A. 為什麼解析幾何問題可以用代數方法解決
你只要搞清楚解析幾何是如何建立的就行了
比如說，在平面上取一個點O（相當於原點），然後過O取兩條垂直的直線L1和L2（相當於坐標軸）
平面上的任何一點P都可以向L1和L2引垂線得到垂足P1和P2，那麼P點基本上由線段長度|OP1|=|PP2|和|OP2|=|PP1|確定，最多有四個點會得到相同的投影線段長度
為了唯一確定P，可以給OP1和OP2加上符號，先給L1和L2各自定一個方向，然後看OP1的方向與L1的方向是否一致來確定OP1的符號（相當於確定了P的橫坐標），同樣確定OP2的符號（縱坐標），這樣一來P的位置就唯一地由OP1和OP2的數值確定
至此平面上每個點都可以用上述投影的方式來和一對實數建立起一一對應關系，如果你把括弧里的話全都去掉那就是在平面幾何里反復做垂線的過程，不需要知道解析幾何的概念
再看求交點，用上述方式建立起對應關系之後滿足某些性質的點放到一起形成一個點集，一般來講曲線可由一個二元方程來刻畫，而一次或二次的曲線方程的建立都依賴於距離，和L1或L2平行的線段的距離沒什麼好說的，不平行的話可以用勾股定理轉化到前者（這樣建立了解析幾何里的距離公式），這樣一來即使在平面幾何里也可以直接建立起曲線方程
兩曲線的交點P必須滿足
1）若P在曲線C1上當且僅當OP1和OP2滿足C1對應的方程
2）若P在曲線C2上當且僅當OP1和OP2滿足C2對應的方程
所以方程組的聯立解唯一確定P的位置
反正解析幾何處理的問題就是用代數的方式去描述幾何，如果迴避掉解析幾何只要反復做垂線和平行線然後用平行線的性質以及勾股定理就行了，等到代數化之後代數的問題當然可以用代數學裡面的定理。事實上代數和幾何的界限本來就是人為的，並不是說兩者非常獨立
B. 在數學中為什麼要用代數的方法來研究幾何問題
歷史上把用代數研究幾何的方法稱為解析幾何。在歐幾里得幾何出現的幾百年後，各種非歐幾何開始出現，解析幾何就是非歐幾何的一種。在解析幾何中，數軸上的點、直角坐標繫上的點、多維坐標繫上的點可以分別表示實數、有序實數對和有序多維實數對。這樣整個幾何空間的點都可以用數來表示和衡量。這樣歐式幾何學的定理都可以通過向量的運算解決。降低了幾何證明的難度。