❶ 數值模擬技術簡介
（一）研究現狀
地下多相、多組分流體運移數值模擬是在質量和能量守恆的基礎上，建立的多相流體運動以及反映地球化學運移擴散的數學模型，通過離散建立大量的線形或非線形方程組，然後利用計算機計算求解，再通過圖像顯示模擬結果，達到對工程問題和物理問題乃至相關其他問題研究的目的。CO2地質封存數值模擬就是利用計算機模擬的方法，來解決CO2進入地質封存系統後運移、轉化、水-岩-氣之間的相互反應、CO2泄漏對淺部含水層影響及誘發的儲蓋層物性變化等一系列問題，從而指導CO2地質封存工程的實施。
目前，國內外已開展的關於CO2地質封存數值模擬的研究工作包括以下幾個方面：
1.超臨界CO2-水多相流體運動模擬
Pruess等（2003）模擬了均質各向同性鹹水含水層中以恆定流量灌注CO2條件下，灌注井井周非等溫徑向流情況。當忽略重力和慣性力效應時，模擬結果中存在相似變數ζ＝R2/t（其中，R為徑向流動距離，t為時間），CO2飽和度、溶解CO2質量分數、沉澱鹽的體積分數及流體壓力都是相似變數的函數。這與O' Sullivan（1981）及Doughty和Pruess（1992）的結果一致。兩相流的模擬考慮了CO2和水的相對滲透率及毛細管力作用問題（Van Genuchten，1980），考慮了流體密度、黏度和CO2溶解性隨壓力、溫度和含鹽度的變化，以及鹽的沉澱導致含水層滲透率的減小等因素。
Doughty和Pruess（2004）利用Fro鹹水含水層封存CO2監測資料，反推了CO2灌注後發生的物理和化學過程。他們採用TOUGH2數值模擬軟體對兩相（液、氣）三組分（CO2、水和溶解NaCl）系統進行模擬。考慮15MPa和65℃條件下，超臨界CO2在鹹水中為非混溶流體，並能部分溶解於鹹水的情況，分析了多相流系統邊界設定的影響及相對滲透率取值問題，即模擬中對側向邊界的設置為均開（或均閉），結果導致壓力的模擬結果與實際相比過低（或過高）。研究表明，由於上覆斷層對CO2的封堵作用，側向邊界對CO2彌散羽的影響不大。模擬結果還顯示，相對滲透率函數對CO2彌散羽的演化有很強的影響。如何確定一個合適的相對滲透率以表徵CO2灌注鹹水含水層的變化，仍是亟待解決的問題。Doughty和Pruess模擬了兩種CO2殘余飽和度條件下的CO2羽擴展隨時間的變化，發現存在較大差異。殘余飽和度較大的情況下，CO2羽表現出緊縮狀，在浮力作用下運移較慢；相反，在殘余飽和度較小的情況下，CO2羽流彌散很快，溶解性顯著提高。
2.多組分反應地球化學運移模擬
水-砂岩-CO2相互作用往往形成一系列次生礦物，或次生礦物組合。Worden et al.（2006）通過岩石學和CO2灌注長石砂岩的地球化學模擬表明，北海Magnus油田上侏羅統濁積亞長石砂岩中的鐵白雲石、高嶺石和石英可能具有成因聯系。其中，鐵白雲石中的碳來自有機成因的CO2。Watson et al.（2004）通過CO2氣與CH4氣儲集砂岩的比較岩石學研究，證實澳大利亞Otway盆地Ladbroke Grove CO2氣儲集砂岩中與CO2氣灌注有關的次生礦物組合為鐵白雲石-高嶺石-次生石英。
Xu et al.（2005）利用一維砂岩-頁岩系統模型模擬了儲層中灌注的CO2與礦物發生的化學反應過程，以及對儲層環境的影響。模擬顯示，在砂岩環境下，CO2主要被方解石所固定，而方解石的沉澱導致孔隙度減小，進而導致滲透率相應減小。10萬年間，砂岩封存能力達到90kg/m3的封存能力，這些被礦物固定下來的CO2可以永久封存。Zwingmann等運用地球化學模擬軟體EQ3/6進行的水-礦物-CO2相互作用模擬也表明，若將CO2灌注到日本本州島中北部新潟盆地更新世灰爪組砂岩，CO2以溶於水和形成碳酸鹽礦物兩種形式封存，其中後者封存量最大為21.3mol/kgH2O，可達總封存量的90％，形成的碳酸鹽礦物中也出現了片鈉鋁石。
3.耦合岩石力學模擬
從目前發表的論文及各國研究計劃的綜合報告上看，在CO2鹹水含水層封存研究方面，對於CO2運移機制的分析和模擬很少考慮應力場的耦合作用。事實上，CO2灌注壓力和超臨界CO2的浮力作用將改變地層應力狀態，即CO2在上浮運移和側向擴散過程中，孔隙壓力可能會對原始裂隙和斷裂產生影響；CO2在鹹水含水層中的長時期（千年級尺度以上）的封存，將改變含水層的地球化學狀態，CO2-鹹水-含水層礦物的化學作用將可能導致岩體力學和水力學性質發生變化。
日本因位於4大板塊交界處與環太平洋構造帶中，活斷層密集發育，地震頻繁，地應力分布復雜，在CO2地質封存評價方面，非常重視CO2地質封存的力學穩定性研究（李琦等，2002；李小春等，2003）。李琦等（2002；2004；2006）提出了一個考慮初始地應力場、灌注壓力、CO2浮力及含熱傳導作用的熱-水-力（THM）耦合模擬框架，考慮蓋層底部附近存在不同傾角斷層的二維平面應變地質封存問題。採用有限元演算法，對灌注CO2流體對斷層穩定性的影響進行模擬分析。計算結果表明，為了避免斷層位移需要特別注意對灌注壓力的控制，因為CO2灌注壓力對斷層滑動的影響遠大於CO2羽流浮力帶來的影響。停止灌注CO2後，CO2羽流的上升則成為應力場擾動的主要因素。
（二）主要軟體介紹
近年來，計算機模擬技術在許多研究領域得到了廣泛的應用，開發出了許多優秀的模擬軟體和程序。同樣，可用於研究CO2地質封存的數值模擬軟體也很多，主要有PHREEQC、GEM、ECLIPSE、TOUGHREACT、PetroMod、MUFTE-UG和NUFT等，它們都有各自的特點和適用性。在進行數值模擬之前，需對這些數值模擬軟體進行評價分析，選擇適用於所研究問題的模擬軟體。現對國際上常用的幾款軟體簡介如下。
1.PHREEQC
PHREEQC是一款用於計算多種低溫水文地球化學反應的計算機軟體。以離子締合水模型為基礎，PHREEQC可完成以下任務：(1)計算物質形成種類與礦物的溶解飽和指數；(2)模擬地球化學反演過程；(3)計算批反應與一維運移反應。另外，與多組分溶質-運移模型耦合的PHREEQC可生成PHAST，一個用於模擬地下水流系統的三維反應-運移模擬器。但由於PHREEQC是在單相水流的基礎上建立的模型，因而不能模擬超臨界CO2-水的兩相流運動。
PHREEQC最簡單的應用就是計算溶液中各種化學物質的分布，以及溶液中礦物與氣體的飽和狀態。反演模擬功能可推導和量化在流動過程中，能夠反應化學物質變化的化學反應方程。PHREEQC可處理的反應方程包括建立礦物、表面配合物、陽離子交換劑、土壤溶液、氣體組分單位分壓、給定壓力或給定體積氣相間平衡的物質運移反應。在模擬這些均衡反應的同時，PHREEQC還可以模擬動力化學與生物反應，以及模擬從簡單的線性衰變（代謝物降解或放射性衰變）到復雜的依賴於溶液化學組成和微生物數量確定的反應速度。這些反應處理功能可在批反應模擬或一維對流、彌散、反應型運移模擬中使用。
2.GEM
GEM v.2009.13（Nghiem et al.，2004）是一款用來模擬利用CO2和酸性氣體提高石油採收率的模擬器，該模擬器完全耦合了地球化學組成狀態方程。GEM採用一步求解法進行狀態方程的求解。GEM可以用來模擬：對流和彌散流體、油（或超臨界CO2）、氣和鹹水間的平衡、水相物種間的化學平衡，以及礦物的動態溶解和沉澱。該模擬器採用自適應的隱式離散技術利用一維、二維或者三維模型來模擬孔隙介質中溶質的運移。油相和氣相用一個狀態方程來模擬，氣體在水相的溶解度採用亨利定律模型來計算。水通過蒸發進入到氣相、蓋層的穿透、熱效應和裂隙的封閉作用也可以利用GEM來模擬。
3.ECLIPSE
ECLIPSE是一個並行化的可以模擬黑油、組分、熱采等問題的成熟軟體。1994年，勝利石油管理局引進了ECLIPSE油藏數值模擬串列軟體，廣泛開展了從油藏到氣藏，從常用油田到特殊油氣田、從常規模擬研究到特殊模擬研究等多方面的應用。主要模塊有主模型、黑油、組分、熱采、流線法、運行平台和ECLIPSE Office等。
ECLIPSE是一個商業軟體，在使用中其內核部分是封閉的，使用者只能將其作為一個「黑箱」來操作。其不足之處有：不可能免費的獲得和隨意地使用和修改；無法耦合最前沿的地質流體熱力學模型；無法加入更多影響因素來研究具體問題。因此，ECLIPSE不適宜用於前沿科學研究。
4.TOUGH2/TOUGHREACT
TOUGH2是Transport of Unsaturated Groundwater and Heat（非飽和地下水流及熱流傳輸）的英文縮寫，是一個模擬一維、二維和三維孔隙或裂隙介質中，多相流、多組分及非等溫的水流及熱量運移的數值模擬程序。TOUGH2使用積分有限差分（Integral Finite Differences，IFD）（圖3-8）的方法來解決多相流動和多組分化學運移模擬中的空間離散化問題（Pruess et al.，1999s；Xu et al.，2004）。為了滿足大規模計算需要，Zhang et al.（2008）開發了TOUGH2的平行計算版本，即TOUGH2-MP。
該方法在對地質介質的離散化上是比較靈活的，允許使用不規則的網格，十分適合對多區域非均質系統和裂隙岩石系統中流體流動、運移和水岩相互作用的模擬。而對於規則的網格剖分，積分有限差分方法相當於傳統的有限差分法。其中，對於任意區域Vn，它的質量（對於水、氣體和其他化學組分）和能量（對於熱）守恆方程可以用積分的方式（式3-5）表達：
圖3-8 積分有限差分法中的空間離散化和幾何參數數據構成圖
中國二氧化碳地質封存選址指南研究
式中：下角標n為表示一個單元格；下角標m為表示和單元格n互相連接的網格m；Δt為時間步長；Mn為單元格n的平均質量或能量密度；Anm為單元網格n和m交界的面段；Fnm為通過面積為Anm的質量或能量通量；qn為單元格n內單位體積的平均源匯率。
許天福等（1998）在TOUGH2的框架基礎之上，增加了多組分溶質運移和地球化學反應的模擬功能，形成了一套較為完善的可變飽和地質介質中非等溫多相流體反應地球化學運移模擬軟體——TOUGHREACT。該軟體不僅包括了TOUGH2的全部功能，而且適用於不同溫度、壓力、水飽和度、離子強度、pH值和氧化還原電位（Eh）等水文地質和地球化學條件下的熱-物理-化學過程。還可以應用於一維、二維或三維非均質（物理和化學的）孔隙或裂隙介質中的相關數值模擬研究。在理論上可以容納任意數量的以固相、液相或氣相存在的化學組分（但是在實際模擬中會受到計算能力和計算時間等硬體條件的限制），並且考慮了一系列化學平衡反應，如溶液中的配合反應、氣體的溶解或脫溶、離子吸附作用、陽離子交換及受平衡控制或反應動力學控制的礦物溶解或沉澱反應等。可以說TOUGHREACT、是TOUGH2的升級版，近年來在世界范圍內CO2地質封存研究和工程實踐中得到了廣泛的應用。
除包含TOUGH2所有的功能外，TOUGHREACT還可以應用於一系列的反應性流體和地球化學遷移問題。比如：(1)伴隨Kd線性吸附和放射性衰變的污染物遷移問題；(2)在周圍環境條件下，自然界中地下水的化學演變；(3)核廢料處置地點評估；(4)深部岩層的沉積成岩作用；(5)CO2地質處置。多相流體運動，多組分反應地球化學，各種封存形式封存量以及隨時間空間變化；(6)礦物沉積（如表生銅礦富集）；(7)自然和補給環境下熱水系統中的礦物變化。
通過最近幾年相關研究者的不懈努力，TOUGHREACT在實際應用中得到了進一步完善和提高，增加了部分新功能，如水相內部反應動力學和生物降解作用，改進了礦物-水反應表面積計算方法，以及氣-水反應中氣的活度系數的修正等。
5.PetroMod
由德國IES（Integrated Exploration System）公司研究開發的PetroMod多組分、多相態的多維含油氣系統模擬軟體綜合平台已被世界石油業所公認。該軟體融入了斷層活動性、鹽丘上涌和刺穿、火山岩的侵入、氣體擴散效應、油氣水三相運移和油氣吸附模型等相關技術。
該模擬軟體平台推出和採用的油氣運移組合模擬演算法（Hybird）是當今最先進的油氣運移模擬演算法，既可以保證模擬的精度，又可以極大地提高模擬的運算速度。其中的PetroFlow3D用於油氣運移、聚集、圈閉和散失等情況的模擬，同時PetroCharge Express為我們提供了基於圖件的油氣運移和圈閉模擬的快速分析工具。
6.MUFTE-UG
MUFTE-UG是MUFTE和UG.MUFTE的結合。MUFTE即多相流（Muliphase Flow）、運移（Transport）和能量（Energy）模型。該軟體包主要包括物理模型概念和孔隙裂隙介質中等溫和非等溫多相多組分流動和運移過程的離散方法（Helmig，1997；Helmig et al.，1998）。它能對裂隙孔隙介質進行離散性描述（Dietrich et al.，2005）。UG是非結構性網格（Unstructured Grid）的縮寫，它提供的數據結構能快速解算以平行、自適應多網格法為基礎的離散型偏微分方程。具有模塊化結構的MUFTE-UG很容易解決各種有特殊要求的問題。
模塊化結構的MUFTE-UG具有許多不同的環境與技術應用。例如，在環境應用領域，MUFTE-UG能夠模擬如下兩個問題。
（1）NAPL（非液相流體）向飽和與非飽和土壤的滲流。優化改進的修復技術在MUFTE中具有廣泛的研究和發展空間。
（2）地下CO2的消散。CO2以高溫高壓灌注地表以下幾百米的地層中，MUFTE-UG可用於非均質含水層（對流和彌散運移）中羽狀體演化評價，伴隨溫度效應（由於膨脹和壓縮）和組分間相互溶解（鹵水和CO2）。
7.NUFT
NUFT（Nonisothermal Unsaturated-Saturated Flowand Transport model）是一套用來解決在多孔介質中多相、多組分非等溫流動和溶質運移過程中地下污染物運移的數值解法器。此軟體利用簡單的代碼來利用通用的實用程序和輸入文件的格式。最近，此代碼在Unix和DOS系統下運行成功。
該程序利用一套完整的有限差分空間離散法求解平衡方程組。每一個時間步長內利用Newton-Raphson方法求解非線性方程組，而在每一步迭代過程中利用直接解法和預共軛梯度法求解線性方程組。該模型可以解決一、二和三維水流及溶質運移問題。將來該模型會耦合進毛細滯後、非正交網格離散、有限單元剖分和固體非線性等溫吸附等功能。
（三）研究方法
通常情況下，CO2地質封存數值模擬包括以下主要過程。
（1）建立概念模型：根據各種方法獲取的實際資料來概化和建立CO2地質封存概念模型，包括邊界范圍、地層或儲蓋層高程、儲蓋層確定、參數及分區、源匯項、主要物理化學過程以及模型維度（一維、二維和三維）。
（2）建立數學模型：建立一套描述深部鹹水層中多相流動和多組分反應性溶質運移的偏微分方程組，包括初始條件和邊界條件問題。
（3）模型離散化：把概念模型中的各種信息通過網格剖分進行離散，形成大量的網格單元，然後通過有限差分、有限單元和積分有限差分等方法轉化成單元的質量和能量守恆方程組，再用多種方法將非線性方程組線性化，形成線性代數方程組，然後求解方程組。
（4）模型識別和校正：根據模型計算結果和實際監測數據進行對比擬合，適度合理調整參數，使模型能夠綜合反映實際情況。在歷史擬合過程中出現較大誤差，應重新檢查概念模型，修正概念模型。對所建模型進行參數敏感性分析，對於較敏感的參數應該慎重選取，甚至需要做大量的試驗來確定。
（5）模型預測：建立了可靠的模型後，便可以進行模擬預測。
數值模擬的關鍵是地質模型概化、計算精度和計算速度。由於計算的精度取決於離散的程度，而離散的程度又決定了計算的速度，這是一對矛盾，要根據解決問題的需要來選擇離散化的程度和計算速度。
CO2在儲層中的運移、溶解以及與圍岩的化學反應形成了一個多相、多組分的反應體系，涉及的主要數學方程有超臨界CO2-水的兩相流體運動控制方程、溶質運移控制方程和化學反應方程等。建立數值模型時，通常採用有限差分法、有限元法和積分有限差分法等。
由於實際應用時多採用已有的數值模擬軟體對CO2地質封存的某一過程進行模擬，不涉及軟體的開發及程序代碼的編寫，只需根據研究的需要選擇合適的軟體進行模擬預測，而軟體一旦選定，數學模型和數值模型基本上已經確定。
❷ 裂紋尖端的應力強度因子及裂紋擴展判據
一、應力強度因子KⅠ與KⅡ的計算
斷裂力學認為當裂紋尖端的應力強度因子達到材料的斷裂韌性時，裂紋就擴展，否則裂紋就不擴展或停止擴展。因此，在利用斷裂力學來研究裂紋的擴展問題時，應力強度因子的精確計算是至關重要的。
考慮Ⅰ、Ⅱ型混合裂紋的擴展問題，裂紋尖端的應力場和位移場分別為（范天佑，2003）
岩石斷裂與損傷
式中：G為剪切模量；對於平面應力問題k=（3-ν）/（1+ν），對於平面應變問題k=1-4ν，ν為泊松比；KⅠ和KⅡ分別為Ⅰ型和Ⅱ型裂紋尖端的應力強度因子。
下面綜合利用數值流形方法與奇異邊界元法模擬裂紋擴展（Zhang G X et al.，1999），其中應力場和位移場通過二階流形元方法計算，裂紋尖端的應力強度因子通過奇異邊界元計算。具體計算步驟為：
（1）利用二階流形元方法求出如圖12-4（a）所示的含有不連續面的結構的應力和位移。
（2）限定一個至少包含一條裂紋的一個子區域作為問題分析的對象，利用奇異邊界元法來求解。把利用二階流形元法求出的沿子區域邊界上的位移作為約束條件，並考慮裂紋面上的無拉力條件，如圖12-4（b）所示。
（3）計算出裂紋尖端的應力強度因子，判斷裂紋是否擴展，如果裂紋擴展則應更新物理網格和數學網格重新計算。
（4）對下一個這樣的子區域進行以上計算。
應力強度因子的計算方法：對於含有一條裂紋的子區域如圖12-4（b）所示，把利用數值流形方法求出的邊界位移u-（η）、v-（η）作為其已知的邊界位移，這就成了一個邊值問題，可採用間接邊界元方法來求解。為了形成邊界積分方程，需要對下面兩類問題的基本解進行討論。應力強度因子的計算方法：對於含有一條裂紋的子區域如圖12-4（b）所示，把利用數值流形方法求出的邊界位移u-（η）、v-（η）作為其已知的邊界位移，這就成了一個邊值問題，可採用間接邊界元方法來求解。為了形成邊界積分方程，需要對下面兩類問題的基本解進行討論。應力強度因子的計算方法：對於含有一條裂紋的子區域如圖12-4（b）所示，把利用數值流形方法求出的邊界位移u-（η）、v-（η）作為其已知的邊界位移，這就成了一個邊值問題，可採用間接邊界元方法來求解。為了形成邊界積分方程，需要對下面兩類問題的基本解進行討論。應力強度因子的計算方法：對於含有一條裂紋的子區域如圖12-4（b）所示，把利用數值流形方法求出的邊界位移u-（η）、v-（η）作為其已知的邊界位移，這就成了一個邊值問題，可採用間接邊界元方法來求解。為了形成邊界積分方程，需要對下面兩類問題的基本解進行討論。
圖12-4 裂紋尖端的應力強度因子求解示意圖
1.無限域內的靜力學基本解
假設一點載荷作用於復合平面內的一點z=s，如圖12-5所示。在與X方向成α角的x1 y1坐標系內一點z處的應力和位移可由Kelvin基本解求得
岩石斷裂與損傷
其中：G為剪切模量，對於平面應變問題κ=3-4ν，平面應力問題κ=（3-ν）/1+ν。
圖12-5 點載荷作用的無限域平面
圖12-6 點載荷作用的帶裂紋無限域平面
2.點載荷作用於裂紋表面時的基本解
為了確定裂紋尖端的奇異性，應該採用具有奇異性的基本解。對於一個含有長度為2a的裂紋的無限域問題，當在裂紋表面z=s處受到一對力P=Fy-iFx作用時，如圖12-6所示，在x1-y1坐標系內一點z處的應力和位移可通過求解Cauchy問題求得
岩石斷裂與損傷
其中：
岩石斷裂與損傷
3.邊界積分方程
對於如圖12-4（b）所示的子區域，假定有一個分布的虛擬力Q（s）作用於邊界Γ，和一個虛擬力P（s）作用於裂紋表面。那麼在該子區域中z點的應力和位移可以通過積分方程式（12-5）和式（12-6）來確定：
岩石斷裂與損傷
假設由數值流形方法計算出來的作用於邊界Γ上的位移為：，其中，（η）和分別為邊界Γ上η點的法向和切向位移。假設式（12-7）中的點z趨向於邊界Γ上的η點，即：，這樣就可以得到一個在邊界Γ上滿足已知位移的積分方程：
岩石斷裂與損傷
岩石斷裂與損傷
另外一個積分方程可以通過使用裂紋邊界條件來獲得。根據不同形式的裂紋擴展模式，該方程的形式也相應不同。
對於Ⅰ型和張-剪型裂紋問題，在裂紋表面的法向和切向方向都應該滿足無拉力條件。採用類似於式（12-10a）中的方法，通過假定式（12-9）中的點z趨向於裂紋表面上的點ξ，並假定裂紋表面上的法向應力和切應力均為零，又可以得到如下的積分方程：
岩石斷裂與損傷
對於閉-剪型裂紋問題，裂紋上下表面上的法向位移應該是相同的，而且在切向方向上還應該滿足無拉力的自由邊界條件：
岩石斷裂與損傷
其中：。
利用邊界元法求解方程式（12-10）即可得到Q（s）和P（s）。裂紋尖端的應力強度因子KⅠ和KⅡ即可通過式（12-11）求得
岩石斷裂與損傷
在利用通常的數值分析方法如有限元方法來計算裂紋尖端的應力強度因子時，為了捕捉裂紋尖端的奇異性，通常需要加密裂紋尖端的網格劃分。而對於本節中所採用的方法，由於奇異面積已經被限制在裂紋尖端附近的一個很小的區域內，並且它對遠區域內的應力和位移的影響都是很小的。同時該方法中的應力和位移首先是利用二階數值流形方法求得，並且在遠離裂紋尖端處其精度也可以得到保證。利用已經求出的應力和位移，根據奇異邊界元方法就可以求出裂紋尖端的應力強度因子，即使在裂紋尖端處採用較粗的計算網格，利用這種方法也能求得精確很高的應力強度因子。
二、裂紋擴展判據
平面問題中的裂紋體受到外載作用之後裂紋面有張開和閉合兩種情況出現。無論裂紋面張開或閉合，只要裂紋面上的點有相對位移，裂紋尖端就有應力集中現象出現，這時裂紋體的破壞就不能用傳統的強度理論准則來判斷，而必須採用相應的斷裂力學准則來考慮。
實際物體中的裂紋類型往往不是單一性的，通常在裂紋尖端附近可能同時存在著Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型的裂紋應力。這種復合型裂紋的擴展與單純張開型裂紋的不同之處在於裂紋的擴展往往不是沿著原裂紋面的方向，而是沿著與原裂紋面成某一角度的方向進行。為了解決這一問題，提出了許多種復合型裂紋的脆性斷裂理論。
當裂紋尖端的應力強度因子為已知時，可以採用最大環向應力理論來建立復合裂紋的斷裂准則。環向應力理論假設：裂紋沿環向應力取最大值的方向開始擴展，裂紋的擴展是由於最大環向應力σ達到臨界值而產生的。
由式（12-3）可以得到Ⅰ-Ⅱ型裂紋尖端的環向極坐標應力分量表達式：
岩石斷裂與損傷
擴展方向角θ0滿足，即
岩石斷裂與損傷
由式（12-13）求出裂紋的開裂角θ0後，代入式（12-12）式可求出r=r0圓周上的最大環向應力為
岩石斷裂與損傷
於是可以建立相應的斷裂准則：
岩石斷裂與損傷
式中，σθc為最大環向應力的臨界值，它可以通過Ⅰ型裂紋的斷裂韌度KⅠC來確定：
岩石斷裂與損傷
綜合考慮式（1214）～式（1216），可以得到按最大環向應力理論建立起來的Ⅰ-Ⅱ復合型裂紋的斷裂准則：
岩石斷裂與損傷
式中：Keq和KⅠC分別為裂紋尖端的等效應力強度因子和斷裂韌度。