Ⅰ 數學方法論該怎麼學
數學方法論主要是研究和討論數學的發展規律，數學的思想方法以及數學中的發現、發明與創新等法則的一門學問。數學是一門工具性很強的科學，它和別的科學比較起來還具有較高的抽象性等特徵，為了有效地發展它、改進它、應用它或者把它很好地傳授給學生們，就要求對這門科學的發展規律、研究方法、發現與發明等法則有所掌握，因此，數學研究工作者、數學教師、科技工作者，以及高年級大學生、研究生等都需要知道一些數學方法論。
我國著名數學家、數學方法論的倡導者和帶頭人徐利治先生指出：「方法淪(methodology)就是把某種共同的發展規律和研究方法作為討論對象的一門學問……。
數學方法對於數學的發展起著關鍵性的推動作用，許多比較困難的重大問題的解決，往往取決於數學概念和數學方法上的突破，如歷史上古希臘三大尺規作圖難題，就是笛卡爾創立解析幾何之後，數學家們藉助解析幾何，採用了RMI(關系——映射——反演)方法，才得到徹底的解決；這又啟發了後來的數學家們採用類似的辦法解決了歐氏幾何與實數理論的相對相容性問題。又如，代數方程的根式解的問題，也是在伽羅瓦群論思想方法的指導下，才得以圓滿解決；不僅如此，群論的思想方法還使得代數學的研究發生了巨大的變革，從古典的局部性研究轉向了近代的系統結構整體性的研究。
對數學方法論的早期研究，十七世紀就已經開始了，法國數學家笛卡爾和德國數學家萊布尼茲都曾做過這方面的探討，並出版過專著，歷史上不少著名的大數學家，如歐拉，高斯、龐加萊、希爾伯特等人也曾就數學方法淪的問題發表過許多精闢的見解，但是，對數學方法論進行系統地研究，還是最近幾十年間的事，在這方面做了突出的貢獻，當首推美國數學家和數學教育家波利亞，最近幾十年來．由於現代電子計算機技術已經進入了人工智慧和摸擬思維的階段，就更加促使數學方法論蓬勃發展起來；資訊理論，控制論、認知科學和人工智慧的最新研究成果相繼引進了數學方法論的領域。而徐利治先生正式提出「數學方法論」這一名稱，並使其成為一門獨立的學科，迄今僅二十來年。
數學科學和數學史料是數學方法論的源泉，同時，數學方法論還涉及到哲學、思維科學，心理學、一般科學方法論、系統科學等眾多的領域。
數學方法論分為宏觀數學方法論與微觀數學方法論。
數學宏觀方法論所研究的是整個數學的產生、形成和發展的規律，數學理論的構造，以及數學與其它科學之間的關系。研究宏觀方法論的主要途徑之一是研究數學史。研究宏觀方法論的另一條主要途徑是研究數學理論體系的構造。
數學微觀方法論所研究的是一些比較具體數學方法，特別是數學發現和數學創造的方法。包括數學思維方法、數學解題心理與數學解題理論等等。
這門學科看起來不是很難 只要認真讀，並且自己理解的話很容易掌握的
Ⅱ 數學解題思想方法有哪些
數學解題思想方法有哪些
一．數學思想方法總論
高中數學一線牽，代數幾何兩珠連；
三個基本記心間，四種能力非等閑.
常規五法天天練，策略六項時時變，
精研數學七思想，誘思導學樂無邊.
一 線：函數一條主線（貫穿教材始終）
二 珠：代數、幾何珠聯璧合（注重知識交匯）
三 基：方法（熟） 知識（牢） 技能（巧）
四能力：概念運算（准確）、邏輯推理（嚴謹）、
空間想像（豐富）、分解問題（靈活）
五 法：換元法、配方法、待定系數法、分析法、歸納法.
六策略：以簡馭繁，正難則反，以退為進，化異為同，移花接木，以靜思動.
七思想：函數方程最重要，分類整合常用到，
數形結合千般好，化歸轉化離不了；
有限自將無限描，或然終被必然表，
特殊一般多辨證，知識交匯步步高.
二．數學知識方法分論：
集合與邏輯
集合邏輯互表裡，子交並補歸全集.
對錯難知開語句，是非分明即命題；
縱橫交錯原否逆，充分必要四關系.
真非假時假非真，或真且假運算奇.
函數與數列
數列函數子母胎，等差等比自成排.
數列求和幾多法？通項遞推思路開；
變數分離無好壞，函數復合有內外.
同增異減定單調，區間挖隱最值來.
三角函數
三角定義比值生，弧度互化實數融；
同角三類善誘導，和差倍半巧變通.
解前若能三平衡，解後便有一脈承；
角值計算大化小，弦切相逢異化同.
方程與不等式
函數方程不等根，常使參數范圍生；
一正二定三相等，均值定理最值成.
參數不定比大小，兩式不同三法證；
等與不等無絕對，變數分離方有恆.
解析幾何
聯立方程解交點，設而不求巧判別；
韋達定理表弦長，斜率轉化過中點.
選參建模求軌跡，曲線對稱找距離；
動點相關歸定義，動中求靜助解析.
立體幾何
多點共線兩面交，多線共面一法巧；
空間三垂優弦大，球面兩點劣弧小.
線線關系線面找，面面成角線線表；
等積轉化連射影，能割善補架通橋.
排列與組合
分步則乘分類加，欲鄰需捆欲隔插；
有序則排無序組，正難則反排除它.
元素重復連乘法，特元特位你先拿；
平均分組階乘除，多元少位我當家.
二項式定理
二項乘方知多少，萬里源頭通項找；
展開三定項指系，組合系數楊輝角.
整除證明底變妙，二項求和特值巧；
兩端對稱誰最大？主峰一覽眾山小.
概率與統計
概率統計同根生，隨機發生等可能；
互斥事件一枝秀，相互獨立同時爭.
樣本總體抽樣審，獨立重復二項分；
隨機變數分布列，期望方差論偽真.
Ⅲ 數學解題方法的研究的研究目的
您好，數學解題方法的研究目的，主要有以下幾個方面：
（1）數學解題方法為數學問題的求解和數學知識的獲取提供了可能，沒有數學解題方法，就沒有數學的進展。
（2丶人類在認識世界和改造世界的過程中，總是要根據一定的目的為自己確定各式各樣的任務，我們不但要提出任務，而且要解決完成任務的方法問題。例如，我們的任務是過河，但是沒有橋或沒有船就不能過，不解決橋或船的問題，過河就是一句空話。數學方法的研究就相當於這里講的橋和船的問題。數學解題方法的研究目的是最終是為了解決實際問題。
（3）數學解題方法的研究，將具有相同性質問題所用的通用方法歸納出來，是數學方法的核心，也是現代數學發展的基石。例如，微積分學的創立與發展幾乎是數學通法創立與發展的範例。微元法、拉格朗日乘數法、洛必達法則等，不僅是微積分學知識的重要組成部分，也為解決具體的問題提供了強有力的辦法；歐拉在解決「七橋問題」同時，給出了歐拉定理這個定理，為解決同類的圖論問題提供了有力的方法，同時還為圖論的研究和發展指明了方向；再如泛函分析中的壓縮映射定理，其證明方法是迭代法，而這個迭代法在數值分析、動力系統等諸多領域有著廣泛的應用，壓縮映射定理也成為不動點定理，在求解諸如代數方程、微分方程、積分方程等各種各樣的方程和數理經濟學等諸多領域里都有著廣泛的應用。
（4）數學解題方法的研究目的是研究和討論數學的發展規律、數學的思想方法以及數學中的發現、發明與創新等一般法則的一門學問。
Ⅳ 淺談數學方法論在數學教學中的實踐
淺談數學方法論在數學教學中的實踐 問 志 祥
(雲南省曲靖市第一小學雲南曲靖655000） 摘要：數學方法論主要是研究和討論數學的發展規律，數學的思想方法以及數學中的發現，文明與創造等法則的一門學科。數學方法論給教師在數學教學中提供了理論指導，通過對它的學習有利於教師由「經驗型教學」轉向「理論指導下的自覺實踐」，以數學思維方法的分析去帶動和促進具體數學知識內容的教學。數學思想方法是對數學本質的認識，是數學知識的精髓。
關鍵詞：數學方法論 思想方法 數學教學 實踐
一、問題的提出
無論從學生數學素養的培養方面和教師教學實踐方面都需要教師精通數學方法論，只有熟知了這些方法論才能開展有效的數學課堂教學。隨著課程改革的進行，對於我們數學教學也提出了更高的要求。《全日制義務教育數學課程標准（試驗稿）》在總體目標重明確要求學生能夠「獲得適應未來社會和進一步發展所必需的重要數學知識（包括數學思想方法、數學活動經驗）以及基本的數學思想法和必要的應用技能。數學方法論主要是研究和討論數學的發展規律、數學的思想方法以及數學中的發現、發明與創造等法則的一門新興學科。數學方法論很大程度上可以被說成對於數學思想（維）方法的研究，其目標就是幫助人們學會數學的思維。或者說，如何能夠按照數學家的思維模式去進行思維。通過對具體數學事例的研究實現對真實思維過程的「理性重建」，獲得各個方法論原則的深刻體會，並使之真正成為「可以理解的」「可以學到手的」和「能夠加以推廣應用的」。數學方法論對於數學教學的積極意義主要在於：以數學方法論為指導進行具體數學知識內容的教學有助於我們將數學課「講活」「講懂」「講深」。因此，日常的數學教學中加強數學思想方法的滲透，培養數學的思維顯得更加重要。在教學過程中教師要充分認識到數學方法論的重要性,授之於「漁」而非授之於「魚」，重視學生正確的科學的思維方法的培養，從根本上提高學生的解題能力。本文通過闡述數學方法論的概念及意義，列舉數學思想方法在數學解題中的幾個應用，來說明數學方法論的的重要性。
二、數學方法論對數學教學的意義
2．1數學思想方法是提高學生數學能力的根本途徑.
數學課程改革強調要重視培養學生的數學創新意識，不僅要求學生掌握數學的基礎知識和基本技能，而且還要掌握數學的思想方法.數學思想方法是數學知識的本質，是分析數學處理數學解決數學問題的方針和策略，是學生進行探究性學習的工具。方法論的數學教學使教學真正「授之於漁而非授之於魚」讓學生由「學會」變成「會學」，為其今後終身學習奠定基礎.。數學思想方法是數學能力的核心要素，只有抓住這一要素才能從根本上提高學生的數學能力。數學教材以及數學知識可以變動，但不管怎樣，數學思想方法總能發揮它的作用.在教學中，若僅僅簡單地進行數學知識的堆積是不可能培養出學生的數學能力的，只有引導學生真正理解和掌握了數學思想方法，才能使學生在運用數學思想方法的過程中駕馭數學顯示能力。所以數學教育的關鍵就在於形成和發展學生的數學思想方法.
2．2數學課堂教學現代化的改革要求
現在的數學課堂不在是單純的「傳授式」教學，在新課標中明確指出：「學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者和合作者。」意在進一步改變數學的教學模式，拓寬學生在數學教學活動中的空間，關注學生數學素養的提高。而且把「具有解決問題的能力」作為有「數學素養」的一個重要的標志。而數學方法論在教學實踐中以「問題解決」為中心組織教學，強調「數學的思維」,把問題作為載體，將數學思維方法的分析滲透到具體數學知識內容的教學中，使學生真正看到思維的力量，並使之成為可以理解的、可以學到手的和能夠加以推廣應用的。這一教學理論為我們從更深的層次認識數學教學提供了理論依據，值得我們去深入學習研究。因此，為了讓教師更好適應和駕馭課堂教學，必須掌握一定的數學方法論。
2．3數學方法論的教學使學生更容易理解學科內容.
心理學認為：如果知識結構中原有的有關觀念在統攝和概括的水平上高於新知識，那麼這時利用認知結構中的有關觀念學習新知識便成為下位學習.學生在掌握了一些數學思想方法後再去學習相關的數學知識，就屬於下位學習，這樣的學習更具穩定性，有利於新知識的學習，新知識就能夠順利納入到已有的認知結構中去，而數學思想方法是數學認知結構形成的核心.當學生有了一定的數學思想方法後才能更好地理解和掌握數學內容，挖掘數學體系內在的深層的意義，才能對數學知識做出深刻的解釋和理解.
三、數學方法論在數學教學中的實踐案例
在數學方法論中，重點闡述了觀察、聯想、嘗試、試驗、歸納猜想、類比推廣、模擬、化歸、公理化方法、數學悖論等數學論證方法，數學與物理方法，數學智力的開發與創新意識的培養等。如果把這些理論和我們的實踐教學活動聯系起來將使我們的數學課更加有數學味，幫助學生領會內在的數學思想方法，認識數學的本質特徵和應用價值。
3．1數學方法論在解題教學中應用
數學大師波利亞曾說過：「良好的組織使得所提供的知識易於用上，這甚至可能比知識的廣泛性更為重要。至少在有些情況下，知識太多可能反而成了累贅，可能會妨礙解題者看出一條簡單的途徑，而良好的組織則有利而無弊。」數學課堂教學有效開展離不開教師的合理引導，教學中突出以問題為主線，啟迪學生思考，使學生在課堂中深刻的感受如何發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的整個過程，理解和認識發生和發展的必然的因果關系，從而領悟到分析、思考和解決問題的數學思想方法，最終內化為自身知識結構的重要部分。
3．2數學方法論在概念教學中應用
一位數學家說過：「一堆沒有親身體驗和視覺形象所支持的概念、定義不能開發智力，而只能關閉思路。」概念的形成有兩種途徑：一種是直接從客觀事物的空間形式或數量關系的反映而得到的，另一種是在已有數學概念的基礎上，經過多層次的抽象概括而成。而概念的形成本身有著一定的發展過程，凝聚著前人探索的智慧。在概念再創造過程種，應對學生的思維給予暴露的機會，充分經歷概念形成的兩個階段，從具體到抽象，再從抽象到具體，有利於學生對概念的自我意識和自我反省。
3．3數學方法論對提升學生數學素養的作用
著名數學家克萊因認為「數學史是教學的指南」。數學是一門使人創造性思維嚴格化和理論體系嚴謹化的科學。數學方法論強調用演繹與推理的理念，來論證概念間轉換的恆等變化，從中體現准確、簡潔地揭示有條件到結論嚴密的邏輯關系。而缺乏演繹與推理的人，會犯「想當然」的錯誤。歷史能揭示出數學知識的顯示、來源與應用，它告訴我們數學知識當時如何出現在人們頭腦中的——即如何產生的。
用數學歸納法證明：
時。
解析：①當時，
左邊，右邊，左邊 = 右邊，所以等式成立。
②假設時等式成立，即有
，
則當時，
，
所以當時，等式也成立。
由①，②可知，對一切等式都成立。
這就運用了數學方法論中的歸納法。
例 2 雞兔同籠，籠中有頭50，有足140，問雞、兔各有幾只？
分析:化歸的實質是待解決的問題轉化為已解決的問題，這里包含了轉化的思考，可以先對已知成分進行變形。每隻雞有2隻腳，每隻兔有4隻腳，這是問題中不言而喻的已知成分。現在對問題中的已知成分進行變形：「一聲令下」，要求每隻雞懸起一隻腳（呈金雞獨立狀），又要求每隻兔懸起兩只前腳（呈玉兔拜月狀）。那麼，籠中仍有頭50，而腳只剩下70隻了，並且，這時雞的頭數與足數相等，而兔的足數與兔的頭數不等——有一頭兔，就多出一隻腳，現在有頭50，有足70，這就說明有兔20頭，有雞30頭。
這就運用了數學方法論中的化歸法。
例3 假設我們可以沿地球赤道緊緊地拉一根繩子，打上結，此時，繩子長度與赤道相等。然後把繩子剪開，加長10米，這樣繩子已不緊扣在赤道上，產生了縫隙，問該縫隙有多少大？
解：設地球赤道為L,地球的半徑為R,縫隙為a
實際情況讓學生大吃一驚，縫隙居然有1.59米，大多說學生都可以從縫隙中走過。數學教育能培養正確的認知態度，使主觀想像符合客觀實際，培養學生嚴謹求實的個性品質。演繹與推理的理念，使人克服想當然的錯誤，正確認識自己，正確認識世界，這是學生走向社會的必備素質。同時數學方法論在教學中特別指出數學史的重要性。著名數學家克萊因認為「數學史是教學的指南」。歷史能揭示出數學知識的顯示、來源與應用，它不僅告訴我們數學知識當時如何出現在人們頭腦中的——即如何產生的。
例4 將8個數字從左至右排成一行，從第三個數開始，每個數都恰好等於前面兩個數字之和。如第七個數字和第八個數字分別是81，131，求第一個數字是多少？
解: 第六個數字是：131－81＝50
第五個數字是：81－﹙131－81﹚＝31
第四個數字是：第六個數字減去第五個數字131－81－[81－(131－81﹚]＝19
第三個數字是：第五個數字減去第四個數字[81－﹙131－81﹚]－131－81－[81－﹙131－81﹚]＝12
第二個數字是：第四個數字減去第三個數字﹛131－81－[81－﹙131－81﹚]﹜－﹛[81－﹙131－81﹚]－131－81－[81－﹙131－81﹚]﹜＝8
所以第一個數字是：12－8＝4
這就運用了數學方法論中的簡單性原則。
四、數學方法論在教學實踐中注意的問題
4．1注重滲透的循序漸進和逐步積累
在教學中首先要強調解決問題以後的「反思」。因為在一個過程中提煉出來的數學思想方法，對學生來說才是易於體會、易於接受的；其次，要注意滲透的長期性，應該看到，對於數學思想方法的滲透不是一朝一夕就能見到學生數學能力提高的，需要一個過程。數學思想方法必須經過循序漸進的滲透和反復訓練，才能使學生真正地有所領悟。
4．2關注學生最近發展區和層次性
在貫徹數學思想方法地教學中，要關注學生的最進發展區，盡可能幫助學生掌握現代數學思想方法並根據學生的差異，採取不同的思想方法解決問題，幫助學生完成學習遷移。教育的基本任務是找到這樣的策略，既考慮到個別的差異，又能促進個體最充分地發展。因此，教師盡可能設計有利於學生發展的教學環節，如在教案設計，課堂探究等過程中，都應該注意不同層次的學生能不同程度的領會數學思想方法，使全體學生盡量使用數學思想方法分析問題、解決問題的思維策略，促成其最近發展區的形成。最終實現使「不同的人在數學上得到不同的發展。現代教育理論及心理學發展成果指出：人的智能是多元的；知識是個體通過與其環境的相互作用作用後獲得的信息及其組織；要用開放、多元的眼光看待世界，為人充分展示生命的本真提供舞台。基於這些理論，我們應該從不同的視角、不同的層面去看待每個學生，善於發現學生各自的優勢智能領域，並運用評價促進學生將其優勢智能領域的優秀品質想其他智能領域遷移；應該注重對學生建構知識時採用的策略或方法的評價，把評價作為教學的一個組成部分；應該採用師對生、生對生及學生自我評價相結合的多元評價機制。
4．3提高教師的自身認識和可行性
古人雲：「師者，人之楷模也」，意思是教師是學生的楷模，對學生起著潛移默化的影響。前蘇聯教育家烏申斯基說：「教師的思想道德、人格對學生的心靈上的影響是任何教科書，任何道德箴言，任何懲罰和獎勵都不能代替的一種力量」。以自己高尚的品質、良好的修養與人格去感化、影響所教育對象，做到以情感人，以理服人，達到理想的教育目的。數學思想方法的教學必須通過具體的教學過程加以實現，通常以具體的知識內容為載體，必須把握好數學思想方法教學的契機——概念的形成，結論推導的過程，方法思考的過程，思路探索的過程，規律揭示的過程等。數學思想方法的教學要注意有機結合、自然滲透、依勢而行、潛移默化的啟發學生領悟蘊含於數學知識中各種數學思想方法。教學理論應用於教學實踐的過程，決不是機械地對號入座，這是對教師教學智慧的一種考驗。
參考文獻：
①徐獻卿，紀保存 ；數學方法論與數學教學，北京：中國鐵道出版社2009.7.1
②楊在榮，數學方法論，成都：西南交通大學出版社，2012.8
③劉兼，孫曉天，數學課程標准解讀，北京：北京師范大學出版社，2002
④李瑋，應重視和加強數學教育理論研究，天津：數學教育學報雜志編輯部2006,01期
⑤美．G．波利亞，怎樣解題，上海：上海科技教育出版社，2007
⑥徐利治，數學方法論選講，武漢：華中理工大學出版社，2000
⑦鄭毓信，數學方法論入門，杭州：浙江教育出版社，2008
Ⅳ 我國數學教育工作者在解題教學和問題解決教學方面做了哪些研究
數學解題思維研究。
數學問題解決教學研究以編譯引進相關思想為主，後來在我國，數學問題解決教學研究主要以數學解題教學研究的形式存在，對數學思維及其培養、數學方法論研究較重視。
以數學課堂教學為研究對象，以課程改革理論、認知心理學理論、元認知理論、數學教學論為指導，從宏觀和微觀上分別展開對數學問題解決教學進行研究。