二次曲面的研究方法

㈠ 正定二次型在國內外的研究意義及發展狀況是什麼

研究極值問題方面、解決多項式的根和在物理方面的應用等有重要意義。二次型的系統研究是從18世紀開始的，它起源於對二次曲線和二次曲面的分類問題的討論，將二次曲線和二次曲面的方程變形，選有主軸方向的軸作為坐標軸以簡化方程的形狀，這個問題是在18世紀引進的。

二次型化簡的進一步研究涉及二次型或行列式的特徵方程的概念。特徵方程的概念隱含地出現在歐拉的著作中，拉格朗日在其關於線性微分方程組的著作中首先明確地給出了這個概念。

(1)二次曲面的研究方法擴展閱讀

柯西在其著作中給出結論：當方程是標准型時，二次曲面用二次型的符號來進行分類。然而，那時並不太清楚，在化簡成標准型時，為何總是得到同樣數目的正項和負項。西爾維斯特回答了這個問題，他給出了n個變數的二次型的慣性定律，但沒有證明。這個定律後被雅克比重新發現和證明。1801年，高斯在《算術研究》中引進了二次型的正定、負定、半正定和半負定等術語。

西爾維斯特在研究二次曲線和二次曲面的切觸和相交時需要考慮這種二次曲線和二次曲面束的分類。在他的分類方法中他引進了初等因子和不變因子的概念，但他沒有證明「不變因子組成兩個二次型的不變數的完全集」這一結論。

㈡ 怎麼用最小二乘法進行三維二次曲面的擬合

所謂擬合是指已知某函數的若干離散函數值{f1,f2,…,fn}，通過調整該函數中若干待定系數f(λ1,λ2,…,λn),使得該函數與已知點集的差別最小。國外大學有門學科叫數值分析。國內為研究生的課程。擬合的方法除了最小二乘法外，還有拉格朗日插值法、牛頓插值法、牛頓迭代法、區間二分法、弦截法、雅克比迭代法和牛頓科特斯數值積分發等方法。以前曾用C語言把這些擬合方法寫成軟體。但是現在沒有裝VC平台，所以用不了。需要的話請聯系本人。

㈢ 二次曲面方程分類的方法有幾種分別是什麼

常見的大概有
1、柱面：F（x,y）=0（z是全體實數）例如x^2+y^2=R^2圓柱曲面
2、圓柱曲面：方程是2次其次式F（x^2,y^2,z^2）=0例如：x^2/4+y^2/8=z^2（包括橢球面）
3、旋轉曲面：f（正負根下（x^2+y^2）,z）=0比如：根下x^2+y^2=|y1|,z=z1
4、二次曲面一般式：Ax+By+Cz+Dxy+Eyx+Fzx+Gx+Hy+Iz+J=0

㈣ 二次型和二次曲面有什麼區別

區別：

1、平方項系數不同

標准型的平方項系數是由二次型矩陣，經過正交變換或配方法得來的系數，當進行正交變換得到的系數同時系數也是二次型矩陣的特徵值。配方法得出的不一定是二次型矩陣的特徵值。

規范性的平方項系數是由標准型的系數的正確決定的。都是+1或者是-1，它決定了特徵值正負的個數也就是正負慣性指數。

2、轉換方式不同

標准型標准型到規范形,只需要將正交變換或者配方法得來的系數中平方項的正系數改為 1,負系數改為 -1，一般將正系數項放在前。規范型轉換則與標准型到規范性的過程相反。

參考來源：網路-二次型

㈤ Chapter5——二次型

二次型的研究與解析幾何中化二次曲面方程為標准型的問題密切相關。

定義：

二次型的矩陣表達式：

二次型的可逆線性變換：二次型經過可逆線性變換後仍是二次型

矩陣的合同關系：

定義：

配方法：將任意的二次型通過可逆線性變換化為標准型

正交變換法：將任意的二次型通過正交線性變換化為標准型

二次型的規范性定義：將二次型的系數全化為1或-1

慣性定理：二次型的規范型唯一

正定二次型定義：其標准二次型的系數都為正數，或系數矩陣A的特徵值都為正數，或其正慣性指數為n

正定二次型與正定矩陣的判別：

㈥ 二次曲面的簡便化簡方法

為了回答這個問題，需要用到比較充分的解析幾何和線性代數知識。首先明確二次曲面是什麼，二次曲面就是三元二次方程在直角坐標系下的圖像，一般的三元二次方程可以表示為： a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+2b_{1}x+2b_{2}y+2b_{3}z+c=0 .其中 a_{11},a_{22},a_{33} 不全為0，2a_{12}xy,2a_{13}xz,2a_{23}yz 叫作交叉項， 2b_{1}x,2b_{2}y,2b_{3}z 叫作一次項，c叫作常數項。接下去用 \alpha=\left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) 來表示點的坐標。我們知道對一個圖形，平移、旋轉、對稱變換（我們稱為反射），都是不會改變形狀的。平移變換可以用 \alpha+\alpha_0 來表示，因為它將每個點 \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right) 變為了 \left( \begin{array}{c} x +x_0\\ y+y_0 \\ z +z_0\\ \end{array} \right) .旋轉、反射都對是正交變換，而一個正交變換能分解為旋轉、反射的復合，正交變換用Uα表示，其中U是正交矩陣。為了將二次曲面分類，我們應當利用正交變換、平移變換將一般的二次曲面方程進行化簡。由於 a_{11}x^2+a_{22}y^2+a_{33}z^2+2a_{12}xy+2a_{13}xz+2a_{23}yz+2b_{1}x+2b_{2}y+2b_{3}z+c= \left ( \begin {array} {cccc} x & y & z & 1 \\\end {array} \right)\left ( \begin {array} {cccc} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} & b_ {1} \\ a_ {12} & a_ {22} & a_ {23} & b_ {2} \\ a_ {13} & a_ {23} & a_ {33} & b_ {3} \\ b_ {1} & b_ {2} & b_ {3} & c \\\end {array} \right)\left ( \begin {array} {c} x \\ y \\ z \\ 1 \\\end {array} \right) ,記 A=\left ( \begin {array} {ccc} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {12} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {13} & a_ {23} & a_ {33} \\\end {array} \right) ,\varepsilon=\left ( \begin {array} {c} b_{1} \\ b_{2} \\b_{3} \\\end {array} \right),則三元二次方程可以記為 \left( \begin{array}{cc} \alpha^T & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} A & \varepsilon \\ \varepsilon^T & c \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \alpha \\ 1 \\ \end{array} \right)=0 ,\Rightarrow\alpha^TA\alpha+\varepsilon^T\alpha+\alpha^T\varepsilon+c=0 ,注意到 \varepsilon^T\alpha=\alpha^T\varepsilon ，於是進一步將方程化簡為 \Rightarrow\alpha^TA\alpha+2\varepsilon^T\alpha+c=0 .我們將 \left( \begin{array}{cc} A & \varepsilon \\ \varepsilon^T & c \\ \end{array} \right) 稱作二次曲面的表示矩陣（同理，n階對稱矩陣可以是n-1元二次方程的表示矩陣，表示形式是一致的）。由於A是對稱矩陣，所以A可以正交相似到對角型，即存在正交陣U和對角陣 \Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) ,滿足：\Lambda=U^TAU 。先做正交變換 \beta_1=U^T\alpha ,即 \alpha=U\beta_{1} ，代入方程得 (U\beta_{1})^TA(U\beta_{1})+2\varepsilon^T(U\beta_1)+c=0 \Rightarrow\beta_1^TU^TAU\beta_1+2\varepsilon^TU\beta_1+c=0 \Rightarrow\beta_1^T\Lambda\beta_1+2\varepsilon^TU\beta_1+c=0 .記 \varepsilon^TU=(\mu_1\ \mu_2\ \mu_3) ，則方程可寫為 \lambda_1x'^2+\lambda_2y'^2+\lambda_3z'^2+2\mu_1x'+2\mu_2y'+2\mu_3z'+c=0 .其中x',y',z'為 \beta_1 的三個分量。可以看到交叉項已經被約去了。對於方程\lambda_1x'^2+\lambda_2y'^2+\lambda_3z'^2+2\mu_1x'+2\mu_2y'+2\mu_3z'+c=0 ，若 \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3全不為0，則可配方為： \lambda_1(x'+\mu_1/\lambda_1)^2+\lambda_2(y'+\mu_2/\lambda_2)^2+\lambda_3(z'+\mu_3/\lambda_3)^2+c'=0 ,其中c'表示配方後的常數項，下文同。只需做平移變換： \beta=\beta_1+\left ( \begin {array} {c} \mu_1/\lambda_1 \\ \mu_2/\lambda_2 \\\mu_3/\lambda_3\\\end {array} \right) ,方程變為 \lambda_1u^2+\lambda_2v^2+\lambda_3w^2+c'=0 ，其中u，v，w是 \beta 的三個分量，下文同。若 \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3有一個為0，不妨設 \lambda_3為0，則同樣配方可得： \lambda_1(x'+\mu_1/\lambda_1)^2+\lambda_2(y'+\mu_2/\lambda_2)^2+2\mu_3z'+c'=0 。做平移變換 \beta=\beta_1+\left ( \begin {array} {c} \mu_1/\lambda_1 \\ \mu_2/\lambda_2 \\0\\\end {array} \right) ，方程變為 \lambda_1u^2+\lambda_2v^2+2\mu_3w+c'=0 .若 \mu_3 =0,則方程為 \lambda_1u^2+\lambda_2v^2+c'=0 ，否則可以再進一步對w做平移可消除常數項，這里不再具體寫出變換過程，最後得： \lambda_1u^2+\lambda_2v^2+2\mu_3w=0 .若 \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3有兩個為0，不妨設 \lambda_2,\lambda_3為0,同樣可先對x'配方得： \lambda_1(x'+\mu_1/\lambda_1)^2+2\mu_2y'+2\mu_3z'+c'=0 ，先做平移變換 \beta_2=\beta_1+\left ( \begin {array} {c} \mu_1/\lambda_1 \\ 0\\0\\\end {array} \right) ,得方程： \lambda_1x''^2+2\mu_2y''+2\mu_3z''+c'=0 ,其中x'',y'',z''是 \beta_2 的三個分量。若 \mu_2,\mu_3 全為0，則直接令 \beta=\beta_2 ,方程為： \lambda_1u^2+c'=0 。若 \mu_2,\mu_3 不全為0，做正交變換 \beta=\left ( \begin {array} {ccc}1 & 0 & 0 \\0& \frac{1}{\sqrt{\mu_2^2+\mu_3^2}}\mu_2 & \frac{1}{\sqrt{\mu_2^2+\mu_3^2}}\mu_3 \\ 0 & \nu_1 & \nu_2 \\\end {array} \right)\beta_2 ,其中 (\nu_1,\nu_2) 是與 (\mu_2,\mu_3)正交的單位向量，這保證了上述變換為正交變換。於是方程變為 \lambda_1u^2+2\sqrt{\mu_2^2+\mu_3^2}v+c'=0 .再進一步對v做平移可以消去常數項，這里不再寫出變換過程，最後得： \lambda_1u^2+2\sqrt{\mu_2^2+\mu_3^2}v=0 .綜上所述，我們發現一般二次曲面在經過正交變換和平移變換後都會變成以下曲面之一：au^2+bv^2+cw^2=d ；au^2=d； au^2+bv^2=d ；au^2+bv^2=cw；au^2=bv.上述所有方程除了d所有系數都不為0.進一步對上述方程系數的正負性進行討論，便可將二次曲線分類。au^2+bv^2+cw^2=d，a，b，c，d全大於0，為橢球面。au^2+bv^2+cw^2=d ，a，b，c有1個小於0，其餘大於0，且d大於0，為單葉雙曲面，或者a，b，c有1個大於0，其餘小於0，且d小於0，為單葉雙曲面。au^2+bv^2+cw^2=d ，a，b，c，d其中兩個為正，兩個為負，為雙葉雙曲面。au^2+bv^2+cw^2=d ，d為0，a，b同號且與c異號，即： au^2+bv^2=cw^2 ，a，b，c同號，為橢圓錐面。au^2+bv^2=d ，a，b，d同號，為橢圓柱面。au^2+bv^2=d ，a，b異號，d不為0，為雙曲柱面。au^2+bv^2=cw ，a，b，c同號，為橢圓拋物面。au^2+bv^2=cw ，a，b異號，c不為0，為雙曲拋物面。au^2=bv ，a，b不為0，為拋物柱面。au^2+bv^2+cw^2=0 ，a，b，c同號，為一點。au^2+bv^2=0 ，a，b同號，即為直線 \frac{u}{1}=\frac{v}{1}=\frac{w}{0} .au^2+bv^2=0 ，a，b異號，則可用平方差公式將其分解為兩個平面方程的乘積，故代表兩個相交平面。au^2=d ，a，d同號，為兩張平行平面。au^2=0 ，a不為0，為兩張重合平面（也可以說是一張平面）。au^2+bv^2+cw^2=d ，a，b，c同號且與d異號，則無實解，稱為虛橢球面。au^2+bv^2=d ，a，b同號且與d異號，則無實解，稱為虛橢圓柱面。au^2=d ，a，d異號，則無實解，稱為兩張虛的平行面。題主所說的9種實際上是上述的1-9，是非退化的二次曲面，而10-14是退化的二次曲面，實際上是點、直線或是兩張平面（將14視為兩張重合平面就是為了統一），15-17是無實解的情況。本文的方法適用於對任意維歐氏空間下的n元二次方程圖象進行分類，大家可以嘗試用一樣的方法去討論二次曲線的分類。事實上，本文給出了從一般三元二次方程變形到5類方程的方法，再通過對系數情況的判定可以確定二次曲面是17類中的哪一類，然而我們其實可以找到從原方程變到5類方程後的系數與原方程表示矩陣的關系，比如二次項的系數實際上就是A的特徵值，所以引入表示矩陣的意義在於即便不把方程先變到5類方程也可以直接通過研究表示矩陣的特徵來確定二次曲面屬於17類中的哪一類。這個手段同樣對任意元的二次方程適用，解析幾何中學習的二次曲線通過不變數確定類別實際上就是這個道理。關於這一點，大家感興趣的話，等我有空會另開文章講述

㈦ 二次曲面的極值是怎麼求

二次曲面的極值計算方法：

先求出函數的一階導數，後求當函數的一階導數為零時的自變數的值，也就是解方程f`(x)=0，得到方程的解為x=x1(可能還有其他解），f(x1)就是函數的極值，再判斷f(x1)是極大值還是極小值。判斷的方法：用函數的增減性。

一般說來，直線與二次曲面相交於兩個點；如果相交於三個點以上，那麼此直線全部在曲面上。這時稱此直線為曲面的母線。如果二次曲面被平行平面所截，其截線是二次曲線。