體積法

有限體積法（FiniteVolumeMethod）又稱為控制體積法。其基本思路是：將計算區域劃分為一系列不重復的控制體積，並使每個網格點周圍有一個控制體積；將待解的微分方程對每一個控制體積積分，便得出一組離散方程。其中的未知數是網格點上的因變數的數值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網格點之間的變化規律，即假設值的分段的分布的分布剖面。從積分區域的選取方法看來，有限體積法屬於加權剩餘法中的子區域法；從未知解的近似方法看來，有限體積法屬於採用局部近似的離散方法。簡言之，子區域法屬於有限體積發的基本方法。有限體積法的基本思路易於理解，並能得出直接的物理解釋。離散方程的物理意義，就是因變數在有限大小的控制體積中的守恆原理，如同微分方程表示因變數在無限小的控制體積中的守恆原理一樣。限體積法得出的離散方程，要求因變數的積分守恆對任意一組控制體積都得到滿足，對整個計算區域，自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優點。有一些離散方法，例如有限差分法，僅當網格極其細密時，離散方程才滿足積分守恆；而有限體積法即使在粗網格情況下，也顯示出准確的積分守恆。就離散方法而言，有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網格點之間的變化規律（既插值函數），並將其作為近似解。有限差分法只考慮網格點上的數值而不考慮值在網格點之間如何變化。有限體積法只尋求的結點值，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時，必須假定值在網格點之間的分布，這又與有限單元法相類似。在有限體積法中，插值函數只用於計算控制體積的積分，得出離散方程之後，便可忘掉插值函數；如果需要的話，可以對微分方程中不同的項採取不同的插值函數。

4. 比較分析
有限差分法（FDM）:直觀，理論成熟，精度可眩但是不規則區域處理繁瑣，雖然網格生成可以使FDM應用於不規則區域，但是對區域的連續性等要求較嚴。使用FDM的好處在於易於編程，易於並行。
有限元方法（FEM）:適合處理復雜區域，精度可眩缺憾在於內存和計算量巨大。並行不如FDM和FVM直觀。不過FEM的並行是當前和將來應用的一個不錯的方向。
有限容積法:適於流體計算，可以應用於不規則網格，適於並行。但是精度基本上只能是二階了。FVM的優勢正逐漸顯現出來，FVM在應力應變，高頻電磁場方面的特殊的優點正在被人重視。

比較一下：
有限容積法和有限差分法：一個區別就是有限容積法的截差是不定的（跟取的相鄰點有關，積分方法離散方程），而有限差分就可以直接知道截差（微分方法離散方程）。有限容積法和有限差分法最本質的區別是，前者是根據積分方程推導出來的（即對每個控制體積分），後者直接根據微分方程推導出來，所以前者的精度不但取決於積分時的精度，還取決與對導數處理的精度，一般有限容積法總體的精度為二階，因為積分的精度限制，當然有限容積法對於守恆型方程導出的離散方程可以保持守恆型；而後者直接由微分方程導出，不涉及積分過程，各種導數的微分藉助Taylor展開，直接寫出離散方程，當然不一定有守恆性，精度也和有限容積法不一樣，一般有限差分法可以使精度更高一些。
當然二者有聯系，有時導出的形式一樣，但是概念上是不一樣的。

至於有限容積法和有限元相比，有限元在復雜區域的適應性對有限容積是毫無優勢可言的，至於有限容積的守恆性，物理概念明顯的這些特點，有限元是沒有的。目前有限容積在精度方面與有限元法有些差距。

有限元方法比有限差分優越的方面主要在能適應不規則區域，但是這只是指的是傳統意義上的有限差分，現在發展的一些有限差分已經能適應不規則區域。對於橢圓型方程，如果區域規則，傳統有限差分和有限元都能解，在求解效率，這里主要指編程負責度和收斂快慢、內存需要，肯定有限差分有優勢。

3. 有限差分法主要內容

有限差分法是數值分析中的重要工具，其核心內容主要涉及以下幾個方面：

首先，問題的關鍵在於網格劃分。我們需要根據問題的具體特性，將定解區域分解為一系列有序的網格，這一步驟對於後續的離散化過程至關重要。

接著，微分方程的離散化是核心環節。通過將連續的微分方程轉化為離散的差分方程組，這一步需要確保離散化過程的准確性和有效性。這就涉及到理論分析，例如差分方程組的解的唯一性和存在性，以及差分格式的相容性、收斂性和穩定性。

相容性要求差分格式能夠任意逼近原微分方程，這意味著在足夠精細的網格下，差分解應該能夠忠實地反映微分方程的特性。而收斂性則考察差分解能否在數值上接近微分方程的精確解。穩定性則是確保計算過程中誤差不會無限放大，如果誤差能夠被控制在可接受范圍內，那麼差分格式就是穩定的。

差分格式的構造方法多種多樣，其中最常見的是數值微分法，通過替換連續微分的微商為離散差商。另一種方法是積分插值法，適用於反映物理守恆原理的方程，通常可以轉化為積分形式。此外，還可以利用待定系數法設計高精度的差分格式，以提升計算的准確性。

總的來說，有限差分法是通過網格劃分、離散化和理論分析，結合有效的構造方法，為求解微分方程提供一種實用且可靠的數值解法。