研究函數的三種思想方法

1. 七大數學思想方法

第一：函數與方程思想
（1）函數思想是對函數內容在更高層次上的抽象，概括與提煉，在研究方程、不等式、數列、解析幾何等其他內容時，起著重要作用
（2）方程思想是解決各類計算問題的基本思想，是運算能力的基礎
高考把函數與方程思想作為七種重要思想方法重點來考查

第二：數形結合思想：
（1）數學研究的對象是數量關系和空間形式，即數與形兩個方面
（2）在一維空間，實數與數軸上的點建立一一對應關系
在二維空間，實數對與坐標平面上的點建立一一對應關系
數形結合中，選擇、填空側重突出考查數到形的轉化，在解答題中，考慮推理論證嚴密性，突出形到數的轉化

第三：分類與整合思想
（1）分類是自然科學乃至社會科學研究中的基本邏輯方法
（2）從具體出發，選取適當的分類標准
（3）劃分只是手段，分類研究才是目的
（4） 有分有合，先分後合，是分類整合思想的本質屬性
（5） 含字母參數數學問題進行分類與整合的研究，重點考查學生思維嚴謹性與周密性

第四：化歸與轉化思想
（1）將復雜問題化歸為簡單問題，將較難問題化為較易問題，將未解決問題化歸為已解決問題
（2）靈活性、多樣性，無統一模式，利用動態思維，去尋找有利於問題解決的變換途徑與方法
（3）高考重視常用變換方法：一般與特殊的轉化、繁與簡的轉化、構造轉化、命題的等價轉化
第五： 特殊與一般思想
（1）通過對個例認識與研究，形成對事物的認識
（2）由淺入深，由現象到本質、由局部到整體、由實踐到理論
（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反復認識過程
（4） 構造特殊函數、特殊數列，尋找特殊點、確立特殊位置，利用特殊值、特殊方程
（5） 高考以新增內容為素材，突出考查特殊與一般思想必成為命題改革方向

第六：有限與無限的思想：
（1）把對無限的研究轉化為對有限的研究，是解決無限問題的必經之路
（2）積累的解決無限問題的經驗，將有限問題轉化為無限問題來解決是解決的方向
（3）立體幾何中求球的表面積與體積，採用分割的方法來解決，實際上是先進行有限次分割，再求和求極限，是典型的有限與無限數學思想的應用
（4）隨著高中課程改革，對新增內容考查深入，必將加強對有限與無限的考查

第七：或然與必然的思想：
（1）隨機現象兩個最基本的特徵，一是結果的隨機性，二是頻率的穩定性
（2）偶然中找必然，再用必然規律解決偶然
（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一個發生的概率、相互獨立事件同時發生的概率、獨立重復試驗、隨機事件的分布列、數學期望是考查的重點

2. 高中數學思想方法有哪幾種

一、特殊與一般思想（即特值法）
二、分類與整合思想
三、函數與方程思想
四、數形結合思想
五、化歸與轉化思想
六、或然與必然的思想
七、有限與無限的思想

3. 數學思想方法有哪些

1、函數與方程的思想：用變數和函數來思考問題的方法就是函數思想，函數思想是函數概念、圖象和性質等知識更高層次的提煉和概括，是在知識和方法反復學習中抽象出的帶有觀念的指導方法。

5、整體思想：從問題的整體性質出發，突出對問題的整體結構的分析和改造，發現問題的整體結構特徵，善於用「集成」的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯，進行有目的的、有意識的整體處理。

4. 研究一個函數的思路是怎樣的

研究一個函數的思路

1. 定義域【值域一般不急著考慮】，能否把解析式寫出來？即遇到隱函數，最好能顯化。
   2.函數的特性：單調性，奇偶性，周期性，是否有界。
   3.函數的駐點（一階導數為零的點），判斷極值；
   4.函數的拐點（二階導數為零的點），分析函數的凹凸性；
   5.分析函數是否有漸近線
   6.畫出草圖。

5. 總結函數性質及其研究方法

函數的定義
（1）傳統定義：如果在某個變化過程中有兩個變數x和y，並且對於x在某個范圍內的每一個確定的值，按照某個對應法則，y都有唯一確定的值和它對應，那麼把y叫做x的函數，x叫做自變數，和x的值對應的y的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域。y是x 的函數，可以記作y ＝f（x）（f表示對應法則）。
（2）近代定義：設A、B都是非空的數的集合，f是從A到B的一個對應法則，那麼A到B的映射f : A→B就叫做A到B的函數，記作y ＝f（x），其中x �8�3 A ,y�8�3B。原象的集合A叫做函數f（x）的定義域，象的集合C叫做函數f（x）的值域，顯然C�8�2 B。
注意
①由函數的近代定義可知，函數是數集間的映射。
②對應法則f是聯系x、y的紐帶，是函數的核心，常用一個解析式表示，但在不少問題中，對應法則f也可能不便用或不能用上個解析式來表示，而是採用其他方式（如數表或圖象等）。定義域（或原象集合）是自變數的取值范圍，它是函數的一個不可缺少的組成部分，它和對應法則是函數的兩個重要因素。定義域不同而解析式相同的函數，應看作是兩個不同的函數。
③f（a）與f（x）的涵義是不同的，f（a）表示自變數x＝a時所得的函數值，它是一個常量，而f（x）是x的函數，是表示對應關系的。
2、函數的性質
（1）函數的單調性
設y ＝f（x）是給定區間上的一個函數， 是給定區間上的任意兩個值，且x1<x2，如果都有f(x1)<f(x2)，則稱f（x）在這個區間上是增函數（也稱f（x）在這個區間上單調遞增）；如果都有f(x1)>f(x2)，則稱f（x）在這個區間上是減函數（也稱f（x）在這個區間上單調遞減）。
如果函數y ＝f（x）在某個區間上是增函數或減函數，就說f（x）在這一區間上具有（嚴格）單調性，這一區間叫做f（x）的單調區間。
（2）函數的奇偶性
①如果對於函數定義域內任意一個x，都有f（－x）＝－f（x），那麼函數f（x）就叫做奇函數。
②如果對於函數定義域內任意一個x，都有f（－x）＝f（x），那麼函數f（x）就叫做偶函數。
奇函數的圖象關於原點成中心對稱圖形；偶函數的圖象關於y軸成軸對稱圖形。
3、反函數
（1）逆映射：設f : A→B是集合A到集合B上的一一映射，如果對於B中的每一個元素b，使b在A的原象a和它對應；這樣所得的映射叫做映射f : A→B的逆映射，記作：f ^-1: A→B。
註：映射f : A→B也是映射f ^-1: A→B的逆映射，而且f ^-1: A→B 也是一一映射（從B到A上的一一映射）。
（2）如果確定函數y ＝f（x）的映射f : A→B是f（x）的定義域A到值域B上的一一映射，那麼這個映射的逆映射f ^-1: A→B所確定的函數x=f^-1(y)叫做函數y ＝f（x）的反函數。
函數y ＝f（x）的定義域、值域分別是函數x=f^-1(y)的值域、定義域。
函數y ＝f（x）的反函數，習慣上寫成y=f^-1(x)。
一般地，求函數y ＝f（x）的反函數的方法是先由y ＝f（x）解出x=f^-1(y)，然後把x=f^-1(y)改寫成y=f^-1(x)。
函數y ＝f（x）和其反函數y=f^-1(x)的圖象關於直線y＝x對稱。
三角函數的圖象和性質是平面三角的主體內容，它是代數中學過的函數的重要補充．本章復習的重點是進一步熟練和運用代數中已學過的研究函數的基本理論和方法，與三角變換配合由三角函數組成的較復雜函數的性質，在諸多性質中，三角函數的周期性和對應法則的「多對一」性，又是這里的特點所在，復習中不僅要注意知識、方法的綜合性，還要注意它們在數學、生產、生活中的應用．

周期函數和最小正周期是函數性質研究的新課題，不僅要了解它們的意義，明確周期函數，函數值的變化規律，還要掌握周期性的研究對周期函數性質研究的意義，並會求函數的周期，或者經過簡單的恆等變形可化為上述函數的三角函數的周期．

三角函數指的是，，，等函數，了解它們的圖象的特徵，會正確使用「五點法」作出它們的圖象，並依據圖象讀出它們的性質，是本章的基礎．對於性質的復習，不要平均使用力量，只要強調已學函數理論、方法的運用，強調數形結合的思想，而要把重點放在周期函數表達某些性質的規范要求上．例如，對於，怎麼表述它的遞增（減）區間，怎麼表述它取最大（小）值時的取值集合，怎麼由已知的函數值的取值范圍，寫出角的取值范圍來，等等．還可對性質作些延伸，例如，研究它們的無數條對稱軸的表示，無數個對稱中心的表示等等．

正弦型函數是這里研究的又一個重點，除了會用「五點法」畫出它的簡圖外，還要從圖象變換的角度認識它與的圖象的關系，對於三種基本的圖象變換（平移變換，伸縮變換，對稱變換）進一步進行復習和適當提交．

本章復習還要注意適當提交起點，注意把簡單的三角變換與有關函數的性質結合起來，注意把三角函數和代數函數組合起來的綜合性研究，注意在函數圖象和單位圓函數線這兩工具中的綜合，擇優使用．注意從數學或實際問題中概括出來的與正弦曲線有關的問題的研究，並注意立體幾何、復數、解析幾何等內容，對平面三角要求的必要准備的復習．

本章中數學思想最重要的是數形結合，另外換元的思想，等價變換和化歸的思想，以及綜合法、分析法、待定系數法等等，在復習中應有所體現．
反函數總是相對原函數而言的，原函數如果單調，反函數也單調（當然並不是單調性完全相同），原函數定義域就是反函數的值域，原函數的值域就是反函數的定義域。其他還有周期性，對稱性，都要針對原函數來考慮。
一次函數y=kx+b (k≠0) k>0,b>0,則圖象過1,2,3象限 k>0,b<0,則圖象過1,3,4象限 k<0,b>0,則圖象過1,2,4象限 k<0,b<0,則圖象過2,3,4象限當k>0時，y隨x的增大而增大；圖像經過一、三象限當k<0時，y隨x的增大而減小；圖像經過二、四象限

6. 中學數學中四種重要思想方法

一、函數方程思想

函數方程思想就是用函數、方程的觀點和方法處理變數或未知數之間的關系，從而解決問題的一種思維方式，是很重要的數學思想。

1.函數思想：把某變化過程中的一些相互制約的變數用函數關系表達出來，並研究這些量間的相互制約關系，最後解決問題，這就是函數思想；

2.應用函數思想解題，確立變數之間的函數關系是一關鍵步驟，大體可分為下面兩個步驟：（1）根據題意建立變數之間的函數關系式，把問題轉化為相應的函數問題；（2）根據需要構造函數，利用函數的相關知識解決問題；（3）方程思想：在某變化過程中，往往需要根據一些要求，確定某些變數的值，這時常常列出這些變數的方程或（方程組），通過解方程（或方程組）求出它們，這就是方程思想；

3.函數與方程是兩個有著密切聯系的數學概念，它們之間相互滲透，很多方程的問題需要用函數的知識和方法解決，很多函數的問題也需要用方程的方法的支援，函數與方程之間的辯證關系，形成了函數方程思想。

二、數形結合思想

數形結合是中學數學中四種重要思想方法之一，對於所研究的代數問題，有時可研究其對應幾何的性質使問題得以解決（以形助數）；或者對於所研究的幾何問題，可藉助於對應圖形的數量關系使問題得以解決（以數助形），這種解決問題的方法稱之為數形結合。

1.數形結合與數形轉化的目的是為了發揮形的生動性和直觀性，發揮數的思路的規范性與嚴密性，兩者相輔相成，揚長避短。

2.恩格斯是這樣來定義數學的：「數學是研究現實世界的量的關系與空間形式的科學」。這就是說：數形結合是數學的本質特徵，宇宙間萬事萬物無不是數和形的和諧的統一。因此，數學學習中突出數形結合思想正是充分把握住了數學的精髓和靈魂。

3.數形結合的本質是：幾何圖形的性質反映了數量關系，數量關系決定了幾何圖形的性質。

4.華羅庚先生曾指出：「數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔裂分家萬事非。」數形結合作為一種數學思想方法的應用大致分為兩種情形：或藉助於數的精確性來闡明形的某些屬性,或者藉助於形的幾何直觀性來闡明數之間的某種關系.

5.把數作為手段的數形結合主要體現在解析幾何中，歷年高考的解答題都有關於這個方面的考查（即用代數方法研究幾何問題）。而以形為手段的數形結合在高考客觀題中體現。

6.我們要抓住以下幾點數形結合的解題要領：

(1) 對於研究距離、角或面積的問題，可直接從幾何圖形入手進行求解即可；

(2) 對於研究函數、方程或不等式（最值）的問題，可通過函數的圖象求解（函數的零點，頂點是關鍵點），作好知識的遷移與綜合運用；

(3) 對於以下類型的問題需要注意：可分別通過構造距離函數、斜率函數、截距函數、單位圓x2+y2=1上的點及餘弦定理進行轉化達到解題目的。

三、分類討論的數學思想

分類討論是一種重要的數學思想方法，當問題的對象不能進行統一研究時，就需要對研究的對象進行分類，然後對每一類分別研究，給出每一類的結果，最終綜合各類結果得到整個問題的解答。

1.有關分類討論的數學問題需要運用分類討論思想來解決，引起分類討論的原因大致可歸納為如下幾種：

（1）涉及的數學概念是分類討論的；

（2）運用的數學定理、公式、或運算性質、法則是分類給出的；

（3）求解的數學問題的結論有多種情況或多種可能性；

（4）數學問題中含有參變數，這些參變數的不同取值導致不同的結果的；

（5）較復雜或非常規的數學問題，需要採取分類討論的解題策略來解決的。

2.分類討論是一種邏輯方法，在中學數學中有極廣泛的應用。根據不同標准可以有不同的分類方法，但分類必須從同一標准出發，做到不重復，不遺漏，包含各種情況，同時要有利於問題研究。

四、化歸與轉化思想

所謂化歸思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時採用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決的一種方法。一般總是將復雜的問題通過變化轉化為簡單的問題，將難解問題通過變換轉化為容易求解的問題，將未解決的問題轉化為已解決的問題。