什麼是同倫分析方法

A. 創建於20 世紀的主要數學分支有哪些請闡述它們各自的主要思想方法！

基礎數學：

數論：古典數論 解析數論，代數數論，超越數論, 模型式與模函數論
代數學：線性代數 群論, 群表示論, 李群, 李代數, 代數群, 典型群, 同調代數, 代數K理論, Kac-Moody代數, 環論, 代數, 體, 格, 序結構. 域論和多項式 拓撲群 矩陣論 向量代數 張量代數
幾何學：（整體，局部）微分幾何, 代數幾何, 流形上的分析, 黎曼流形與洛侖茲流形, 齊性空間與對稱空間, 調和映照, 子流形理論, 楊--米爾斯場與纖維叢理論, 辛流形. 凸幾何與離散幾何 歐氏幾何 非歐幾何 解析幾何
拓撲學：微分拓撲, 代數拓撲, 低維流形, 同倫論, 奇點與突變理論, 點集拓撲. 流形和胞腔復形 大范圍分析,微分拓撲 同調論復流形
函數論： 函數逼近論.
泛函分析：（非）線性泛函分析, 運算元理論, 運算元代數, 差分與泛函方程, 廣義函數. 變分法，積分變換 積分方程
微分方程：泛函微分方程, 特徵與譜理論及其反問題, 定性理論, 穩定性理論、分支理論,混沌理論, 奇攝動理論,動力系統, 常微分方程非線性橢圓(和拋物)方程,偏微分方程, 微局部分析與一般偏微分運算元理論, 調混合型及其它帶奇性的方程, 非線性發展方程和無窮維動力系統.
在泛函分析方面，包括象Kasparov在內的許多人的工作將連續的K-理論推廣到非交換
的C*-代數情形．一個空間上的連續函數在函數乘積意義下形成一個交換代數．但是在其
他情形下，自然地產生了類似的關於非交換情形的討論，這時，泛函分析也就自然而然地
成為了這些問題的溫床．
因此，K-理論是另外一個能夠將相當廣泛的數學的許多不同方面都能用這種比較簡單
的公式來處理的領域，盡管在每一個情形下，都有很多特定於該方面且能夠連接其他部分
的非常困難的，技巧性很強的問題．K-理論不是一個統一的工具，它更象是一個統一的框
架，在不同部分之間具有類比和相似．
這個工作的許多內容已經被Alain Connes推廣到「非交換微分幾何」．
非常有趣的是，也就是在最近，Witten通過他在弦理論方面（基礎物理學的最新思想
）的工作發現許多很有趣的方法都與K-理論有關，並且K-理論看起來為那些所謂的「守恆
量」提供了一個很自然的「家」．雖然在過去同調論被認為是這些理論的自然框架，但是
現在看起來K一理論能提供更好的答案．
李群
另一個不單單是一項技術、而且是具有統一性的概念是李群．現在說起李群，我們基
本上就是指正交群，酉群，辛群以及一些例外群，它們在二十世紀數學歷史中起了非常重
要的作用．它們同樣起源於十九世紀．SophusLie是一位十九世紀的挪威數學家．正如很
多人所講的那樣，他和Fleix Klein，還有其他人一起推動了「連續群理論」的發展．對
Klein而言，一開始，這是一種試圖統一處理Euclid幾何和非歐幾何這兩種不同類型幾何
的方法．雖然這個課題源於十九世紀，但真正起步卻是在二十世紀，作為一種能夠將許多
不同問題歸並於其中來研究的統一性框架，李群理論深深地影響了二十世紀．
我現在來談談Klein思想在幾何方面的重要性．對於Klein而言，幾何就是齊性空間，
在那裡，物體可以隨意移動而保持形狀不變，因此，它們是由一個相關的對稱群來控制的
．Euclid群給出Euclid幾何而雙曲幾何源於另一個李群．於是每一個齊性幾何對應一個不
同的李群．但是到了後來，隨著對Riemann的幾何學工作的進一步發展，人們更關心那些
不是齊性的幾何，此時曲率隨著位置的變化而變化，並且空間不再有整體對稱性，然而，
李群仍然起著重要的作用，這是因為在切空間中我們有Euclid坐標，以至於李群可以出現
在一種無窮小的層面上．於是在切空間中，從無窮小的角度來看，李群又出現了，只不過
由於要區分不同位置的不同點，我們需要用某種可以處理不同李群的方式來移動物體．這
個理論是被Eile Cartan真正發展起來的，成為現代微分幾何的基石，該理論框架對於Ei
nstein的相對論也起著基本的作用．當然Einstein的理論極大地推動了微分幾何的全面發
展．
進入二十世紀，我前面提到的整體性質涉及到了在整體層面上的李群和微分幾何．一
個主要的發展是給出所謂的「示性類」的信息，這方面標志性的工作是由Borel和Hirzeb
ruch給出的，示性類是拓撲不變數並且融合三個關鍵部分：李群，微分幾何和拓撲，當然
也包含與群本身有關的代數．
在更帶分析味的方向上，我們得到了現在被稱為非交換調和分析的理論．這是Fouri
er理論的推廣，對於後者，Fourier級數或者是Fourier積分本質上對應於圓周和直線的交
換李群，當我們用更為復雜的李群代替它們時，我們就可以得到一個非常漂亮、非常精巧
並且將李群表示理論和分析融為一體的理論．這本質上是Harish-Chandra一生的工作．
在數論方面，整個「Lang1ands綱領」,現在許多人都這樣稱呼它，緊密聯系於Haris
h-Chandra理論，產生於李群理論之中．對於每一個李群，我們都可以給出相應的數論和
在某種程度實施Langlands綱領．在本世紀後半葉，代數數論的一大批工作深受其影響．
模形式的研究就是其中一個很好的例證，這還包括Andrew Wiles在Fermat大定理方面的工
作．
也許有人認為李群只不過在幾何范疇內特別重要而已，因為這是出於連續變數的需要
．然而事實並非如此，有限域上的李群的類似討論可以給出有限群，並且大多數有限群都
是通過這種方式產生的．因此李群理論的一些技巧甚至可以被應用到有限域或者是局部域
等一些離散情形中．這方面有許多純代數的工作，例如與George Lusztig名字聯系在一起
的工作．在這些工作中，有限群的表示理論被加以討論，並且我已經提到的許多技術在這
里也可以找到它們的用武之地．
有限群
上述討論已把我們帶到有限群的話題，這也提醒了我：有限單群的分類是我必須承認
的一項工作．許多年以前，也就是在有限單群分類恰要完成之時,我接受了一次采訪，並
且我還被問道我對有限單群分類的看法,我當時很輕率地說我並不認為它有那麼重要．我
的理由是有限單群分類的結果告訴我們，大多數單群都是我們已知的，還有就是一張有關
若干例外情形的表．在某種意義下，這只不過是結束了一個領域．而並沒有開創什麼新東
西，當事物用結束代替開始時，我不會感到很興奮．但是我的許多在這一領域工作的朋友
聽到我這么講，理所當然地會感到非常非常不高興，我從那時起就不得不穿起「防彈衣」
了．
在這項研究中，有一個可以彌補缺點的優點．我在這里實際上指的是在所有的所謂「
散在群」(sporadic groups)中，最大的被賦予了「魔群」名字的那一個．我認為魔群的
發現這件事本身就是有限單群分類中最叫人興奮的結果了．可以看出魔群是一個極其有意
思的動物而且現在還處於被了解之中．它與數學的許多分支的很大一部分有著意想不到的
聯系，如與橢圓模函數的聯系，甚至與理論物理和量子場論都有聯系．這是分類工作的一
個有趣的副產品．正如我所說的，有限單群分類本身關上了大門，但是魔群又開啟了一扇
大門．
物理的影響
現在讓我把話題轉到一個不同的主題，即談談物理的影響．在整個歷史中，物理與數
學有著非常悠久的聯系，並且大部分數學，例如微積分，就是為了解決物理中出現的問題
而發展起來的．在二十世紀中葉，隨著大多數純數學在獨立於物理學時仍取得了很好的發
展，這種影響或聯系也許變得不太明顯．但是在本世紀最後四分之一的時間里，事情發生
了戲劇性的變化,讓我試著簡單地評述一下物理學和數學，尤其是和幾何的相互影響．
在十九世紀，Hamilton發展了經典力學，引入了現在稱為Hamilton量的形式化．經典
力學導出現在所謂的「辛幾何」．這是幾何的一個分支，雖然很早已經有人研究了，但是
實際上直到最近二十年，這個課題才得到真正的研究．這已經是幾何學非常豐富的一部分
．幾何學，我在這里使用這個詞的意思是指，它有三個分支：Riemann幾何，復幾何和辛
幾何，並且分別對應三個不同類型的李群．辛幾何是它們之中最新發展起來的，並且在某
種意義下也許是最有趣的，當然也是與物理有極其緊密聯系的一個，這主要因為它的歷史
起源與Hamilton力學有關以及近些年來它與量子力學的聯系．現在，我前面提到過的、作
為電磁學基本線性方程的Maxwell方程，是Hodge在調和形式方面工作和在代數幾何中應用方面工作的源動力．這是一個非常富有成果的理論，並且自從本世紀三十年代以來已經成為幾何學中的許多工作的基礎．
我已經提到過廣義相對論和Einstein的工作．量子力學當然更是提供了一個重要的實
例．這不僅僅體現在對易關繫上，而且更顯著地體現在對Hilbert空間和譜理論的強調上
．
以一種更具體和明顯的方式，結晶學的古典形式是與晶體結構的對稱性有關的．第一
個被研究的實例是發生在點周圍的有限對稱群，這是鑒於它們在結晶學中的應用．在本世
紀中，群論更深刻的應用已經轉向與物理的關系，被假設用來構成物質的基本粒子看起來
在最小的層面上有隱藏的對稱性，在這個層面上，有某些李群在此出沒，對此我們看不見
，但是當我們研究粒子的實際行為時，它們的對稱性就顯現無遺了．所以我們假定了一個
模型，在這個模型當中，對稱性是一個本質性的要素，而且目前那些很普遍的不同理論都
有一些象SU(2)和SU(3)那樣的基本李群融入其中並構成基礎的對稱群，因此這些李群看起
來象是建設物質大廈的磚石．
並不是只有緊李群才出現在物理中,一些非緊李群也出現在物理中，例如Lorentz群．
正是由物理學家第一個開始研究非緊李群的表示理論的．它們是那些能夠發生在Hilbert
空間的表示，這是因為，對於緊群而言，所有不可約表示都是有限維的，而非緊群需要的
是無窮維表示，這也是首先由物理學家意識到的．
在二十世紀的最後25年裡，正如我剛剛完成闡述的，有一種巨大的從物理學的新思想
到數學的滲透，這也許是整個世紀最引人注目的事件之一，就這個問題本身，也許就需要
一個完整的報告，但是，基本上來講，量子場論和弦理論已經以引人注目的方式影響了數
學的許多分支，得到了眾多的新結果、新思想和新技術．這里，我的意思是指物理學家通
過對物理理論的理解已經能夠預言某些在數學上是對的事情了．當然，這不是一個精確的
證明，但是確有非常強有力的直覺、一些特例和類比所支持．數學家們經常來檢驗這些由
物理學家預言的結果，並且發現它們基本上是正確的，盡管給出證明是很困難的而且它們
中的許多還沒有被完全證明．
所以說沿著這個方向，在過去的25年裡取得了巨大的成果．這些結果是極其細致的．
這並不象物理學家所講的「這是一種應該是對的東西」．他們說：「這里有明確的公式，
還有頭十個實例（涉及超過12位的數字）」．他們會給出關於復雜問題的准確答案，這些
決不是那種靠猜測就能得到的，而是需要用機器計算的東西，量子場論提供了一個重要的
工具，雖然從數學上來理解很困難，但是站在應用的角度，它有意想不到的回報．這是最
近25年中真正令人興奮的事件． 在這里我列一些重要的成果：SimonDona1dson在四維流形方面的工作；Vaughan-Jon es在扭結不變數方面的工作；鏡面對稱，量子群；再加上我剛才提到的「魔群」 這個主題到底講的是什麼呢？正如我在前面提到過的一樣，二十世紀見證了維數的一種轉換並且以轉換為無窮維而告終，物理學家超越了這些，在量子場論方面，他們真正試圖對廣泛的無窮維空間進行細致的研究，他們處理的無窮維空間是各類典型的函數空間，它們非常復雜，不僅是因為它們是無窮維的，而且它們有復雜的代數、幾何以及拓撲，還有圍繞其中的很大的李群，即無窮維的李群，因此正如二十世紀數學的大部分涉及的是幾何、拓撲、代數以及有限維李群和流形上分析的發展，這部分物理涉及了在無窮維情形下的類似處理．當然，這是一件非常不同的事情，但確有巨大的成功．
讓我更詳盡地解釋一下，量子場論存在於空間和時間中．空間的真正的意義是三維的
，但是有簡化的模型使我們將空間取成一維．在一維空間和一維時間里，物理學家遇到的
典型事物，用數學語言來講，就是由圓周的微分同胚構成的群或者是由從圓周到一個緊李
群的微分映射構成的群．它們是出現在這些維數里的量子場論中的兩個非常基本的無窮維
李群的例子，它們也是理所當然的數學事物並且已經被數學家們研究了一段時間．
在這樣一個1＋1維理論中，我們將時空取成一個Riemann曲面並且由此可以得到很多
新的結果．例如，研究一個給定虧格數的Riemann曲面的模空間是個可以追溯到上個世紀
的古典課題．而由量子場論已經得到了很多關於這些模空間的上同調的新結果．另一個非
常類似的模空間是一個具有虧格數g的Riemann曲面上的平坦G-叢的模空間．這些空間都是非常有趣的並且量子場論給出關於它們的一些精確結果．特別地，可以得到一些關於體積的很漂亮的公式，這其中涉及到Zeta函數的取值．
另一個應用與計數曲線(counting curve)有關．如果我們來看給定次數和類型的平面
代數曲線，我們想要知道的是，例如，經過那麼多點究竟有多少曲線，這樣我們就要面臨
代數幾何的計數問題，這些問題在上個世紀一直是很經典的．而且也是非常困難的．現在
它們已經通過被稱為「量子上同調」的現代技術解決了，這完全是從量子場論中得到的．
或者我們也可以接觸那些關於不在平面上而在彎曲族上的曲線的更加困難的問題，這樣我
們得到了另一個具有明確結果的被稱為鏡面對稱的美妙理論，所有這些都產生於1＋1維量
子場論．
如果我們升高一個維數，也就是2-維空間和1-維時間，就可以得到Vaughan-Jones的
扭結不變數理論．這個理論已經用量子場論的術語給予了很美妙的解釋和分析．
量子場論另一個結果是所謂的「量子群」．現在關於量子群的最好的東西是它們的名
字．明確地講它們不是群！如果有人要問我一個量子群的定義，我也許需要用半個小時來
解釋，它們是復雜的事物，但毫無疑問它們與量子理論有著很深的聯系它們源於物理，而
且現在的應用者是那些腳踏實地的代數學家們，他們實際上用它們進行確定的計算．
如果我們將維數升得更高一些，到一個全四維理論（三加一維），這就是Donaldson
的四維流形理論，在這里量子場論產生了重大影響．特別地，這還導致Seiberg和Witten
建立了他們相應的理論，該理論建立在物理直覺之上並且也給出許多非同尋常的數學結果
．所有這些都是些突出的例子．其實還有更多的例子．
接下來是弦理論並且這已經是過時的了！我們現在所談論的是M一理論，這是一個內
容豐富的理論，其中同樣有大量的數學，從關於它的研究中得到的結果仍有待於進一步消
化並且足可以讓數學家們忙上相當長的時間．
歷史的總結
我現在作一個簡短的總結．讓我概括地談談歷史：數學究竟發生了什麼？我相當隨意
地把十八世紀和十九世紀放在了一起，把它們當做我們稱為古典數學的時代，這個時代是
與Euler和Gauss這樣的人聯系在一起的，所有偉大的古典數學結果也都是在這個時代被發
現和發展的．有人也許認為那幾乎就是數學的終結了，但是相反地，二十世紀實際上非常
富有成果，這也是我一直在談論的．
二十世紀大致可以一分為二地分成兩部分．我認為二十世紀前半葉是被我稱為「專門
化的時代」，這是一個Hilbert的處理辦法大行其道的時代，即努力進行形式化，仔細地
定義各種事物，並在每一個領域中貫徹始終．正如我說到過的，Bourbaki的名字是與這種
趨勢聯系在一起的．在這種趨勢下，人們把注意力都集中於在特定的時期從特定的代數系
統或者其它系統能獲得什麼．二十世紀後半葉更多地被我稱為「統一的時代」，在這個時
代，各個領域的界限被打破了，各種技術可以從一個領域應用到另外一個領域，並且事物
在很大程度上變得越來越有交叉性．我想這是一種過於簡單的說法，但是我認為這簡單總
結了我們所看到的二十世紀數學的一些方面．
二十一世紀會是什麼呢？我已經說過，二十一世紀是量子數學的時代，或者，如果大
家喜歡，可稱為是無窮維數學的時代．這意味著什麼呢？量子數學的含義是指我們能夠恰
當地理解分析、幾何、拓撲和各式各樣的非線性函數空間的代數，在這里，「恰當地理解
」，我是指能夠以某種方式對那些物理學家們已經推斷出來的美妙事物給出較精確的證明
． 有人要說，如果用天真幼稚的方式(naive way)來研究無窮維並問一些天真幼稚的問
題，通常來講，只能得到錯誤的答案或者答案是無意義的，物理的應用、洞察力和動機使
得物理學家能夠問一些關於無窮維的明智的問題，並且可以在有合乎情理的答案時作一些
非常細致的工作，因此用這種方式分析無窮維決不是一件輕而易舉的事情．我們必須沿著
這條正確的道路走下去．我們已經得到了許多線索，地圖已經攤開了：我們的目標已經有
了，只不過還有很長的路要走．
還有什麼會發生在二十一世紀？我想強調一下Connes的非交換微分幾何．Alain Con
nes擁有這個相當宏偉的統一理論．同樣，它融合了一切．它融合了分析、代數、幾何、
拓撲、物理、數論，所有這一切都是它的一部分．這是一個框架性理論，它能夠讓我們在
非交換分析的范疇里從事微分幾何學家通常所做的工作，這當中包括與拓撲的關系．要求
這樣做是有很好的理由的，因為它在數論、幾何、離散群等等以及在物理中都有（潛力巨
大的或者特別的）應用．一個與物理有趣的聯系也剛剛被發現．這個理論能夠走多遠，能
夠得到什麼結果，還有待進一步觀察．它理所當然地是我所期望的至少在下個世紀頭十年
能夠得到顯著發展的課題，而且找到它與尚不成熟的（精確）量子場論之間的聯系是完全
有可能的．
我們轉到另一個方面，也就是所謂的「算術幾何」或者是Arakelov幾何，其試圖盡可
能多地將代數幾何和數論的部分內容統一起來．這是一個非常成功的理論．它已經有了一
個美好的開端，但仍有很長的路要走．這又有誰知道呢？當然，所有這些都有一些共同點．我期待物理學能夠將它的影響遍及所有地方，甚至是數論：Andrew Wiles不同意我這樣說，只有時間會說明一切．
這些是我所能看到的在下個十年裡出現的幾個方面，但也有一些難以捉摸的東西：返
回至低維幾何．與所有無窮維的富有想像的事物在一起，低維幾何的處境有些尷尬．從很
多方面來看，我們開始時討論的維數，或我們祖先開始時的維數，仍留下某些未解之謎．
維數為2，3和4的對象被我們稱為「低」維的．例如Thurston在三維幾何的工作，目標就
是能夠給出一個三維流形上的幾何分類，這比二維理論要深刻得多．Thurston綱領還遠遠
沒有完成，完成這個綱領當然將是一個重要的挑戰． 在三維中另外一個引人注目的事件是Vaughan-Jones那些思想本質上來源於物理的工作．這給了我們更多的關於三維的信息，並且它們幾乎完全不在Thurston綱領包含的信息之內．如何將這兩個方面聯系起來仍然是一個巨大的挑戰，但是最近得到的結果暗示兩者之間可能有一座橋，因此，整個低維的領域都與物理有關，但是其中實在有太多讓人琢磨 不透的東西．
最後，我要提一下的是在物理學中出現的非常重要的「對偶」．這些對偶，泛泛地來
講，產生於一個量子理論被看成一個經典理論時有兩種不同的實現．一個簡單的例子是經
典力學中的位置和動量的對偶．這樣由對偶空間代替了原空間，並且在線性理論中，對偶
就是Fourier變換．但是在非線性理論中，如何來代替Fourier變換是巨大的挑戰之一．數
學的大部分都與如何在非線性情形下推廣對偶有關．物理學家看起來能夠在他們的弦理論
和M一理論中以一種非同尋常的方式做到了這一點．他們構造了一個又一個令人嘆為觀止
的對偶實例，在某種廣義的意義下，它們是Fourier變換的無窮維非線性體現，並且看起
來它們能解決問題，然而理解這些非線性對偶性看起來也是下個世紀的巨大挑戰之一．
我想我就談到這里．這里還有大量的工作，並且我覺得象我這樣的一個老人可以和你
們這么多的年輕人談談是一件非常好的事情；而且我也可以對你們說：在下個世紀，有大
量的工作在等著你們去完成．

數學物理：規范場論, 引力場論的經典理論與量子理論, 孤立子理論.
概率論：馬氏過程, 隨機過程, 隨機分析, 隨機場, 鞅論, 極限理論, 平穩過程, 概率論 統計學;
數理邏輯與數學基礎：遞歸論, 模型論, 證明論, 公理集合證, 數理邏輯 范疇論
組合數學：組合計數, 圖論.
分析學：序列、級數、可求和性 微積分 實變函數 抽象測度論 逼近與展開 特殊函數（單，多）復變函數論,調和分析, Fourier分析

B. 重獎!!!!!!!!急!同倫演算法的簡介!大概1000字左右!

根據最優化問題的極值條件，將模量反算轉化為非線性映射求零點的問題，結合數值微分計算彎沉對模量的一階和二階偏導數，建立了基於同倫方法反算路面模量的數學模型;並採用LIYORKE演算法求解微分方程初值問題跟蹤同倫曲線，獲得模量的反算結果，在此基礎上編制了相應的模量反算程序。通過對3種路面結構的落錘式彎沉儀(FWD)的實測彎沉盆進行模量反算，並與國內外其它反算程序比較，驗證了同倫方法反算結果的精度和可靠性。同時，通過選取不同初始值進行反算比較，驗證了同倫方法的大范圍收斂性和反算結果的穩定性。結果表明，採用同倫方法進行路面模量反算有效地解決了常規最優化演算法的初始值和局部收斂的問題，是一種精度好、速度快、效率高、結果穩定且大范圍收斂的模量反算方法。

以上內容沒有1000字，自己再展開下吧

C. 拓撲的數學術語

設X是一個非空集合，X的冪集的子集（即是X的某些子集組成的集族）T稱為X的一個拓撲。當且僅當：
1．X和空集{}都屬於T；
2．T中任意多個成員的並集仍在T中；
3．T中有限多個成員的交集仍在T中。
稱集合X連同它的拓撲τ為一個拓撲空間，記作（X,T）。
稱T中的成員為這個拓撲空間的開集。
定義中的三個條件稱為拓撲公理。（條件（3）可以等價的換為τ中兩個成員的交集仍在τ中。）
從定義上看，給出某集合的一個拓撲就是規定它的哪些子集是開集。這些規定不是任意的，必須滿足三條拓撲公理。
一般說來，一個集合上可以規定許多不相同的拓撲，因此說到一個拓撲空間時，要同時指明集合及所規定的拓撲。在不引起誤解的情況下，也常用集合來代指一個拓撲空間，如拓撲空間X，拓撲空間Y等。
同時，在拓撲范疇中，我們討論連續映射。定義為：f: (X,T_1) ------> (Y,T_2) （T_1,T_2是上述定義的拓撲）是連續的當且僅當開集的原像是開集。兩個拓撲空間同胚當且僅當存在雙向互逆的連續映射。同時，映射同倫和空間同倫等價也是很有用的定義。 1．歐幾里德空間在通常開集的意義下是拓撲空間，它的拓撲就是所有開集組成的集合。
2．設X是一個非空集合。則集合t：{X,{}}是X的一個拓撲。稱t為X的平凡拓撲。顯然（X,t）只有兩個開集，X和{}。
3．設X是一個非空集合。則X的冪集T=2^X也是X的一個拓撲。稱T為X的離散拓撲。顯然X的任意子集都是(X,T)的開集。
4．一個具體的例子。設X={1，2}。則{X,{},{1}}是X的一個拓撲，{X,{},{2}}也是拓撲，{X,{},{1},{2}}是拓撲（由定義可知). 1.哥尼斯堡七橋問題
在數學上，關於哥尼斯堡七橋問題、多面體歐拉定理、四色問題等都是拓撲學發展史的重要問題。哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個島和河岸聯結起來。人們閑暇時經常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最後又回到原來的位置。這個看起來很簡單又很有趣的問題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到。看來要得到一個明確、理想的答案還不那麼容易。
1736年，有人帶著這個問題找到了當時的大數學家歐拉，歐拉經過一番思考，很快就用一種獨特的方法給出了解答。歐拉把這個問題首先簡化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連線。那麼這個問題就簡化成，能不能用一筆就把這個圖形畫出來。經過進一步的分析，歐拉得出結論——不可能每座橋都走一遍，最後回到原來的位置。並且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應具有的條件。這是拓撲學的「先聲」。
2.多面體的歐拉定理
在拓撲學的發展歷史中，還有一個著名而且重要的關於多面體的定理也和歐拉有關。這個定理內容是：如果一個凸多面體的頂點數是v、棱數是e、面數是f，那麼它們總有這樣的關系：f+v-e=2。
根據多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個有趣的事實：只存在五種正多面體。
它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。
3.四色猜想
著名的「四色問題」也是與拓撲學發展有關的問題。四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數學難題之一。四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業於倫敦大學的弗南西斯·格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發現了一種有趣的現象：「看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色。」
1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色猜想成了世界數學界關注的問題。世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。1878～1880年兩年間，著名律師兼數學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理。但後來數學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。於是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題。
進入20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。電子計算機問世以後，由於演算速度迅速提高，加之人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的進程。1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩台不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億次判斷，終於完成了四色定理的證明。不過不少數學家並不滿足於計算機取得的成就，他們認為應該有一種簡捷明快的書面證明方法。
上面的幾個例子所講的都是一些和幾何圖形有關的問題，但這些問題又與傳統的幾何學不同，而是一些新的幾何概念。這些就是「拓撲學」的先聲。 拓撲學的英文名是Topology，直譯是地誌學，也就是和研究地形、地貌相類似的有關學科。中國早期曾經翻譯成「形勢幾何學」、「連續幾何學」、「一對一的連續變換群下的幾何學」，但是，這幾種譯名都不大好理解，1956年統一的《數學名詞》把它確定為拓撲學，這是按音譯過來的。
拓撲學是幾何學的一個分支，但是這種幾何學又和通常的平面幾何、立體幾何不同。通常的平面幾何或立體幾何研究的對象是點、線、面之間的位置關系以及它們的度量性質。拓撲學對於研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質和數量關系都無關。
舉例來說，在通常的平面幾何里，把平面上的一個圖形搬到另一個圖形上，如果完全重合，那麼這兩個圖形叫做全等形。但是，在拓撲學里所研究的圖形，在運動中無論它的大小或者形狀都發生變化。在拓撲學里沒有不能彎曲的元素，每一個圖形的大小、形狀都可以改變。例如，前面講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點和線的個數。 拓撲的中心任務是研究拓撲性質中的不變性。
拓撲性質有那些呢？首先我們介紹拓撲等價，這是比較容易理解的一個拓撲性質。
在拓撲學里不討論兩個圖形全等的概念，但是討論拓撲等價的概念。比如，盡管圓和方形、三角形的形狀、大小不同，在拓撲變換下，它們都是等價圖形。在一個球面上任選一些點用不相交的線把它們連接起來，這樣球面就被這些線分成許多塊。在拓撲變換下，點、線、塊的數目仍和原來的數目一樣，這就是拓撲等價。一般地說，對於任意形狀的閉曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的變換就是拓撲變換，就存在拓撲等價。
應該指出，環面不具有這個性質。設想，把環面切開，它不至於分成許多塊，只是變成一個彎曲的圓桶形，對於這種情況，我們就說球面不能拓撲的變成環面。所以球面和環面在拓撲學中是不同的曲面。
直線上的點和線的結合關系、順序關系，在拓撲變換下不變，這是拓撲性質。在拓撲學中曲線和曲面的閉合性質也是拓撲性質。
我們通常講的平面、曲面通常有兩個面，就像一張紙有兩個面一樣。但德國數學家莫比烏斯(1790～1868)在1858年發現了莫比烏斯曲面。這種曲面就不能用不同的顏色來塗滿兩個側面。 公元1858年，莫比烏斯發現：把一個扭轉180°後再兩頭粘接起來的紙條具有魔術般的性質。因為，普通紙帶具有兩個面（即雙側曲面），一個正面，一個反面，兩個面可以塗成不同的顏色；而這樣的紙帶只有一個面（即單側曲面），一隻小蟲可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣！我們把這種由莫比烏斯發現的神奇的單面紙帶，稱為「莫比烏斯帶」。
拿一張白的長紙條，把一面塗成黑色，然後把其中一端翻一個身，如同右圖那樣粘成一個莫比烏斯帶。像圖中那樣用剪刀沿紙帶的中央把它剪開。你就會驚奇地發現，紙帶不僅沒有一分為二，反而像圖中那樣剪出一個兩倍長的紙圈！
有趣的是：新得到的這個較長的紙圈，本身卻是一個雙側曲面，它的兩條邊界自身雖不打結，但卻相互套在一起！為了讓讀者直觀地看到這一不太容易想像出來的事實，我們可以把上述紙圈，再一次沿中線剪開，這回可真的一分為二了！得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含於兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身並不打結罷了。
比如旋轉三個半圈的帶子再剪開後會形成一個三葉結。剪開帶子之後再進行旋轉，然後重新粘貼則會變成數個Paradromic。
莫比烏斯帶常被認為是無窮大符號「∞」的創意來源，因為如果某個人站在一個巨大的莫比烏斯帶的表面上沿著他能看到的「路」一直走下去，他就永遠不會停下來。但是這是一個不真實的傳聞，因為「∞」的發明比莫比烏斯帶還要早。
莫比烏斯帶還有更為奇異的特性。一些在平面上無法解決的問題，卻不可思議地在莫比烏斯帶上獲得了解決！
比如在普通空間無法實現的手套易位問題：人左右兩手的手套雖然極為相像，但卻有著本質的不同。我們不可能把左手的手套貼切地戴到右手上去；也不能把右手的手套貼切地戴到左手上來。無論你怎麼扭來轉去，左手套永遠是左手套，右手套也永遠是右手套！不過，倘若自你把它搬到莫比烏斯帶上來，那麼解決起來就易如反掌了。
在自然界有許多物體也類似於手套那樣，它們本身具備完全相像的對稱部分，但一個是左手系的，另一個是右手系的，它們之間有著極大的不同。
「莫比烏斯帶」在生活和生產中已經有了一些用途。例如，用皮帶傳送的動力機械的皮帶就可以做成「莫比烏斯帶」狀，這樣皮帶就不會只磨損一面了。如果把錄音機的磁帶做成「莫比烏斯帶」狀，就不存在正反兩面的問題了，磁帶就只有一個面了。 拓撲學建立後，由於其它數學學科的發展需要，它也得到了迅速的發展。特別是黎曼創立黎曼幾何以後，他把拓撲學概念作為分析函數論的基礎，更加促進了拓撲學的進展。
二十世紀以來，集合論被引進了拓撲學，為拓撲學開拓了新的面貌。拓撲學的研究就變成了關於任意點集的對應的概念。拓撲學中一些需要精確化描述的問題都可以應用集合來論述。
因為大量自然現象具有連續性，所以拓撲學具有廣泛聯系各種實際事物的可能性。通過拓撲學的研究，可以闡明空間的集合結構，從而掌握空間之間的函數關系。二十世紀三十年代以後，數學家對拓撲學的研究更加深入，提出了許多全新的概念。比如，一致性結構概念、抽象距概念和近似空間概念等等。有一門數學分支叫做微分幾何，是用微分工具來研究曲線、曲面等在一點附近的彎曲情況，而拓撲學是研究曲面的全局聯系的情況，因此，這兩門學科應該存在某種本質的聯系。1945年，美籍中國數學家陳省身建立了代數拓撲和微分幾何的聯系，並推進了整體幾何學的發展。
拓撲學發展到今天，在理論上已經十分明顯分成了兩個分支。一個分支是偏重於用分析的方法來研究的，叫做點集拓撲學，或者叫做分析拓撲學。另一個分支是偏重於用代數方法來研究的，叫做代數拓撲。現在，這兩個分支又有統一的趨勢。
拓撲學在泛函分析、李群論、微分幾何、微分方程和其他許多數學分支中都有廣泛的應用。

D. 請教柯西積分公式和柯西積分定理在復變函數中有哪些應用求答案

復變函數論的奠基人
19世紀，復變函數論逐漸成為數學的一個獨立分支，柯西為此作了奠基性的工作。
復函數與復冪級數
《分析教程》中有一半以上篇幅討論復數與初等復函數，這表明柯西早就把建立復變函數論作為分析的一項重要工程。他以形式方法引進復數（「虛表示式」），定義其基本運算，得到這些運算的性質。他比照實的情形定義復無窮小與復函數的連續性。
復積分柯西寫於1814年的關於定積分的論文是他創立復變函數論的第一步。文中給出了所謂柯西－黎曼方程；討論了改變二重積分的次序問題，提出了被積函數有無窮型間斷點時主值積分的觀念並計算了許多廣義積分。
柯西寫於1825年的關於積分限為虛數的定積分的論文，是一篇力作。文中提出了作為單復變函數論基礎的「柯西積分定理」。柯西本人用變分方法證明了這條定理，證明中曲線連續變形的思想，可以說是「同倫」觀念的萌芽。文中還討論了被積函數出現一階與m階極點時廣義積分的計算。
殘數演算術語「殘數」首次出現於柯西在1826年寫的一篇論文中。他認為殘數演算已成為「一種類似於微積分的新型計算方法」，可以應用於大量問題。
復變函數論的建立

E. 什麼是同倫方程

同餘，是極具有思想方法意義的。這個需要反思運用體會的。可以做很深入的解釋，及推廣。
這是我以前的回答，希望對你有幫助。
對於一組整數Z，Z里的每一個數都除以同一個數m，得到的余數可以為0，1，2，...m-1,共m種。我們就以余數的大小作為標准將Z分為m類。每一類都有相同的余數。
在每一類下的任意兩個數a,b都關於m同餘。記為：
a=b(mod m)

用集合論的語言，嚴格地來說就是：
對於整數集的任意一個子集Z,對於任意一個屬於Z的元素n，n都除以m，得到的余數的余數可以為0，1，2，...m-1,共m種。我們就以余數的大小作為標准，將Z分為m個互不相交的m個子集Z1,Z2,...Zm-1。

對於Zi的任意兩個元素a,b,都關於m同餘。記為

要停電了，我明天再給你解答吧。
a=b(mod m)

其實還可以用更數學化的語言來表達。

同餘的運用

請問各位叔叔阿姨！若一個數除3餘2，除5餘3，除7餘4，除11餘5，求它的最小正整數？
懸賞分：0 - 解決時間：2006-2-21 21:45
最好有解題過程，謝謝！！
問題補充：368才對！！
提問者： rodger001 - 試用期 一級

最佳答案
368
詳細解題過程不容易表達清晰。看來是剛注冊的，怪不得沒有懸賞分。
那就講思路吧。依次滿足下面四個條件：
1.先滿足除11餘5，易知為16
2.再滿足除7餘4，16最多再加6個11，最後為60
3.再滿足除5餘3，60最多再加4個11×7， 最後為368
4.再滿足除3餘2，最後為368。
判斷條件是否滿足時，用同餘運算可簡化。
如除5時，77與2同餘，60再加4個2（或4個77），就能單獨滿足除5餘3。這里60+4×77與60+4×2同餘。但60+4×77是在滿足前兩個條件的前提下進行的。
回答者：林錦1983 - 見習魔法師 二級 2-20 23:15

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提問者對於答案的評價：
這是家教中遇到的，原來我讀書的時候沒有學這東西！謝謝，但上面錯了一個字，再加6個11應該是再加4個11．

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對最佳答案的評論
我說的是估算最大計算量，最多再加6個11，實際上只要加4個11就行了。 同餘運算是數論的基礎知識，一般初中奧賽教材就有了。其實「同餘概念」的基礎是抽象分類法。這里僅抽取「余數的大小」這一抽象特性，作為分類的標准。

F. 簡單介紹一下拓撲學

拓撲學是幾何學的一個分支，主要研究圖形在連續變換下不變的性質。

可參看網路的「拓撲」或「拓撲學」條目。我下面引述的例子不多作解釋，可以直接查到。

例如，Euler的七橋問題就是一個拓撲學的問題，因為把七橋連成路徑，不論橋和路如何連續的變化，都不影響問題的結果，也就是說，這個問題研究的是一個連續變換下不變的性質。

又如，四色定理（地圖可用四色著色）是一個拓撲學的問題，因為地圖中的區域大小和具體形狀在問題中並不重要，都可以連續的變化，不改變地圖可以用四色著色這一性質。

所以，在拓撲學的觀點下，圓和三角形的性質沒有什麼區別，輪胎和戒指的性質沒有什麼區別，因為它們都可以通過連續變換互相得到。

另一方面，研究圖形面積的幾何就不是拓撲學，因為在連續變換下，面積可以變化。同樣的道理，圖形的大小、平行、對稱、垂直等等都不是拓撲學的研究領域。

可以看到，拓撲學研究的性質對圖形的要求很低（一定程度變了形都沒關系），所以它的應用范圍也就十分廣泛，因而成為現代數學的基礎之一。以至於許多看起來跟幾何圖形沒多大關系的地方，也可以應用拓撲學的知識。如分析學中就大量使用點集拓撲學的術語和手段。

拓撲學因研究的領域和方法的不同，有一些分支。如一般拓撲學，又稱點集拓撲學，是研究一組抽象的「點」（可以是幾何上的，也可以不是）的拓撲性質的；代數拓撲學，利用代數學的手段研究拓撲性質，如同倫論和同調論；微分拓撲學，利用分析學的手段（主要是微分）研究拓撲性質；幾何拓撲學，研究幾何意義明顯的東西（成為流形），如扭結；等等。

註：以上的敘述只是介紹，語言都是在數學上不嚴謹的。實際的拓撲學研究中，像連續、變換、點等概念，都是需要嚴格定義的。

G. 金融數學畢業論文題目怎麼定

1、倒向隨機微分方程數值方法與非線性期望在金融中的應用：g-定價機制及風險度量
2、分形市場中兩類衍生證券定價問題的研究
3、在機制轉換金融市場中投資者的最優消費和投資行為分析
4、商業銀行金融風險程度的模糊綜合評價
5、金融保險中的若干模型與分析
6、金融印鑒真偽識別新方法研究
7、基於區間分析的金融市場風險管理VaR計算方法研究
8、分形理論及其在金融市場分析中的應用
9、離散時間隨機區間值收益市場下的定價分析
10、金融學理論及其未來發展趨勢--轉向整合
11、微分方程數值解法及在數學建模中的應用
12、金融模糊模型與方法
13、模糊數學在儲蓄機構設置中的應用
14、金融市場中的時間變換方法及其應用
15、從數學走進生活的創新教育
16、為何經濟學無法預測金融危機
17、金融資產的離散過程動態風險度量研究
18、論金融衍生工具及在我國商業銀行信貸風險管理中的應用
19、基於VAR模型的江蘇省金融發展與經濟增長關系研究
20、貨幣危機預警模型研究
21、在銀行和金融業數據分析中應用數學規劃模型
22、隨機過程理論在期權定價中的應用
23、金融保險中的幾類風險模型
24、數學金融學中的期權定價問題
25、金融資產收益相關性及持續性研究
26、同倫分析方法在非線性力學和數學生物學中的應用
27、存貨質押融資的供應鏈金融服務研究
28、金融機構資產負債管理模型及在泉州銀行的應用
29、社保基金投資資本市場：理論探討、金融創新與投資運營
30、量子方案的金融資產投資最優組合選擇
31、房價調控的數學模型分析
32、基於小波分析的金融數據頻域分析
33、非線性數學期望下的隨機微分方程及其應用
34、競爭性電力市場中的金融工程理論與實證研究
35、小波理論及其在經濟金融數據處理中的應用
36、四種金融投資風險介紹
37、擴展的歐式期權定價模型研究
38、基於可疑金融交易識別的離群模式挖掘研究
39、華爾街的數學革命
40、遼寧城鄉金融發展差異對城鄉經濟增長影響的實證研究
41、衍生金融工具風險監控問題探析
42、金融危機之信用失衡
43、基於西部金融中心建設目標的成都金融人才需求預測研究
44、基於小波變換的金融時間序列奇異點識別模型與研究
45、我國區域金融中心發展路徑與模式研究
46、我國農村金融供給不足問題的探討
47、金融發展對江西經濟增長的影響
48、基於金融自由度的香港人民幣離岸市場反洗錢研究
49、商業銀行信貸市場的非對稱信息博弈及基於Agent的SWARM模擬
50、金融危機背景下企業並購投資決策體系研究

H. 怎樣用同倫不等式證明

比較法
比較法是證明不等式的最基本方法，具體有"作差"比較和"作商"比較兩種。基本思想是把難於比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。當求證的不等式兩端是分項式（或分式）時，常用作差比較，當求證的不等式兩端是乘積形式（或冪指數式時常用作商比較）
例1已知a+b≥0，求證：a3+b3≥a2b+ab2
分析：由題目觀察知用"作差"比較，然後提取公因式，結合a+b≥0來說明作差後的正或負，從而達到證明不等式的目的，步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負。
∵（a3+b3)(a2b+ab2)
=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a-b)(a2-b2)
證明： =(a-b)2(a+b)
又∵(a-b)2≥0a+b≥0
∴(a-b)2(a+b)≥0
即a3+b3≥a2b+ab2
例2 設a、b∈R+，且a≠b，求證：aabb＞abba
分析：由求證的不等式可知，a、b具有輪換對稱性，因此可在設a＞b＞0的前提下用作商比較法，作商後同"1"比較大小，從而達到證明目的，步驟是：10作商20商形整理30判斷為與1的大小
證明：由a、b的對稱性，不妨解a＞b＞0則
aabbabba=aa-bbb-a=(ab)a-b
∵ab0，∴ab1，a-b0
∴(ab)a-b(ab)0=1即aabbabba＞1，又abba＞0∴aabb＞abba
練習1 已知a、b∈R+，n∈N，求證（a+b）（an+bn）≤2（an+1+bn+1）
基本不等式法
利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法，常用的基本不等式及 變形有：
（1）若a、b∈R，則a2+b2≥2ab（當且僅當a=b時，取等號）
（2）若a、b∈R+，則a+b≥ 2ab （當且僅當a=b時，取等號）
（3）若a、b同號，則 ba+ab≥2（當且僅當a=b時，取等號）
例3 若a、b∈R， ｜a｜≤1，｜b｜≤1則a1-b2+b1-a2≤1
分析：通過觀察可直接套用： xy≤x2+y22
證明： ∵a1-b2b1-a2≤a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1
∴b1-a2+a1-b2≤1，當且僅當a1+b2=1時，等號成立
練習2：若 ab0，證明a+1(a-b)b≥3
綜合法
綜合法就是從已知或已證明過的不等式出發，根據不等式性質推算出要證明不等式。
例4，設 a0，b0，a+b=1，證明:(a+1a)2+(B+1b)2≥252
證明：∵ a0，b0，a+b=1
∴ab≤14或1ab≥4
左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+［(a+b)2-2ab］+(a+b)2-2aba2b2
=4+(1-2ab)+1-2aba2b2≥4+(1-12)+8=252
練習3：已知a、b、c為正數，n是正整數，且f (n)=1gan+bn+cn3
求證：2f（n）≤f（2n）
分析法
從理論入手，尋找命題成立的充分條件，一直到這個條件是可以證明或已經證明的不等式時，便可推出原不等式成立，這種方法稱為分析法。
例5：已知a0，b0，2ca+b，求證：c-c2-ab＜a＜c+c2-ab
分析：觀察求證式為一個連鎖不等式，不易用比較法，又據觀察求證式等價於 ｜a-c｜＜c2-ab也不適用基本不等式法，用分析法較合適。
要證c-c2-ab＜a＜c+c2-ab
只需證-c2-ab＜a-c＜c2-ab
證明： 即證 ｜a-c｜＜c2-ab
即證 (a-c)2＜c2-ab
即證 a2-2ac＜-ab
∵a＞0，∴即要證 a-2c＜-b 即需證2+b＜2c，即為已知
∴ 不等式成立
練習4：已知a∈R且a≠1，求證：3（1+a2+a4）＞（1+a+a2）2
放縮法
放縮法是在證明不等式時，把不等式的一邊適當放大或縮小，利用不等式的傳遞性來證明不等式，是證明不等式的重要方法，技巧性較強常用技巧有：（1）捨去一些正項（或負項），（2）在和或積中換大（或換小）某些項，（3）擴大（或縮小）分式的分子（或分母）等。
例6：已知a、b、c、d都是正數
求證： 1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2
分析：觀察式子特點，若將4個分式商為同分母，問題可解決，要商同分母除通分外，還可用放縮法，但通分太麻煩，故用放編法。
證明：∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＞ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1
又由ab＜a+mb+m(0＜a＜b，m＞0)可得：ba+b+c＜b+da+b+c+dcb+c+d＜c+aa+b+c+ddc+d+a＜d+bc+d+a+dad+a+b＜a+ca+b+c+d
∴ ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜b+da+b+c+d+c+aa+b+c+d+d+bc+d+a+d+a+ca+b+c+d=2(a+b+c+c)a+b+c+d=2
綜上知：1＜ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b＜2
練習5：已知：a＜2，求證：loga(a+1)＜1
6換元法
換元法是許多實際問題解決中可以起到化難為易，化繁為簡的作用，有些問題直接證明較為困難，若通過換元的思想與方法去解就很方便，常用於條件不等式的證明，常見的是三角換元。
(1)三角換元：
是一種常用的換元方法，在解代數問題時，使用適當的三角函數進行換元，把代數問題轉化成三角問題，充分利用三角函數的性質去解決問題。
例7、若x、y∈R+,且 x-y=1 A=(x-1y)(y+1y)。1x，求證0＜A＜1
證明： ∵x，y∈R+， 且x-y=1，x=secθ ， y=tanθ ，（0＜θ＜xy ）
∴ A=(secθ-1secθ(tanθ+1tanθ·1sec2θ
=1-cos2θcosθ·s2m2θ+cos2θcosθ·s2mθ·cos2θ
=sinθ
∵0＜θ＜x2，∴ 0＜s2mθ ＜1因此0＜A＜1
復習6：已知1≤x2+y2≤2，求證：12 ≤x2-xy+y2≤3
(2)比值換元：
對於在已知條件中含有若干個等比式的問題，往往可先設一個輔助未知數表示這個比值，然後代入求證式，即可。
例8：已知 x-1=y+12=z-23，求證：x2+y2+z2≥4314
證明：設x-1=y+12=z-23=k
於是x=k+1，y=zk-1，z=3k+2
把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2
=14(k+514)2+4314≥4314
反證法
有些不等式從正面證如果不好說清楚，可以考慮反證法，即先否定結論不成立，然後依據已知條件以及有關的定義、定理、公理，逐步推導出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結論，從而肯定原有結論是正確的，凡是"至少"、"唯一"或含有否定詞的命題，適宜用反證法。
例9：已知p3+q3=2，求證：p+q≤2
分析：本題已知為p、q的三次 ，而結論中只有一次 ，應考慮到用術立方根，同時用放縮法，很難得證，故考慮用反證法。
證明：解設p+q＞2，那麼p＞2-q
∴p3＞（2-q）3=8-12q+6q2-q3
將p3+q3 =2，代入得 6q2-12q+6＜0
即6（q-1）2＜0 由此得出矛盾 ∴p+q≤2
練習7：已知a+b+c＞0，ab+bc+ac＞0，abc＞0.
求證：a＞0，b＞0，c＞0
數學歸納法
與自然數n有關的不等式，通常考慮用數學歸納法來證明。用數學歸納法證題時的兩個步驟缺一不可。
例10：設n∈N，且n＞1,求證： (1+13)(1+15)…(1+12n-1)＞2n+12
分析：觀察求證式與n有關，可採用數學歸納法
證明：（1）當n=2時，左= 43，右=52
∵43＞52∴不等式成立
（2）假設n=k(k≥2，k∈n)時不等式成立，即（1+13）（1+15）…（1+12k-1)＞2k+12
那麼當n=k+1時，(1+13)(1+15)…(1+12k-1)(1+12k+1)＞2k+12·(1+12k+1)①
要證①式左邊＞ 2k+32，只要證2k+12·
2k+22k+1＞2k+32②
對於②〈二〉2k+2＞ 2k+1·2k+3
〈二〉(2k+2)2＞ (2k+1)(2k+3)
〈二〉4k2+8k+4＞ 4k2+8k+3
〈二〉4＞3 ③
∵③成立 ∴②成立，即當n=k+1時，原不等式成立
由（1）（2）證明可知，對一切n≥2（n∈N），原不等式成立
練習8：已知n∈N，且n＞1，求證： 1n+1+1n+2+…+12n＞ 1324
構造法
根據求證不等式的具體結構所證，通過構造函數、數列、合數和圖形等，達到證明的目的，這種方法則叫構造法。
1構造函數法
例11：證明不等式：x1-2x ＜x2 （x≠0）
證明：設f（x）= x1-2x- x2 （x≠0）
∵f (-x)
=-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x2
=x1-2x- ［1-(1-2x)］+x2=x1-2x-x+x2
=f（x）
∴f（x）的圖像表示y軸對稱
∵當x＞0時，1-2x＜0 ，故f（x）＜0
∴當x＜0時，據圖像的對稱性知f（x）＜0
∴當x≠0時，恆有f（x）＜0 即x1-2x＜x2（x≠0）
練習9：已知a＞b，2b＞a+c，求證：b- b2-ab＜a＜b+b2-ab
2構造圖形法
例12：若f（x）=1+x2 ，a≠b，則|f（x）-f（b）|＜ |a-b|
分析：由1+x2 的結構可知這是直角坐標平面上兩點A(1，x)，0(0，0)的距離即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2
於設A(1，a)，B(1，b)則0A= 1+a2

I. 詳細的數學分支介紹

1.. 數學史
2.. 數理邏輯與數學基礎
a.. 演繹邏輯學 亦稱符號邏輯學
b.. 證明論 亦稱元數學
c.. 遞歸論
d.. 模型論
e.. 公理集合論
f.. 數學基礎
g.. 數理邏輯與數學基礎其他學科
3.. 數論
a.. 初等數論
b.. 解析數論
c.. 代數數論
d.. 超越數論
e.. 丟番圖逼近
f.. 數的幾何
g.. 概率數論
h.. 計算數論
i.. 數論其他學科
4.. 代數學
a.. 線性代數
b.. 群論
c.. 域論
d.. 李群
e.. 李代數
f.. Kac-Moody代數
g.. 環論 包括交換環與交換代數，結合環與結合代數，非結合環與非結
合代數等
h.. 模論
i.. 格論
j.. 泛代數理論
k.. 范疇論
l.. 同調代數
m.. 代數K理論
n.. 微分代數
o.. 代數編碼理論
p.. 代數學其他學科
5.. 代數幾何學
6.. 幾何學
a.. 幾何學基礎
b.. 歐氏幾何學
c.. 非歐幾何學 包括黎曼幾何學等
d.. 球面幾何學
e.. 向量和張量分析
f.. 仿射幾何學
g.. 射影幾何學
h.. 微分幾何學
i.. 分數維幾何
j.. 計算幾何學
k.. 幾何學其他學科
7.. 拓撲學
a.. 點集拓撲學
b.. 代數拓撲學
c.. 同倫論
d.. 低維拓撲學
e.. 同調論
f.. 維數論
g.. 格上拓撲學
h.. 纖維叢論
i.. 幾何拓撲學
j.. 奇點理論
k.. 微分拓撲學
l.. 拓撲學其他學科
8.. 數學分析
a.. 微分學
b.. 積分學
c.. 級數論
d.. 數學分析其他學科
9.. 非標准分析
10.. 函數論
a.. 實變函數論
b.. 單復變函數論
c.. 多復變函數論
d.. 函數逼近論
e.. 調和分析
f.. 復流形
g.. 特殊函數論
h.. 函數論其他學科
11.. 常微分方程
a.. 定性理論
b.. 穩定性理論
c.. 解析理論
d.. 常微分方程其他學科
12.. 偏微分方程
a.. 橢圓型偏微分方程
b.. 雙曲型偏微分方程
c.. 拋物型偏微分方程
d.. 非線性偏微分方程
e.. 偏微分方程其他學科
13.. 動力系統
a.. 微分動力系統
b.. 拓撲動力系統
c.. 復動力系統
d.. 動力系統其他學科
14.. 積分方程
15.. 泛函分析
a.. 線性運算元理論
b.. 變分法
c.. 拓撲線性空間
d.. 希爾伯特空間
e.. 函數空間
f.. 巴拿赫空間
g.. 運算元代數
h.. 測度與積分
i.. 廣義函數論
j.. 非線性泛函分析
k.. 泛函分析其他學科
16.. 計算數學
a.. 插值法與逼近論
b.. 常微分方程數值解
c.. 偏微分方程數值解
d.. 積分方程數值解
e.. 數值代數
f.. 連續問題離散化方法
g.. 隨機數值實驗
h.. 誤差分析
i.. 計算數學其他學科
17.. 概率論
a.. 幾何概率
b.. 概率分布
c.. 極限理論
d.. 隨機過程 包括正態過程與平穩過程、點過程等
e.. 馬爾可夫過程
f.. 隨機分析
g.. 鞅論
h.. 應用概率論 具體應用入有關學科
i.. 概率論其他學科
18.. 數理統計學
a.. 抽樣理論 包括抽樣分布、抽樣調查等
b.. 假設檢驗
c.. 非參數統計
d.. 方差分析
e.. 相關回歸分析
f.. 統計推斷
g.. 貝葉斯統計 包括參數估計等
h.. 試驗設計
i.. 多元分析
j.. 統計判決理論
k.. 時間序列分析
l.. 數理統計學其他學科
19.. 應用統計數學
a.. 統計質量控制
b.. 可靠性數學
c.. 保險數學
d.. 統計模擬
20.. 應用統計數學其他學科
21.. 運籌學
a.. 線性規劃
b.. 非線性規劃
c.. 動態規劃
d.. 組合最優化
e.. 參數規劃
f.. 整數規劃
g.. 隨機規劃
h.. 排隊論
i.. 對策論 亦稱博弈論
j.. 庫存論
k.. 決策論
l.. 搜索論
m.. 圖論
n.. 統籌論
o.. 最優化
p.. 運籌學其他學科
22.. 組合數學
23.. 模糊數學
24.. 應用數學 具體應用入有關學科
25.. 數學其他學科