什麼是柳卡解題方法

1. 小升初數學必考常考題型

小升初數學必考常考題型匯總

行程問題是小升初考試和小學四大杯賽四大題型之一(計算、數論、幾何、行程)。具體題型變化多樣，形成10多種題型，都有各自相對獨特的解題方法。

小升初數學必考常考題型 篇1

一、一般相遇追及問題

包括一人或者二人時(同時、異時)、地(同地、異地)、向(同向、相向)的時間和距離等條件混合出現的行程問題。在杯賽中大量出現，約佔80%左右。建議熟練應用標准解法，即s=v×t結合標准線段畫圖(基本功)解答。由於只用到相遇追及的基本公式即可解決，在解題的時候，一旦出現比較多的情況變化時，結合自己畫出的圖分段去分析情況。

二、復雜相遇追及問題

(1)多人相遇追及問題。比一般相遇追及問題多了一個運動對象，即一般我們能碰到的是三人相遇追及問題。解題思路完全一樣，只是相對復雜點，關鍵是標准畫圖的能力能否清楚表明三者的運動狀態。

(2)多次相遇追及問題。即兩個人在一段路程中同時同地或者同時異地反復相遇和追及，俗稱「反復折騰型問題」。分為標准型(如已知兩地距離和兩者速度，求n次相遇或者追及點距特定地點的距離或者在規定時間內的相遇或追及次數)和純周期問題(少見，如已知兩者速度，求一個周期後，即兩者都回到初始點時相遇、追及的次數)。

標准型解法固定，不能從路程入手，將會很繁，最好一開始就用求單位相遇、追及時間的方法，再求距離和次數就容易得多。如果用折線示意圖只能大概有個感性認識，無法具體得出答案，除非是非考試時間仔細畫標准尺寸圖。

一般用到的時間公式是(只列舉甲、乙從兩端同時出發的情況，從同一端出發的情況少見，所以不贅述)：

單程相遇時間：t單程相遇=s/(v甲+v乙)

單程追及時間：t單程追及=s/(v甲-v乙)

第n次相遇時間：tn= t單程相遇×(2n-1)

第m次追及時間：tm= t單程追及×(2m-1)

限定時間內的相遇次數：N相遇次數=[ (tn+ t單程相遇)/2 t單程相遇]

限定時間內的追及次數：M追及次數=[ (tm+ t單程追及)/2 t單程追及]

註：[]是取整符號

之後再選取甲或者乙來研究有關路程的關系，其中涉及到周期問題需要注意，不要把運動方向搞錯了。

簡單例題：甲、乙兩車同時從A地出發，在相距300千米的A、B兩地之間不斷往返行駛，已知甲車的速度是每小時30千米，乙車的速度是每小時20千 米。

問：(1)第二次迎面相遇後又經過多長時間甲、乙追及相遇?(2)相遇時距離中點多少千米?(3)50小時內，甲乙兩車共迎面相遇多少次?

三、火車問題

特點無非是涉及到車長，相對容易。小題型分為：

1、火車過橋(隧道)：一個有長度、有速度，一個有長度、但沒速度，

解法：火車車長+橋(隧道)長度(總路程) =火車速度×通過的時間;

2、火車+樹(電線桿)：一個有長度、有速度，一個沒長度、沒速度，

解法：火車車長(總路程)=火車速度×通過時間;

3、火車+人：一個有長度、有速度，一個沒長度、但有速度，

(1)、火車+迎面行走的人：相當於相遇問題，

解法：火車車長(總路程) =(火車速度+人的速度)×迎面錯過的時間;

(2)火車+同向行走的人：相當於追及問題，

解法：火車車長(總路程) =(火車速度-人的速度) ×追及的時間;

(3)火車+坐在火車上的人：火車與人的相遇和追及問題

解法：火車車長(總路程) =(火車速度±人的速度) ×迎面錯過的時間(追及的時間);

4、火車+火車：一個有長度、有速度，一個也有長度、有速度，

(1)錯車問題：相當於相遇問題，

解法：快車車長+慢車車長(總路程) =(快車速度+慢車速度) ×錯車時間;

(2)超車問題：相當於追及問題，

解法：快車車長+慢車車長(總路程) =(快車速度-慢車速度) ×錯車時間;

對於火車過橋、火車和人相遇、火車追及人以及火車和火車之間的相遇、追及等等這幾種類型的題目，在分析題目的時候一定得結合著圖來進行。

四、流水行船問題

理解了相對速度，流水行船問題也就不難了。理解記住1個公式：

順水船速=靜水船速+水流速度，就可以順勢理解和推導出其他公式：

逆水船速=靜水船速-水流速度，

靜水船速=(順水船速+逆水船速)÷2，

水流速度=(順水船速-逆水船 速)÷2。

技巧性結論如下：

(1)相遇追及。水流速度對於相遇追及的時間沒有影響，即對無論是同向還是相向的兩船的速度差不構成「威脅」，大膽使用為善。

2)流水落物。漂流物速度=水流速度，t1= t2(t1：從落物到發現的時間段，t2：從發現到拾到的時間段)與船速、水速、順行逆行無關。此結論所帶來的時間等式常常非常容易的解決流水落物問題，其本身也非常容易記憶。

例題：一條河上有甲、乙兩個碼頭，甲碼頭在乙碼頭的上游50千米處。一艘客船和一艘貨船分別從甲、乙兩碼頭同時出發向上遊行駛，兩船的靜水速度相同。 客船出發時有一物品從船上落入水中，10分鍾後此物品距客船5千米。客船在行駛20千米後掉頭追趕此物品，追上時恰好和貨船相遇。求水流速度。

五、間隔發車問題

空間理解稍顯困難，證明過程對快速解題沒有幫助。一旦掌握了3個基本公式，一般問題都可以迎刃而解。

(1)在班車里。即柳卡問題。不用基本公式解決，快速的解法是直接畫時間-距離圖，再畫上密密麻麻的交叉線，按要求數交點個數即可完成。

例題：A、B是公共汽車的兩個車站，從A站到B站是上坡路。每天上午8點到11點從A、B兩站每隔30分同時相向發出一輛公共汽車。已知從A站到B站 單程需要105分鍾，從B站到A站單程需要80分鍾。問8：30、9：00從A站發車的司機分別能看到幾輛從B站開來的汽車?

(2)在班車外。聯立3個基本公式好使。

汽車間距=(汽車速度+行人速度)×相遇事件時間間隔

汽車間距=(汽車速度-行人速度)×追及事件時間間隔

汽車間距=汽車速度×汽車發車時間間隔

1、2合並理解，即

汽車間距=相對速度×時間間隔

分為2個小題型：

1、一般間隔發車問題。用3個公式迅速作答;

2、求到達目的地後相遇和追及的公共汽車的輛數。標准方法是：畫圖-盡可能多的列3個好使公式-結合s全程=v×t-結合植樹問題數數。

例題：小峰在騎自行車去小寶家聚會的路上注意到，每隔9分鍾就有一輛公交車從後方超越小峰。小峰騎車到半路車壞了，於是只好坐計程車去小寶家。這時小 峰又發現計程車也是每隔9分鍾超越一輛公交車，已知計程車的速度是小峰騎車速度的5倍，如果這3種車輛在行駛過程中都保持勻速，那麼公交車站每隔多少分鍾 發一輛車?

六、平均速度問題

相對容易的題型。大公式要牢牢記住：總路程=平均速度×總時間。用s=v×t寫出相應的比要比直接寫比例式好理解並且規范，形成行程問題的統一解決方案。

七、環形跑道問題

是一類有挑戰性和難度的題型，分為「同一路徑」、「不同路徑」、「真實相遇」、「能否看到」等小題 型。其中涉及到周期問題、幾何位置問題(審題不仔細容易漏掉多種位置可能)、不等式問題(針對「能否看到」問題，即問甲能否在線段的拐角處看到乙)。

八、鍾表問題

是環形問題的特定引申。基本關系式：v分針= 12v時針

(1)總結記憶：時針每分鍾走1/12格，0.5°;分針每分鍾走1格，6°。時針和分針「半」天共重合11次，成直線共11次，成直角共22次(都在什麼位置需要自己拿表畫圖總結)。

(2)基本解題思路：路程差思路。即

格或角(分針)=格或角(時針)+格或角(差)

格：x=x/12+(開始時落後時針的格+終止時超過時針的格)

角：6x=x/2+(開始時落後時針的角度+終止時超過時針的角度)

可以解決大部分時針問題的題型，包括重合、成直角、成直線、成任意角度、在哪兩個格中間，和哪一個時刻形成多少角度。

例題：在9點23分時，時針和分針的夾角是多少度?從這一時刻開始，經過多少分鍾，時針和分針第一次垂直?

(3)壞鍾問題。所用到的解決方法已經不是行程問題了，變成比例問題了，有相應的比例公式。

九、自動扶梯問題

仍然用基本關系式s扶梯級數=(v人±v扶梯)×t上或下解決。這里的路程單位全部是「級」，唯一要注意的是t上或下要表示成實際走的級數/人的速度。

例題：商場的自動扶梯以勻速由下往上行駛，兩個孩子在行駛的扶梯上上下走動，女孩由下向上走，男孩由上向下走，結果女孩走了40級到達樓上，男孩走了80級到達樓下。如果男孩單位時間內走的扶梯級數是女孩的2倍，則當該扶梯靜止時，可看到的扶梯梯級有多少級?

十、十字路口問題

即在不同方向上的行程問題。沒有特殊的解題技巧，只要老老實實把圖畫對，再通過幾何分析就可以解決。在正方形或長方形道路上的行程問題。

十一、校車問題

就是這樣一類題：隊伍多，校車少，校車來回接送，隊伍不斷步行和坐車，最終同時到達目的地(即到達目的地的最短時間，不要求證明)分4種小題型：根據校車速度(來回不同)、班級速度(不同班不同速)、班數是否變化分類。

(1)車速不變-班速不變-班數2個(最常見)

(2)車速不變-班速不變-班數多個

(3)車速不變-班速變-班數2個

(4)車速變-班速不變-班數2個

標准解法：畫圖-列3個式子：

1、總時間=一個隊伍坐車的時間+這個隊伍步行的時間;

2、班車走的總路程;

3、一個隊伍步行的時間=班車同時出發後回 來接它的時間。

最後會得到幾個路程段的比值，再根據所求代數即可。

簡單例題：甲班與乙班學生同時從學校出發去15千米外的公園遊玩，甲、乙兩班的步行速度都是每小時4千米。學校有一輛汽車，它的速度是每小時48千 米，這輛汽車恰好能坐一個班的學生。為了使兩班學生在最短時間內到達公園，那麼甲班學生與乙班學生需要步行的距離是多少千米?

十二、保證往返類

簡單例題：A、B兩人要到沙漠中探險，他們每天向沙漠深處走20千米，已知每人最多可以攜帶一 個人24天的食物和水。如果不準將部分食物存放於途中，其中一個人最遠可深入沙漠多少千米(要求兩人返回出發點)?這類問題其實屬於智能應用題類。建議推 導後記憶結論，以便考試快速作答。每人可以帶夠t天的食物，最遠可以走的時間T

(1)返回類。(保證一個人走的最遠，所有人都要活著回來)

1、兩人：如果中途不放食物：T=2/3t;如果中途放食物：T=3/4t。

2、多人：

(2)穿沙漠類(保證一個人穿過沙漠不回來了，其他人都要活著回來)共有n人(包括穿沙漠者)即多人助1人穿沙漠類。

1、中途不放食物：T≤[2n/(n+1)]×t。T是穿沙漠需要的天數。

2、中途放食物：T=(1+1/3+1/5+1/7+…+1/(2n-1))×t

小升初數學必考常考題型 篇2

1、和差問題 已知兩數的和與差，求這兩個數

例：已知兩數和是10，差是2，求這兩個數。

【口訣】

和加上差，越加越大;除以2，便是大的;

和減去差，越減越小;除以2，便是小的。

按口訣，則大數=(10+2)÷2=6，小數=(10-2)÷2=4

2、差比問題

例：甲數比乙數大12且甲:乙=7：4，求兩數。

【口訣】

我的比你多，倍數是因果。

分子實際差，分母倍數差。

商是一倍的，乘以各自的倍數，兩數便可求得。

先求一倍的量，12÷(7-4)=4，

所以甲數為：4X7=28，乙數為：4X4=16。

3、年齡問題

【口訣】

年齡差不變，同時相加減。

歲數一改變，倍數也改變。

抓住這三點，一切都簡單。

例1：小軍今年8 歲，爸爸今年34歲，幾年後，爸爸的年齡是小軍的3倍?

分析：歲差不會變，今年的歲數差點34-8=26，到幾年後仍然不會變。已知差及倍數，轉化為差比問題。

26÷(3-1)=13，幾年後爸爸的年齡是13X3=39歲，小軍的年齡是13X1=13歲，所以應該是5年後。

例2：姐姐今年13歲，弟弟今年9歲，當姐弟倆歲數的和是40歲時，兩人各應該是多少歲?

分析：歲差不會變，今年的歲數差13-9=4，幾年後也不會改變。幾年後歲數和是40，歲數差是4，轉化為和差問題。

則幾年後，姐姐的歲數：(40+4)÷2=22，弟弟的歲數：(40-4)÷2=18，所以答案是9年後。

4、和比問題 已知整體，求部分

例：甲乙丙三數和為27，甲:乙:丙=2:3:4，求甲乙丙三數。

【口訣】

家要眾人合，分家有原則。

分母比數和，分子自己的。

和乘以比例，就是該得的。

分母比數和，即分母為：2+3+4=9;

分子自己的，則甲乙丙三數占和的比例分別為2÷9，3÷9，4÷9;

和乘以比例，則甲為27X2÷9=6，乙為27X3÷9=9，丙為27X4÷9=12。

5、雞兔同籠問題

例：雞免同籠，有頭36 ，有腳120，求雞兔數。

【口訣】

假設全是雞，假設全是兔。

多了幾只腳，少了幾只足?

除以腳的差，便是雞兔數。

求兔時，假設全是雞，則免子數=(120-36X2)÷(4-2)=24

求雞時，假設全是兔，則雞數 =(4X36-120)÷(4-2)=12

6、 路程問題

(1)相遇問題

例：甲乙兩人從相距120千米的兩地相向而行，甲的速度為40千米/小時，乙的速度為20千米/小時，多少時間相遇?

【口訣】

相遇那一刻，路程全走過。

除以速度和，就把時間得。

相遇那一刻，路程全走過，即甲乙走過的路程和恰好是兩地的距離120千米。

除以速度和，就把時間得，即甲乙兩人的總速度為兩人的速度之和40+20=60(千米/小時)，所以相遇的時間就為120÷60=2(小時)

(2)追及問題

例：姐弟二人從家裡去鎮上，姐姐步行速度為3千米/小時，先走2小時後，弟弟騎自行車出發速度6千米/小時，幾時追上?

【口訣】

慢鳥要先飛，快的`隨後追。

先走的路程，除以速度差，時間就求對。

先走的路程：3X2=6(千米)

速度的差：6-3=3(千米/小時)

追上的時間：6÷3=2(小時)

7、 濃度問題

(1)加水稀釋

例：有20千克濃度為15%的糖水，加水多少千克後，濃度變為10%?

【口訣】

加水先求糖，糖完求糖水。

糖水減糖水，便是加水量。

加水先求糖，原來含糖為：20X15%=3(千克)

糖完求糖水，含3千克糖在10%濃度下應有多少糖水，3÷10%=30(千克)

糖水減糖水，後的糖水量減去原來的糖水量，30-20=10(千克)

(2)加糖濃化

例：有20千克濃度為15%的糖水，加糖多少千克後，濃度變為20%?

【口訣】

加糖先求水，水完求糖水。

糖水減糖水，求出便解題。

加糖先求水，原來含水為：20X(1-15%)=17(千克)

水完求糖水，含17千克水在20%濃度下應有多少糖水，17÷(1-20%)=21.25(千克)

糖水減糖水，後的糖水量再減去原來的糖水量，21.25-20=1.25(千克)

8、工程問題

例：一項工程，甲單獨做4天完成，乙單獨做6天完成。甲乙同時做2天後，由乙單獨做，幾天完成?

【口訣】

工程總量設為1，1除以時間就是工作效率。

單獨做時工作效率是自己的，一齊做時工作效率是眾人的效率和。

1減去已經做的便是沒有做的，沒有做的除以工作效率就是結果。

[1-(1÷6+1÷4)X2]÷(1÷6)=1(天)

9、植樹問題

【口訣】

植樹多少棵，要問路如何?

直的減去1，圓的是結果。

例1：在一條長為120米的馬路上植樹，間距為4米，植樹多少棵?

路是直的，則植樹為120÷4-1=29(棵)。

例2：在一條長為120米的圓形花壇邊植樹，間距為4米，植樹多少棵?

路是圓的，則植樹為120÷4=30(棵)

10、盈虧問題

【口訣】

全盈全虧，大的減去小的;一盈一虧，盈虧加在一起。

除以分配的差，結果就是分配的東西或者是人。

例1：小朋友分桃子，每人10個少9個;每人8個多7個。求有多少小朋友多少桃子?

一盈一虧，則公式為：(9+7)÷(10-8)=8(人)，相應桃子為8X10-9=71(個)

例2：士兵背子彈。每人45發則多680發;每人50發則多200發，多少士兵多少子彈?

全盈問題，則大的減去小的，即公式為：(680-200)÷(50-45)=96(人)，相應的子彈為96X50+200=5000(發)。

例3：學生發書。每人10本則差90本;每人8 本則差8本，多少學生多少書?

全虧問題，則大的減去小，即公式為：(90-8)÷(10-8)=41(人)，相應書為41X10-90=320(本)

11、余數問題

例：時鍾現在表示的時間是18點整，分針旋轉1990圈後是幾點鍾?

【口訣】

余數有(N-1)個，最小的是1，最大的是(N-1)。

周期性變化時，不要看商，只要看余。

分析：分針旋轉一圈是1小時，旋轉24圈就是時針轉1圈，也就是時針回到原位。1980÷24的余數是22，所以相當於分針向前旋轉22個圈，分針向前旋轉22個圈相當於時針向前走22個小時，時針向前走22小時，也相當於向後24-22=2個小時，即相當於時針向後拔了2小時。即時針相當於是18-2=16(點)

12、牛吃草問題

【口訣】

每牛每天的吃草量假設是份數1，A頭B天的吃草量算出是幾?M頭N天的吃草量又是幾?大的減去小的，除以二者對應的天數的差值，結果就是草的生長速率。原有的草量依此反推。

公式：A頭B天的吃草量減去B天乘以草的生長速率。未知吃草量的牛分為兩個部分：一小部分先吃新草，個數就是草的比率;有的草量除以剩餘的牛數就將需要的天數求知。

例：整個牧場上草長得一樣密，一樣快。27頭牛6天可以把草吃完;23頭牛9天也可以把草吃完。問21頭多少天把草吃完。

每牛每天的吃草量假設是1，則27頭牛6天的吃草量是27X6=162，23頭牛9天的吃草量是23X9=207;

大的減去小的，207-162=45;二者對應的天數的差值，是9-6=3(天)，則草的生長速率是45÷3=15(牛/天);

原有的草量依此反推——

公式：A頭B天的吃草量減去B天乘以草的生長速率。

原有的草量=27X6-6X15=72(牛/天)。

將未知吃草量的牛分為兩個部分：

一小部分先吃新草，個數就是草的比率，這就是說將要求的21頭牛分為兩部分，一部分15頭牛吃新生的草;剩下的21-15=6去吃原有的草，所求的天數為：

原有的草量÷分配剩下的牛=72÷6=12(天)

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2. 數形結合(柳卡圖一一解決復雜行程問題的利器)

破解復雜旅程：柳卡圖，行程問題的神奇解碼器

在歷史的某個輝煌瞬間，十九世紀的一場國際科學盛會上，法國數學界的巨星柳卡，以其獨特的洞察力，向世界拋出了一道看似簡單卻深奧無比的難題，堪稱「最困難」的挑戰。

難題揭示

每日午夜，一艘來自勒阿弗爾的輪船向著紐約進發，與此同時，紐約的船也在同一時刻返回勒阿弗爾。兩船航行七天七夜，問題的核心是：在某艘勒阿弗爾船抵達紐約前，它會在海上遇上多少艘來自紐約的輪船？

盡管問題表述清晰，但解決它的過程卻需要巧妙的邏輯和數學技巧。柳卡的解答策略獨具匠心，他運用了他的獨門秘籍——柳卡圖。

柳卡圖的魅力

柳卡圖，就像一把解開復雜行程問題的鑰匙。他繪制了兩條平行線，一條代表勒阿弗爾，一條代表紐約，每條線段代表船隻的航程。紅線描繪出勒阿弗爾出發的輪船軌跡，與其它線段的交點就標記了船隻相遇的瞬間。仔細觀察，你會發現這艘船在途中將遇到十五艘紐約來的輪船：第一艘在起航時相遇，最後一艘在抵達紐約時，中間的十三艘則是在海洋的交匯點。而且，每次相遇都在日中和子夜，時間彷彿凝固在了這幅畫中。

柳卡圖的妙處在於它巧妙地融合了數理與圖形，讓原本抽象的問題變得直觀易懂。通過數形結合，我們不僅能清晰地看到相遇次數，還能理解其中的規律。

繪制柳卡圖的步驟

要運用柳卡圖解決此類問題，首先需計算兩個運動物體完成一個完整行程所需的時間；接著，用一條線描繪出一個物體的往返路徑，用另一種顏色或線條來表示另一個物體的軌跡；最後，交匯點就是它們相遇的證據。如果時間跨度較長，可以先繪制一個周期，然後逐次分析。

柳卡圖，這把無形的解題鑰匙，不僅揭示了數學的美感，更將復雜的行程問題簡化為一幅生動的畫卷，讓每個問題都變得觸手可及。

3. 柳卡趣題介紹

在十九世紀的一次國際數學會議期間，法國數學家柳卡提出了一道困擾他很久的題目。問題的核心在於：某輪船公司每天中午都有一艘輪船從哈佛開往紐約，並且每天的同一時刻也有一艘輪船從紐約開往哈佛。輪船在途中所花的時間來去都是七晝夜，且都是勻速航行在同一條航線上。今天中午從哈佛開出的輪船，在開往紐約的航行過程中，將會遇到幾艘同一公司的輪船從對面開來？

這個題目看似復雜，實則簡單。由於輪船的往返時間相同，且都是勻速航行，這意味著從哈佛開出的輪船在到達紐約的時刻，恰好有另一艘從紐約開出的輪船到達哈佛。因此，從哈佛開出的輪船在前往紐約的過程中，只會遇到從紐約開出的輪船，數量為一天一次，即一次。

盡管柳卡的問題在當時數學家們中引起了一時的熱議，但事實上，這個問題的解答並不困難。柳卡趣題，作為一道數學難題，其解決方法的直觀性和趣味性，使得它成為了數學愛好者的經典案例。

柳卡趣題的解答過程，實際上涉及了基本的數學原理和邏輯推理。通過觀察問題的條件，我們可以發現，輪船在同一條航線上，且往返時間相同，意味著它們會在一定的時間點相遇。因此，對於從哈佛開出的輪船，在前往紐約的航行過程中，它只會遇到從紐約開出的輪船，數量為一次。

柳卡趣題的解答過程展示了數學問題的直觀性和趣味性，以及解題思維的重要性。通過分析問題的條件和邏輯關系，我們可以找到簡潔明了的解答方法，而不僅僅是依賴於復雜的計算或高級數學原理。

(3)什麼是柳卡解題方法擴展閱讀

法國數學家柳卡·施斗姆生於瑞士，因數學上的成就，於1836年當選為法國科學院院士。他對射影幾何與微分幾何都作出了重要貢獻。

4. 柳卡趣題圖表法

通過對解題游戲中相遇地點的記錄分析，我們發現了一晝夜內會有兩艘輪船從迎面開來的規律。假設每半天的航程為「1」，哈佛到紐約的全程則為1×2×7=14。由此，我們可以列出每隔半天相遇兩船的航程情況，如以下表格所示：

從表格中，我們可以清晰地了解到，從哈佛出發的輪船，在整個航程中，將會與15艘同一公司的輪船在對向相遇。

(4)什麼是柳卡解題方法擴展閱讀

法國數學家柳卡·施斗姆生於瑞士，因數學上的成就，於1836年當選為法國科學院院士。他對射影幾何與微分幾何都作出了重要貢獻。