『壹』 學習三角函數小技巧
三角函數學習的線索、重點與技巧
三角函數是函數的一種，所以研究的方法與研究一次、二次、指數、對數等函數的方法相同。一般來說就是定義、圖像、性質、應用……但是它又有自己獨特的一面，以角為自變數，具有周期性……學明白的同學會感覺三角函數非常簡單，而不理解的同學學起三角函數就非常吃力。在這里，我將以三角函數為例，寫一些關於函數教學尤其是三角函數教學中的感覺與朋友們共賞！希望有興趣的朋友共同參與，讓我們取長補短，共同進步。
目錄：
一、函數學習的幾個步驟；
二、三角函數學習的序曲；
三、表示法中的過渡；
四、幾個定義的對照；
五、同角關系式的運用；
六、誘導公式的理解；
七、三角函數的圖像與性質的深入思考；
八、平移與伸縮變換的引申；
九、和角與差角公式的推導指引；
十、倍角餘弦公式的變形應用；
十一、解三角形的幾個關鍵點；
小結：1、學習線索；2、學習重點；3、學習技巧．
一、函數學習的幾個步驟
先送小詩一首
學函數
函數函數定義鋪路， 式子擺出，再限制參數，
定義域優先，值域斷後，
圖像是小名，性質是輔助，
拓展要灑脫，應用要把握好步驟，
學吧，學吧，請走出自己的路。
1、學習某個函數肯定是先學習定義，而定義一般是用函數式來定義的，並且定義式中的參數一般會有一定的限制。如：一次函數y=ax+b，a不為0。
2、定義域優先應該說所有的老師都明白，但是應用的時候就可能會忘記，事實上在方程與不等式的研究中也應該有「定義域」優先的原則。缺少了定義域就不是完整的函數的定義了。而函數的值域是由解析式與定義域唯一確定的，所以一般不寫。但它是研究的重點，研究的方法也非常多，並且不同的函數研究的方法不一樣。
3、圖像也是表示函數的一種方式，它直觀，用其研究性質或是直接解題會很方便。性質只是對函數的一種深入思考，研究時不能受到局限。
4、拓展包括定義與性質，比如研究參數對函數的影響，值域中要研究最大最小值，奇偶性應該研究其它的對稱性等；函數應用題的思考步驟應該是：？是自變數，？是函數，什麼關系？，定義域怎麼樣？，……
5、談談函數定義中的參數對單調性的影響
各位朋友有沒有注意到這一點：
函數定義中的參數對函數的單調性產生直接的影響……
（1）一次函數：a>0時，單調增；a<0時，單調減；
（2）二次函數：a>0時，減後增；a<0時，增後減；
（3）三次函數：a>0時，一直增或是增減增；a<0時，一直減或是減增減；
（4）指數函數與對數函數：當0<a<1時，減；當a>1時，增；
……
二、三角函數學習的序曲
再送小詩一首
推廣角
角角角，銳角直角加鈍角，皆為圖形角；
有始有終旋轉角，有逆有順任意角，放入直角坐標後，終邊確定解析角；
銳角鈍角是單區角，象限角為多區角，直角只是一個角，象限間角是多個角；
角角角，用度做單位太蹩腳，改用弧度才真正吹起函數的號角。
1、用平面內從一點發出的兩條射線所構成的圖形來定義角，是中學生最先學到的角的概念，這種定義下的角叫圖形角；
2、由平面內的一條確定的射線繞起點旋轉而形成的角，定義為旋轉角，開始的射線為角的始邊，終止的位置射線為終邊，旋轉角的范圍可以達到一周；
3、把上述的逆時針方向旋轉而成的角定義為正角，順時針方向旋轉而形成的角定義為負角，轉過的度數定義為角的大小，此時的角為任意角；
4、為了研究三角函數我們使任意角的始邊與x的非負半軸重合，這樣被確定的角我們（也許只有我自己）把它叫做解析角。此時一個終邊可以確定無限多個任意角；
5、用弧的長度與對應圓的半徑的比值來度量角，就是我們引入的弧度制，所以弧度就是用弧來度量的意思；
6、省略了角的弧度這個單位之後，角的大小就與實數產生了一一對應的關系，這為研究三角函數提供了必要的前提條件；
7、角的再發展
當角在平面上感覺有點郁悶的時候，它就開始了新的旅程：
（1）異面直線所成的角；
（2）斜線與平面所成的角；
（3）二面角；
三、表示法中的過渡
一般來說，我們表示函數習慣於用y=f(x)表示，其中x表示自變數，y表示函數，f表示對應關系。那麼我們有沒有注意到，學習三角函數的過程中：
1、初中就學習了三角函數，但是沒有說什麼是自變數，什麼是函數。只是在直角三角形中，定義了銳角a的正弦、餘弦、正切。
2、高中把角推廣到任意角之後，給出三角函數的定義時，使用的角仍然為a，只是定義用解析角的終邊上的任意一點的坐標和該點到原點的距離來定義（特別地，也可用終邊與單位圓的交點的坐標定義），知道這是為什麼嗎？
3、在研究三角函數的圖象與性質的時候， 才把正弦函數的解析式寫成y=sinx，餘弦寫為y=cosx......
教學中，千萬不要忽略這一點，教材這樣處理是有它自已的道理的。
四、幾個定義的對照
1、初中學習了在直角三角形中定義銳角的三角函數，定義過程沒有任何理由，利用定義可以根據兩個特殊三角形記憶三個特殊角的三角函數值；
2、在直角坐標系中，用角的終邊與單位圓的交點縱坐標定義正弦，用橫坐標定義角的餘弦，……，利用這個公式容易證明同角關系式，容易看出不同象限角的各個三角函數值的符號，也容易得到相關的誘導公式；
3、單位圓中的三角函數線也是三角函數的定義，只不過是用有向線段的數量來定義的，利用這個定義容易畫出三角函數的圖像，解決一些比較大小的問題或是求三角函數值；
4、利用角的終邊上的任意一點的坐標與該點到坐標原點的距離來定義，這個定義是上述二者中所述定義的一般形式，可以用來解決一般的問題；
5、在整個三角函數定義的過程中，讓我們感覺到了學習的知識是在不斷地發展中的，知識的內在聯系非常密切，應該體會同一性之中有著自己的特點。
五、同角關系式的運用
新教材中，重點學習兩個同角關系式，一個是平方關系的，另一個是商數關系的。兩個公式各有應用，運用時應該注意以下幾點：
1、平方關系可以完成正餘弦的互求，注意開方時應該有兩個平方根，所以在角未受到一定的限制時，應該仔細考慮結果的符號，而無限制時就應該討論了。
2、商數關系的最大應用是「弦切互化」。注意與「餘角余函數」公式對應學習與結合運用。
六、誘導公式的理解
（1）誘導公式在教材上佔了較大篇幅，從誘導公式（一）到誘導公式（六），最後結果是：較差的學生死記硬背，學一個忘一個；中等的學生似懂非懂，會做一些簡單的題；優秀生學完之後，感覺太簡單了，不知道為什麼還要論述那麼久？你的學生是不是這樣呢？
（2）有一個口訣：「奇變偶不變，符號看象限。」多數的學生都知道，但是知其然不知其所以然。所以，好多的學生不會用。追究其原因，仍然是不理解造成的。
（3）這些公式的形式都是從一個三角函數轉化成另一個三角函數，可以同名也可以不同名。那麼，我們為什麼要轉化呢？求值？求角？還是？
（4）復雜之中，有著一絲不變的線索，它是什麼呢？——「角的變化」。事實上是把終邊相同或是關於x軸、y軸或是坐標原點對稱的角與角之間建立起來的等量關系。這些公式能把角從一個象限轉化到其它象限中，或者說是與其它象限中的某些相關角建立聯系。我們把這種聯系的起源選定，其它就都是利用上述公式「誘惑」與「引導」而來。在做題目的時候，可以有上述的體會。
（5）例如：已知sinA=-1/2，A在第四象限，請把A角表示出來。熟練的老師或是學生，可能一下就可以看出，有一個特角-30度，再加上360度的整數倍就可以了。但不熟練的學生怎麼辦呢？用誘導的辦法就可以完成。第一步：在銳角中找一個角，使它的正弦值為1/2，那麼當然是30度了。第二步：把30度誘導到第四象限，可以就是-30度，也可以是360度減去30度，第三步：把第二步的角再加上360 度的整數倍就可以了。如果想誘導到第二象限，只需用180度減；如果想誘導到第三象限，就用180 度加就好了。
（6）誘導公式口訣「奇變偶不變，符號看象限」的正確性可以用「和差角公式」去驗證，sin(π/2-x)=sin(π/2)cosx-cos(π/2)sinx=cosx。輔助角公式配合單位圓，用數量積定義去理解，acosx+bsinx=(a,b)·(cosx,sinx)，對於學生進一步理解所學知識是非常有好處的。同時，我們也不能不看到，原來的思路與方法和公式可能解決的問題是不可代替的。
七、三角函數的圖像與性質的深入思考
1、三角函數圖像的作法與其它函數的圖像的作法相同，基本步驟應該是：
（1）確定函數定義域，值域；
（2）研究單調性與奇偶性等性質；
（3）取關鍵點列表描點；
（4）結合函數的變化速度與變化趨勢連線作圖；
2、與其它函數不同的就是周期性，體會最小正周期，與起點的位置無關；
3、三角函數線是三角函數的幾何定義，它把三角函數值准確的用有向線段的數量表示出來，這為准確描點提供了保障；
4、由於圖像本身就是函數的定義的一種形式，所以對函數圖像的研究就顯得非常的重要，而函數的性質都寫在函數的圖像上，所以不必太追究性質是什麼、分幾條，而應該讓學生學會讀懂函數的圖像語言，會運用函數的圖像解題就可以了；
5、所謂深入思考就是體會函數=Asin(wx+q)+b中的各個參數對函數圖像的影響，對性質的影響，這一點應該與其它函數對照研究；
6、關於正弦與餘弦函數圖像與性質的再思考
（1）單調區間的長度為最小正周期長度的一半，單調區間的兩個端點是函數取到最值的點；
（2）函數圖像與x軸（平衡位置）的交點都是它們的對稱中心，過最大或最小值點垂直於x軸（平衡位置所在的直線）的直線都是它們的對稱軸。相鄰的對稱中心或是兩個對稱軸之間的距離應該是周期的一半；
（3）兩個函數圖像形狀相同，只是在坐標系中的位置不同，它們左右位置差周期的1/4；
（4）對於函數y=Asin(wx+q)+b或y=Acos(wx+q)+b來說，對以上三條只需進行稍微的修改即可。
八、平移與伸縮變換的引申
有好多的學生在平移與伸縮變換的時候會混淆，知其然不知所以然……。下面提出幾個問題，請各位朋友一起思考，你們在教學的時候是否對它們進行了研究？
1、對於平移口訣：「左加右減，上加下減」的理解……左是x軸的負半軸，為什麼要加呢？右是x軸的正半軸，為什麼要減呢？上是y軸的正半軸，加就好理解了，下是y軸的負半軸也是一回事。
2、對於左右平移與橫坐標的伸縮變換，如果先後順序倒置，則平移的量就可能不一致，這是為什麼呢？
3、把平移與伸縮變換推廣到一般情況應該是什麼樣的？關鍵在什麼地方？
4、左右與上下平移變換與沿某向量平移的關系如何？
5、對函數的平移與對曲線的平移有區別嗎？
6、平移函數的圖像與坐標變換怎樣進行區別？各有什麼優點？
1、對於平移口訣：「左加右減，上加下減」的理解……左是x軸的負半軸，為什麼要加呢？右是x軸的正半軸，為什麼要減呢？上是y軸的正半軸，加就好理解了，下是y軸的負半軸也是一回事。
這個問題其實是這樣的：向左移，每點的橫坐標都在減少，應該把橫坐標減去移動的量。但是，你必須把函數式y=f(x)變成x=g(y)的形式之後完成。比如：你把函數圖像向左平移了2個單位，那麼，函數式x=g(y)應該變為：x=g(y)-2。而這個式子變形之後就是：y=f(x+2)了。
別的還用說嗎？
2、對於左右平移與橫坐標的伸縮變換，如果先後順序倒置，則平移的量就可能不一致，這是為什麼呢？
同問1的回答：把函數y=f(x)變形為x=g(y)，如果向右平移a個單位，則變為x=g(y)+a，再伸縮為原來的b倍，則變為x=b[g(y)+a]，解得：y=f[(1/b)x-a]；如果橫坐標先伸縮為原來的b倍，則變為x=bg(x)，再向右平移a個單位，則變為x=bg(y)+a，解得：y=f[1/b(x-a)]。顯然所得兩函數表達式不同……
3、把平移與伸縮變換推廣到一般情況應該是什麼樣的？關鍵在什麼地方？
（1）如果把函數y=f(x)的圖像向左平移a個單位，然後再把每個點的橫坐標變為原來的b倍，則所得圖像對應的函數解析式為：y=f(bx+a)；
（2）如果把函數y=f(x)的圖像每個點的橫坐標變為原來的b倍，然後再把圖像向左平移a個單位，則所得圖像對應的函數解析式為：y=f[b（x+a)]；
仔細分析，左右的平移與每點橫坐標的伸縮都是對自變數x而言的，只對x做相應的處理。
4、左右與上下平移變換與沿某向量平移的關系如何？
左右的平移就是向量的橫坐標，上下的平移就在於向量的縱坐標，橫與縱坐標的符號代表平移的方向。目標相同，路徑不同罷了。
5、對函數的平移與對曲線的平移有區別嗎？
函數本身就是方程，所以函數圖像就是曲線，所以對曲線的平移方法可以直接用到函數中來。但是，對函數圖像的平移口訣「左加右減」不可以直接用到曲線的平移之中……原因應該由上面的可以知道了。
6、平移函數的圖像與坐標變換怎樣進行區別？各有什麼優點？
這兩者都可以完成同樣的事，那就是簡化我們要研究的函數表達或是曲線的方程，優點也與些類似。各自的優點可以通過例題來體會，不多述了。
九、和角與差角公式的推導指引
(1)cos(A-B)
(2)cos(A+B)
(3)sin(A-B)
(4)sin(A+B)
(5)tan(A-B)
(6)tan(A+B)
(7)sin2A
(8)cos2A
(9)tan2A
(10)sinAcosA
(11)(sinA)^2
(12)(cosA)^2
(13)asinA+bcosA
(14)tanA+tanB
(15)用tanA表示sin2A，cos2A，tan2A
(16)……
上述公式，每天推導三次，連續推導三天，題可做，分可拿……
請注意，是推導不是背公式啊！
十、倍角餘弦公式的變形應用
公式：cos2A=(cosA)^2-(sinA)^2=1-2(sinA)^2=2(cosA)^2-1
公式變形：(sinA)^2=1/2(1-cos2A)；(cosA)^2=1/2(1+cos2A)
上述公式與正弦二倍角公式的變形統稱「降冪公式」，對化簡三角函數式為Asin(wx+b)的形式起到非常重要的作用。
十一、解三角形的幾個關鍵點
1、三角形本身就是已知條件：（1）內角和定理；（2）邊角大小關系；
2、正弦與餘弦定理：注意應用時解的取捨；
3、面積公式：注意用內切圓半徑時，把三角形一分為三的方法，學會推導海淪公式；
4、三角形的重心、內心、外心及垂心；
小結：
1、學習線索
三角函數與其它函數一樣，學習的步驟是：
（1）定義；（2）定義域；（3）圖像；（4）性質；
但也有本身的特點，如周期性、對稱性等，所以在上述步驟中應該適應加入：
（1）同角關系式；（2）誘導公式；（3）兩角和與差公式；（4）倍角公式……；
那麼加在什麼地方？怎麼加呢？
2、學習重點
剛好回答上面的問題，那些公式都是由定義直接可以得到的，可以看成是對定義的引申。在教學時應該緊緊圍繞三角函數的定義去教學。所以，三角函數的教學重點就是三角函數的定義。
3、學習技巧
三角函數難點在三角變換，所以三角變換的技巧就是學習三角函數的技巧。一般來說可以從三個方面考慮：
（1）從角上考慮：用已知角表示未知角，教材上的例題與習題都有滲透；
（2）從函數的名稱上考慮：注意把握弦與切的互化，正弦與餘弦之間的轉化；
（3）從式子的結構上考慮：公式的每一種變形都是一道很好三角題目，只有掌握了公式的全部變形才能應用得手。如：tanB+tanC=？一般的學生不知道，尤其是當B+C為特殊角的時候，它就完成了正切和與正切積的轉化；
一般來說，上述三個方面應該同時考慮，解決了一兩個方面，其它方面自然平衡，題目可以順利完成。
『貳』 總結函數性質及其研究方法
函數的定義
（1）傳統定義：如果在某個變化過程中有兩個變數x和y，並且對於x在某個范圍內的每一個確定的值，按照某個對應法則，y都有唯一確定的值和它對應，那麼把y叫做x的函數，x叫做自變數，和x的值對應的y的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域。y是x 的函數，可以記作y ＝f（x）（f表示對應法則）。
（2）近代定義：設A、B都是非空的數的集合，f是從A到B的一個對應法則，那麼A到B的映射f : A→B就叫做A到B的函數，記作y ＝f（x），其中x �8�3 A ,y�8�3B。原象的集合A叫做函數f（x）的定義域，象的集合C叫做函數f（x）的值域，顯然C�8�2 B。
注意
①由函數的近代定義可知，函數是數集間的映射。
②對應法則f是聯系x、y的紐帶，是函數的核心，常用一個解析式表示，但在不少問題中，對應法則f也可能不便用或不能用上個解析式來表示，而是採用其他方式（如數表或圖象等）。定義域（或原象集合）是自變數的取值范圍，它是函數的一個不可缺少的組成部分，它和對應法則是函數的兩個重要因素。定義域不同而解析式相同的函數，應看作是兩個不同的函數。
③f（a）與f（x）的涵義是不同的，f（a）表示自變數x＝a時所得的函數值，它是一個常量，而f（x）是x的函數，是表示對應關系的。
2、函數的性質
（1）函數的單調性
設y ＝f（x）是給定區間上的一個函數， 是給定區間上的任意兩個值，且x1<x2，如果都有f(x1)<f(x2)，則稱f（x）在這個區間上是增函數（也稱f（x）在這個區間上單調遞增）；如果都有f(x1)>f(x2)，則稱f（x）在這個區間上是減函數（也稱f（x）在這個區間上單調遞減）。
如果函數y ＝f（x）在某個區間上是增函數或減函數，就說f（x）在這一區間上具有（嚴格）單調性，這一區間叫做f（x）的單調區間。
（2）函數的奇偶性
①如果對於函數定義域內任意一個x，都有f（－x）＝－f（x），那麼函數f（x）就叫做奇函數。
②如果對於函數定義域內任意一個x，都有f（－x）＝f（x），那麼函數f（x）就叫做偶函數。
奇函數的圖象關於原點成中心對稱圖形；偶函數的圖象關於y軸成軸對稱圖形。
3、反函數
（1）逆映射：設f : A→B是集合A到集合B上的一一映射，如果對於B中的每一個元素b，使b在A的原象a和它對應；這樣所得的映射叫做映射f : A→B的逆映射，記作：f ^-1: A→B。
註：映射f : A→B也是映射f ^-1: A→B的逆映射，而且f ^-1: A→B 也是一一映射（從B到A上的一一映射）。
（2）如果確定函數y ＝f（x）的映射f : A→B是f（x）的定義域A到值域B上的一一映射，那麼這個映射的逆映射f ^-1: A→B所確定的函數x=f^-1(y)叫做函數y ＝f（x）的反函數。
函數y ＝f（x）的定義域、值域分別是函數x=f^-1(y)的值域、定義域。
函數y ＝f（x）的反函數，習慣上寫成y=f^-1(x)。
一般地，求函數y ＝f（x）的反函數的方法是先由y ＝f（x）解出x=f^-1(y)，然後把x=f^-1(y)改寫成y=f^-1(x)。
函數y ＝f（x）和其反函數y=f^-1(x)的圖象關於直線y＝x對稱。
三角函數的圖象和性質是平面三角的主體內容，它是代數中學過的函數的重要補充．本章復習的重點是進一步熟練和運用代數中已學過的研究函數的基本理論和方法，與三角變換配合由三角函數組成的較復雜函數的性質，在諸多性質中，三角函數的周期性和對應法則的「多對一」性，又是這里的特點所在，復習中不僅要注意知識、方法的綜合性，還要注意它們在數學、生產、生活中的應用．
周期函數和最小正周期是函數性質研究的新課題，不僅要了解它們的意義，明確周期函數，函數值的變化規律，還要掌握周期性的研究對周期函數性質研究的意義，並會求函數的周期，或者經過簡單的恆等變形可化為上述函數的三角函數的周期．
三角函數指的是，，，等函數，了解它們的圖象的特徵，會正確使用「五點法」作出它們的圖象，並依據圖象讀出它們的性質，是本章的基礎．對於性質的復習，不要平均使用力量，只要強調已學函數理論、方法的運用，強調數形結合的思想，而要把重點放在周期函數表達某些性質的規范要求上．例如，對於，怎麼表述它的遞增（減）區間，怎麼表述它取最大（小）值時的取值集合，怎麼由已知的函數值的取值范圍，寫出角的取值范圍來，等等．還可對性質作些延伸，例如，研究它們的無數條對稱軸的表示，無數個對稱中心的表示等等．
正弦型函數是這里研究的又一個重點，除了會用「五點法」畫出它的簡圖外，還要從圖象變換的角度認識它與的圖象的關系，對於三種基本的圖象變換（平移變換，伸縮變換，對稱變換）進一步進行復習和適當提交．
本章復習還要注意適當提交起點，注意把簡單的三角變換與有關函數的性質結合起來，注意把三角函數和代數函數組合起來的綜合性研究，注意在函數圖象和單位圓函數線這兩工具中的綜合，擇優使用．注意從數學或實際問題中概括出來的與正弦曲線有關的問題的研究，並注意立體幾何、復數、解析幾何等內容，對平面三角要求的必要准備的復習．
本章中數學思想最重要的是數形結合，另外換元的思想，等價變換和化歸的思想，以及綜合法、分析法、待定系數法等等，在復習中應有所體現．
反函數總是相對原函數而言的，原函數如果單調，反函數也單調（當然並不是單調性完全相同），原函數定義域就是反函數的值域，原函數的值域就是反函數的定義域。其他還有周期性，對稱性，都要針對原函數來考慮。
一次函數y=kx+b (k≠0) k>0,b>0,則圖象過1,2,3象限 k>0,b<0,則圖象過1,3,4象限 k<0,b>0,則圖象過1,2,4象限 k<0,b<0,則圖象過2,3,4象限當k>0時，y隨x的增大而增大；圖像經過一、三象限當k<0時，y隨x的增大而減小；圖像經過二、四象限
『叄』 研究生畢業論文中用了數學算式,例如三角函數之類的計算方法，這屬於哪一種的研究方法
採取的研究方法為：
（1）理論分析與實證分析結合。
（2）定性分析與定量分析相結合。
（3）採用跟蹤研究的方法，對實際對象進行跟蹤研究與實驗分析。
主要實施方案如下：
（1）首先,理清思路，根據現有資料的反映,找出＃＃＃。
（2）後研究＃＃＃存在的問題。
（3）根據已有研究，對＃＃＃進行分析。
『肆』 高中的三角函數怎麼引入最好
由初中學的三角函數引入，由簡單到復雜。
單位圓研究三角函數在初高中知識銜接中的作用
初中的三角函數是在直角三角形中研究的，對於自變數「角」的范圍也只是0---90度，只是很有限。隨著工業革命的出現，實踐中問題的擴展，角的范圍不僅僅停留在銳角了；同時角的單位的度量也有很大的局限性，與實數集結合問題也凸顯出來。那麼如何將初中的這種對應關系擴展，順理成章的引入任意角的三角函數的對應關系，成了當務之急。老教材是通過三角函數線引入的，但和初中的知識連接起來有些牽強，處理的方式也很機械。現在回憶起來我上高中學習三角函數的時候，也只保留了那些記憶公式的形形色色的方法，至於知識的銜接就沒有什麼印象了。
而現行教材通過引入了單位圓使三角函數的銜接變得就順理成章了，主要表現在以下幾個方面：
1）用單位圓定義的三角函數與我們用銳角定位的三角函數是一致的。無論是銳角還是更大的角都可以通過對邊 鄰邊 斜邊之間的對應關系來得到
2）利用單位圓研究三角函數的周期性
利用單位圓可以很直觀地突出三角函數最重要的性質——周期性。在直角坐標系的單位圓中， 是單位圓的自然的動態描述，當角 增大（減小） 時，P點沿著單位圓運動最終回到原來的位置，這說明角 與角 的正弦、餘弦函數值分別不變。由此看出正弦、餘弦函數具有周期性。
3）利用單位圓的對稱性研究誘導公式
藉助單位圓的幾何直觀效果，可以幫助學生學習和理解正弦、餘弦函數的誘導公式。
在直角坐標系的單位圓中，不難看出，角 的終邊與角 的終邊關於 軸對稱，它們和單位圓的交點的縱坐標相等，橫坐標的絕對值相等且符號相反，即 。其它可同理分析。
4）利用單位圓中的有向線段表示三角函數值（三角函數線）：
三角函數線是三角函數的一種幾何表示，在舊教材中，三角函數線通過「終邊定義法」，引入單位圓，花了一節課的時間專門學習，內容詳細，沒有例題設置，需要用練習中的習題在堂上評講。
而在新課程中，因為三角函數線的作用有限，三角函數線只是作為一種工具一代而過，目的是淡化這一概念，同時突出單位圓的作用。由於應用了「單位圓定義法」，三角函數線就變得很簡單，是「數」與「形」的結合而已。三角函數線的始點與終點問題，學生可參照角 的終邊與單位圓的交點的橫、縱坐標自己推出，不用再專門規定。
5、利用單位圓中的有向線段（三角函數線）作三角函數的圖象：
通過平移（旋轉）三角函數線的方法可以得到比較精確的三角函數圖象。
總之「我們利用這個圖幾乎把三角函數所有基本性質，包括誘導公式都在這個圖里一目瞭然。所以這張圖利用單位元來理解三角函數的實質，對我們掌握單位元的性質等等都是非常方便和有利的，遠遠比我們傳統的三角函數限制要好的多。」