不等式的研究順序和方法

㈠ 如何解不等式

解不等式組，可以先把其中的不等式逐條算出各自的解集，然後分別在數軸上表示出來。
以兩條不等式組成的不等式組為例，
①若兩個未知數的解集在數軸上表示同向左，就取在左邊的未知數的解集為不等式組的解集，此乃「同小取小」
②若兩個未知數的解集在數軸上表示同向右，就取在右邊的未知數的解集為不等式組的解集，此乃「同大取大」
③若兩個未知數的解集在數軸上相交，就取它們之間的值為不等式組的解集。若x表示不等式的解集，此時一般表示為a＜x＜b，或a≤x≤b。此乃「相交取中」
④若兩個未知數的解集在數軸上向背，那麼不等式組的解集就是空集，不等式組無解。
5若兩個未知數的解集出現如：x≤1,y≥1，則解只有1.
(2)求不等式10(x+4)+x≤84的非負整數解．
分析：對(1)小題中要明白「不小於」即「大於或等於」，用符號表示即為「≥」；(2)小題非負整數，即指正數或零中的整數，所以此題的不等式的解必須是正整數或零．在求解過程中注意正確運用不等式性質．
解：
∴ 120-8x≥84-3(4x+1)
(2)∵10(x+4)+x≤84
∴10x+40+x≤84
∴11x≤44
∴x≤4
因為不大於4的非負整數有0，1，2，3，4五個，所以不等式10(x+4)+x≤84的非負整數解是4，3，2，1，0．
例5 解關於x的不等式
(1)ax+2≤bx-1 (2)m(m-x)＞n(n-x)
分析：解字母系數的不等式與解數字系數不等式的方法、步驟都是類似的，只是在求解過程中常要對字母系數進行討論，這就增加了題目的難度．此類問題主要考察了對問題的分析、分類的能力：它不但要知道什麼時候該進行分類討論，而且還要求能准確地分出類別來進行討論(結合例題解法再給與說明)．
解：(1)∵ax+2≤bx-1
∴ax-bx≤-1-2
即 (a-b)x≤-3
此時要依x字母系數的不同取值，分別求出不等式的解的形式．
即(n-m)x＞n2-m2
當m＞n時，n-m＜0，∴x＜n+m；
當m＜n時，n-m＞0，∴x＞n+m；
當m=n時，n-m=0，n2=m2，n2-m2=0，原不等式無解．這是因為此時無論x取任何值時，不等式兩邊的值都為零，只能是相等的，所以不等式不成立．
例6 解關於x的不等式
3(a+1)x+3a≥2ax+3．
分析：由於x是未知數，所以把a看作已知數，又由於a可以是任意有理數，所以在應用同解原理時，要區別情況，分別處理．
解：去括弧，得
3ax+3x+3a≥2ax+3
移項，得
3ax+3x-2ax≥3-3a
合並同類項，得
(a+3)x≥3-3a
(3)當a+3=0，即a=-3，得0·x≥12
這個不等式無解．
說明：在處理字母系數的不等式時，首先要弄清哪一個字母是未知數，而把其它字母看作已知數，在運用同解原理把未知數的系數化為1時，應作合理的分類，逐一討論．
例7 m為何值時，關於x的方程3(2x-3m)-2(x+4m)＝4(5-x)的解是非正數．
分析：根據題意，應先把m當作已知數解方程，然後根據解的條件列出關於m的不等式，再解這個不等式求出m的值或范圍．注意：「非正數」是小於或等於零的數．
解：由已知方程有6x-9m-2x-8m=20-4x
可解得 8x=20+17m
已知方程的解是非正數，所以
例8 若關於x的方程5x-(4k-1)=7x+4k-3的解是：(1)非負數，(2)負數，試確定k的取值范圍．
分析：要確定k的范圍，應將k作為已知數看待，按解一元一次方程的步驟求得方程的解x(用k的代數式表示之)．這時再根據題中已知方程的解是非負數或是負數得到關於k的不等式，求出k的取值范圍．這里要強調的是本題不是直接去解不等式，而是依已知條件獲得不等式，屬於不等式的應用．
解：由已知方程有5x-4k+1=7x+4k-3
可解得 -2x=8k-4
即 x=2(1-2k)
(1)已知方程的解是非負數，所以
(2)已知方程的解是負數，所以
例9 當x在什麼范圍內取值時，代數式-3x+5的值：
(1)是負數 (2)大於-4
(3)小於-2x+3 (4)不大於4x-9
分析：解題的關鍵是把「是負數」，「大於」，「小於」，「不大於」等文字語言准確地翻譯成數字元號．
解：(1)根據題意，應求不等式
-3x+5＜0的解集
解這個不等式，得
(2)根據題意，應求不等式
-3x+5＞-4的解集
解這個不等式，得
x＜3
所以當x取小於3的值時，-3x+5的值大於-4．
(3)根據題意，應求不等式
-3x+5＜-2x+3的解集
-3x+2x＜3-5
-x＜-2
x＞2
所以當x取大於2的值時，-3x+5的值小於-2x+3．
(4)根據題意，應求不等式
-3x+5≤4x-9的解集
-3x-4x≤-9-5
-7x≤-14
x≥2
所以當x取大於或等於2的值時，-3x+5的值不大於4x-9．
例10
分析：
解不等式，求出x的范圍．
解：
說明：應用不等式知識解決數學問題時，要弄清題意，分析問題中數量之間的關系，正確地表示出數學式子．如「不超過」即為「小於或等於」，「至少小2」，表示不僅少2，而且還可以少得比2更多．
例11 三個連續正整數的和不大於17，求這三個數．
分析：
解：設三個連續正整數為n-1，n，n+1
根據題意，列不等式，得
n-1+n+n+1≤17
所以有四組：1、2、3；2、3、4；3、4、5；4、5、6．
說明：解此類問題時解集的完整性不容忽視．如不等式x＜3的正整數解是1、2，它的非負整數解是0、1、2．
例12 將18.4℃的冷水加入某種電熱淋浴器內，現要求熱水溫度不超過40℃，如果淋浴器每分鍾可把水溫上升0.9℃，問通電最多多少分鍾，水溫才適宜？
分析：設通電最多x分鍾，水溫才適宜．則通電x分鍾水溫上升了0.9x℃，這時水溫是(18.4+0.9x)℃，根據題意，應列出不等式18.4+0.9x≤40，解得，x≤24．
答案：通電最多24分，水溫才適宜．
說明：解答此類問題時，對那些不確定的條件一定要充分考慮，並「翻譯」成數學式子，以免得出失去實際意義或不全面的結論．
例13 礦山爆破時，為了確保安全，點燃引火線後，人要在爆破前轉移到300米以外的安全地區．引火線燃燒的速度是0.8厘米/秒，人離開速度是5米/秒，問引火線至少需要多少厘米？
解：設引火線長為x厘米，
根據題意，列不等式，得
解之得，x≥48(厘米)
答：引火線至少需要48厘米．
*例14 解不等式|2x+1|＜4．
解：把2x+1看成一個整體y，由於當-4＜y＜4時，有|y|＜4，即-4＜2x+1＜4，
巧解一元一次不等式
怎樣才能正確而迅速地解一元一次不等式？現結合實例介紹一些技巧，供參考．
1．巧用乘法
例1 解不等式0.25x＞10.5．
分析 因為0.25×4=1，所以兩邊同乘以4要比兩邊同除以0.25來得簡便．
解 兩邊同乘以4，得x＞42．
2．巧用對消法
例2 解不等式
解 原不等式變為
3．巧用分數加減法法則
故 y＜-1．
4．逆用分數加減法法則
解 原不等式化為
，
5．巧用分數基本性質
例5 解不等式
約去公因數2後，兩邊的分母相同；②兩個常數項移項合並得整數．
例6 解不等式
分析 由分數基本性質，將分母化為整數和去分母一次到位可避免繁瑣的運算．
解 原不等式為
整理，得8x-3-25x+4＜12-10x，
思考：例5可這樣解嗎？請不妨試一試．
6．巧去括弧
去括弧一般是內到外，即按小、中、大括弧的順序進行，但有時反其道而行之即由外到內去括弧往往能另闢捷徑．
7．逆用乘法分配律
例8 解不等式
278(x-3)+351(6-2x)-463(3-x)＞0．
分析 直接去括弧較繁，注意到左邊各項均含有因式x-3而逆用分配律可速解此題．
解 原不等式化為
(x-3)(278-351×2+463)＞0，
即 39(x-3)＞0，故x＞3．
8．巧用整體合並
例9 解不等式
3｛2x-1-[3(2x-1)+3]｝＞5．
解 視2x-1為一整體，去大、中括弧，得3(2x-1)-9(2x-1)-9＞5，整體合並，得-6(2x-1)＞14，
9．巧拆項
例10 解不等式
分析 將-3拆為三個負1，再分別與另三項結合可巧解本題．
解 原不等式變形為
得x-1≥0，故x≥1．
練習題
解下列一元一次不等式
③3｛3x+2-[2(3x+2)-1]｝≥3x+1．
答案
一元一次不等式及一元一次不等式組
一. 填空題（每題3分）
1. 若 是關於 的一元一次不等式,則 =_________.
2. 不等式 的解集是____________.
3. 當 _______時,代數式 的值是正數.
4. 當 時,不等式 的解集時________.
5. 已知 是關於 的一元一次不等式,那麼 =_______,不等式的解集是_______.
6. 若不等式組 的解集為 ,則 的值為_________.
7. 小於88的兩位正整數,它的個位數字比十位數字大4,這樣的兩位數有_______個.
8. 小明用100元錢去購買筆記本和鋼筆共30件,如果每枝鋼筆5元,每個筆記本2元,那麼小明最多能買________枝鋼筆.
二. 選擇題（每題3分）
9.下列不等式,是一元一次不等式的是 ( )
A. B.
C. D.
10.4與某數的7倍的和不大於6與該數的5倍的差,若設某數為 ,則 的最大整數解是( )
A.1 B.2 C.-1 D0
11.若代數式 的值不大於3,則 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
12.某種商品的進價為800元,出售時標價為1200元,後來由於商品積壓,商品准備打折出售,但要保證利潤率不低於5%,則至多可打( )折
A.6 B.7 C.8 D.9
13.若不等式組 的解集是 ,則 的取值范圍是( )
A. B . C. D.
14.不等式 的解集是( )
A. B. C. D.
15.若不等式組 無解,則不等式組 的解集是( )
A. B. C. D.無解
16.如果 那麼 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
三. 解答題
17.解下列不等式組（每題5分）
1) 2)
18.當 在什麼范圍內取值時,關於 的方程 有:
(1) 正數解;（6分）
(2) 不大於2的解.（6分）
19.如果關於 的不等式 正整數解為1,2,3,正整數 應取怎樣的值?（10分）
20.某自行車保管站在某個星期日接受保管的自行車共有3500輛.其中變速車保管費是每輛一次0.5元,一般車保管費是0.3元.
(1) 若設一般車停放的輛數為 ,總保管費的收入為 元,試寫出 與 的關系式;（5分）
(2) 若估計前來停放的3500輛自行車中,變速車的輛數不少於25%,但不大於40%,試求該保管站這個星期日保管費收入總數的范圍. （5分）
21.某旅遊團有48人到某賓館住宿,若全安排住賓館的底層,每間住4人,房間不夠;每間住5人,有一個房間沒有住滿5人.問該賓館底層有客房多少間?（10分）
答案：
一． 填空題
1. m＝1 2. 3. 4. 5.
6.2 7.5 8.13
二． 選擇題
9.A 10.D 11.B 12.B 13.D 14.A 15.C 16.A
三． 解答題
17.1） 2）
18.1） 2）
19.
20.1）
2）
21.設該賓館有x間宿舍； 則x取10或11.
不等式組
1、2X+3＞0
-3X+5＞0
2、2X＜-1
X+2＞0
3、5X+6＜3X
8-7X＞4-5X
4、2（1+X）＞3（X-7）
4（2X-3）＞5（X+2）
5、2X＜4
X+3＞0
6、1-X＞0
X+2＜0
7、5+2X＞3
X+2＜8
8、2X+4＜0
1/2（X+8）-2＞0
9、5X-2≥3（X+1）
1/2X+1＞3/2X-3
10、1+1/2X＞2
2（X-3）≤4
3×60 <= x <= 3×70
1.2x+9y=81
3x+y=34
2.9x+4y=35
8x+3y=30
3.7x+2y=52
7x+4y=62
-4x>3
x+5>-1
4x<3x-5
1/7x<6/7
-8x>10
x=2>6
2x<10
x-2>o.1
-3x<10
x+3>-1
4x>-12
3(2x+5)>2(4x+3)
10_4(x-4)<2(X-1)
5x+1/6-2>x-5/4
2x+5<10
1.2x+9y=81
3x+y=34
2.9x+4y=35
8x+3y=30
3.7x+2y=52
7x+4y=62
4.4x+6y=54
9x+2y=87
5.2x+y=7
2x+5y=19
6.x+2y=21
3x+5y=56
7.5x+7y=52
5x+2y=22
8.5x+5y=65
7x+7y=203
9.8x+4y=56
x+4y=21
4x+7y=95
19.9x+2y=38
3x+6y=18
20.5x+5y=45
7x+9y=69
21.8x+2y=28
7x+8y=62
22.x+6y=14
3x+3y=27
23.7x+4y=67
2x+8y=26
24.5x+4y=52
7x+6y=74
25.7x+y=9
4x+6y=16
26.6x+6y=48
6x+3y=42
27.8x+2y=16
7x+y=11
28.4x+9y=77
8x+6y=94
29.6x+8y=68
7x+6y=66
30.2x+2y=22
7x+2y=47
x-7>26
3x<2x+1
2/3x>50
23.7x+4y=67
2x+8y=26
24.5x+4y=52
7x+6y=74
25.7x+y=9
4x+6y=16
26.6x+6y=48
6x+3y=42
27.8x+2y=16
7x+y=11
28.4x+9y=77
8x+6y=94
29.6x+8y=68
7x+6y=66
30.2x+2y=22
7x+2y=47
23.7x+4y=67
1.2x+9y=81
3x+y=34
2.9x+4y=35
8x+3y=30
3.7x+2y=52
7x+4y=62
4.4x+6y=54
9x+2y=87
5.2x+y=7
2x+5y=19
6.x+2y=21
3x+5y=56
7.5x+7y=52
5x+2y=22
8.5x+5y=65
7x+7y=203
9.8x+4y=56
x+4y=21
10.5x+7y=41
5x+8y=44
11.7x+5y=54
3x+4y=38
12.x+8y=15
4x+y=29
13.3x+6y=24
9x+5y=46
14.9x+2y=62
4x+3y=36
15.9x+4y=46
7x+4y=42
16.9x+7y=135
4x+y=41
17.3x+8y=51
x+6y=27
18.9x+3y=99
4x+7y=95
19.9x+2y=38
3x+6y=18
20.5x+5y=45
7x+9y=69
21.8x+2y=28
7x+8y=62
22.x+6y=14
3x+3y=27
23.7x+4y=67
2x+8y=26
24.5x+4y=52
7x+6y=74
25.7x+y=9
4x+6y=16
26.6x+6y=48
6x+3y=42
27.8x+2y=16
7x+y=11
28.4x+9y=77
8x+6y=94
29.6x+8y=68
7x+6y=66
30.2x+2y=22
7x+2y=47

㈡ 不等式證明都有哪幾種方法

比較法
比較法是證明不等式的最基本方法，具體有"作差"比較和"作商"比較兩種。基本思想是把難於比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。當求證的不等式兩端是分項式（或分式）時，常用作差比較，當求證的不等式兩端是乘積形式（或冪指數式時常用作商比較）
例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab2
分析：由題目觀察知用"作差"比較，然後提取公因式，結合a+b≥0來說明作差後的正或負，從而達到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負。
∵（a3+b3)(a2b+ab2)
=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a-b)(a2-b2)
證明： =(a-b)2(a+b)
又∵(a-b)2≥0a+b≥0
∴(a-b)2(a+b)≥0
即a3+b3≥a2b+ab2
例2 設a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb＞abba
分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對稱性，因此可在設a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商後同"1"比較大小，從而達到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小
證明：由a、b的對稱性，不妨解a＞b＞0則
aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b
∵ab0，∴ab1，a-b0
∴(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba
練習1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）

基本不等式法
利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及 變形有：
（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當且僅當a=b時，取等號）
（2）若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab （當且僅當a=b時，取等號）
（3）若a、b同號，則 ba+ab≥2（當且僅當a=b時，取等號）
例3 若a、b∈R， ｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1-b2+b1-a2≤1
分析：通過觀察可直接套用： xy≤x2+y22
證明： ∵a1-b2b1-a2≤a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1
∴b1-a2+a1-b2≤1，當且僅當a1+b2=1時，等號成立
練習2：若 ab0，證明a+1(a-b)b≥3

綜合法
綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發，根據不等式性質推算出要證明不等式。
例4，設 a0，b0，a+b=1，證明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252
證明：∵ a0，b0，a+b=1
∴ab≤14或1ab≥4
左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)2-2ab］+(a+b)2-2aba2b2
=4+(1-2ab)+1-2aba2b2≥4+(1-12)+8=252
練習3：已知a、b、c為正數，n是正整數，且f (n)=1gan+bn+cn3
求證：2f（n）≤f（2n）

分析法
從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個條件是可以證明或已經證明的不等式時，便可推出原不等式成立，這種方法稱為分析法。
例5：已知a0，b0，2ca+b，求證：c-c2-ab＜a＜c+c2-ab
分析：觀察求證式為一個連鎖不等式，不易用比較法，又據觀察求證式等價於 ｜a-c｜＜c2-ab也不適用基本不等式法，用分析法較合適。
要證c-c2-ab＜a＜c+c2-ab
只需證-c2-ab＜a-c＜c2-ab
證明： 即證 ｜a-c｜＜c2-ab
即證 (a-c)2＜c2-ab
即證 a2-2ac＜-ab
∵a＞0，∴即要證 a-2c＜-b 即需證2+b＜2c，即為已知
∴ 不等式成立
練習4：已知a∈R且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）2
放縮法
放縮法是在證明不等式時，把不等式的一邊適當放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強常用技巧有：（1）捨去一些正項（或負項），（2）在和或積中換大（或換小）某些項，（3）擴大（或縮小）分式的分子（或分母）等。
例6：已知a、b、c、d都是正數
求證： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2
分析：觀察式子特點，若將4個分式商為同分母，問題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。
證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1
又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d
∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2
綜上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2
練習5：已知：a＜2，求證：loga(a+1)＜1
6換元法
換元法是許多實際問題解決中可以起到化難為易，化繁為簡的作用，有些問題直接證明較為困難，若通過換元的思想與方法去解就很方便，常用於條件不等式的證明，常見的是三角換元。
(1)三角換元：
是一種常用的換元方法，在解代數問題時，使用適當的三角函數進行換元，把代數問題轉化成三角問題，充分利用三角函數的性質去解決問題。
例7、若x、y∈R+,且 x-y=1 A=(x-1y)(y+1y)。1x，求證0＜A＜1
證明： ∵x，y∈R+， 且x-y=1，x=secθ ， y=tanθ ，（0＜θ＜xy ）
∴ A=(secθ-1secθ(tanθ+1tanθ·1sec2θ
=1-cos2θcosθ·s2m2θ+cos2θcosθ·s2mθ·cos2θ
=sinθ
∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜A＜1
復習6：已知1≤x2+y2≤2，求證：12 ≤x2-xy+y2≤3
(2)比值換元：
對於在已知條件中含有若干個等比式的問題，往往可先設一個輔助未知數表示這個比值，然後代入求證式，即可。
例8：已知 x-1=y+12=z-23，求證：x2+y2+z2≥4314
證明：設x-1=y+12=z-23=k
於是x=k+1，y=zk-1，z=3k+2
把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2
=14(k+514)2+4314≥4314

反證法
有些不等式從正面證如果不好說清楚，可以考慮反證法，即先否定結論不成立，然後依據已知條件以及有關的定義、定理、公理，逐步推導出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結論，從而肯定原有結論是正確的，凡是"至少"、"唯一"或含有否定詞的命題，適宜用反證法。
例9：已知p3+q3=2，求證：p+q≤2
分析：本題已知為p、q的三次 ，而結論中只有一次 ，應考慮到用術立方根，同時用放縮法，很難得證，故考慮用反證法。
證明：解設p+q＞2，那麼p＞2-q
∴p3＞（2-q）3=8-12q+6q2-q3
將p3+q3 =2，代入得 6q2-12q+6＜0
即6（q-1）2＜0 由此得出矛盾 ∴p+q≤2
練習7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞0.
求證：a＞0，b＞0，c＞0
數學歸納法
與自然數n有關的不等式，通常考慮用數學歸納法來證明。用數學歸納法證題時的兩個步驟缺一不可。
例10：設n∈N，且n＞1,求證： (1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+12
分析：觀察求證式與n有關，可採用數學歸納法
證明：（1）當n=2時，左= 43，右=52
∵43＞52∴不等式成立
（2）假設n=k(k≥2，k∈n)時不等式成立，即（1+13）（1+15）…（1+12k-1)＞2k+12
那麼當n=k+1時，(1+13)(1+15)…(1+12k-1)(1+12k+1)＞2k+12·(1+12k+1)①
要證①式左邊＞ 2k+32，只要證2k+12·
2k+22k+1＞2k+32②
對於②〈二〉2k+2＞ 2k+1·2k+3
〈二〉(2k+2)2＞ (2k+1)(2k+3)
〈二〉4k2+8k+4＞ 4k2+8k+3
〈二〉4＞3 ③
∵③成立 ∴②成立，即當n=k+1時，原不等式成立
由（1）（2）證明可知，對一切n≥2（n∈N），原不等式成立
練習8：已知n∈N，且n＞1，求證： 1n+1+1n+2+…+12n＞ 1324

構造法
根據求證不等式的具體結構所證，通過構造函數、數列、合數和圖形等，達到證明的目的，這種方法則叫構造法。
1構造函數法
例11：證明不等式：x1-2x ＜x2 （x≠0）
證明：設f（x）= x1-2x- x2 （x≠0）
∵f (-x)
=-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x2
=x1-2x- ［1-(1-2x)］+x2=x1-2x-x+x2
=f（x）
∴f（x）的圖像表示y軸對稱
∵當x＞0時，1-2x＜0 ，故f（x）＜0
∴當x＜0時，據圖像的對稱性知f（x）＜0
∴當x≠0時，恆有f（x）＜0 即x1-2x＜x2（x≠0）
練習9：已知a＞b，2b＞a+c，求證：b- b2-ab＜a＜b+b2-ab
2構造圖形法
例12：若f（x）=1+x2 ，a≠b，則|f（x）-f（b）|＜ |a-b|
分析：由1+x2 的結構可知這是直角坐標平面上兩點A(1，x)，0(0，0)的距離即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2
於設A(1，a)，B(1，b)則0A= 1+a2