① 二維網格數值插值技術
大部分油氣藏的數據是散亂分布的，因此稱為散亂數據。散亂數據指的是在二維平面上或三維空間中，無規則的、隨機分布的數據。利用散亂數據建模就要對散亂數據進行插值或擬合。
設在二維平面上有n個點 （xi，yi） （i ＝1，…，n），並有Zi ＝f（xi，yi）。插值問題就是要構造一個連續的函數F （x，y），使其在 （xk，yk） （後＝1，…，n） 點的函數值為Zk，即Zk ＝f（xk，yk） （k＝1 ，…，n）。
早在20世紀60年代，散亂數據的插值問題就已引起人們的注意。近50年來，已經有多種演算法被提了出來。但是，由於應用問題千差萬別，數據量大小不同，對連續性的要求也不同等等，沒有一種演算法適用於所有的場合。而且大多數演算法只能適用於具有中、小規模數據量的散亂點插值問題。大規模散亂數據 （例如，10000個點以上） 的插值問題還正在研究之中。
據散亂數據的復雜程度，其可分為單自變數、雙自變數及多自變數3種類型。下面將主要討論雙自變數散亂數據的插值問題。
（一） 插值的一般概念
插值的概念最早可追溯到 「控制論之父」 諾伯特·維納的不朽著作 《平穩時間序列的外推、插值和光滑及其工程應用》 （Wiener，1949）。隨著計算機技術的發展，插值的概念已廣泛地應用於數據處理、自動控制、數值分析、地球物理及數學地質等領域。
1. 插值方法
計算機插值方法一般可分為兩大類：擬合函數方法和加權平均方法。它們的原理都是來自手工方法。Crain （1970） 把這兩種方法得到的曲面分別稱為數學曲面和數值曲面。Alfeld ＆ Barnhill （1984） 分別稱它們為分片方法和點方法，而Cuyt （1987） 則把這兩種方法分別稱為系數問題和數值問題。
利用擬合函數方法進行插值，就是利用二元多項式來表示一個插值曲面，插值問題化為確定這個二元多項式的系數的問題。一般來說，往往可通過求解一個線性代數方程組來獲取這些系數。這個方程組的系數可由觀測數據來確定，它們代表了觀測數據的影響，而其方程的次數則表示了控制多項式擬合程度。方程次數越高，擬合的程度就越高。當這個多項式的系數確定以後，將空間某一點處的坐標代入該多項式，即可求得該點處的值。
這個方法的特點是可以制服畸變的原始數據或帶有雜訊的原始數據。所以，用一個函數進行擬合是一個光滑的過程，一些局部的細節可能消失。所得的插值曲面的復雜程度取決於多項式的次數，即所求解的線性方程的數目。
加權平均插值方法把求插值的問題化為求取觀測數據的加權平均。每個觀測數據點對應的加權系數恰恰反映了該數據點對插值點的影響大小。為了求取一個插值，必須要計算出一組加權系數。
加權平均方法的一個主要優點是，可以獲取在觀測數據點附近變數的小尺度趨勢。而利用一個適當次數的多項式是無法獲取曲面的這種局部細節的。
從原則上講，這兩種方法的差別就在於：加權平均方法強調了曲面的局部細節，而擬合函數方法則概括了曲面的整體性質。從計算時間上看，前者花費的時間比後者要多得多。
2. 插值效果評判
從理論上講，一個插值方法的效果如何應通過插值結果和客觀存在的原始曲面的比較，按以下3條標准來進行判斷：
（1） 原始曲面和插值結果之間差異的最大值為最小。
（2） 原始曲面和插值結果之差的平方和為最小。
（3） 在每個觀測數據點處，插值結果本身的數值及其1階到k階導數和原始曲面的相等。
由於原始曲面本身是未知的，所以在以上3個標准中，第一個和第二個標準是無法檢驗的，僅有第三個標準是在一定的模型假設之下可以進行檢驗。在一些實際應用中，當原始曲面可用解析函數來表達時，僅利用第三個標准來檢驗插值的效果也是可行的。然而，在地質建模中，觀測數據點往往不夠多，且還有一定的觀測誤差，不可能斷定原始曲面是否可用解析函數表達。這時，插值技術的合理性必須從直觀的幾何和人們的經驗等方面進行評價。
利用計算機進行插值所遇到的困難，主要來自觀測數據點數目不足和觀測誤差。如果觀測數據充分多且精確，那麼幾乎所有的插值方法都會給出良好的效果。另一方面，對於圓形或狹長的隆起，凹陷和鞍點等變數的空間變化幾何特徵，在數據點分布較稀的情況下，用任何插值方法都是難以推斷出它們的存在的。所以，插值方法需要考慮曲面的局部斜率的影響。
下面主要介紹加權平均方法和擬合函數方法中最常用的插值演算法。這些演算法能解決大部分油氣藏建模問題。
（二） 與距離成反比的加權法
距離成反比加權插值方法是基於如下的模型：每個數據點都有局部影響，這個影響隨著數據點和插值點距離的增加而減弱，且在一定的范圍以外，可以忽略不計；這個影響是以該數據點為中心；而在任一點處的插值恰是各數據點影響之和。
1. 與距離成反比加權插值公式
這一方法首先是由氣象學及地質學工作者提出來的，後來由於D. Shepard的工作被稱為Shepard方法。其基本思想是將插值函數F （x，y）定義為各數據點函數值f i的加權平均，即：
油氣田開發地質學
在 （xk，yk） 點處函數值可寫成：
油氣田開發地質學
式中： 表示由第i個（xi，yi）點到插值點（xk，yk）的距離；Wi（xk，yk）——權函數；μ——功率因素，通過改變值來調整權函數與距離的關系，與距離成反比加權和與距離成平方反比加權分別是μ＝1和μ＝2時的特殊情形。
與距離成反比加權插值方法是最早使用的計算機插值方法，至今仍被廣泛地應用著。在大多數商業性的等值線圖繪制軟體包中被用來形成網格化數據。這種方法較為直觀：一個數據點對於插值點的影響模型化為與這兩點之間的距離成反比。
2. 與距離成反比加權插值改進
距離成反比加權演算法中的功率因素μ應該取為μ≥0，否則表明距離越遠的點作用越突出，這違背了普通常識。考慮以下最極端的情況是：
油氣田開發地質學
假設有n個數據點，一個插值點 （xk，yk） 位於第i個數據點附近，相應的權函數可寫成：
油氣田開發地質學
式中：dj （xk，yk），di （xk，yk）——插值點 （xk，yk）到各數據點的距離。
當插值點 （xk，yk） 和第i個數據點很靠近時，可以認為其他數據點對WD的影響是一個常數，即C為常數。當該插值點和第i個數據點的距離趨於零時，對於不同的μ，WD會有不同的性質。首先看WD對D的導數，有：
油氣田開發地質學
然後再有：
油氣田開發地質學
可見，當μ＝1時，隨著D趨於0，W′D近似為不隨D變化的常數，這可用圖6-8中左端的圖形來表示。
當μ>1時，隨著D趨於零，W′D趨於零。這說明在該數據點附近，加權系數的變化為零，即可用圖6-8中間的圖形來表示。
當μ<1時，隨著D趨於零，W′D趨於無窮大。這說明加權系數在該數據點附近還有一個尖點，如圖6-8右端的圖形所示。
圖6-8 與距離反比加權的權數隨參數μ的變化
（1）功率因素μ越小時，近距離點和遠距離點的作用越接近，生成的平面網格數據越平滑。隨著μ增大，平面網格數據的光滑性越差。同時，μ直接影響網格數據的極值和均值，μ越小網格數據的均值越接近原始數據的均值，但極值相差越大。因此，當要求插值結果盡可能接近原始數據的均值時，功率因素不能選擇過大。例如對於開發早期的油氣藏，因為僅有少數探井控制，此時網格化得到的各類物性參數應該在總體上符合井點的統計結果，均值是比極值更有價值的參數，因而通常將功率因素取為1。相反，μ取值越大，網格數據越能恢復原始數據的極值，但也容易使均值誤差增大。原因是當μ取較大的值時，近距離點的作用越突出，原始數據點分布的不均勻性使得部分點在網格節點上發揮了更大的作用，而另外一些點的作用則受到屏蔽。因此，當要求突出數據的局部特徵，體現儲層的非均質性特徵時，功率因素應選擇得大些，一般取為2。
（2） 利用與距離成反比加權法進行插值時，當增加、刪除或改變一個點時，權函數Wi （xk，yk） 均需重新計算，因而該方法是一個全局插值演算法。
為了克服Shepard方法的上述缺陷，Franke及Nielson提出了MQS （Modified QuadraticShepard） 方法，它仍然是一個與距離成反比的加權方法。對它的改進如下：
插值點 （xk，yk） 到已知數據點的距離di作適當修改，使其只能在局部范圍內起作用，以改變Shepard方法的全局插值性質。這時重新定義距離函數：
油氣田開發地質學
式中：rw為一個常數。而
油氣田開發地質學
因此，當 （xk，yk） 點與某一點的距離大於rw時，權值就為零。
（3） 與距離成反比加權法的權函數Wi（xk，yk）始終滿足Wi（xk，yk）≤1/n，因此插值結果不會大於或小於原始數據的最大值、最小值。當已知數據點過少時 （這種情況在早期地質研究中是最為常見），使用具有外推能力的曲面樣條或趨勢面分析，得到的結果往往背離實際。其原因是這兩種方法在遠點不具有控制能力，它將沿趨勢無限發展下去。特別是在僅有少數井資料可用的情況下，與距離成反比加權法應是優先選擇的方法。
但是，隱含在原始數據中的尖峰會被淹沒而無法顯示出來。因為距離成反比加權進行插值時，每個數據點所發揮的作用基本上是中心對稱的，因此對山脊和山谷等非各向同性的幾何形狀的顯示不利。為了克服這種狀況，需要考慮變數的局部變化趨勢，為此需要對梯度進行估計。
當已知數據點用與距離成反比加權方法形成數據插值曲面時，該曲面被稱數據曲面。與距離成反比加權方法也可用於各個數據點處的切平面，把任一點處的插值值取成各切平面在該點處取值的一個加權平均，所形成的曲面稱為與距離成反比加權梯度插值曲面，簡稱梯度曲面。如果在數據點以外的一個點是變數的局部高點，那麼梯度曲面在該點的值容易大於變數的真實值，即呈現 「過估計」 的狀態。如果數據曲面在該點的值小於變數的真實值，則呈現 「欠估計」 的狀態。因此，數據曲面可以通過和梯度曲面的相互結合來克服本身的缺陷。
可以用數據曲面和梯度曲面之差乘以一個系數作為一個修正量，對數據曲面進行修正，這樣，可以用下述的曲面來代替單純的數據曲面：
油氣田開發地質學
式中：L （x，y） ——距離反比加權插值；Wi——和第i個數據點的距離反比加權系數；τi——曲面在該點處的粗糙度指數；Si（x，y）——第i個數據點 （xi，yi） 處的切平面在點（x，y） 處的值；H（Wi，τi）——混合函數。
如此得到的曲面稱為混合曲面。它通過所有的數據點，具有連續的坡度，其變化在空間的分布更均勻。數據曲面和梯度曲面是混合曲面的兩種極端情況。由於數據曲面和梯度曲面之差在各數據點處為零，還因為混合函數的變化范圍為0～1，且當混合函數等於0或1時，其一階導數為零，故混合曲面和梯度曲面相切於各數據點處，且其高階導數在各數據點處亦為零。
（4） 與距離成反比加權法僅考慮了插值點與數據點之間距離的影響，沒有考慮到各數據點之間的關系，物性參數分布的趨勢性沒有得到充分的體現。為此，Franke及Nielson進行了改進。
用節點函數Qi （x，y） 代替fi，Qi （x，y） 是一個插值於 （xi，yi） 點的二次多項式，即有Qi （xi，yi） ＝f，i＝1，…，n。Qi可由下式表示：
Qi（x，y）＝fi＋a1（x-xi）＋a2（y-yi）＋a3（x-xi）2＋a4（x-xi）（y-yi）＋a5（y-yi）2
式中：a1，a2，…，a5是按下式最小二乘法得出的優化解：
油氣田開發地質學
式中：fi，fj分別為 （xi，yi）和 （xj，yj）點的函數值，而ρj可按下式選取：
油氣田開發地質學
其中rq為一常數，而
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求出Qi （x，y） 後，插值函數可表示為：
油氣田開發地質學
上述方法消除了Shepard方法中的一些缺陷，因而在散亂點插值中得到廣泛的應用。但是，為了求得Qi （x，y） （i＝1，…，n），需要多次求解線性方程組，計算量大，因此，一般只用於中、小規模散亂點的插值運算。
（三） 多項式趨勢面法
由計算機產生的曲面一般不會總是和原始的觀測數據一致。如果兩者的差別在給定的尺度之下不是很明顯，那麼產生的曲面可被認為是插值曲面，否則就被認為是近似曲面。如果觀測數據含有明顯的觀測誤差，近似曲面就顯得更合理。這時，和插值曲面相比，近似曲面由於數據的各種誤差所產生的擾動不太容易看得清，但是近似曲面空間變化的一些主要性質還是能清晰地被體現出來的。
近似曲面和每個數據點之間的差稱為殘差，可視為每一個數據點上的一種誤差表示。然而，計算出來的這種殘差是意味著對未知的觀測誤差的一種度量，還是意味著一種允許的插值誤差，或者意味兩者都是，這要依變數的空間性質和觀測數據的獲取方法而定。
確定近似曲面的方法可分為3種。第一種方法是以殘余的平方和最小為條件，確定多項式的系數，以獲取曲面。第二種方法是利用觀測數據誤差的附加信息，並滿足最小曲率的原則以確定曲面。最後一種方法是利用觀測誤差和插值誤差的附加信息，以滿足最小平方差或最小曲率為條件確定曲面。以下主要討論多項式構造趨勢面法。
多項式構造趨勢面是目前最常用的方法，一次多項式表示的趨勢面是空間的一個平面，二次趨勢面是拋物面，橢球面或雙曲面，三次及三次以上的趨勢面是形態復雜的空間曲面，隨著趨勢面的次數增高，曲面的形態就越復雜。
如果有一組總共n個觀測數據，其觀測點的平面坐標為 （xi，yi），地質變數的觀測值為fi（xi，yi）。對於這組觀測數據的多項式趨勢面方程表示成如下形式：
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式中： ——第i個觀測點的趨勢值；a1，a2，…，a5——待定系數，它們的個數m與所選用趨勢面方程的多項式次數n存在下列關系式：
m＝［n（n＋3）＋2］/2
為使趨勢面最大限度地逼近原始觀測數據，可採用最小二乘法使每個觀測點的觀測值與趨勢值之差 （殘差） 的平方和最小，即：
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得到需求解的m階正規方程組。當系數矩陣滿秩時，趨勢面方程也就被唯一確定了。
由於趨勢面分析不具有過點性，使得局部井點上誤差可能很大。同時參數場在三維空間中的分布過於復雜，無論從理論上還是實驗中都無法確證某類參數場能較好地符合某確定次數的曲面，多項式次數過高，會導致趨勢面發生頻繁振動，多項式次數過低，得到的趨勢面又過於光滑，喪失許多細節。再者，趨勢面方程在外推過程中容易使參數場發生畸變，產生無意義的結果。因而現代地質建模研究中已經很少將趨勢面分析單獨作為插值方法使用。但對於下列兩種情況趨勢面分析仍然能達到較為理想的效果，一是對小范圍內具有顯著趨勢性分布的數據點；二是數據點分布過於密集，而且可能存在若干異常數據點時，趨勢面分析會自動削弱異常數據點的影響。為提高趨勢面分析的精度，可採用殘差來校正趨勢面分析的結果。具體過程如下：
（1） 由趨勢面分析得到任一網格節點 （xk，yk）處的趨勢值
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（2）計算n個已知點 （xi，yi）處的殘差△fi（xi，yi）＝fi（xi，yi）
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（3） 調用某種插值方法將殘差分配到每個網格節點上，對網格節點 （xk，yk） 有△fk（xk，yk）；
（4） 網格節點 （xk，yk）經校正後的最終結果為
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yk）。特別地，如果殘差分配的插值演算法也是趨勢面分析，就形成所謂的多級趨勢面分析。此時，網格節點上的值是多次趨勢面分析的結果，多級趨勢面分析在不斷減少觀測點插值誤差的同時，整張參數場曲面仍然保持其連續性和光滑性，原因是該演算法同樣符合線性迭加原理。
（四） 徑向基函數插值法
徑向基函數的名字來源於這樣一種情況，即基函數是由單個變數的函數構成的。一個點 （x，y） 的這種基函數的形式往往是hk（x，y）＝h（dk），這里的dk表示由點 （x，y） 至第k個數據點的距離。一般說來，這種方法不具有多項式精度，但只要稍加改進，即可獲得具有多項式精度的插值公式：
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式中：qk（x，y）是一個多項式基，其階次小於m。
上式中的系數ak和bk應滿足下面的聯立方程組：
油氣田開發地質學
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第一式中的n個方程式滿足了插值要求，而第二式中的m個方程式則保證了多項式精度。兩式中共有m＋n個未知數，同時存在m＋n個方程式，聯立求解，即可得出待定系數。
下面，介紹兩種主要的徑向基函數插值法。
1. Multiquadric方法
Multiquadric方法是由R. L. Hardy在1971年提出來的。它是最早被提出並且應用得最為成功的一種徑向基函數插值法。它採用的插值函數，即 （x，y）處的值F （x，y）：
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式中： 為基函數；ei——非負常數；ai——加權系數，滿足如下方程組：
MVa＝Vz
式中：Va=(a1,a2,…,an)T,Vz=[f(x1,y1),f(x2,y2),…,f(xn,yn)]T,f(xi,yi)是(xi,yi)處的數據點的值。
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由於M和Vz都不依賴於插值點的坐標 （x，y），所以ai也不依賴於 （x，y）。然而，基函數C（X-Xi）則是以Xi為參數的 （x，y）的函數。所以說，插值曲面F（x，y）是n個基函數C（X-Xi）所構成的n個空間曲面配置而成的。
Arther提出了如下形式的基函數：C（d）＝1-d2/e2，其中d是數據點到插值點之間距離，而e則是一個常數。顯然，基函數C（d）是d的一個衰減函數。當d＝0時，C（d）取得最大值1，而當d≤e時，有0≤C（d）≤1。這時，基函數呈現為橢圓拋物面，而加權系數ai（i＝1，2，…，n）所滿足的線性代數方程組的矩陣M應作相應的改動，其對角線元素應改成1。Hardy（1971）引入如下的基函數：C（d）＝（d2＋e2）1/2，該基函數呈現為橢圓雙曲面。Hardy還建議將e2取成0.815乘以數據點間距離的平均值。
2. 薄板樣條法
樣條 （Spline）本來是繪圖員用來繪制光滑曲線的工具，是一種用木材或金屬等彈性材料做成的細條。在繪圖時，沿著通過圖紙各已知點的樣條，便可繪出一條光滑曲線。數學上所說的樣條 （多項式樣條） 實質上是分段多項式曲線的光滑連接。當函數為分段的m次多項式，在分段點上有直至m-1階連續導數，那麼該函數則稱為m次樣條函數，簡稱為樣條。一般來說，研究和應用得比較多的是三次樣條。零次和一次樣條函數分別是台階狀函數和折線狀函數。以上所述的是關於一維樣條函數，對於二維樣條函數也可作為類似的考慮。
樣條函數的主要功能是進行插值，其主要優點在於，能在插值多項式的次數盡可能低的條件下，使插值曲線或插值曲面取得較高的光滑度，且只需要利用函數本身的值，而不需要提供函數的各階導數的值。
三次樣條曲麵包含有三種不同的類型：雙三次樣條、偽三次樣條及薄片樣條。這些樣條曲面以m和s為其兩個參數，使得希氏空間Hs中元素的m階導數的范數所構成的一個泛函達到最小。此外，這個泛函具有旋轉不變性。
對於薄片樣條曲面，m＝2，s＝0。這一方法是由R.L. Harder及R. N. Desmarais在1972年提出來的，後來由J. Duchon及J. Meinguet等人予以發展。薄板樣條法得名於如下事實，即用此方法求出的散亂點的插值函數使下面這一泛函表達式具有最小值：
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在這里，I（F）表示受限於插值點的無限彈性薄板的彎曲能量。因此，這一方法的實質從力學觀點看是使插值函數所代表的彈性薄板受限於插值點，並且具有最小的彎曲能量。這是一個泛函求極值的問題。這一變分問題的解即為我們所需要的插值函數，具有徑向基函數插值法的一般形式。
R.L. Harder及R. N. Desmarais提出解析形式如下：
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且有 其中t（x，y）和ti（xi，yi）是二維空間中的點，而fi是ti處的觀測值。還有，K（ti，t） 這里，ri代表點t和ti之間的距離，
由解析表達式及其約束條件，可給出用以確定系數的線性代數方程組：
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其中，K=[kij]n×n,kij=K(ti,tj),kii=0,FT[f1,f2,…,fn],αT=[b,a1,a2],AT［λ1，λ2，…，λn］，且有：
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求解上述n＋3階方程組則得到待定系數b，a1，a2，λi，然後可插值出平面任一位置的函數值F（x，y）。
上述方程與Enriguez等人給出的方程相類似，其微小的差異就是基函數中的自然對數（In） 變成了常用對數 （lg）。
在構造薄片樣條曲面的過程中，Franke （1982）提出了以r2lgr作為基函數，Sandwell（1987）則提出了以雙調和格林函數r2（lgr-1）作為基函數。另外，Ayeni （1979）也對不同的基函數進行了討論。
使用平面上n個已知點進行曲面樣條插值時，實質上是求解一個n＋3階線性方程組以確定n＋3個系數。為了保證解的存在性和唯一性，系數矩陣應該是滿秩的。對下列3種情況必須避免：
（1） 在給定的n個已知點中存在著距離過近的兩點 （xi，yi） 與 （xj，yj） 極端的情形是同一個數據點的重復輸入，此時系數矩陣的第i行與第j行對應各元素非常接近，導致線性方程組的系數矩陣是奇異的。因此在數據預處理過程中必須消除沉余數據。
（2） 給定的已知數據點過少，此時系數矩陣的後3行線性相關，矩陣是不滿秩的。
（3） n個已知點數據分布在一條直線上，顯然由這樣的n個點不能唯一決定一張曲面，系數矩陣表現為不滿秩。
針對情況 （1），通常在做曲面樣條插值時，首先對數據進行預處理，通過給定一個適當的距離下限rmin來濾掉那些相距過近的點，研究發現rmin＝（△x＋△y）/8是一個較合理選擇 （△x和△y分別表示x和y方向的步長）。情況 （2） 和 （3） 實際上意味著不能進行曲面樣條插值，除非通過數據均整來改變數據分布狀態。
曲面樣條插值方法是一種嚴格的過點插值法，即由生成的樣條曲面必定通過給定的n個已知數據點，這樣井點數據的控製作用自然得到體現。同時，曲面樣條方法充分考慮了數據間的相對位置，其插值精度很高，在外推過程中，總是沿數據點的分布趨勢外推，因此曲面樣條法是具有一定外推能力的插值方法。同時曲面樣條方程得到的是一張連續光滑的曲面。
曲面樣條插值方法特別適合於地層層面的生成和地層厚度的插值。如果從曲面樣條法嚴格的過點性、良好的光滑性及外推性看，適用於那些光滑、趨勢性明顯、變化連續的儲層物性參數諸如油氣飽和度的插值。
曲面樣條法插值的精度很大程度上取決於數據點分布的均勻程度，稀疏區域主要由鄰近區域的外推得到，其插值結果可能偏差較大。同時，曲面樣條法的嚴格過點性使得它不能分別對待不同精度點的數據，因此它不具備數據的校正能力。
② 鏁板煎垎鏋1 鎷夋牸鏈楁棩鎻掑兼硶
鏁板煎垎鏋愭帰緔錛氭媺鏍兼湕鏃ユ彃鍊兼硶鐨勫ゥ縐
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