❶ 淺談幾種常見的數學思想方法
摘要：數學思想方法以數學知識為載體，蘊涵於知識之中，是數學的精髓。文章主要介紹四種常見的數學思想方法：函數與方程思想、分類與整合的思想、數形結合的思想、化歸與轉化的思想。在教學過程中滲透數學思想方法，能提高教學效果，提高學生數學素養。
1對數學思想方法的認識
在數學教學和數學教育領域，數學知識、數學方法、數學思想是數學知識體系的三個層次，它們相互聯系，共同發展。數學知識是數學思想方法解決問題所依附的材料；數學方法是解決問題的手段和途徑，是數學思想發展的前提；數學思想是對數學對象的本質認識，是從某些具體的數學內容（概念、命題、定理）和數學認識過程中提煉出來的基本觀點和想法，是數學方法的靈魂，是解決問題的指導思想，對數學活動具有指導意義。數學思想和數學方法是緊密聯系的，數學思想方法通常從「數學思想」和「數學方法」兩個角度進行闡述。
數學中常用的數學思想方法，概括起來可以分為兩類。一類是科學思想在數學中的應用，如分析與綜合、分類討論、類比、化歸、歸納與演繹思想等；另一類是數學學科特有的思想方法，如集合與對應、數學建模、數形結合、函數與方程、極限、概率統計的思想方法等。
2教學中主要的數學思想方法
數學思想方法的學習和領悟能幫助學生構建知識體系，使學生所學的知識不再是零散的知識點，能提高學生數學思維能力，提高學習效果。因此，在教學過程中必須重視數學思想方法的教學。
數學思想方法以數學知識為載體，蘊涵於知識之中，是數學的精髓，它支撐和統率著數學知識。教師在講授概念、性質、定理的過程中應不斷滲透與之相關的數學思想方法，讓學生在掌握知識的`同時，又能領悟到數學思想，從而提升學生思維能力。在教學過程中，要引導學生主動參與結論的探索、發現及推導過程，搞清知識點間的聯系及其因果關系，讓學生親身體驗蘊含在知識中的數學思想和方法。
2.1 分類與整合的思想分類是通過比較數學對象本質屬性的相同點和差異點，然後根據某一種屬性將數學對象區分為不同種類的思想方法。分類討論既是是一個重要的數學方法，又一個重要的數學思想，在解題時，它能避免思維的片面性，保證不遺不漏。
整合就是考慮數學問題時把注意力和重點放在問題的整體結構上，通過對其全面深刻的觀察和分析，從整體上認識問題的實質，把中間相互緊密聯系著的量作為整體來處理的思想方法。
解題時，我們常常遇到這種情況，解到某一步時，被研究的問題包含了多種情況，我們不能再按照統一標准進行下去，這就需要把條件所給出的總區域劃分成若干個子區域，然後分別在各個子區域內進行解題，當分類解決完這個問題後，再把它們整合在一起，這就是分類與整合的思想。有分有合，先分後合，不僅是分類與整合的思想解決問題的主要過程，也是這種思想方法的本質屬性。
這就需要我們在學習中認識到以下幾點：什麼樣的問題需要分類研究；為什麼要分類；如何分類；分類後如何研究與最後如何整合等。例如：等比數列的求和公式就分為q=1和q≠1兩種情況；對數函數的單調性就分為a>1，0 2.2 數形結合的思想數學研究的對象是數量關系和空間形式，即「數」與「形」兩個方面。「數」與「形」之間不是孤立存在的，而是有著密切的聯系。數量關系的研究可以轉化為圖形性質的研究，反之，圖形性質的研究可以轉化為數量關系的研究，這種解決數學問題過程中「數」與「形」相互轉化的思維策略，即是數形結合的思想。
數形結合的思想，既是一個重要的數學思想，也是一種常用的數學方法，為解決問題提供了方便，是解決問題的一個捷徑。數形結合思想一方面，能使數量關系的抽象概念和解析式通過圖形變得直觀形象；另一方面，能使一些圖形的屬性通過對數量關系的研究，更精準、更深刻地得出圖形的性質。這種「數」與「形」的相互轉換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡捷明快，同時還可大大拓寬我們的解題思路。華羅庚先生曾作過精闢的論述：「數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數缺形時少直覺，形少數時難人微，數形結合百般好，隔裂分家萬事非。切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系切莫離」。它的運用，往往展現出「柳暗花明又一村」般的數形和諧完美結合的境地。
數形結合在數學解題時應用也比較廣泛。例如：不連續函數討論增減性問題，函數求最值問題；根的分布問題及數形結合在不等式中、在數列中、在解析幾何中的應用等。這些都是數形結合的思想方法的體現。
2.3 化歸與轉化的思想化歸與轉化的思想就是將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、類比、聯想等思維過程，選擇運用恰當的數學方法進行變換，化歸為在已知知識范圍內已經解決或容易解決的問題的思想方法。化歸與轉化思想的實質是揭示聯系，實現轉化。
化歸與轉化的思想是解決數學問題的根本思想，大部分數學問題的解決都是通過轉化實現的。從某種意義上講，解決數學問題就是從未知向已知轉化的過程，解題的過程實際上就是一步步轉化的過程。要想熟練運用化歸與轉化思想，就要積極主動地去挖掘問題之間的聯系，要有豐富的聯想、機敏細微的觀察，要熟練、扎實地掌握基礎知識、基本技能和基本方法。在學習中我們要對公式、定理、法則有深刻理解，並對典型例題和習題進行總結和提煉。人們常說：「抓基礎，重轉化」是學好數學的金鑰匙，學習中一定要用好這把金鑰匙。運用化歸與轉化思想的例子比比皆是，如：未知向已知的轉化，復雜問題向簡單問題的轉化，新知識向舊知識的轉化，數與形的轉化，空間向平面的轉化，命題之間的轉化，高維向低維的轉化，多元向一元的轉化，函數與方程的轉化等都是轉化思想的體現。
2.4 函數與方程的思想函數的思想是用運動、變化的觀點，分析研究具體問題中的數量關系，通過函數形式把這種數量關系刻劃出來並加以研究，從而解決問題的方法。
方程的思想就是突出研究已知量與未知量之間的等量關系，通過設未知數、列方程或方程組，解方程或方程組等步驟，達到求值目的解題思路和策略。
函數與方程的思想，既是函數思想與方程思想的體現，也是兩種思想綜合運用的體現，，是對知識在更高層次上的抽象、概括與提煉，是研究變數與函數之間的內在聯系，並從函數與方程各部分的內在聯系出發來考慮問題，研究問題和解決問題的數學思想。
著名數學家克萊因說：「一般受教育者在數學課上應該學會的重要事情是用變數和函數來思考」。一個學生僅僅學習了函數的知識，他在解決問題時往往是被動的，而建立了函數思想，才能主動地去思考一些問題。
在解題時，要學會思考這些問題：①是不是需要把字母看作變數？②是不是需要把代數式看作函數？如果是函數它具有哪些性質？③是不是需要構造一個函數，把表面上不是函數的問題化歸為函數問題？④能否把一個等式轉化為一個方程？等等。我們常見的運用函數思想的例子有：數列問題藉助於函數思想，用函數方法來解決；遇到變數時構造函數關系式來解題；有關的最大、最值問題，可利用函數觀點加以分析；實際應用問題，轉化成數學語言，建立數學模型和函數關系式，應用函數相關性質來解決等。
參考文獻：
[1]錢佩玲.數學思想方法與中學數學（第2版）.北京師范大學出版社，2008.
[2]張順燕.數學的思想、方法和應用.北京大學出版社，2009.
❷ 國內外怎樣研究小學數學的數形結合思想方法
一、研究背景：數學是研究客觀世界的空間形式與數量關系的科學,數是形的抽象概括,形是數的直觀表現.華羅庚先生指出,數缺形時少直觀,形少數時難入微.數形結合既是一個重要的數學思想,又是一種常用的數學方法.數形結合在數學解題中有重要的指導意義,這種「數」與「形」的信息轉換,相互滲透,即數量問題和圖象性質是可以相互轉化的,這不僅可以使一些題目的解決簡捷明快,同時還可以大大開拓我們的解題思路,為研究和探求數學問題開辟了一條重要的途徑.長期以來,在教學中數學知識是一條明線,得到數學教師的重視；數學思想方法是一條暗線,容易被教師所忽視.在我們的小學數學教學中,如果教師能有意識地運用數形結合思想來設計教學,那將非常有利於學生從不同的側面加深對問題的認識和理解,提供解決問題的方法,也有利於培養學生將實際問題轉化為數學問題的能力.「數形結合」對教師來說是一種教學方法、教學策略,對學生來說是一種學習方法,如果長期滲透,運用恰當,則使學生形成良好的數學意識和思想,長期穩固地作用於學生的數學學習生涯中.作為一線教師,如何系統的運用數形結合思想進行數學教學,是我們面臨的一個極富實踐價值的重要課題.二、研究價值：1、通過組織、實施本課題的研究,提高教師對數形結合思想的理解,加深對教材中數形結合思想的分析能力.能在平時的教學中,時刻注意滲透數形結合思想,提升教師自身的專業素養.2、通過組織、實施本課題的研究,提升學生的思維水平,提高學生應用數形結合思想解決實際問題的能力,以適應未來社會發展的需要.三、研究目標： 1、教師有意識地運用數形結合思想進行教學設計,化抽象為形象,創造性地開發課程資源,有效地提高課堂教學質量. 2、研究「數形結合」在小學數學四至六年級領域中的應用,分階段、有層次的滲透數形結合思想. 3、通過「數形結合」有效地提高學生學習數學的興趣,使數形結合成為學生重要的學習方法,能運用數形結合創造性地解決抽象的數學問題.在不斷地「探索」與「創造」中構建屬於個人的數學思想.四、概念界定：1、數形結合：「數」和「形」是數學中兩個最基本的概念,「數」,屬於數學抽象思維范疇,是人的左腦思維的產物；而「形」主要指幾何圖形,屬於形象思維范疇,是人的右腦思維的產物.它們既是對立的,又是統一的,每一個幾何圖形中都蘊含著與它們的形狀、大小、位置密切相關的數量關系；反之,數量關系又常常可以通過幾何圖形做出直觀地反映和描述.數形結合的實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來,使抽象思維和形象思維結合起來,化難為易,化抽象為直觀．使人充分運用左、右腦的思維功能,相互依存、彼此激發,全面、協調、深入發展人的思維能力.2、數形結合思想：所謂數形結合思想,其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來,就是根據數與形之間的對應關系,通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想,是一種可使復雜問題簡單化、抽象問題具體化的常用的數學思想方法.主要有以下幾種解題思路：（1）以「數」變「形」；（2）以「形」變「數」；（3）「形」「數」互變.3.「滲透」指某種思想方法在某個實踐過程中逐漸的滲入利用,這里主要指在小學數學課堂教學中逐步滲透數形結合思想方法.五、研究內容：1、數形結合思想在「數與代數」知識領域中的應用.2、數形結合思想在「空間與圖形」知識領域中的應用.3、數形結合思想在「統計與概率」知識領域中的應用.4、數形結合思想在「實踐與綜合運用」知識領域中的應用.六、研究思路：1、學習查找相關理論資料；2、開始分年級教師進行具體研究；3、在具體的實踐中進一步完善研究內容和研究措施；4、最後對研究效果進行提升,形成課題成果報告.七、研究方法：1.調查法：調查當前小學數學教師對數形結合思想在教學中滲透的認識,調查當前學生對數形結合思想來解題的認識狀態.2、文獻研究法：收集、學習、整理有關滲透數學思想方法以及數形結合思想的相關文獻資料並加以分析,以供實驗研究.3、案例研究法：選擇不同領域的教學內容（數與代數、空間與圖形、統計與概率、實踐與綜合運用）中的素材,作為案例進行分析研究,尋求在不同數學學習領域中有效滲透數形結合思想的途徑與模式.4、經驗總結法：把實驗過程中積累的經驗加以總結、歸納並在實驗過程中加以論證.