不動點定理研究方法

A. 不動點法解數列通項公式問題

當f(x)=x時，x的取值稱為不動點，不動點是我們在競賽中解決遞推式的基本方法。

典型例子： a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)

註：我感覺一般非用不動點不可的也就這個了，所以記住它的解法就足夠了。我們如果用一般方法解決此題也不是不可以，只是又要待定系數，又要求倒數之類的，太復雜，如果用不動點的方法，此題就很容易了。

令x=(ax+b)/(cx+d) ，即 ，cx2+(d-a)x-b=0 。令此方程的兩個根為x1，x2，若x1=x2 ，則有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p ，其中P可以用待定系數法求解，然後再利用等差數列通項公式求解。

註：如果有能力，可以將p的表達式記住，p=2c/(a+d)若x1≠x2則有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2)

其中q可以用待定系數法求解，然後再利用等比數列通項公式求解。

(1)不動點定理研究方法擴展閱讀：

設含有n個未知數與n個方程的非線性方程組為F(x)=0，然後把方程組改為便於迭代的等價形式x=ψ(x)，由此就可以構造出不動點迭代法的迭代公式為xk+1=ψ(xk)，如果得到的序列{xk}滿足lim(k→∞)xk=x*，則x*就是ψ的不動點，這樣就可以求出非線性方程組的解。

不動點法(fixed point method)是解方程的一種一般方法，對研究方程解的存在性、唯一性和具體計算有重要的理論與實用價值。數學中的各種方程，諸如代數方程、微分方程和積分方程等等，均可改寫成中的不動點。這一方法把解方程轉化為求某個映射的不動點，故而得此名。其優點在於可以把幾何、拓撲和泛函分析中較深刻的工具應用於方程論。

B. brouwer不動點定理

brouwer不動點定理是數學上一個重要定理。

不動點法(fixed point method)是解方程的一種一般方法，對研究方程解的存在性、唯一性和具體計算有重要的理論與實用價值。數學中的各種方程，諸如代數方程、微分方程和積分方程等等，均可改寫成的形式，其中是某個適當的空間中的點，是從到的一個映射，把點變成點。於是，方程的解就相當於映射在空間中的不動點。

布勞威爾不動點定理說明：對於一個拓撲空間中滿足一定條件的連續函數f，存在一個點x0，使得f(x0) = x0。布勞威爾不動點定理最簡單的形式是對一個從某個圓盤D射到它自身的函數f。而更為廣義的定理則對於所有的從某個歐幾里得空間的凸緊子集射到它自身的函數都成立。

C. 請簡要介紹一下德布魯的不動點理論

不動點理論

fixed point theory

關於方程的一種一般理論。數學里到處要解方程,諸如代數方程、函數方程、微分方程等等，種類繁多，形式各異。但是它們常能改寫成ƒ(x)=x的形狀，這里x 是某個適當的空間Χ中的點，ƒ是從Χ到Χ的一個映射或運動，把每一點x移到點ƒ(x)。方程ƒ(x)=x的解恰好就是在ƒ這個運動之下被留在原地不動的點,故稱不動點。於是,解方程的問題就化成了找不動點這個幾何問題。不動點理論研究不動點的有無、個數、性質與求法。研究方法主要是拓撲的和泛函分析的（見非線性運算元）。

常見的不動點定理 壓縮映射原理(C.(C.-)É.皮卡(1890)；S.巴拿赫（1922）)：設X是一個完備的度量空間，映射ƒ:Χ→Χ 把每兩點的距離至少壓縮λ倍，即d（ƒ（x），ƒ(y))≤λd(x,y)，這里λ是一個小於1的常數，那麼ƒ必有而且只有一個不動點,而且從Χ的任何點x0出發作出序列，這序列一定收斂到那個不動點。這條定理是許多種方程的解的存在性、惟一性及迭代解法的理論基礎。由於分析學的需要，這定理已被推廣到非擴展映射、概率度量空間、映射族、集值映射等許多方面。

布勞威爾不動點定理(1910):設Χ是歐氏空間中的緊凸集,那麼Χ到自身的每個連續映射都至少有一個不動點。用這定理可以證明代數基本定理：復系數的代數方程一定有復數解。把布勞威爾定理中的歐氏空間換成巴拿赫空間，就是紹德爾不動點定理(1930)，常用於偏微分方程理論。這些定理可以從單值映射推廣到集值映射，除微分方程理論外還常用於對策論和數理經濟學。

不動點指數 不動點的個數有兩種數法。代數上通常說n次復多項式有n個復根，是把一個k重根算作k個根的;如果不把重數統計在內，根的個數就可以小於n。推廣根的重數概念，可以定義不動點的指數，它是一個整數，可正可負可零，取決於映射在不動點附近的局部幾何性質。一個映射的所有不動點的指數的總和，稱為這映射的不動點代數個數，以別於不動點的實際個數。萊夫謝茨不動點定理:設Χ是緊多面體,ƒ:Χ→Χ是映射,那麼ƒ的不動點代數個數等於ƒ的萊夫謝茨數L(ƒ)，它是一個容易計算的同倫不變數，可以利用同調群以簡單的公式寫出。當L(ƒ)≠0時，與ƒ同倫的每個映射都至少有一個不動點。這個定理既發展了布勞威爾定理，也發展了關於向量場奇點指數和等於流形的歐拉數的龐加萊－霍普夫定理，把它進一步推廣到泛函空間而得的勒雷－紹德爾參數延拓原理，早已成為偏微分方程理論的標準的工具。

J.尼爾斯1927年發現，一個映射ƒ 的全體不動點可以自然地分成若干個不動點類，每類中諸不動點的指數和都是同倫不變數。指數和不為0的不動點類的個數,稱為這映射的尼爾斯數N(ƒ)。只要Χ是維數大於2的流形，N(ƒ)恰是與 ƒ同倫的映射的最少不動點數。這就提供了研究方程的解的實際個數（而不只是代數個數）的一種方法。

萊夫謝茨定理的一個重要發展是關於微分流形上橢圓型運算元與橢圓型復形的阿蒂亞－辛格指標定理與阿蒂亞-博特不動點定理。 不動點的計算 上述各種不動點定理，除壓縮映射原理外，都未給出不動點的具體求法。由於應用上的需要，不動點演算法的研究正在蓬勃發展，以求把拓撲的思路落實為快速、實用的計算方法。