數學分析中判斷級數收斂的方法

A. 判別級數收斂性的方法有哪些

上面幾樓說的都對，但是都不全。我來說個全一些的。（純手工，絕非黨）

首先要說明的是：沒有最好用的判別法！所有判別法都是因題而異的，要看怎麼出，然後才選擇最恰當的判別法。下面是一些常用的判別法：

一、對於所有級數都適用的根本方法是：柯西收斂准則。因為它的本質是將級數轉化成數列，從而這是一個最強的判別法，柯西收斂准則成立是級數收斂的充分必要條件。局限性：有一些數列的特徵太過明顯，可以用更加簡潔的判別法去判別，用柯西收斂原理是浪費時間；另一方面，如果級數本身過於復雜，用柯西收斂准則也未必能很快得到證明。

二、對於正項級數，一個基本但不常用的方法是部分和有界，這同樣是級數收斂的充分必要條件，這是正項級數中最強的判別法之一，局限性也是顯然的：通常來說一個級數的和函數並不好求，用這種方法行不通，因此這個方法通常只有理論上的意義。

三、對於正項級數，比較判別法是一個相當有效的判別法，通過找一個新正項級數，比較通項，如果原級數的通項小，新級數收斂，則原級數收斂；如果新級數發散，原級數通項大，則原級數發散，通常在判別過程中使用其極限形式。局限性：當級數過於復雜時，要找的那個新級數究竟是什麼很難判斷，通常的方法是對原級數的通項做泰勒展開，以找到與之等價的p級數。

四、對於正項級數，有柯西判別法和達朗貝爾法。這些樓上都已說到，它的實質是找等比級數與之比較。另外柯西判別法比達朗貝爾判別法強，這是因為比值的下極限小於等於開n次根號的下極限，比值的上極限大於等於開n次根號的上極限（即二樓說的這兩個判別法等同是不對的）。局限性：如果原級數的階低於任何一個等比級數，這方法就完全失效了。

五、對於正項級數，有積分判別法：如果x>=1且f（x）〉=0且遞減，則無窮級數（通項為f（n））與1到正無窮對f（x）作的積分同斂散。這個辦法對於某些級數特別有效。局限性：由於其本質是將級數化成了反常積分，如果化成的反常積分的收斂性難以判斷，則有可能該方法就把問題復雜化了。

六、對於正項級數，還有拉貝判別法與高斯判別法。拉貝判別法是將級數與通項為1/（n^alpha）的級數做比較，如果當n充分大時，n（a[n]/a[n+1]-1）〉=r>1，那麼級數收斂。高斯判別法將級數與通項為1/（n（lnn）^alpha）的級數做比較，如果a[n]/a[n+1]=1+1/n+beta/nlnn+o（1/nlnn），其中beta〉1，則級數收斂。局限性：這兩個判別法已經很強了，大部分級數都可以用這兩個判別法去估計，但是仍然不是全部級數都有效的，如果級數比通項為1/（n（lnn）^alpha）的級數收斂得還慢，就無效了，這時應該去想比較判別法或者其他辦法，可能需要比較強的技巧。

七、對於交錯級數，有萊布尼茲判別法：如果級數符號交替且通項絕對值遞減，則級數收斂。局限性：如果級數不滿足上述條件，顯然就失效了。

八、一般項級數的阿貝爾判別法和狄利克雷判別法：
阿貝爾判別法：如果級數的通項可以拆成兩部分的乘積，其中一部分隨下標單調有界，以另一部分為通項的級數收斂，那麼原級數收斂。
狄利克雷判別法：如果級數的通項可以拆成兩部分的乘積，其中一部分隨下標單調趨於零，以另一部分為通項的級數的部分和有界，那麼原級數收斂。
這兩個判別法對於一些通項為兩項以上乘積形式的級數非常有效。局限性：如果拆不出來，那就沒辦法了。不過通常的題最多就考到這里，基本上應該可以判別。

九、絕對收斂性。如果一個級數，以其通項的絕對值為通項的級數收斂，則原級數收斂。局限性是顯然的：如果以其通項的絕對值為通項的級數不收斂就無效了。通常的題目上很少會蠢到讓你去求絕對值，然後判斷正項級數的收斂性，從而這個辦法一般只有理論上的意義，除非題中明說讓你去判斷條件收斂性和絕對收斂性。

十、一些技巧。例如裂項求和，再利用數列中的一些性質等等。這類方法通常用於抽象級數，即並不把級數告訴你，只告訴你一些級數的特徵，然後叫你去判斷。局限性是顯而易見的：你想得到這樣的技巧么？

好了，寫了這么多手都酸了，希望對你有用。

B. 如何判斷級數的收斂性

條件收斂和絕對收斂判斷方法如下：

一個收斂的級數，如果在逐項取絕對方法如下值之後仍然收斂，就說它是絕對收斂的；否則就說它是條件收斂的。

簡單的比較級數就表明，只要∑｜un|收斂就足以保證級數收斂；因而分解式（不僅表明∑｜un|的收斂隱含著原級數∑un的收斂，而且把原級數表成了兩個收斂的正項級數之差。

由此易見，絕對收斂級數同正項級數一樣，很像有限和，可以任意改變項的順序以求和，可以無限分配地相乘。

條件收斂和絕對收斂的區別

一、重排不同

1、條件收斂：條件收斂任意重排後所得的級數非條件收斂，且有不相同的和數。

2、絕對收斂：絕對收斂任意重排後所得的級數也絕對收斂，且有相同的和數。

二、絕對值不同

1、條件收斂：條件收斂取絕對值以後對級數Σ（∞，n=1）∣Un∣發散。

2、絕對收斂：絕對收斂取絕對值以後對級數Σ（∞，n=1）∣Un∣收斂。

三、瑕點不同

1、條件收斂：條件收斂在［a,b]上存在瑕點，使得∫（b,a）f(x)dx廣義積分有極值。

2、絕對收斂：絕對收斂不存在能使得∫（b,a）f(x)dx廣義積分有極值的瑕點。

對任意項級數Σ（∞，n=1）Un，若Σ（∞，n=1）∣Un∣收斂，則稱原級數Σ（∞，n=1）Un絕對收斂；若原級數Σ（∞，n=1）Un收斂，但取絕對值以後對級數Σ（∞，n=1）∣Un∣發散，則稱原級數Σ（∞，n=1）Un條件收斂。