1. 什麼是非線性分析
根據形成原因的不同，分為3大類： 材料非線性，幾何非線性，狀態非線性。
由於材料本身非線性的應力－應變關系導致的結構響應非線性叫材料非線性。除了材料本身固有的應力－應變關系外，載入過程的不同，結構所處環境的變化（如溫度的變化）均可導致材料的應力－應變－的非線性
結構經受大變形，結構幾何形狀的變化引起的結構響應的非線性成為幾何非線性
由於結構所處狀態的不同引起的響應的非線性叫狀態非線性，狀態非線性的剛度隧狀態的變化而變化，接觸問題是最典型的狀態非線性問題。
下面重點介紹前面兩種，對兄弟會有所幫組
結構非線性中，最典型的分析是材料非線性，包括彈塑性分析，蠕變分析，超彈性分析，彈塑性分析，就是人們常說的一般指的材料非線性分析，這是重點問題。
我以金屬為例，當應力低於比例極限，應力應變是線性的，當應力低於屈服強度，材料表現為彈性行為，就是說卸載後應變消失。應力超過屈服強度，應力－應變曲線表現為非線性，這個時候產生塑性行為，也就是卸載後，變形不能完全恢復，殘留的部分變形就是塑性變形了。
對於超出屈服強度的部分，因為是塑性變形，所以要用塑性力學來求解，此時的分析手段，是屈服准則和強化准則，我們對屈服准則要重點掌握。
我再說什麼是屈服准則，當物體內一點出現塑性變形是，其所受應力必須滿足的條件叫屈服准則，結構處於一般應力狀態是，是否到達屈服強度是需要通過屈服准則來檢驗的。也就是說，給結構載入，怎麼判斷是否屈服了？就用理論上的一些判定原則，如果這些原則滿足（充分條件滿足），那麼，結構就達到了屈服強度。例如，單向受拉，用軸向應力與材料屈服應力決定是否有塑性。
屈服准則的值，叫等效應力，也可以說，等效應力隨著載入而增大到超過屈服應力是，就發生塑性變形。通用的屈服准則是Von Mises准則。這種准則除了土壤和脆性材料不能用，其他都可以用，特別針對金屬效果良好。脆性材料使用的准則是莫爾－庫倫准則。
講了這么多的屈服准則，那麼和屈服准則同樣重要的強化准則，分為等向強化和隧動強化。強化准則是塑性力學的重要組成部分喲。強化准則描述的是，初始的屈服准則隨塑性應變增加的發展規律。（我們這樣理解，屈服准則看成是滿足一個方程的變數，因變數是各種變化的因素，作為屈服准則的值的變數就跟著變化，而我們稱這個變數叫「屈服准則」）。
隨動強化假定屈服面的大小保持不變，而僅僅宰屈服的方向上移動，某方向的屈服應力升高，相反方向的屈服應力降低。
等向強化是屈服面以材料中所作塑性功的大小為基礎宰尺寸上擴張。對於Von Mises屈服准則來說，屈服面宰所有方向上均勻擴張。
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對於幾何非線性來說，屈曲分析，是幾何非線性的重要例子。可以這么想，之所以叫幾何非線性，我們想想一個直桿彎曲成Ｕ型,你說這個變形是不是很大,是不是幾何形狀都發生了分本的改變.這時,是應變-饒度非線性,而不是應變-應力非線性了.注意喲,雖然二者宰 force-deflection的圖上都表現出非直線的關系,但是本質是不同的stress-strain-deflection 注意strain是和stress的非線性,還是和deflection的非線性.
屈曲分析大量存在於鋼結構中,大跨度結構中,高層結構中只要是鋼結構的屈曲分析十分重要,因為她太柔了!你想像一根頭發,噴點定型水,她可以保持數值挺立,但是你大吹一口氣,他是會彎的喲,如果這等效的氣流產生的力作用在頭發的橫截面上,是不能拉斷頭發的.這個就是屈曲分析的穩定的含義和承載力的區別(彈性和塑性可以堪稱承載力).
我們說屈曲分析是研究結構或構建的平衡狀態是否穩定的問題.處於平衡位置的結構或構建在任意微小的外界擾動下,將偏離平衡位置,當擾動出去後,又恢復到平衡位置,這說明處置的平衡位置是穩定的,比若說小時候玩的不倒嗡,他最後還是會樹立起來,可以相似的這么理解.如果不能回到初始的平衡位置,則說他是不穩定的,從初始平衡位置轉變到另一個平衡位置,成為屈曲或者失穩.你可以這么想像,和人一樣高的兩個木樁放在水平地上,一個想手指頭一樣細,一個想沙發一樣大的橫截面,你說我對他們各踢一腳,誰會倒下去?但注意,這個時候他們都是完好的,我踢一腳,不能讓他們損壞,但是可以讓他失穩---倒下去.
規范中的計算長度,也就是這個意思,當然還包含其他的一些意圖,但本質就是考慮失穩的問題.
在我們實際的工程中,分枝點失穩(想像成一個小時候玩的彈弓那種圖象的樣子),和極值點失穩(想像y=Sinx在0-180度的樣子).我們用屈曲分析要作的,就是在x坐標為deflection,y坐標為froce的坐標中,對應著彈弓丫分叉點,sinX|90度,時的force和deflection是多少,這就是我們對於幾何非線性要作的工作.
我們一般用非線性屈曲分析,和線性屈曲分析來進行判斷求丫的分叉點,和類似正弦圖象的最高點的值.
非線性屈曲分析是進行倒結構的限制荷載或最大荷載結束.分析中包含了塑性非線性的問題.非線性屈曲分析考慮了結構的初始缺陷問題,結構比特徵值的屈曲分析精確,是可以用在實際工程中的.
而特徵值屈曲分析,是基於理想彈性結構的理論屈曲分析.用來估計理想彈性結構的理論屈曲強度.所得到的屈曲荷載比實際結構的承受能力荷載要大,是個非保守的值,不能用於實際工程.但是考慮倒特徵值屈曲荷載是預期線性屈曲荷載的上限,特徵值矢量屈曲形狀可以作為非線性屈曲分析時施加初始缺陷或擾動的依據.
我們這么想像:如果發生了特徵值屈曲,那麼發生屈曲的這個荷載完全可以讓結構發生非線性屈曲.那麼我們就把線性屈曲分析失穩時的deflection縮小(乘以一個小於1的數),所為進行非線性屈曲分析時對結構初始缺陷的考慮.需要介紹的時,這個方法,是進行二階計算的一個簡化方法.另外一個二階計算方法考慮的模型是剛塑性分析(把節點考慮為發生塑性變化,成為塑性鉸,而結點以外樑柱其他地方仍然認為是剛性).
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寫了這些,介紹了材料非線性屈服准則強化准則等向強化准則
隨動強化准則幾何非線性屈曲分析分枝點失穩極值點失穩分析手段非線性屈曲分析
線性屈曲分析順便介紹了二階效應考慮的兩種方法剛塑性法初始缺陷模擬(非官方術語)最後的狀態非線性,就不介紹了,手酸了,接觸問題,不是我們遇到最多的,從概率來書,掌握前面我講的,已經夠了.特別說明,前面的內容,對強化准則和屈服准則,涉及塑性力學,請查閱相關文獻.