國內外研究數學思想方法

❶ 淺談幾種常見的數學思想方法

摘要：數學思想方法以數學知識為載體，蘊涵於知識之中，是數學的精髓。文章主要介紹四種常見的數學思想方法：函數與方程思想、分類與整合的思想、數形結合的思想、化歸與轉化的思想。在教學過程中滲透數學思想方法，能提高教學效果，提高學生數學素養。

1對數學思想方法的認識

在數學教學和數學教育領域，數學知識、數學方法、數學思想是數學知識體系的三個層次，它們相互聯系，共同發展。數學知識是數學思想方法解決問題所依附的材料；數學方法是解決問題的手段和途徑，是數學思想發展的前提；數學思想是對數學對象的本質認識，是從某些具體的數學內容（概念、命題、定理）和數學認識過程中提煉出來的基本觀點和想法，是數學方法的靈魂，是解決問題的指導思想，對數學活動具有指導意義。數學思想和數學方法是緊密聯系的，數學思想方法通常從「數學思想」和「數學方法」兩個角度進行闡述。

數學中常用的數學思想方法，概括起來可以分為兩類。一類是科學思想在數學中的應用，如分析與綜合、分類討論、類比、化歸、歸納與演繹思想等；另一類是數學學科特有的思想方法，如集合與對應、數學建模、數形結合、函數與方程、極限、概率統計的思想方法等。

2教學中主要的數學思想方法

數學思想方法的學習和領悟能幫助學生構建知識體系，使學生所學的知識不再是零散的知識點，能提高學生數學思維能力，提高學習效果。因此，在教學過程中必須重視數學思想方法的教學。

數學思想方法以數學知識為載體，蘊涵於知識之中，是數學的精髓，它支撐和統率著數學知識。教師在講授概念、性質、定理的過程中應不斷滲透與之相關的數學思想方法，讓學生在掌握知識的`同時，又能領悟到數學思想，從而提升學生思維能力。在教學過程中，要引導學生主動參與結論的探索、發現及推導過程，搞清知識點間的聯系及其因果關系，讓學生親身體驗蘊含在知識中的數學思想和方法。

2.1 分類與整合的思想分類是通過比較數學對象本質屬性的相同點和差異點，然後根據某一種屬性將數學對象區分為不同種類的思想方法。分類討論既是是一個重要的數學方法，又一個重要的數學思想，在解題時，它能避免思維的片面性，保證不遺不漏。

整合就是考慮數學問題時把注意力和重點放在問題的整體結構上，通過對其全面深刻的觀察和分析，從整體上認識問題的實質，把中間相互緊密聯系著的量作為整體來處理的思想方法。

解題時，我們常常遇到這種情況，解到某一步時，被研究的問題包含了多種情況，我們不能再按照統一標准進行下去，這就需要把條件所給出的總區域劃分成若干個子區域，然後分別在各個子區域內進行解題，當分類解決完這個問題後，再把它們整合在一起，這就是分類與整合的思想。有分有合，先分後合，不僅是分類與整合的思想解決問題的主要過程，也是這種思想方法的本質屬性。

這就需要我們在學習中認識到以下幾點：什麼樣的問題需要分類研究；為什麼要分類；如何分類；分類後如何研究與最後如何整合等。例如：等比數列的求和公式就分為q=1和q≠1兩種情況；對數函數的單調性就分為a>1，0 2.2 數形結合的思想數學研究的對象是數量關系和空間形式，即「數」與「形」兩個方面。「數」與「形」之間不是孤立存在的，而是有著密切的聯系。數量關系的研究可以轉化為圖形性質的研究，反之，圖形性質的研究可以轉化為數量關系的研究，這種解決數學問題過程中「數」與「形」相互轉化的思維策略，即是數形結合的思想。

數形結合的思想，既是一個重要的數學思想，也是一種常用的數學方法，為解決問題提供了方便，是解決問題的一個捷徑。數形結合思想一方面，能使數量關系的抽象概念和解析式通過圖形變得直觀形象；另一方面，能使一些圖形的屬性通過對數量關系的研究，更精準、更深刻地得出圖形的性質。這種「數」與「形」的相互轉換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡捷明快，同時還可大大拓寬我們的解題思路。華羅庚先生曾作過精闢的論述：「數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數缺形時少直覺，形少數時難人微，數形結合百般好，隔裂分家萬事非。切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系切莫離」。它的運用，往往展現出「柳暗花明又一村」般的數形和諧完美結合的境地。

數形結合在數學解題時應用也比較廣泛。例如：不連續函數討論增減性問題，函數求最值問題；根的分布問題及數形結合在不等式中、在數列中、在解析幾何中的應用等。這些都是數形結合的思想方法的體現。

2.3 化歸與轉化的思想化歸與轉化的思想就是將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、類比、聯想等思維過程，選擇運用恰當的數學方法進行變換，化歸為在已知知識范圍內已經解決或容易解決的問題的思想方法。化歸與轉化思想的實質是揭示聯系，實現轉化。

化歸與轉化的思想是解決數學問題的根本思想，大部分數學問題的解決都是通過轉化實現的。從某種意義上講，解決數學問題就是從未知向已知轉化的過程，解題的過程實際上就是一步步轉化的過程。要想熟練運用化歸與轉化思想，就要積極主動地去挖掘問題之間的聯系，要有豐富的聯想、機敏細微的觀察，要熟練、扎實地掌握基礎知識、基本技能和基本方法。在學習中我們要對公式、定理、法則有深刻理解，並對典型例題和習題進行總結和提煉。人們常說：「抓基礎，重轉化」是學好數學的金鑰匙，學習中一定要用好這把金鑰匙。運用化歸與轉化思想的例子比比皆是，如：未知向已知的轉化，復雜問題向簡單問題的轉化，新知識向舊知識的轉化，數與形的轉化，空間向平面的轉化，命題之間的轉化，高維向低維的轉化，多元向一元的轉化，函數與方程的轉化等都是轉化思想的體現。

2.4 函數與方程的思想函數的思想是用運動、變化的觀點，分析研究具體問題中的數量關系，通過函數形式把這種數量關系刻劃出來並加以研究，從而解決問題的方法。

方程的思想就是突出研究已知量與未知量之間的等量關系，通過設未知數、列方程或方程組，解方程或方程組等步驟，達到求值目的解題思路和策略。

函數與方程的思想，既是函數思想與方程思想的體現，也是兩種思想綜合運用的體現，，是對知識在更高層次上的抽象、概括與提煉，是研究變數與函數之間的內在聯系，並從函數與方程各部分的內在聯系出發來考慮問題，研究問題和解決問題的數學思想。

著名數學家克萊因說：「一般受教育者在數學課上應該學會的重要事情是用變數和函數來思考」。一個學生僅僅學習了函數的知識，他在解決問題時往往是被動的，而建立了函數思想，才能主動地去思考一些問題。

在解題時，要學會思考這些問題：①是不是需要把字母看作變數？②是不是需要把代數式看作函數？如果是函數它具有哪些性質？③是不是需要構造一個函數，把表面上不是函數的問題化歸為函數問題？④能否把一個等式轉化為一個方程？等等。我們常見的運用函數思想的例子有：數列問題藉助於函數思想，用函數方法來解決；遇到變數時構造函數關系式來解題；有關的最大、最值問題，可利用函數觀點加以分析；實際應用問題，轉化成數學語言，建立數學模型和函數關系式，應用函數相關性質來解決等。

參考文獻：

[1]錢佩玲.數學思想方法與中學數學（第2版）.北京師范大學出版社，2008.

[2]張順燕.數學的思想、方法和應用.北京大學出版社，2009.

❷ 一般的數學思想方法有哪些

1 函數思想

把某一數學問題用函數表示出來，並且利用函數探究這個問題的一般規律。

2 數形結合思想

把代數和幾何相結合，例如對幾何問題用代數方法解答，對代數問題用幾何方法解答。

3 整體思想

整體代入、疊加疊乘處理、整體運算、整體設元、整體處理、幾何中的補形等都是整體思想方法在解數學問題中的具體運用。

4 轉化思想

在於將未知的，陌生的，復雜的問題通過演繹歸納轉化為已知的，熟悉的，簡單的問題。

5 類比思想

把兩個（或兩類）不同的數學對象進行比較，如果發現它們在某些方面有相同或類似之處，那麼推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。

(2)國內外研究數學思想方法擴展閱讀：

函數思想，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想，是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然後通過解方程（組）或不等式（組）來使問題獲解。有時，還實現函數與方程的互相轉化、接軌，達到解決問題的目的。

笛卡爾的方程思想是：實際問題→數學問題→代數問題→方程問題。宇宙世界，充斥著等式和不等式。我們知道，哪裡有等式，哪裡就有方程；哪裡有公式，哪裡就有方程；求值問題是通過解方程來實現的……等等；不等式問題也與方程是近親，密切相關。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應用方程思想時需要重點考慮的。

函數描述了自然界中數量之間的關系，函數思想通過提出問題的數學特徵，建立函數關系型的數學模型，從而進行研究。

它體現了「聯系和變化」的辯證唯物主義觀點。一般地，函數思想是構造函數從而利用函數的性質解題，經常利用的性質是：f(x)、f (x)的單調性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數的具體特性。

在解題中，善於挖掘題目中的隱含條件，構造出函數解析式和妙用函數的性質，是應用函數思想的關鍵。對所給的問題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時，才能產生由此及彼的聯系，構造出函數原型。另外，方程問題、不等式問題和某些代數問題也可以轉化為與其相關的函數問題，即用函數思想解答非函數問題。

函數知識涉及的知識點多、面廣，在概念性、應用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重點。

我們應用函數思想的幾種常見題型是：遇到變數，構造函數關系解題；有關的不等式、方程、最小值和最大值之類的問題，利用函數觀點加以分析；含有多個變數的數學問題中，選定合適的主變數，從而揭示其中的函數關系。

實際應用問題，翻譯成數學語言，建立數學模型和函數關系式，應用函數性質或不等式等知識解答；等差、等比數列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函數，數列問題也可以用函數方法解決。

引起分類討論的原因主要是以下幾個方面：

① 問題所涉及到的數學概念是分類進行定義的。如|a|的定義分a>0、a=0、a<0三種情況。這種分類討論題型可以稱為概念型。

② 問題中涉及到的數學定理、公式和運算性質、法則有范圍或者條件限制，或者是分類給出的。如等比數列的前n項和的公式，分q=1和q≠1兩種情況。這種分類討論題型可以稱為性質型。

③ 解含有參數的題目時，必須根據參數的不同取值范圍進行討論。如解不等式ax>2時分a>0、a=0和a<0三種情況討論。這稱為含參型。

另外，某些不確定的數量、不確定的圖形的形狀或位置、不確定的結論等，都主要通過分類討論，保證其完整性，使之具有確定性。

進行分類討論時，我們要遵循的原則是：分類的對象是確定的，標準是統一的，不遺漏、不重復，科學地劃分，分清主次，不越級討論。其中最重要的一條是「不漏不重」。

解答分類討論問題時，我們的基本方法和步驟是：首先要確定討論對象以及所討論對象的全體的范圍；其次確定分類標准，正確進行合理分類，即標准統一、不漏不重、分類互斥（沒有重復）；再對所分類逐步進行討論，分級進行，獲取階段性結果；最後進行歸納小結，綜合得出結論。

❸ 數學思想方法有哪幾種

數學思想方法有以下5種：

一、方程思想

當一個問題可能與某個等式建立關聯時，可以構造方程並對方程的性質進行研究以解決這個問題。例如證明柯西不等式的時候，就可以把柯西不等式轉化成一個二次方程的判別式。

二、分類討論思想

當一個問題因為某種量或圖形的情況不同而有可能引起問題的結果不同時，需要對這個量或圖形的各種情況進行分類討論。比如解不等式|a-1|>4的時候，就要分類討論a的取值情況。

三、隱含條件思想

沒有明文表述出來，但是根據已有的明文表述可以推斷出來的條件，或者是沒有明文表述，但是該條件是一個常規或者真理。例如一個等腰三角形，一條過頂點的線段垂直於底邊，那麼這條線段所在的直線也平分底邊和頂角。

四、類比思想

把兩個（或兩類）不同的數學對象進行比較，如果發現它們在某些方面有相同或類似之處，那麼就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。

五、極限思想

極限思想是微積分的基本思想，數學分析中的一系列重要概念，如函數的連續性、導數以及定積分等等都是藉助於極限來定義的。如果要問：「數學分析是一門什麼學科?」那麼可以概括地說：「數學分析就是用極限思想來研究函數的一門學科」。

❹ 數學思想方法有哪些

如下：

1、數形結合：是數學中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解決許多數學問題的有效思想。「數缺形時少直觀，形無數時難入微」是我國著名數學家華羅庚教授的名言，是對數形結合的作用進行了高度的概括。

2、轉化思想：在整個初中數學中，轉化(化歸)思想一直貫穿其中。轉化思想是把一個未知(待解決)的問題化為已解決的或易於解決的問題來解決，如化繁為簡、化難為易，化未知為已知，化高次為低次等，它是解決問題的一種最基本的思想,它是數學基本思想方法之一。

3、分類思想：有理數的分類、整式的分類、實數的分類、角的分類，三角形的分類、四邊形的分類、點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系等都是通過分類討論的。

簡介

縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數形結合的思想方法解決一些抽象的數學問題，可起到事半功倍的效果，數形結合的重點是研究「以形助數」。

數形結合的思想方法應用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數的值域、最值問題中，在求復數和三角函數解題中，運用數形結思想，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優越，要注意培養這種思想意識，要爭取胸中有圖見數想圖，以開拓自己的思維視野。

❺ 目前的數學思想方法一共有幾種

四種。其中的具體情況如下：

1

數形結合的思想：

這是我們學習數學最先接觸的思想方法。數形結合，包含「以形助數」和「以數輔形」兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是藉助形的生動和直觀性來闡明數之間的聯系，即以形作為手段，數為目的，比如應用函數的圖像來直觀地說明函數的性質；或者是藉助於數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。

❻ 數學思想方法有哪幾種

數學思想方法有：

1、數形結合：是數學中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解決許多數學問題的有效思想。「數缺形時少直觀，形無數時難入微」是我國著名數學家華羅庚教授的名言，是對數形結合的作用進行了高度的概括。

2、轉化思想：在整個初中數學中，轉化(化歸)思想一直貫穿其中。轉化思想是把一個未知(待解決)的問題化為已解決的或易於解決的問題來解決，如化繁為簡、化難為易，化未知為已知，化高次為低次等，它是解決問題的一種最基本的思想,它是數學基本思想方法之一。

3、分類思想：有理數的分類、整式的分類、實數的分類、角的分類，三角形的分類、四邊形的分類、點與圓的位置關系、直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系等都是通過分類討論的。

4、整體思想

從問題的整體性質出發，突出對問題的整體結構的分析和改造，發現問題的整體結構特徵，善於用「集成」的眼光，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關聯，進行有目的的、有意識的整體處理。

5、類比思想

把兩個（或兩類）不同的數學對象進行比較，如果發現它們在某些方面有相同或類似之處，那麼就推斷它們在其他方面也可能有相同或類似之處。

6、配方法

將一個式子設法構成平方式，然後再進行所需要的轉化。當在求二次函數最值問題、解決實際問題最省錢、盈利最大化等問題時，經常要用到此方法。

7、待定系數法法

當我們所研究的數學式子具有某種特定形式時，要確定它，只要求出式子中待定的字母的值就可以了，為此，需要把已知的條件代入到這個待定的式子中，往往會得到含待定字母的方程或者方程組，然後解這個方程或者方程組就可以使問題得到解決。