Ⅰ 數學思維初中訓練方法
初中數學思想思維方法不是簡單用幾句話就能說明清楚的。下面略用總結：
一、用字母表示數的思想，這是基本的數學代數思想之一
在代數第一冊第一章「代數初步知識」中，主要體現了這種思想。例如：
設甲數為a，乙數為b，用代數式表示：（1）甲乙兩數的和的2倍：2（a+b）(2)甲數的1/3與乙數的1/2差：1/3a-1/2b
二、數形結合的思想
「數形結合」是數學中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解決許多數學問題的有效思想。實中數學教材中下列內容體現了這種思想。
1、數軸上的點與實數的一一對應的關系。
2、平面上的點與有序實數對的一一對應的關系。
3、函數式與圖像之間的關系。
4、線段（角）的和、差、倍、分等問題，充分利用數來反映形。
5、解三角形，求角度和邊長，引入了三角函數，這是用代數方法解決何問題。6、「圓」這一章中，賀的定義，點與圓、直線與圓、圓與圓的位置關系等都是化為數量關系來處理的。
7、統計初步中統計的第二種方法是繪制統計圖表，用這些圖表的反映數據的分情況，發展趨勢等。實際上就是通過「形」來反映數據扮布情況，發展趨勢等。實際上就是通過「形」來反映數的特徵，這是數形結合思想在實際中的直接應用。
三、轉化思想
在整個初中數學中，轉化（化歸）思想一直貫穿其中。轉化思想是把一個未知（待解決）的問題化為已解決的或易於解決的問題來解決，它是數學基本思想方法之一。下列內容體現了這種思想：
1、分式方程的求解是分式方程轉化為前面學過的一元二次方程求解，這里把待解決的新問題化為已解決的問題來求解，體現了轉化思想。
2、解直角三角形；把非直角三形問題化為直角三角形問題；把實際問題轉化為數學問題。
3、「圓」這一章中，證明圓周角定理進所做的分析：證明弦切角定理的思路：求兩圓的切線長的問題。這些轉化都是通過輔助線來完成的。
4、把三角形或多邊形中的某種線段或面積問題化為相似比問題來解決。
四、分類思想
集合的分類，有理數的分類、整式的分類、實數的分類、角的分類，三角形的分類、四邊形的分類、點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關生活經驗等都是通過分類討論的。
五、特殊與一般化思想
1．「圓」這一章中，證明圓周角定理和弦切角定理時用的是特殊到一般的方法，而相交弦定理及其推論則是一般到特殊的思想運用。
2.「整式乘除」這一章，首先人數和的運算特例中，抽象概括出冪的一般運算性質。例：10^3 ×10^3 =（10×10×10）（10×10）=10×10×10×10=10^5 =10^(3 + 2),
a^3*a^2 =a^(3 + 2),
乘法公式的推導則是採用一般到特殊的推導過程。
六、類比思想
1． 不等式的性質，一元一次不等式的解法等內容時多採取與等式的性質，一無一次方和的解法等做類比。
2． 通過有理數的相反數、絕對值、運算律等得到實靈敏的相反數、絕對值、運算律等知識。
3．在二次根式加減的運算中，指出「合並同類二次根式與合並同類項」類似。因此，二次根式的加減可以對比整式的加減進行。
4．「角的度量、角的比較大小、角的和、差及平他線」，可與線段的相關知識進行類比；度、分、秒的運算可與時、分、秒的運算進行類比。
5． 相似多邊形的性質和相似三角形的性質類比。
七、數式通性
用數的運算所具有的性質，去控索式的同類運算是否也具有這樣的性質，如具有，叫數式通性，整式的乘除這一章中，是由數的性質推知式的性質的；由數的國減推知式的加減的。
八、同類合並思想
這一思想在「整式的加減」這一章中的具體體現是合並同類項。「根式」這一章中的合並同類根式。
九、無逼近思想
在無限不循環小數以及用有理數逼近表示無理數時，體現了無限逼近的思想。
十、對稱變換思想
在根式乘法、根式除法、√a2 =a(a=0)等內容中，多次運用等價轉化、對稱變化，反用公式的。
Ⅱ 數學思維怎麼訓練初中
1如何訓練 初中 生學生的數學思維
如何訓練初中生學生的數學思維?隨著教學改革的深入發展，在數學教學中有目的、有計劃、有步驟地培養學生的思維能力，是每個教師十分關心的問題。下面，朴新小編給大家帶來培養學生思維的技巧。
重視操作，培養實際動手能力
―位教育家這樣說過：「兒童的智慧就在他的手指尖上」。許多事實證明科學是動手「做」出來的。我們在學習數學的過程中，也要學會「做」數學，比如量身高，可以幫助我們理解米和厘米等長度單位的概念，對其有具體的感知;走一段路程，可以幫助我們正確理解「千米」的含義;稱稱一兩塊磚和一兩枚硬幣，可以幫助我們弄清「千克」和「克」的區別;
剪幾個對等的三角形拼成長方形或平行四邊形，又可讓我們得出並掌握三角度面積的計算方法。總之，在動手操作的過程中，可以引發我們創造性地思維。在數學教學中教師要特別重視和發展學生的好奇心，讓每一位學生養成愛想問題、問問題以及延伸問題的習慣，讓所有的學生都知道自己有權利和能力去發現新問題，提出新見解。以下再對培養思維簡單地談一談。
如何訓練初中生學生的數學思維
善於運用啟發法和發現法，啟發學生思維的積極性
一個出色的教師會懂得針對不同的學生能力差異，採取不同適合學生的教學方式。面對同一道數學題，用什麼樣的語言表達讓學生盡快地接受。
如果起題意不懂，便可採用啟發、舉例的方法讓學生接受，發現突破口，用通俗簡易的手勢或圖形來化繁為簡。這樣可以增加學生的興趣和對思維的積極性。使學生在掌握教師的方法下，通過發散性思維，使他們明白學習方法的重要性，從而產生愛動腦筋、思考問題的習慣。
2如何培養學生數學思維與興趣
加強直觀教學，培養學習興趣
在教學中教師單從提高語言表達能力和語言「直觀」上下功夫，還是遠遠不夠的。要解決數學知識的抽象性與形象性的矛盾，還應該充分利用直觀教學的各種手段。「直觀」具有看得見，摸得著的優點，「直觀」有時能直接說明問題，有時能幫助理解問題，給學生留下深刻的印象，使學生從學習中得到無窮的樂趣。由直觀感知上升到抽象的理解。有了這個基礎求一個數比另一個數多(少)多少的教學就根順利了，體現了「直觀」教學的優越性。
如何訓練初中生學生的數學思維
觀察能力的培養，學習興趣的產生
觀察能力是認識事物，增長知識的重要能力，是智力因素構成的重要部分。在小學數學教學中必須引導學生掌握基本的觀察方法，學會在觀察時透過事物表象，抓住本質，發現規律，達到不斷獲取知識，培養能力，發展智力的目的。我認為人們對知識的認識和積累都是通過觀察實踐而得到的。沒有觀察就沒有豐富的想像力，也不可能有正確的推理、概括和創造性，所以有意識地安排學生去觀察思考，逐步培養學生的觀察能力，發展學生的想像力。既增加了數學的趣味性，又創造了良好的課堂氣氛。
重視操作，培養實際動手能力
―位教育家這樣說過：「兒童的智慧就在他的手指尖上」。許多事實證明科學是動手「做」出來的。我們在學習數學的過程中，也要學會「做」數學，比如量身高，可以幫助我們理解米和厘米等長度單位的概念，對其有具體的感知;走一段路程，可以幫助我們正確理解「千米」的含義;稱稱一兩塊磚和一兩枚硬幣，可以幫助我們弄清「千克」和「克」的區別;剪幾個對等的三角形拼成長方形或平行四邊形，又可讓我們得出並掌握三角度面積的計算方法。總之，在動手操作的過程中，可以引發我們創造性地思維。
3如何培養幾種思維能力
(一)抽象概括能力
抽象概括能力是從事物關系和描述中總結出具有特定關系和結構的一般關系模型，這就是要做好數學關系的模型化。那麼，應該如何培養這種能力呢?在日常的學習中就可以做到。比如，在教學過程中，先講一道例題，學生都能理解以後，再給他們幾道類似的題讓他們做，這幾道題不要太難，例題那個難度就好。等學生做完之後，讓他們思考幾個問題，比如，他們是用了哪個知識點做出來的，在解題過程中用了什麼樣的數學方法，這幾道題有什麼相似之處，能不能總結出這一類題的解題方法。思考和總結是培養抽象概括能力的關鍵，多思考有利於這種能力的培養。
(二)發散思維能力
前文也說過，一道題不可能只有一種解題方法，多想幾種解題方法，這個過程就是在運用發散思維。在學習過程中，要克服定勢思維，培養學生多方位、多角度地去思考問題，尋求題目的答案。老師在教學過程中，應該注重克服定勢思維，培養學生思維的靈活性。比如，在定義、法則方面做一些變形的練習，鼓勵學生多設想、多思考，讓思維活躍起來，盡可能想到一切可能。久而久之，就能習慣性地多思考、多推敲，這就是發散思維的培養。開闊學生視野，使學生養成發散思維的習慣，就要讓學生多進行相互討論，集思廣益。有句話是這樣說的，我們互相交換蘋果，得到的還是一個蘋果，互相交換思想，得到的卻是兩種思想，因此交流在學習中很重要。
(三)逆向思維能力
逆向思維，顧名思義，就是從反面去思考解決問題的方法。比如，拿到一道數學題目，根據它所要求證的問題，來尋找求證它的條件，一步步地往上推，同時要和題目給的條件相符合，就能解出這道題了，這就是根據結果求條件，最終把過程調整過來就可以。因此，在解決問題上，要多鼓勵學生採用逆向思維方法，比如說證明題中的反證法就是用了這個數學方法，這種逆向思維多用於證明題，多練習證明題，有利於培養這種逆向思維，反證法就說明了這一點。同時，加強公式逆向運用也有利於思維能力的提高，在學不等式的性質時會經常用到。
4初中數學思維的方法
通過範例和解題教學培養思維能力
在教學中，一方面通過解題和反思活動，從具體數學問題和範例中總結歸納解題方法，並提煉和抽象成數學思想;另一方面在解題過程中，充分發揮數學思想方法對發現解題途徑的定向，聯想和轉化功能，舉一反三，觸類旁通，以數學思想觀點為指導，靈活運用數學知識和方法分析問題、解決問題。範例教學通過選擇具有典型性、啟發性的例題和練習進行。要注意設計具有探索性的範例和能從中抽象一般和特殊規律的範例來進行教學，還要通過解題以後的反思，優化解題過程，總結解題經驗，提煉數學思想方法。
數學思想方法的培養是當今數學教育改革的發展方向，全國各地報紙雜志的有關論述比比皆是。仔細研讀，發現絕大部分文章均有一種傾向，只要提到創造思維，無不批判定式思維在創造思維形成過程中的阻礙作用，無不強調克服和消除定式思維的消極影響，而對定式思維的積極作用一般都是一帶而過或一字不提。但我認為這種是膚淺的、片面的，對加強雙基教學有一定的危害性。
注重靈活多樣的開展教學
當今的社會是一個多媒體的時代，與過去不同，教學更加方便了，老師完全可以利用多媒體技術來改變自己傳統的教學模式，注重靈活多樣的開展教學，因為數學思維能力離不開科學、靈活的教學方法的運用，那麼如何開展靈活的教學方式呢?數學教學過程中的導入出新很重要，也可以被理解為引人入勝教學法。
如通過敘述故事、利用矛盾、巧用道具等別具一格的教學方法，會讓學生眼前一亮，使學生早早地進入學習狀態。多變的教學方法，同時也有利於培養數學思維能力，教學方法都活了，學生的思維能不活躍嗎。如果只是一味地循規蹈矩，會讓學生的思維呆滯。因此，必須用靈活多樣的教學方法，來培養學生的數學思維能力。
Ⅲ 如何培養初中數學思維
一、在課堂中培養學生的數學思維
數學思維的培養不是靠說，而且靠我們在平時教學生活中的做。也就是說，數學思維是「只可意會而不可言傳」 的，需要學生在學習中一點一點地「悟」出來． 雖說數學思維的培養需要學生自行整理學習中的感觸，但是，我們也要對學生進行合適的引導。首先，讓學生變被動為主動。傳統的應試教育中，課堂往往是壓抑的，教師在講台上講，學生在下面聽，課堂的主導是教師。 但是，現在我們就要讓學生成為課堂的主導，讓課堂的氣氛「活」起來． 被動學習與主動學習的區別非常大。被動學習雖說能在短期內提高學生的成績，但是學生的興 趣與參與性已經被磨光了，學生很可能會對數學產生厭惡。主動學習則完全不一樣，學生主動參與到學習中，能夠保證學生對數學的長期熱情。
二、一題多解，訓練學生數學思維
每次講完一個解法後，我們可以引導學生 : 「這道題還有別的解法了嗎?」引導學生一題多解，能訓練學生的智力，讓學生敢於質疑，還能調動學生的積極性，培養學生的數學思維。
三、在作業中培養學生的數學思維
對於學生來說，課堂上短短的四十分鍾是遠遠不夠的，因為思維習慣的形成不是一天兩天的事情。因此，教師在給學生布置作業時，在夯實基礎的同時也要考慮拓展學生的思路，在作業中培養學生的數學思維。
教師可以布置一些推導公式之類的作業，讓學生能在拓展思路的同時掌握知識;每單元結束的時候，讓學生畫思維導圖，讓學生系統的對學習過的單元做一次復習; 最後，要定時的進行數學興趣小組的活動，激發學生的頭腦風暴，讓學生真正地在潛移默化中形成數學思維．
作業是檢驗學生對知識的掌握程度的一個重要手段，也是學生開拓思維的一個重要方法． 教師要利用好作業，讓學生學會學習，學會邏輯推理，學會建立數學思維。
Ⅳ 初中數學解題思維方法大全
還在為初中數學解題而煩惱？還在為數學低分而煩躁？那是你沒有全面理解初中數學的解題思維和解題 方法 。暑假不出門，了解初中數學解題思維 方法大全 ，助你在新學期解決數學難題。
初中數學解題思維方法大全
一、選擇題的解法
1、直接法：根據選擇題的題設條件，通過計算、推理或判斷，，最後得到題目的所求。
2、特殊值法：(特殊值淘汰法)有些選擇題所涉及的數學命題與字母的取值范圍有關，在解這類選擇題時，可以考慮從取值范圍內選取某幾個特殊值，代入原命題進行驗證，然後淘汰錯誤的，保留正確的。
3、淘汰法：把題目所給的四個結論逐一代回原題的題干中進行驗證，把錯誤的淘汰掉，直至找到正確的答案。
4、逐步淘汰法：如果我們在計算或推導的過程中不是一步到位，而是逐步進行，既採用“走一走、瞧一瞧”的策略，每走一步都與四個結論比較一次，淘汰掉不可能的，這樣也許走不到最後一步，三個錯誤的結論就被全部淘汰掉了。
5、數形結合法：根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數含義，又揭示其幾何意義，使數量關系和圖形巧妙和諧地結合起來，並充分利用這種結合，尋求解題思路，使問題得到解決。
二、常用的數學思想方法
1、數形結合思想：就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數含義，又揭示其幾何意義，使數量關系和圖形巧妙和諧地結合起來，並充分利用這種結合，尋求解體思路，使問題得到解決。
2、聯系與轉化的思想：事物之間是相互聯系、相互制約的，是可以相互轉化的。數學學科的各部分之間也是相互聯系，可以相互轉化的。在解題時，如果能恰當處理它們之間的相互轉化，往往可以化難為易，化繁為簡。如：代換轉化、已知與未知的轉化、特殊與一般的轉化、具體與抽象的轉化、部分與整體的轉化、動與靜的轉化等等。
3、分類討論的思想：在數學中，我們常常需要根據研究對象性質的差異，分各種不同情況予以考查，這種分類思考的方法，是一種重要的數學思想方法，同時也是一種重要的解題策略。
4、待定系數法：當我們所研究的數學式子具有某種特定形式時，要確定它，只要求出式子中待確定的字母得值就可以了。為此，把已知條件代入這個待定形式的式子中，往往會得到含待定字母的方程或方程組，然後解這個方程或方程組就使問題得到解決。
5、配方法：就是把一個代數式設法構造成平方式，然後再進行所需要的變化。配方法是初中代數中重要的變形技巧，配方法在分解因式、解方程、討論二次函數等問題，都有重要的作用。
6、換元法：在解題過程中，把某個或某些字母的式子作為一個整體，用一個新的字母表示，以便進一步解決問題的一種方法。換元法可以把一個較為復雜的式子化簡，把問題歸結為比原來更為基本的問題，從而達到化繁為簡，化難為易的目的。
7、分析法：在研究或證明一個命題時，又結論向已知條件追溯，既從結論開始，推求它成立的充分條件，這個條件的成立還不顯然，則再把它當作結論，進一步研究它成立的充分條件，直至達到已知條件為止，從而使命題得到證明。這種思維過程通常稱為“執果尋因”
8、綜合法：在研究或證明命題時，如果推理的方向是從已知條件開始，逐步推導得到結論，這種思維過程通常稱為“由因導果”
9、演繹法：由一般到特殊的推理方法。
10、歸納法：由一般到特殊的推理方法。
11、類比法：眾多客觀事物中，存在著一些相互之間有相似屬性的事物，在兩個或兩類事物之間，根據它們的某些屬性相同或相似，推出它們在其他屬性方面也可能相同或相似的推理方法。類比法既可能是特殊到特殊，也可能一般到一般的推理。
三、函數、方程、不等式
常用的數學思想方法：⑴數形結合的思想方法。⑵待定系數法。⑶配方法。⑷聯系與轉化的思想。⑸圖像的平移變換。
四、證明角的相等
1、對頂角相等。
2、角(或同角)的補角相等或餘角相等。
3、兩直線平行，同位角相等、內錯角相等。
4、凡直角都相等。
5、角平分線分得的兩個角相等。
6、同一個三角形中，等邊對等角。
7、等腰三角形中，底邊上的高(或中線)平分頂角。
8、平行四邊形的對角相等。
9、菱形的每一條對角線平分一組對角。
10、 等腰梯形同一底上的兩個角相等。
11、 關系定理：同圓或等圓中，若有兩條弧(或弦、或弦心距)相等，則它們所 對的圓心角相等。
12、 圓內接四邊形的任何一個外角都等於它的內對角。
13、 同弧或等弧所對的圓周角相等。
14、 弦切角等於它所夾的弧對的圓周角。
15、 同圓或等圓中，如果兩個弦切角所夾的弧相等，那麼這兩個弦切角也相等。
16、 全等三角形的對應角相等。
17、 相似三角形的對應角相等。
18、 利用等量代換。
19、 利用代數或三角計算出角的度數相等
20、 切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，並且這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。
五、證明直線的平行或垂直
1、證明兩條直線平行的主要依據和方法：
⑴、定義、在同一平面內不相交的兩條直線平行。
⑵、平行定理、兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線也互相平行。
⑶、平行線的判定：同位角相等(內錯角或同旁內角)，兩直線平行。
⑷、平行四邊形的對邊平行。
⑸、梯形的兩底平行。
⑹、三角形(或梯形)的中位線平行與第三邊(或兩底)
⑺、一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例，則這條直線平行於三角形的第三邊。
2、證明兩條直線垂直的主要依據和方法：
⑴、兩條直線相交所成的四個角中，由一個是直角時，這兩條直線互相垂直。
⑵、直角三角形的兩直角邊互相垂直。
⑶、三角形的兩個銳角互余，則第三個內角為直角。
⑷、三角形一邊的中線等於這邊的一半，則這個三角形為直角三角形。
⑸、三角形一邊的平方等於其他兩邊的平方和，則這邊所對的內角為直角。
⑹、三角形(或多邊形)一邊上的高垂直於這邊。
⑺、等腰三角形的頂角平分線(或底邊上的中線)垂直於底邊。
⑻、矩形的兩臨邊互相垂直。
⑼、菱形的對角線互相垂直。
⑽、平分弦(非直徑)的直徑垂直於這條弦，或平分弦所對的弧的直徑垂直於這條弦。
⑾、半圓或直徑所對的圓周角是直角。
⑿、圓的切線垂直於過切點的半徑。
⒀、相交兩圓的連心線垂直於兩圓的公共弦。
六、證明線段的比例式或等積式的主要依據和方法：
1、比例線段的定義。
2、平行線分線段成比例定理及推論。
3、平行於三角形的一邊，並且和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例。
4、過分點作平行線;
5、相似三角形的對應高成比例，對應中線的比和對應角平分線的比都等於相似比。
6、相似三角形的周長的比等於相似比。
7、相似三角形的面積的比等於相似比的平方。
8、相似三角形的對應邊成比例。
9、通過比例的性質推導。
10、用代數、三角方法進行計算。
11、藉助等比或等線段代換。
七、幾何作圖
1、掌握最基本的五種尺規作圖
⑴、作一條線段等於已知線段。
⑵、作一個角等於已知角。
⑶、平分已知角。
⑷、經過一點作已知直線的垂線。
⑸、作線段的垂直平分線。
2、掌握課本中各章要求的作圖題
⑴、根據條件作任意的三角形、等要素那角性、直角三角形。
⑵、根據給出條件作一般四邊形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等。
⑶、作已知圖形關於一點、一條直線對稱的圖形。
⑷、會作三角形的外接圓、內切圓。
⑸、平分已知弧。
⑹、作兩條線段的比例中項。
⑺、作正三角形、正四邊形、正六邊形等。
八、幾何計算
(一)、角度與弧度的計算
1、三角形和四邊形的角的計算主要依據
⑴、三角形的內角和定理及推論。
⑵、四邊形的內角和定理及推論。
⑶、圓內接四邊形性質定理。
2、弧和相關的角的計算主要依據
⑴、圓心角的度數等於它所對的弧的度數。
⑵、圓周角的度數等於它所對的弧的度數的一半。
⑶、弦切角的度數等於所夾弧度數的一半。
3、多邊形的角的計算主要依據
⑴、n邊形的內角和=(n-2)*180°
⑵、正n邊形的每一內角=(n-2)*180°÷n
⑶、正n邊形的任一外角等於各邊所對的中心角且都等於
(二)、長度的計算
1、 三角形、平行四邊形和梯形的計算
用到的定理主要有三角形全等定理，中位線定理，等腰三角形、直角三角形、正三角形及各種平行四邊形的性質等定理。關於梯形中線段計算主要依據梯形中位線定理及等腰梯形、直角梯形的性質定理等。
2、 有關圓的線段計算的主要依據
⑴、切線長定理
⑵、圓切線的性質定理。
⑶、垂徑定理。
⑷、圓外切四邊形兩組對邊的和相等。
⑸、兩圓外切時圓心距等於兩圓半徑之和，兩圓內切時圓心距等於兩半徑之差。
3、 直角三角形邊的計算
直角三角形邊長的計算應用最廣，其理論依據主要是勾股定理和特殊角三角形的性質及銳角三角函數等。
4、 成比例線段長度的求法
⑴、平行線分線段成比例定理;
⑵、相似形對應線段的比等於相似比;
⑶、射影定理;
⑷、相交弦定理及推論，切割線定理及推論;
⑸、正多邊形的邊和其他線段計算轉化為特殊三角形。
三、圖形面積的計算
1、 四邊形的面積公式
⑴、S□ABCD = a·h
⑵、S菱形 = 1/2a·b (a、b為對角線)
⑶、S梯形 = 1/2(a + b)·h = m·h (m為中位線)
2、 三角形的面積公式
⑴、S△ = 1/2· a·h
⑵、S△ = 1/2· P·r(P為三角形周長，r為三角形內切圓的半徑)
3、 S正多邊形 = 1/2· P n·r n = 1/2·n a n·r n
4、 S圓 =πR2
5、S扇形 = nπ= 1/2LR
6、S弓形 = S扇 - S△
九、證明兩線段相等的方法：
⑴、利用全等三角形對應線段相等;
⑵、利用等腰三角形性質;
⑶、利用同一個三角形中等角對等邊;
⑷、利用線段垂直平分線;
⑸、角平分線的性質;
⑹、利用軸對稱的性質;
⑺、平行線等分線段定理;
⑻、平行四邊形性質;
⑼、垂徑定理：垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分這條弦所對的兩條弧。推論1：平分一條弦所對的弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧。
⑽、圓心角、弧、弦、弦心距的關系定理及推論;
⑾、切線長定理。
十、證明弧相等的方法：
⑴、定義;同圓或等圓中，能夠完全重合的兩段弧。
⑵、垂徑定理：垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分這條弦所對的兩條弧。
推論1：①平分弦(不是直徑)的直徑垂直弦，並且平分弦所對的兩條弧。
②垂直平分一條弦的直線，經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧。
③平分一條弦所對的弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧。
推論2：兩條平行弦所夾的弧相等
⑶、圓心角、弧、圓周角之間度數關系;(圓心角 = 弧 = 2圓周角)
⑷、圓周角定理的推論1;(同弧或等弧所對的圓周角相等，同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧相等)
十一、切線小結
1、證明切線的三種方法：
⑴、定義——一個交點;
⑵、d=r;(若一條直線到圓心的距離等於半徑，則這條直線是圓的切線)
⑶、切線的判定定理;(經過半徑外端，並且垂直這條半徑的直線是圓的切線)
2、切線的八個性質：
⑴、定義：唯一交點;
⑵、切線和圓心的距離等於半徑; (d=r)
⑶、切線的性質定理：圓的切線垂直於過切點的半徑;
⑷、推論1：過圓心(且垂直於切線的直線)必過切點;
⑸、推論2：過切點(且垂直於切線的直線)必過圓心;
⑹、切線長相等;過圓外一點作圓的兩條切線，它們的切線長相等，並且這一點和圓心的連線平分兩切線的夾角。
⑺、連結兩平行切線切點間的線段為直徑
⑻、經過直徑兩端點的切線互相平行。
3、證明切線的兩種類型：
⑴、已知直線和圓相交於一點
證明方法：連交點，證垂直
⑵、未知直線和圓是否相交於哪點或沒告訴交點
證明方法：做垂直，證半徑
十二、輔助線的作用與添加方法：
輔助線是溝通已知與未知的橋梁.現已學過的添加輔助線方法有：
1、梯形的七類輔助線：
⑴、作梯形的高;
⑵、延長兩腰;
⑶、平移一腰;
⑷、平移對角線;
⑸、利用中點;
⑹、連結兩腰中點;
2、一般的輔助線
⑴、過兩定點作直線;
⑵、作三角形的高、中線、角平分線;
⑶、延長某一線段;
⑷、作一點關於已知直線的對稱點;
⑸、構造直角三角形;
⑹、作平行線;
⑺、作半徑;
⑻、弦心距;
⑼、構造直徑上的圓周角;
⑽、兩圓相交時常連公共弦;
⑾、構造相交弦;
⑿、見中點連中點構造中位線;
⒀、兩圓外切時作內公切線;
⒁、兩圓內切時作外公切線;
⒂、作輔助圖形(如勾股定理逆定理的證明中作輔助三角形);
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