數學思想方法的研究課題

㈠ 小學數學教學中如何應用數形結合思想的研究

一、研究背景：數學是研究客觀世界的空間形式與數量關系的科學，數是形的抽象概括，形是數的直觀表現。華羅庚先生指出，數缺形時少直觀，形少數時難入微。數形結合既是一個重要的數學思想，又是一種常用的數學方法。數形結合在數學解題中有重要的指導意義，這種「數」與「形」的信息轉換，相互滲透，即數量問題和圖象性質是可以相互轉化的，這不僅可以使一些題目的解決簡捷明快，同時還可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數學問題開辟了一條重要的途徑。長期以來，在教學中數學知識是一條明線，得到數學教師的重視；數學思想方法是一條暗線，容易被教師所忽視。在我們的小學數學教學中，如果教師能有意識地運用數形結合思想來設計教學，那將非常有利於學生從不同的側面加深對問題的認識和理解，提供解決問題的方法，也有利於培養學生將實際問題轉化為數學問題的能力。「數形結合」對教師來說是一種教學方法、教學策略，對學生來說是一種學習方法，如果長期滲透，運用恰當，則使學生形成良好的數學意識和思想，長期穩固地作用於學生的數學學習生涯中。作為一線教師，如何系統的運用數形結合思想進行數學教學，是我們面臨的一個極富實踐價值的重要課題。二、研究價值：1、通過組織、實施本課題的研究，提高教師對數形結合思想的理解，加深對教材中數形結合思想的分析能力。能在平時的教學中，時刻注意滲透數形結合思想，提升教師自身的專業素養。2、通過組織、實施本課題的研究，提升學生的思維水平，提高學生應用數形結合思想解決實際問題的能力，以適應未來社會發展的需要。三、研究目標： 1、教師有意識地運用數形結合思想進行教學設計，化抽象為形象，創造性地開發課程資源，有效地提高課堂教學質量。 2、研究「數形結合」在小學數學四至六年級領域中的應用，分階段、有層次的滲透數形結合思想。 3、通過「數形結合」有效地提高學生學習數學的興趣，使數形結合成為學生重要的學習方法，能運用數形結合創造性地解決抽象的數學問題。在不斷地「探索」與「創造」中構建屬於個人的數學思想。四、概念界定：1、數形結合：「數」和「形」是數學中兩個最基本的概念，「數」，屬於數學抽象思維范疇，是人的左腦思維的產物；而「形」主要指幾何圖形，屬於形象思維范疇，是人的右腦思維的產物。它們既是對立的，又是統一的，每一個幾何圖形中都蘊含著與它們的形狀、大小、位置密切相關的數量關系；反之，數知顫量關系又常常可以通過幾何圖形做出直觀地反映和描述。數形結合的實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，化難為易，化抽象為直觀．使人充分運用左、右腦的思維功能，相互依存、彼此激發，全面、協調、深入發展人的思維能力。2、數形結合思想：所謂數形結合思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想，是一種可使復雜問題簡單化、抽象問題具體化的常用的數學思想方法。主要有以下幾種解題思路：（1）以「數」變「形」；（2）以「形」變「數」；（3）「形」「數」互變。3.「滲透」指某種思想方法在某個實踐過程中逐漸的滲入利用，這里主要指在小學數學課堂教學中逐步滲透數形結合思想方法。五、研究內容：1、數形結合思想在「數與代數」知識領域中的應用。2、數形結合思想在「空間與圖形」知識領域中的應用。3、數形結合思想在「統計與概率」知識領域中的應用。4、數形結合思想在「實踐與綜合運用」知識領域中的應用。六、研究思路：1、學習查找相關理論資料；2、開始分年級教師進行具體研究旁猛嫌；3、在具體的實踐中進一步完善研究內容和研究措施；4、最後對研究效果進行提升，形成課題成果報告。七、研究方法：1.調查法：調查當前小學數學教師對數形結合思想在教學中滲透的認識，調查當前運手學生對數形結合思想來解題的認識狀態。2、文獻研究法：收集、學習、整理有關滲透數學思想方法以及數形結合思想的相關文獻資料並加以分析，以供實驗研究。3、案例研究法：選擇不同領域的教學內容（數與代數、空間與圖形、統計與概率、實踐與綜合運用）中的素材，作為案例進行分析研究，尋求在不同數學學習領域中有效滲透數形結合思想的途徑與模式。4、經驗總結法：把實驗過程中積累的經驗加以總結、歸納並在實驗過程中加以論證。

㈡ 如何在小學數學教學中滲透數學思想方法課題研究總結

1、在小學數學教學中滲透數學思想方法的途徑
（1）備課：研讀教材、明確目標、設計預案，挖掘數學思想方法
「凡事預則立，不預則廢」。如果課前教師對教材內容的教學適合滲透哪些思想方法一無所知，那麼課堂教學就不可能有的放矢。受篇幅的限制，教材內容較多顯示的是數學結論，對數學結論裡面所隱含的數學思想方法以及數學思維活動的過程，並沒有在教材里明顯地體現。因此教師在備課時，不應只見直接寫在教材上的數學基礎知識與技能，而是要進一步鑽研教材，創造性地使用教材，挖掘隱含在教材中的數學思想方法，並在教學目標中明確寫出滲透哪些數學思想方法，並設計數學活動落實在教學預設的各個環節中，實現數學思想方法有機地融合在數學知識的形成過程中，使教材呈現的知識技能這條明線與隱含的思想方法的暗線同時延展。為此，教師在研讀教材時，要多問自己幾個為什麼，將教材的編排思想內化為自己的教學思想，如：怎樣讓學生經歷知識的產生與發展的過程？怎麼樣才能喚起學生進行深層次的數學思考？如何激發學生主動探究新知識的積極性？如何依據教材適時地滲透數學思想方法等等，教師只有做到胸有成竹，方能有的放矢。
（2）上課：創設情境、建立模型、解釋應用，滲透數學思想方法
數學是知識與思想方法的有機結合，沒有不包含數學思想方法的數學知識，也沒有游離於數學知識之外的數學思想方法。這就要求教師在課堂教學中，在揭示數學知識的形成過程中滲透數學思想方法，在教給學生數學知識的同時，也獲得數學思想方法上的點化。教師積極地在課堂中滲透數學思想方法，體現了教師在教學中的大智慧，也為學生的學習開辟了一個廣闊的新天地。不同的教學內容，不同的課型，可據其不同特點，恰當地滲透數學思想方法。以下面三種課型為例。
①新授課：探索知識的發生與形成，滲透數學思想方法
數學知識發生、形成、發展的過程也是其思想方法產生、應用的過程。在此過程中，向學生提供豐富的、典型的、正確的直觀背景材料，採取「問題情境—建立模型—解釋、應用與拓展」的模式，通過實際問題的研究，了解數學知識產生的背景，再現數學形成的過程，揭示知識發展的前景，滲透數學思想，發展學生的思維能力，使學生在掌握數學知識技能的同時，即學會數學概念、公式、定理、法則等的過程中，深入到數學的「靈魂深處」，真正領略數學的精髓——數學思想方法。比如在質數、合數的概念教學中讓學生用小正方形拼長 方形，把質數、合數的概念潛藏在圖形操作（如右圖），明白「質數個」小正方形只能拼成一個長方形，而「合數個」小正方形至少能拼成兩個不同形狀的長方形（含正方形），滲透數形結合的思想，再通過給這些數分類，引入質數、合數的概念，滲透分類思想。又如在《三角形分類》一課中，教師給學生提供了三角形學具先放手讓學生在小組合作中嘗試對三角形進行分類，學生從關注三角形的角與邊的特徵入手，藉助學具看一看、比一比、量一量、分一分、想一想，尋找特徵、抽象共性，在比較中將具有相同特徵的三角形歸為一類，在分類中抽象出圖形的共同特徵。這樣的教學，學生經歷了三角形分類的過程，滲透了分類、集合的思想，豐富了分類活動的經驗，形成分類的基本策略，發展了歸納能力。
②練習課：經歷知識的鞏固與應用，滲透數學思想方法
數學知識的鞏固，技能的形成，智力的開發，能力的培養等需要適量的練習才能實現。練習課的練習不同於新授課的練習，新授課中的練習主要是為了鞏固剛學過的新知，習題側重於知識方面；而練習課中的練習則是為了在形成技能的基礎上向能力轉化，提高學生運用知識解決實際問題的能力，發展學生的思維能力。因此教師要有數學思想方法教學意識，在練習課的教學中不僅要有具體知識、技能訓練的要求，而且要有明確的數學思想方法的教學要求。例如在《6的乘法口訣》練習課中，學生在完成想一想、算一算的練習中，先讓學生計算，再通過交流自己的演算法，以「7×6+6」為例，藉助圖片用課件演示來理解式子的意義，運用數形結合啟發將式子轉化為8×6來計算，滲透變換的思想，懂得兩個式子形式雖不同，表示的意義以及結果是相同的。又如讓學生算一算每個圖中各有多少個格子，之後教師要啟發學生怎樣將圖形轉化成同第一個圖形那樣的圖形，可以直接用口訣計算？學生通過實際操作，動手剪一剪、拼一拼，轉化成長方形後分別用6×3、4×3來計算，從而感受到轉化思想的魅力。
「咱們要教給孩子們什麼？」「數學的學習主要是學習思想和方法以及解題的策略」，因此我們要在練習的過程中不斷地總結和探索，從中尋找共性，呈現給孩子最有價值、最本質的東西——數學思想方法。
③復習課：學會知識的整理與復習，強化數學思想方法
復習有別於新知識的教學。它是在學生基本掌握了一定的數學知識體系、具備了一定的解題經驗，學生基本認識了某些數學思想方法的基礎上的復習數學。數學思想方法總是隱含在數學知識中，它與具體的數學知識結合成一個有機整體，但它卻無法像數學知識那樣編為章節來教學，而是滲透於全部的小學數學知識中。不同章節的數學知識往往蘊含著不同的數學思想方法，有時在一章或一單元的教學中，又涉及很多的數學思想方法。因此教師在上復習課前，教師要能總體把握教材中隱含的思想方法，明確前後知識間的聯系，做到「瞻前顧後」，並把數學思想方法的滲透落實到教學計劃中。復習時,除了幫助學生掌握好知識與技能，形成良好的認知結構外，還必須加強數學思想方法的滲透，適時地對某種數學思想方法進行揭示、概括和強化,對它的名稱、內容及其運用等予以點撥,使學生從數學思想方法的高度把握知識的本質和內在的規律,逐步體會數學思想方法的價值。如在復習多邊形的面積推導時，教師可引導學生思考：平行四邊形、三角形、梯形的面積計算公式各是怎樣推導的?有什麼共同點？讓學生提煉概括：學習平行四邊形面積計算時，我們應用割補法把它轉化成學過的長方形來推導；學習三角形和梯形的面積計算時，我們用兩個完全相同的圖形來拼合或把一個圖形割補轉化成學過的圖形來推導……經過系列概括提煉，學生得出其中重要的思想方法——轉化思想。學生一旦掌握了數學思想方法，不僅能使學生的知識結構更完善，還特別有助於今後的學習和運用。因為掌握了數學的思想方法，學生面對新的問題時將懂得怎樣去思考，真正實現質的「躍」。
（3）作業：掌握知識、形成技能、發展智力，應用數學思想方法
精心設計作業也是滲透數學思想方法的一條途徑。把作業設計好，設計一些蘊含數學思想方法的題目，採取有效的練習方式，既鞏固了知識技能，又有機地滲透了數學思想方法，一舉兩得。為此教師布置作業要有講究，在學生作業後，要不失時機地恰當地點評，讓學生不僅鞏固所學知識、習得解題技能，更重要的是能悟出其中的數學規律、數學思想方法。再如一位六年級老師布置了下面這道課後思考題。
在作業講評中，教師不僅要給出答案，更重要的是啟發學生思考：你是怎樣算的？是怎麼想的？其中運用了什麼思想方法？ 結合上圖引導學生概括出其中的思想與方法：類比思想、數學建模思想、極限的思想、數形結合的思想。
（4）課外：培養興趣、增長見識、培養能力，提升數學思想方法
學校開展數學課外活動是課內教學的重要補充。根據學生的學習水平在年段里開設有關數學思想方法內容的講座，如果平時教學中的數學思想方法的點滴滲透是「美味點心」的話，那麼專題講座對學生來說就是「豐盛大餐」了，學生比較系統地了解了常見的數學思想方法以及應用，拓展學生的眼界；數學思想方法的滲透和數學課外實踐活動相結合可以使二者相得益彰，定期開展數學實踐活動可以發展學生的動手實踐能力和創新意識，發展學生應用數學思想方法解決問題的能力；定期開展數學智力競賽，不但激發優生學習數學的積極性，也考察學生掌握數學思想方法的情況；學生編數學小報、出板報等活動，可以增長學生見識，了解較多相關知識。形式多樣的數學課外活動，使數學思想方法潛移默化，引導學生在學與用中提升了對數學思想方法的認識。

㈢ 研究性學習課題 高中數學思想方法探究

其實吧~現在差也別著急迷茫。我剛高考完前幾天。我好玩，其他科可不錯 ，可高一時數學沒咋聽，當時題簡單，150分含金量低，可我一直都是110多或120多，敬液很次。就剛入學時立了志考了140多。高二時認真聽講，數學不錯。到了高三一綜合，我前兩次模擬都是考了90多分，一下落到了年級30多名，急死了。於是上課認真聽講，超認真做筆記，作業跟老師進度寫（到高三你就會明白，跟進度寫練習也不是件容敬衡易事)，春節前我已經把以前的補上了，題難，但我考了139.春節後我開始做練習，有段時間保證每天一套數學卷。成績穩定在了130甚至135以上。高考前我把以前的卷子翻了一遍（超級厚），這次高考我數學估分142.還不錯，就一道大題第二問沒寫完。
所以說，上課認真聽講，超認真做筆記，作業跟老師進度寫，考前翻卷子，再加上記性好，你完全可以學好，現在不用著急~！~~`嘿嘿~ 我是高三才這樣亮稿做的，都後悔死了。而你很有潛力，還有3年呢！數學好了後我成績穩定在了年級15名之前。。。。

㈣ 如何引導學生感悟數學思想方法

摘要：數學思想方法是數學的靈魂，兩次課標的修改看出對數學思想方法的關注，這是一種全新的教育觀，要引起教師的重視並加以研究落實。我們學校課題組研究了數學思想方法的教材體系，並在課堂教學中予以體現。
關鍵詞：數學思想方法感悟數學素養提升
數學思想方法是數學的靈魂，我們的數學課堂，應該致力於追求數學思想方法的價值引領，充分挖掘教材中的數學思想方法，在教學中有意識、有效地加以滲透，讓學生在潛移默化中去領悟、運用，並逐步內化為數學思維品質，進而提升學生的數學素養。小學數學青島版教材設置了專題《智慧廣場》，旨在讓學生了解與掌握一些基本的解決問題的策略與方法，凸顯數學思考，促進學生思維發展。我們學校數學課題組以「感悟數學思想方法，提升學生數學素養」為課題，深入研究《智慧廣場》這種課型的課堂教學，有了一些自己的想法，總結一下我們的做法供同行們商榷。
一、挖掘教材中蘊含的數學思想方法
研究中我們堅持教材分析的整體性。作為小學數學教師，我們應該深刻理解小學數學的知識體系，能夠從數與代數、圖形與幾何、統計與概率、實踐與綜合應用四個方面，通曉小學數學全部的教學內容，逐步了解各部分滲透的數學思想方法，以便滲透時逐步推進，避免顧此失彼。因此，在研究中，我們堅持教材研究的整體性，認清教材特點，梳通教材脈絡，理清教材思路，從整體上構建教材中數學思想的立體框架。
青島版修訂教材設計了明、暗兩條線。1．暗線，即將基本的數學思想方法滲透於各單元知識教學之中。使學生在學知識的過程中，不僅領略到數學思想方法的魅力，而且還能從數學思想方法的角度，理性地認識數學規律，提升數學思考力；2．明線，即單獨設置欄目與專題，助推「思想方法」目標的有效落實。一是保留原教材「聰明小屋」欄目，安排了諸如找規律、簡單的推理等內容，給學生提供了一個自主探索平台，促進學生思維的發展。「聰明小屋」欄目中的題目，大都是一些運用小規律、小策略解決的問題，由學生自主探究就可以解決；二是新增「智慧廣場」專題，梳理出小學數學基本的數學思想方法，進而舉一反三，增長學生聰明才智。
課題研討中，我們充分抓住這兩條線，同時襲櫻談推進，老師們梳理了智慧廣場專題教材體系、聰明小屋編排，便於從整體上把握方法結構；接著又梳理了各教材在單元體系中蘊含的思想方頌猛法，把散落於教材中的思想方法提煉出來，便於教師從整體上構建立體框架。
二、抓住核心概念成就課堂亮點
比如三年級《周期的問題》一課，我們根據教材的結構和編寫特點，以及三年級學生的認知和心理特點，巧妙處理了以下兩個問題，有效地凸顯了課程標准中的幾個核心概念：模型思想，推理能力，應用意識和創新意識。
1.關注學生探索過程，引導學生有效建模。
本堂課，我們注重突出學生自主建模的全過程，在一系列的數學活動中，讓學生體驗了建模准備、自主建模、模型應用再到模型拓展的數學學習模式。
首先，建模准備。為保證學生自主建模活動的高效開展，我們先引領學生建構現象模型，在輕松的翻動日歷中，通過觀察與分析，認識一周為7天的周期現象，感知時間的周期現象的特點。
第二，自主建模。在這一階段，我們只是向學生呈現了實際問題原型，而問題的探索與解決都由學生自主完成。學生能夠探索出列舉、推算，計算等方法；學生在對比方法時、在方法梳理時主動提煉模型。這一系列的數學化歷程都是學生自主建模的過程。
第三，模型應用。學生通過上述數學活動，自主建構數學模型之後，教師及時引導學生，應用模型解決問題。
最後，模型拓展。全課結束前讓孩子找生活中的周期現象，使學生對周期模型的探索之情還將延續,學生所建模型的層次也將不斷上升延伸。
這樣的設計，有利於學生經歷完整的建模過程，使學生充分地體驗數學學習的過程，建立模型，由此積累數學學習的經驗，從而建立數學學習的信心。
2.關注數學思想方法，注重梳理提升建構。
（1）以點串線，對本課的方法進行梳理提升。在所有的方法交流完之後，繼續引領學生進行梳理，把這三種方法整理在一起，然後讓學生進行觀察發現：仔細觀察列舉，推算，計算這三種方法你有什麼發現？學生就會對這些方法進行對比，發現各種方法的優缺點，能夠促使學生對方法主動地進行優化。同時引導學生發現這幾種方法都利用了一個周期是7天這個規律，再更深層次把握解決周期問題方法的實質。
（拍碰2）以點帶面，對整個方法體系進行建構歸網。其實時間的周期問題並不是孤立存在的，有一定的知識基礎的。二年級時，學生學過了一個智慧廣場——圖形的周期問題，還學會了一一列舉、表格列舉等解決問題的方法，本節課是周期問題的進一步深化和應用。將剛學知識方法與以前的知識方法建立聯系，形成網路，就尤為重要了。所以我們又藉助微視頻，將圖形的周期問題和時間的周期問題放在一起進行對比梳理，能夠引導學生對周期問題有更深的把握，對解決這類問題的方法形成了一種模式，有效的幫助學生積累數學活動經驗，建立數學活動模型。這一有效梳理，給學生形成一個方法串，有助於幫助學生策略的提升和方法的梳理建構、歸網，促進學習的方法內化。

㈤ 如何認識在中學數學教學中數學思想方法的地位與作用

一、數學思想方法教學與能力的關系
思想方法就是客觀存在反映在人的意識中經過思維活動而產生的結果，它是從大量的思維活動中獲得的產物，經過反復提煉和實踐，一再被證明為正確、可以反復被應用到新的思維活動中，並產生出新的結果。數學思想方法，就是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人的意識中，經過思維活動而產生的結果，它是對數學事實與數學理論（概念、定理、公式、法則等）的本質認識。所以，數學思想是對數學知識的本質認識，是對數學規律的理性認識，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點，它在認識活動中被反復運用，帶有普遍的指導意義，是建立數學和用數學解決問題的指導思想。數學方法是指從數學角度提出問題、解決問題（包括數學內部問題和實際問題）的過程中所採用的各種方式、手段、途徑等。數學思想和數學方法是緊密聯系的，一般來說，強調指導思想時稱數學思想，強調操作過程時稱數學方法。
數學思想方法是形成學生的良好的認知結構的紐帶，是由知識轉化為能力的橋梁。中學數學教學大綱中明確指出：數學基礎知識是指數學中的概念、性質、法則、公式、公理、定理以及由其內容所反映出來的數學思想方法。數學思想和方法納入基礎知識范疇，足見數學思想方法的教學問題已引起教育部門的重視，也體現了我國數學教育工作者對於數學課程發展的一個共識。這不僅是加強數學素養培養的一項舉措，也是數學基礎教育現代化進程的必然與要求。這是因為數學的現代化教學，是要把數學基礎教育建立在現代數學的思想基礎上，並使用現代數學的方法和語言。因此，探討數學思想方法教學的 一系列問題，已成為數學現代教育研究中的一項重要課題。
從心理發展規律看，初中學生的思維是以形式思維為主向辨證思維過渡，高中學生的思維則是辨證思維的形成。進行數學思想方法教學，不僅有助於學生從形式思維向辯證思維過渡，而且是形成和發展學生辯證思維的重要途徑。
從認知心理學角度看，數學學習過程是一個數學認知結構的發展變化過程，這個過程是通過同化和順應兩種方式實現的。所謂同化，就是主體把新的數學學習內容納入到自身原有的認知結構中去，把新的數學材料進行加工改造，使之與原教學學習認知結構相適應。所謂順應，是指主體原有的數學認識結構不能有效地同化新的學習材料時，主體調整成改造原來的數學內部結構去適應新的學習材料．在同化中，數學基礎知識不具備思維特點和能動性，不能指導「加工」過程的進行。而心理成份只給主體提供願望和動機，提供主體認知特點，僅憑它也不能實現「加工」過程。數學思想方法不僅提供思維策略(設計思想)，而且還提供實施目標的具體手段(解題方法)。實際上數學中的轉化、化歸就是實現新舊知識的同化。與同化一樣，順應也在數學思想方法的指導下進行。積極進行數學思想方法教學，將極大地促進學生的數學認知結構的發展與完善。
從學習遷移看，數學思想方法有利於學生學習遷移，特別是原理和態度的遷移，從而可以極大地提高學習質量和數學能力。布魯納認為 「學習基本原理的目的，就在於促進記憶的喪失不是全部喪失，而遺留下來的東西將使我們在需要的時候得以把一件件事情重新構思起來。高明的理論不僅是現在用以理解現象的工具，而且也是明天用以回憶那個現象的工具。」由此可見，數學思想方法作為數學學科的「一般原理」，在教學中是至關重要的，因此，對於中學生，不管他們將來從事什麼工作，唯有深深地銘刻於頭腦中的數學思想方法將隨時隨地發生作用，使他們受益終生。
二、數學思想方法的教學原理
數學思想方法的教學原理是說明數學思想方法的教學規律的。中學數學的課程內容是由具體的數學知識與數學思想方法組成的有機整體，現行數學教材的編排一般是沿知識的縱方向展開的，大量的數學思想方法只是蘊涵在數學知識的體系之中，並沒有明確的揭示和總結。這樣就產生了如何處理數學思想方法教學的問題。進行數學思想方法的教學，必須在實踐中探索規律，以構成數學思想方法教學的指導原則。數學思想方法的構建有三個階段：潛意識階段、明朗和形成階段、深化階段。一般來說，應以貫徹滲透性原則為主線，結合落實反復性、系統性和明確性的原則．它們相互聯系，相輔相成，共同構成數學思想方法教學的指導思想。（如下圖所示）

1．滲透性原則：在具體知識教學中，一般不直接點明所應用的數學思想方法，而是通過精心設計的學習情境與教學過程，著意引導學生領會蘊涵在其中的數學思想和方法，使他們在潛移默化中達到理解和掌握。數學思想方法與具體的數學知識雖然是一個有機整體，它們相互關聯，相互依存，協同發展，但是具體數學知識的數學並不能替代數學思想方法的數學。一般來說，數學思想方法的教學總是以具體數學知識為載體，在知識的教學過程中實現的。數學思想是對數學知識和方法本質的認識，數學方法是解決數學問題、體現數學思想的手段和工具。所以，數學思想方法具有高度的抽象性與概括性。如果說數學方法尚具有某種外在形式或模式，那麼作為一類數學方法的概括的數學思想，卻只表現為一種意識或觀念，很難找到外在的固定形式。因此，數學思想方法的形式絕不是一朝一夕可以實現的，必須要日積月累，長期滲透才能逐漸為學生所掌握。
數學思想方法的滲透主要是在具體知識的教學過程中實現的。因此，要貫徹好滲透性原則，就要不斷優化教學過程。比如，概念的形成過程；公式、法則、性質、定理等結論的推導過程；解題方法的思考過程；知識的小結過程等，只有在這些過程的教學中，數學思想方法才能充分展現它們的活力。取消或壓縮教學的思維過程，把數學教學看為知識結論的教學，就失去了滲透數學思想方法的機會，使數學思想方法無有用武之地。
2．反復性原則：學生對數學思想方法的領會和掌握只能遵循從個別到一般，從具體到抽象，從感性到理性，從低級到高級的認識規律。因此，這個認識過程具有長期性和反復性的特徵．
從一個較長的學習過程看，學生對每種數學方法的認識都是在反復理解和運用中形成的，其間有一個由低級到高級的螺旋上升過程．如對同一數學思想方法，應該注意其在不同知識階段的再現，以加強學生對數學思想方法的認識．
另外，由於個體差異的存在，與具體的數學知識相比，學生對數學思想方法的掌握往往表現出更大的不同步性．在教學中，應注意給中差生更多的思考，接受理解的時間，逾越了這個過程，或人為地縮短，會導致學生囫圇吞棗，長此以往，會形成好的更好，差的更差的兩極分化局面。
3．系統性原則：與具體的數學知識一樣，數學思想方法只有形成具有一定結構的系統，才能更好地發揮其整體功能。數學思想方法有高低層次之別，對於某一種數學思想而言，它所概括的一類數學方法，所串聯的具體數學知識，也必須形成自身的體系，才能為學生理解和掌握，這就是數學思想方法教學的系統性原理。
對於數學思想方法的系統性的研究，一般需要從兩個方面進行：一方面要研究在每一種具體數學知識的教學中可以進行哪些數學思想方法的教學。另一方面，又要研究一些重要的數學思想方法可以在那些知識點的教學中進行滲透，從而在縱橫兩個維度上整理出數學思想方法的系統。例如《數列》這一章，就體現了函數與方程、等價轉化、分類討論等重要的數學思想以及待定系數法、配方法、換元法、消元法、「歸納一猜想一證明」等基本的數學方法。
4．明確性原則：在中學數學各科教材中，數學思想方法的內容顯得薄弱，除了一些具體的數學方法比較明確外，一些重要的數學思想方法都沒有比較明確和系統的闡述，而它們一直蘊含在基礎知識的教學之中。從數學思想方法教學的整個過程來看，只是長期、反復、不明確的滲透，將會影響學生認識從感性到理性的飛躍，妨礙了學生有意識地去掌握和領會。滲透性和明確性是數學思想方法教學辯證的兩個方面。因此，在反復滲透的教學過程中，利用適當時機，對某些數學思想方法進行概括、強化和提高，對它的內容、名稱、規律、使用方法適度明確化，是掌握、運用數學思想方法並轉化為能力的前提，所以數學思想方法的教學應貫徹明確性原則。貫徹數學思想明確化原則，是讓學生理解數學思想的關鍵，是熟練掌握、靈活運用、轉化為能力的前提。
例如在解題教學中，可經常採用一題多解，多題一解的教學方法明確數學思想方法。一題多解是運用不同的數學思想方法，尋求多種解法；多題一解又是運用同一種數學思想方法於多種題目之中。但是在教學中，往往缺乏從數學思想方法的高度去闡明其中的本質和通法。我們在解題教學中，將蘊含其中的數學思想方法明確化，有利於學生掌握其中規律，使學生的認識能力產生飛躍。
三、中學數學中的主要思想方法
1．中學數學中的主要思想：函數與方程思想，數形結合思想，分類討論思想，化歸與轉化思想。
（1）函數與方程思想：就是用函數的觀點、方法研究問題，將非函數問題轉化為函數問題，通過對函數的研究，使問題得以解決。通常是這樣進行的：將問題轉化為函數問題，建立函數關系，研究這個函數，得出相應的結論。中學數學中，方程、數列、不等式等問題都可利用函數思想得以簡解；幾何量的變化問題也可以通過對函數值域的考察加以解決。例如1990年全國高考題：如果實數x、y滿足（x-2）2 + y2 =3，那麼的最大值是 。分析：為分離出，先給已知等式兩邊同除以x2，得.分離變數與，得==.此式表示是的二次函數，易知當=2即x=時，有最大值3，則有最大值．此題不是函數而看成函數，這不正是函數思想的實質嗎？
（2）數形結合思想:數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學,因而數學研究總是圍繞著數與形進行的。「數」就是方程、函數、不等式及表達式，代數中的一切內容；「形」就是圖形、圖象、曲線等。數形結合的本質是數量關系決定了幾何圖形的性質，幾何圖形的性質反映了數量關系。數形結合就是抓住數與形之間的內在聯系，以「形」直觀地表達數，以「數」精確地研究形。華羅庚曾說：「數缺形時少直覺，形缺數時難入微。」通過深入的觀察、聯想，由形思數，由數想形，利用圖形的直觀誘發直覺。例如：已知x1是方程x+ lgx =3的根，x2是x+10x =3的根，則x1+x2等於（ ）（A）6（B）3（C）2（D）1 . 分析：構造函數y=lgx，y=10x，y=3－x，由於y=lgx與y=10x互為反函數，圖象關於直線y=x對稱，而直線y=3－x 與y=x互相垂直，所以y=3－x與y=lgx和y=3－x與y=10x的交點P1（x1，y1）P2（x2，y2）是關於直線y=3－x 與y=x的交點M（x0，y0）對稱的，故x1+x2=2 x0=3，選（B），（圖略）．
（3）分類討論思想：就是根據數學對象本質屬性的共同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的思想方法，分類是以比較為基礎的，它能揭示數學對象之間的內在規律，有助於學生總結歸納數學知識，使所學知識條理化。
數學中的分類有現象分類和本質分類兩種，前一種分類是以分類對象的外部特徵、外部關系為根據的，如復數分為實數與虛數等，這種分法看上去一目瞭然，但不能揭示所分對象之間的本質聯系；後一種分類是按對象的本質特徵、內部聯系進行分類的，如函數按單調性或有界性分類，多面體按柱、錐、台分類等。引起分類討論的主要原因有：①由數學概念引起的分類討論；②由數學定理、性質、公式的限制條件引起的分類討論；③由數學式子的變形所需要的限制條件引起的分類討論；④由圖形的位置和大小的不確定性而引起的分類討論；⑤對於含有參數的問題要對參數的允許值進行全面的分類討論。
（4）化歸與轉化思想：在教學研究中，使一種對象在一定條件下轉化為另一種研究對象的數學思想稱為轉化思想。體現在數學解題中，就是將原問題進行變形，使之轉化為我們所熟悉的或已解決的或易於解決的問題，就這一點來說，解題過程就是不斷轉化的過程。化歸與轉化的一般原則是：①化歸目標簡單化原則；②和諧統一性原則（化歸應朝著使待解決問題在表現形式上趨於和諧，在量、形、關系方面趨於統一的方向進行，使問題的條件與結論表現得更均勻和恰當。）；③具體化原則；④標准形式化原則（將待解問題在形式上向該類問題的標准形式化歸。標准形式是指已經建立起來的數學模式。如二次函數y=ax2+bx+c （a≠0）；橢圓方程）；⑤低層次化原則（解決數學問題時，應盡量將高維空間的待解問題化歸成低維空間的問題，高次數的問題化歸成低次數的問題，多元問題化歸為少元問題解決。這是因為低層次問題比高層次問題更直觀、具體、簡單）。化歸與轉化的策略有：①已知與未知的轉化（已知條件常含有豐富的內容，發掘其隱含條件，使已知條件朝著明朗化的方向轉化，如綜合法；對於一個未知的新問題，通過聯想，尋找轉化為已知的途徑，或從結論人手進行轉化，如分析法）。②正面與反面的轉化（在處理某一問題，按照習慣思維方式從正面思考而遇到困難，甚至不可能時，用逆向思維的方法去解決，往往能達到突破性的效果）。③數與形的轉化（數形結合其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形相結合，可以使許多概念和關系直觀而形象，有利於解題途徑的探求）。 ④一般與特殊的轉化。⑤復雜與簡單元的轉化（把一個復雜的、陌生的問題轉化為簡單的、熟悉的問題來解決，這是數學解題的一條重要原則）。
高中數學涉及最多的是轉化思想，如超越方程代數化、三維空間平面化、復數問題實數化等，為了實現轉化，相應地產生了許多的數學方法，如消元法、換元法、圖象法、待定系數法、配方法等。通過這些數學方法的使用，使學生充分領略數學思想在數學領域里的地位與作用。
2．中學數學中的基本數學方法
（1）數學中的幾種常用求解方法：配方法、消去法、換元法、待定系數法、數學歸納法、坐標法、參數法、構造法、數學模型法等；
（2）數學中的幾種重要推理方法：綜合法與分析法、完全歸納法與數學歸納法、演繹法、反證法與同一法；
（3）數學中的幾種重要科學思維方法：觀察與試嘗、概括與抽象、分析與綜合、特殊與一般、比較與分類、歸納與類比、直覺與頓悟等。
四、數學思想方法教學途徑的探索
1．在基礎知識的教學過程中，適時滲透數學思想方法
在教學過程中，要注意知識的形成過程，特別是定理、性質、公式的推導過程和例題的求解的過程，基本數學思想和數學方法都是在這個過程中形成和發展的，數學基本技能也是在這個過程學習和發展的，數學的各種能力也是在這個過程中得到培養和鍛煉的，數學思想和數學觀念也是在這個過程中形成的。
（1）重視概念的形成過程
概念是思維的細胞，是感性認識飛躍到理性認識的結果。而飛躍的實現要經過分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工，需依據數學思想方法的指導。因而概念教學應當完整地體現這一過程，引導學生揭示隱藏於概念之中的思維內核。例如，高一新教材，數學第一冊（上）第二章 函數，有關函數的單調性的知識，是數形結合思想滲透教學的最好材料，教學中要充分抓住這一有利時機。函數f（x）在區間A上是增函數或減函數可直觀地用下圖示意：

通過圖象的直觀性，可使學生深刻理解函數的單調性，也使學生對增函數、減函數的定義有更加明確的認識。
（2）引導學生對定理、公式的探索、發現、推導的過程
在定理、性質、法則、公式、規律等的教學中要引導學生積極參與這些結論的探索、發現、推導的過程，不斷在數學思想方法指導下，弄清每個結論的因果關系，最後再引導學生歸納得出結論。
例如，高一新教材，數學第一冊（上）第三章 數列，教師要不失時機地引導學生觀察發現數列是特殊的函數，關於等差數列，由通項公式和求和公式看出，an和Sn都是n的函數，當d≠0時，an是n的一次函數，Sn是n的二次函數。因此可以用一次、二次函數的有關知識來解決等差數列的通項、前n項和的問題。函數的圖象是函數的靈魂。an =a1 +(n－1)d的圖象是一條直線上的點．Sn =na1 +d的圖象是一條拋物線上的點，藉助圖形的直觀，解決問題。
2．在小結復習的教學過程中，揭示、提煉概括數學思想方法
由於同一內容可蘊含幾種不同的數學思想方法，而同一數學思想方法又常常分布在許多不同的基礎知識之中，及時小結、復習以進行強化刺激，讓學生在腦海中留下深刻的印象，這樣有意識、有目的地結合數學基礎知識，揭示、提煉概括數學思想方法，既可避免單純追求數學思想方法教學欲速則不達的問題，又明快地促使學生認識從感性到理性的飛躍。例如，《數列》這一章，體現了函數與方程、等價轉化、分類討論等重要的數學思想以及待定系數法、配方法、換元法、消元法、「歸納一猜想一證明」等基本的數學方法。復習小結時可配合知識點和典型例題強化訓練。
3．抓好運用，不斷鞏固和深化數學思想方法
在抓住學習重點、突破學習難點及解決具體數學問題中，數學思想方法是處理這些問題的精靈，這些問題的解決過程，無一不是數學思想方法反復運用的過程，因此，時時注意數學思想方法的運用既有條件又有可能，這是進行數學思想方法教學行之有效的普遍途徑．數學思想方法也只有在反復運用中，得到鞏固與深化．例如2000年全國高考題：設{}是首項為1的正項數列，且，(n=1，2，3…)，則它的通項公式＝ 。
分析：題設給出了數列相鄰兩項所滿足的關系式（遞推公式）和首項=1 ，由此可求出，，，從而可猜想出=，由特殊到一般，靈活運用「歸納一猜想一證明」這一探究問題的思維方式猜想出結果（填空題可不必證明）。
如果注意到遞推公式是關於和的二次齊次式，也可通過分解因式或解一元二次方程來解決，即靈活運用方程思想求得更簡單的遞推式，進而運用迭乘法迅速求得．
由
①（∵>0） （常數） =
②

===．

㈥ 初中數學思想方法及其教學

初中數學思想方法及其教學

在日常學習、工作生活中，許多人都寫過論文吧，論文是指進行各個學術領域的研究和描述學術研究成果的文章。你寫論文時總是無從下筆？下面是我幫大家整理的初中數學思想方法及其教學，希望對大家有所幫助。

【摘 要】 數學思想方法是數學的精髓，是學生形成良好認知結構的紐帶，是知識轉化為能力的橋梁，是培養學生良好的數學觀念和創新思維的載體，在族陵教學中我們必須重視數學思想方法的滲透教學。

【關鍵詞】 初中數學 思想 方法 教學模式

數鄭碧學教學有兩條線，一條是明線即數學知識的教學，一條是暗線即數學思想方法的教學。而數學思想方法是數學的精髓，是學生形成良好認知結構的紐帶，是知識轉化為能力的橋梁，是培養學生良好的數學觀念和創新思維的載體，在教學中我們必須重視數學思想方法的滲透教學。

1 數學思想與數學方法

數學思想與數學方法目前尚沒有確切的定義，我們通常認為，數學思想就是「人對數學知識的本質認識，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點，它在認識活動中被反復運用，帶有普遍的指導意義，是建立數學和用數學解決問題的指導思想」。就中學數學知識體系而言，中學數學思想往往是數學思想中最常見、最基本、比較淺顯的內容，例如：模型思想、極限思想、統計思想、化歸思想、分類思想等。所謂數學方法，是指人們從事數學活動的程序、途徑，是實施數學思想的技術手段，也是數學思想的具體化反映。所以說，數學思想是內隱的，而數學方法是外顯的，數學思想比數學方法更深刻，更抽象地反映了數學對象間的內在聯系。由於數學是逐層抽象的，數學方法在實際運用中往往具有過程性和層次性特點，層次越低操作性越強。總之，數學思想和數學方法有區別也有聯系，在解決數學問題時，總的指導思想是把問題化歸為能解決的問題，而為實現化歸，常用如一般化、特殊化、類比、歸納、恆等變形等方法，這時又常稱用化歸方法。

2 數學思想方法教學的心理學意義

數學思想方法是形成學生的良好的認知結構的紐帶，是由知識轉化為能力的橋梁。中學數學教學大綱中明確指出：數學基礎知識是指數學中的概念、性質、法則、公式、公理、定理以及由其內容所反映出來的數學思想方法。數學思想和方法納入基礎知識范疇，足見數學思想方法的教學問題已引起教育部門的重視，也體現了我國數學教育工作者對於數學課程發展的一個共識。這不僅是加強數學素養培養的一項舉措，也是數學基礎教育現代化進程的必然與要求。這是因為數學的現代化教學，是要把數學基礎教育建立在現代數學的思想基礎上，並使用現代數學的方法和語言。因此，探討數學思想方法教學的一系列問題，已成為數學現代教育研究中的一項重要課題。

從心理發展規律看，初中學生的思維是以形式思維為主向辨證思維過渡。進行數學思想方法教學，不僅有助於學生從形式思維向辯證思維過渡，而且是形成和發展學生辯證思維的重要途徑。

從認知心理學角度看，數學學習過程是一個數學認知結構的發展變化過程，這個過程是通過同化和順應兩種方式實現的。所謂同化，就是主體把新的數學學習內容納入到自身原有的認知結構中去，把新的數學材料進行加工改造，使之與原教學學習認知結構相適應。所謂順應，是指主體原有的數學認識結構不能有效地同化新的學習材料時，主體調整成改造原來的數學內部結構去適應新的學習材料.在同化中，數學基礎知識不具備思維特點和能動性，不能指導「加工」過程的進行。而心理成份只給主體提供願望和動機，提供主體認知特點，僅憑它也不能實現「加工」過程。數學思想方法不僅提供思維策略（設計思想），而且還提供實施目標的具體手段（解題方法）。積極進行數學思想方法教學，將極大地促進學生的數學認知結構的發展與完善。

3 數學思想方法的教學模式

為了在教學中更好地滲透數學思想方法教學，我覺得可以根據不同的教學內容採用以下不同的教學模式：

3.1 發現法教學模式。發現法教學模式也稱問題解決教學模式，是按照美國教育家布魯納針對學生好奇、好問、好動的.心理特點提出的教學理論而創立的教學模式。發現法教學模式的基本程喊穗舉序是：創設情景——分析研究——猜測歸納——驗證反思——運用結論。這種模式的特點是有利於培養學生的探究精神和創造性，有利於學生獨立思考和收集、處理有關信息能力的培養，有利於體現學生的主體地位及研究問題的方法，有利於激發學生學習數學的興趣。發現法教學模式適用於知識引用階段，通過對概念、定理、公式、法則等數學知識的探究發現，達到培養學生解決問題的能力；在教學中強調從特殊到一般的思想方法。

3.2 「比較——歸納」的教學模式。我們主張學生參與實踐獲取知識，但學生不可能事事都直接體驗。數學知識之間的聯系非常緊密，要讓學生參與知識形成的過程，從已有知識經驗出發是很好的途徑。運用類比、對比幫助學生找出相關數學概念、相關數學命題之間的聯系和區別，從而確切地去理解數學概念系統，澄清一些易混淆的概念、定理、公式。此模式適合於新課、復習課。在教學中強調：結構思想、優化思想、比較與分析、歸納與類比等方法。例如：當講完相似三角形的判定定理之後，教師可將相似三角形的判定與全等三角形的判定進行比較。首先應指出全等三角形是相似比為1的相似三角形。將兩者的判定定理進行一一比較，使學生進一步強化對定理的認識。

3.3 「問題觀察——聯想舊知識——問題解決」的教學模式。在教學中強調化歸思想、轉化思想、數形結合思想。學習新知識時，聯想有關舊知識，是培養化歸意識的一種有效途徑。它既有思維上的遷移性又有思維上的創造性。多數的表現為接近聯想和相似聯想、類比聯想，如分式性質聯想到分數性質、二次函數聯想到一次函數、形聯想到數、數聯想到形。

轉換是一種重要的解題策略，轉換的基礎是聯想，而化歸是轉換的一種具體形式。例如運用符號法則，把有理數四則運算轉化成算術運算，把減法轉化成加法，把除法轉化成乘法；通過消元、降次把高次方程轉化成低次方程，多元方程轉化成一元方程；在研究立體幾何問題時，通常轉換成平面幾何問題來解決；把實際問題轉換成數學問題來解決等。

在教學中，教師應盡可能揭示知識間的聯系和演變，探究、展示知識發生過程，以此開拓學生思路，啟迪聯想和轉換。注意分析、揭示題設、結論的相互關系，隱含因素，激發學生的聯想和轉換動機。此外，數學中的基本思想方法是產生聯想和轉換的基礎，一定要加強這方面的訓練。