有限元分析中的數值方法

① 有限元數值模擬方法

有限單元法是應用於構造應力場模擬的最廣泛的數學模擬方法。其基本思想是將所研究的地質體以一定的方式（單元形狀和節點個數）簡化為有限個單元組成的離散化模型，再用相應的計算程序求出數值解答。利用有限元法數值模擬，可以利用地質調查和構造解析獲得的較少地質應力狀態的資料來反演區域內各點的應力狀態，從而獲得區域的構造應力場特徵，加深認識區域內的構造演化。目前有限單元法的應用已由彈性力學的平面問題擴展到空間問題、板殼問題，分析對象從彈性材料擴展到塑性、粘彈性、粘塑性和復合材料。

有限元法數值模擬隨著計算機技術的發展在科學計算領域得到廣泛應用，20世紀80年代以來，國際上已有較大型的有限元計算程序達幾百種，其中較著名的有：ANSYS、NASTRAN、ASK、ADINA、SAP等。以ANSYS為代表的數值模擬軟體將有限元分析、計算機圖形學和優化技術相結合，已成為科學計算領域不可缺少的有力工具。

基於本區岩石圈的三維結構特點，我們首先對本區的三層結構相互作用關系進行了模擬。對本區的物理模擬研究，前人已經做過很多工作，其中在對印度板塊擠壓下亞洲中東部的構造模擬中，有的反映出大型走滑斷裂、裂谷和張性盆地以及壓性逆沖斷裂等構造現象，有的反映出多層構造中網路狀流動現象，認為板內變形受塑性流動網路控制（Tapponnier et al.，1982；李建國等，1997）。這些工作往往只反映了本區的某一方面的特性，而無法對本區的構造形態做出動力學的完善解釋。因此在前人的工作基礎上，我們首先建立了本區的一個三層結構模型，其中中上地殼深度根據天然地震資料定為30 km，下地殼以莫霍面為其底界，根據地震測深資料取50 km。因為本模型建立的主要目的是確定岩石圈各圈層之間的作用關系，因此模型底部只考慮到100 km的深度。

② 有限元分析方法是指什麼

有限元分析（FEA，Finite Element Analysis）利用數學近似的方法對真實物理系統（幾何和載荷工況）進行模擬。利用簡單而又相互作用的元素（即單元），就可以用有限數量的未知量去逼近無限未知量的真實系統。

有限元分析是用較簡單的問題代替復雜問題後再求解。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，對每一單元假定一個合適的（較簡單的）近似解，然後推導求解這個域總的滿足條件（如結構的平衡條件），從而得到問題的解。

因為實際問題被較簡單的問題所代替，所以這個解不是准確解，而是近似解。由於大多數實際問題難以得到准確解，而有限元不僅計算精度高，而且能適應各種復雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。

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有限元方法與其他求解邊值問題近似方法的根本區別在於它的近似性僅限於相對小的子域中。20世紀60年代初首次提出結構力學計算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地將其描繪為：「有限元法=Rayleigh Ritz法+分片函數」，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一種局部化情況。

不同於求解（往往是困難的）滿足整個定義域邊界條件的允許函數的Rayleigh Ritz法，有限元法將函數定義在簡單幾何形狀（如二維問題中的三角形或任意四邊形）的單元域上（分片函數），且不考慮整個定義域的復雜邊界條件，這是有限元法優於其他近似方法的原因之一。

③ 如何進行有限元分析

有限元分析的基本步驟如下。
1)建立研究對象的近似模型。
在進行數值計算之前，需要建立研究對象的模型。建模過程主要依靠基礎實驗或者觀測的結果，需要大量學科領域知識。在進行有限元分析的時候很難把研究對象的
所有細節都 包括進來，有時是因為缺乏實驗觀測數據，有時是需要縮小計算模，因此需要對研究對象進行不同程度的簡化。通常在研究對象的幾何形狀、材料特性和邊界條件這三個方面做適當的化。
2)將研究對象分割成有限數量的單元 研究者很難從整體上分析對象系統，需要把對象系統分解成有限數量的、形式相同、相對簡單的分區或組成部分，這個過程也被稱為離散化。每個分區是一個由基本單元，把空間連續的問題轉化成由一些基本單元組成的離散問題。
3)用標准方法對每個單元提出一個近似解 研究者能夠比較容易地分析基本單元的行為，提出求解基本單元的方法。提出適用於所有單元的標准求解方法，就可以編制計算機程序求解所有的單元。
4)將所有單元按標准方法組合成一個與原有系統近似的系統 將基本單元組裝成一個近似系統，在幾何形狀和性能特徵方面可以近似地代表研究對象。通過分析近似系統，可以了解研究對象的性能特徵。找到某種標準的組裝方法，就可以 用計算機程序組裝數目巨大的單元。
5)用數值方法求解這個近似系統。 採用離散化之後，就不需要再求解復雜的偏微分方程組，而轉換為求解線性方程組。數學家提出了許多求解大規模線性方程組的數值演算法。
6)計算結果處理與結果驗證
由數值計算可以得到大量的數據，如何顯示、分析數據並找到有用的結論是人們一直關系的問題。目前，商用有限元軟體都具有後處理功能，可以實現數據的圖形化
顯示，如顯示物體的變形、溫度場分布等，使得計算結果變得更加直觀。也可以使用一些專用的數據可視化工具來處理計算結果。如何判定計算結果是否正確，是有限單元法應用中的關鍵問題。可 以採用與實驗或觀測數據對比、與簡化模型對比或與理論計算結果對比。研究者的領域知識也有助於正確理解計算結果

④ 有限元方法

1，有限元法(finite element method)是一種高效能、常用的數值計算方法。科學計算領域，常常需要求解各類微分方程，而許多微分方程的解析解一般很難得到，使用有限元法將微分方程離散化後，可以編製程序，使用計算機輔助求解。

3，自從1969年以來，某些學者在流體力學中應用加權余數法中的迦遼金法(Galerkin)或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，因而有限元法可應用於以任何微分方程所描述的各類物理場中，而不再要求這類物理場和泛函的極值問題有所聯系。基本思想:由解給定的泊松方程化為求解泛函的極值問題。