公理化方法的公理有什麼要求

A. 公理系統的公理化方法

公理化方法經常被作為一個單一的方法或著一致的過程來討論。以歐幾里得為榜樣，它確實在很多世紀中被這樣對待：直到19世紀初葉，在歐洲數學和哲學中古希臘數學的遺產代表了智力成就（在幾何學家的風格中，更幾何的發展）的最高標准這件事被視為理所當然（例如在斯賓諾莎的著作中所述）。
這個傳統的方法中，公理被設定為不言自明的，所以無可爭辯，這在19世紀逐漸被掃除，這是隨著非歐幾何的發展，實分析的基礎，康托的集合論和弗雷格在數學基礎方面的工作，以及希爾伯特的公理方法作為研究工具的「新」用途而發生的。例如，群論在該世紀末第一個放到了公理化的基礎上。一旦公理理清了（例如，逆元必須存在），該課題可以自主的進展，無須參考這類研究的起源—變換群。
所以，現在在數學以及它所影響的領域中至少有3種「模式」的公理化方法。用諷刺描述法，可能的態度有：
1. 接受我的公理，你就必須承擔它們的後果。
2.我拒絕你的公理之一並且採納另外的模型（I reject one of your axioms and accept extra models）。
3. 我的公理集定義了一個研究領域。
第一種情況定義了經典的演繹方法。第二種採用了博學點，一般化這個口號;它和概念可以和應該用某種內在的自然的廣泛性來表達的假設是一致的。第三種在20世紀數學中有顯著的位置，特別是在基於同調代數的課題中。很顯然公理化方法在數學之外是有局限性的。例如，在政治哲學中，導致不可接受的結論的公理很可能被大量拒絕；所以沒有人真的統一上面的第一個版本。

B. 什麼是公理化方法

公理化方法
在一個數學理論系統中，從盡可能少的原始概念和一組不加證明的公理出發，用純邏輯推理的法則，把該系統建立成一個演繹系統的方法，就是公理化方法。它是隨著數學和邏輯學的發展而產生的。
公元前6世紀前後，希臘數學家泰勒斯（Thales)開始了幾何命題的證明，開辟了幾何學作為證明的演繹科學的方向。畢達哥拉斯學派的歐多克斯於公元前4世紀在處理不可通約量時，建立了一公理為依據的演繹方法。愛奧尼亞學派的芝諾（Zeno）在論辯術中運用了歸謬法。伯拉圖闡明了許多邏輯原則。亞里士多德在其著作《分析篇》中，對公理方法作了系統總結，指出了演繹證明的邏輯結構和要求，從而奠定了公理化方法的基礎。
公元前3、4世紀之交，希臘數學家歐幾里德在總結前人積累的幾何知識基礎上，把形式邏輯的公理演繹方法應用於幾何學，運用他所抽象出的一系列基本概念和公理，完成了傳世之作《幾何原本》，標志著數學領域中公理化方法的誕生。由於《幾何原本》在第五公設的陳述和內容上復雜而累贅，引起人們對這一公設本身必要性的懷疑。在此後的2000多年間，人們試圖給出一個第五公設的證明，但所有的嘗試都失敗了。19世紀，俄國年輕的數學家羅巴切夫斯基吸取前人失敗的教訓，從反面提出問題，給出了一個新的公理體系，創立了非歐幾何學。這是公理化方法的進一步發展。
1899年，德國數學家希爾伯特在前人工作的基礎上，著《幾何基礎》一書，解決了歐氏幾何的欠缺，完善了幾何公理化方法，創造了全新的形式公理化方法。為了避免在數學中出現悖論，希爾伯特認為要設法絕對的證明數學的無矛盾性，致使他從事「證明論的研究」，於是希爾伯特又把公理化方法推向一個新階段，即純形式化發展階段，這就產生了純形式公理化方法。
幾何學的公理化，成為其它學科及分支的楷模。相繼出現了各種理論的公理化系統，如理論力學公理化，相對論公理化，數理邏輯公理化，概率論公理化等。同時，純形式公理化方法推動了數學基礎的研究，並為機算機的廣泛應用開闊了前景。

C. 什麼是公理化方法

所謂公理化方法，就是指從盡可能少的原始概念和不加證明的原始命題（即公理、公設）出發，按照邏輯規則推導出其他命題，建立起一個演繹系統的方法。 恩格斯曾說過：數學上的所謂公理，是數學需要用作自己出發點的少數思想上的規定。 公理化方法能系統的總結數學知識、清楚地揭示數學的理論基礎，有利於比較各個數學分支的本質異同，促進新數學理論的建立和發展。 現代科學發展的基本特點之一，就是科學理論的數學化，而公理化是科學理論成熟和數學化的一個主要特徵。

D. 公理的公理化

概括地說，幾何學的公理化方法是從少數初始概念和公理出發，遵遁邏輯原則建立幾何學演繹體系的方法。用公理化方法建立的數學學科體系一般是由以下四個部分組成：
①初始概念的列舉。
②定義的敘述。
③公理的列舉。
④定理敘述和證明。
這四個組成部分不是獨立地敘述和展開，而是相互交織、相互滲透、相互依賴地按照邏輯原則演繹。一般說來，用公理化方法建立的幾何學演繹體系總是由抽象內容和邏輯結構構成的統一體。決定幾何體系的基礎是初始概念和公理，不同的公理基礎決定不同的幾何體系，例如歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何、拓撲學等。
幾何體系的邏輯結構，主要取決於公理提出的先後次序，同一種幾何體系由於公理系統的編排次序不同，可以產生不同的邏輯結構．例如，中學幾何中的「外角定理」和三角形全等（合同）的「角角邊定理」是在平行公理之後提出的，因此可根據平行公理的推論「三角形內角和等於二直角」很容易給予證明。但在希爾伯特所建立的歐氏幾何的體系中，由於這兩個定理是在平行公理之前提出的，就不允許使用「三角形內角和」定理。即同一歐氏幾何可有多種邏輯結構，一個幾何命題的證法不是通用的，它在一種邏輯結構中適用，而在另一種邏輯結構中可能不適用。

E. 什麼是公理方法和公理體系

公理是依據人類理性的不證自明的基本事實，經過人類長期反復實踐的考驗，不需要再加證明的基本命題。除了重言式之外，沒有任何事物可被推導，若沒有任何事物被假定的話。公理即是導出特定一套演繹知識的基本假設。

公理不證自明，而所有其他的斷言（若談論的是數學，則為定理）則都必須藉助這些基本假設才能被證明。

然而，對數學知識的解釋從古至今已不太一樣，且最終「公理」這一詞對今日的數學家眼中和在亞里斯多德和歐幾里得眼中的意思也有了些許的不同。

古希臘人認為幾何學也是數種科學的其中之一，且視幾何學的定理和科學事實有同等地位。他們發展並使用邏輯演繹方法來作為避免錯誤的方法，並以此來建構及傳遞知識。亞里斯多德的後分析篇是對此傳統觀點的一決定性的闡述。

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公理化的實現就是：

①從其諸多概念中挑選出一組初始概念，該理論中的其餘概念，都由初始概念通過定義引入，稱為導出概念；

②從其一系列命題中挑選出一組公理，而其餘的命題，都應用邏輯規則從公理推演出來，稱為定理。應用邏輯規則從公理推演定理的過程稱為一個證明，每一定理都是經由證明而予以肯定的。

由初始概念、導出概念、公理以及定理構成的演繹體系，稱為公理系統。初始概念和公理是公理系統的出發點。

公理系統相應地區分為古典公理系統、現代公理系統或稱形式公理系統。最有代表性的古典公理系統是古希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》一書中建立的。

第一個現代公理系統是D.希爾伯特於1899年提出的。他在《幾何基礎》一書中，不僅建立了歐幾里得幾何的形式公理系統，而且也解決了公理方法的一些邏輯理論問題。

例如歐幾里德《幾何原本》中就規定了五條公理和五條公設（以現代觀點來看，公設也是公理），平面幾何中的一切定理都可由這些公理和公設推導而得。

F. 公理化方法的內容與影響。

公理化方法在近代數學的發展中起過巨大的作用，可以說，它對各門現代數學都有極其深刻的影響．即使在數學教學中，公理化方法也是一個十分重要的方法．
所謂公理化方法(或公理方法)，就是從盡可能少的無定義的原始概念(基本概念)和一組不證自明的命題(基本公理)出發，利用純邏輯推理法則，把一門數學理論構造成為演繹系統的一種方法．所謂基本概念和公理，當然必須反映數學實體對象的最單純的本質和客觀關系而並非人們自由意志的隨意創造．
眾所周知，Hilbert l899年出版的《幾何學基礎》一書是近代數學公理化的典範著作．該書在問世後的二三十年間曾引起西方數學界的一陣公理熱，足見其影響之大．Hilbert的幾何公理系統實際上是在前人的一一系列工作成果基礎上總結出來的，書中的公理條目也曾屢經修改．直到1930年出第七版時，還作了最後修改．這說明一門學科的公理化未必是一次完成的，公理化過程是可以包含著一些發展階段的．
談到數學公理化的作用，至少可以舉出如下四點：
(1)這種方法具有分析、總結數學知識的作用．凡取得了公理化結構形式的數學，由於定理與命題均已按邏輯演繹關系串聯起來，故使用起來也較方便．
(2)公理化方法把一門數學的基礎分析得清清楚楚，這就有利於比較各門數學的實質性異同，並能促使和推動新理論的創
(3)數學公理化方法在科學方法論上有示範作用．這種方法對現代理論力學及各門自然科學理論的表述方法都起到了積極的借鑒作用．例如，20世紀40年代波蘭的Banach曾完成了理論力學的公理化，而物理學家亦把相對論表述為公理化形式……
(4)公理化方法所顯示的形式的簡潔性、條理性和結構的和諧性確實符合美學上的要求，因而為數學活動中貫徹審美原則提供了範例．