數理邏輯及其形式化的研究方法

A. 數理邏輯具體有哪些應用，應用在哪些方面

數理邏輯的應用

1 邏輯運算
邏輯運算又稱布爾運算，它是用數學的方法解決或研究邏輯問題，即用離散的符號「1」和「0」表示邏輯中的「真」和「假」再加上一套與之相關的「與」、「或」、「非」為運算基礎的邏輯運算規則解決實際邏輯問題的方法，從而實現復雜邏輯運算到簡單的數值計算的轉化。

盡管互聯網的查詢系統原理各不相同，但使用與(&)、或(||)、非(-)通配符的查詞方法卻是一致的，這便是邏輯運算的最好例子。下面我們就邏輯運算在電路設計中的運用加以探討：

某公司王某欲搬入新房，搬遷前需要完成電路的設計安裝，由於該房深處鬧市，四周樓房林立，嚴重影響了客廳的採光，於是王某想設計一個電路，要求客廳四盞燈由一個開關控制，開關按下一次亮一盞燈，再按一下亮兩盞，以此類推，直到按下第五次時所有燈熄滅。假設四個燈依次為A、B、C、D，燈亮為1，燈滅為0，開關有脈沖輸入為1，否則為0，則根據題意可得真值表(如圖1)

設第n號燈的上一狀態為Nn，第n+1號燈現在在的狀態為Nn+1，脈沖輸入狀態為M，則有：

Nn+1=Nn∧M(N0與M的且運算)

其中Nn=NA∧NB...∧Nn-1燈亮的條件為(A∧┐B∧┐C∧┐D)∨(A∧B∧┐C∧┐D)∨(A∧B∧C∧┐D)∨(A∧B∧C∧D)

如B燈亮的條件是A燈亮並且有脈沖輸入，C燈亮的條件是AB都亮並且有脈沖輸入。該電路功能由一個與門電路和一個計數觸發器連接即可完成，當開關第5次輸入後計數器輸出信號置0，燈全部關閉，此時設備全部復位。如圖2。

2 範式理論
範式是邏輯運算符號化表示的一種標准表達形式，根據這種方法，把同一類型中盡可能出現的命題變相以及具有完整功能的符號化內容通過合、析取的方式聯合在一起，而不改變其邏輯功能。

甲、乙、丙、丁四個人有且只有兩個人參加圍棋比賽。關於誰參加比賽，下列四個判斷都是正確的：

(1)甲和乙只有一人參加比賽。

(2)丙參加，丁必參加。

(3)乙或丁至多參加一人。

(4)丁不參加，甲也不會參加。

請推斷出哪兩個人參加圍棋比賽。

設a：甲參加了比賽。

b：乙參加了比賽。

c：丙參加了比賽。

d：丁參加了比賽。

(1) (a∧┐b)∨(┐a∧b)

(2) c→d

(3) ┐(b∧d)

(4) ┐d→ ┐a

於是，

((a∧┐b)∨(┐a∧b))∧(c→d)∧(┐(b∧d))∧(┐d→ ┐a)

Û(a∧┐b∧┐c∧d)∨(a∧┐b∧d)∨(┐a∧b∧┐c∧┐d)

根據題意條件，有且僅有兩人參賽，

故┐a∧b∧┐c∧┐d為0，所以

(a∧┐b∧┐c∧d)∨(a∧┐b∧d)為1，

即甲和丁參加了比賽。

又如在某次研討會的中間休息時間，3名與會者根據王教授的口音對他是哪個省市的人進行了判斷：

甲說王教授不是蘇州人，是上海人。

乙說王教授不是上海人，是蘇州人。

丙說王教授既不是上海人，也不是杭州人。

聽完以上3人的判斷後，王教授笑著說，他們3人中有一人說的全對，有一人說對了一半，另一人說的全不對。試用邏輯演演算法分析王教授到底是哪裡人?

設命題 p：王教授是蘇州人。

q：王教授是上海人。

r：王教授是杭州人。

顯然p,q,r中有且只有一個真命題。

甲的判斷為A1=┐p∧q

乙的判斷為A2=p∧┐q

丙的判斷為A3=┐q∧┐r

那麼，

甲的判斷全對B1=A1=┐p∧q

甲的判斷對一半B2=(┐p∧┐q)∨(p∧q)

甲的判斷全錯 B3=p∧┐q

乙的判斷全對 C1=A2=p∧┐q

乙的判斷對一半C2=(p∧q)∨(┐p∧┐q)

乙的判斷全錯 C3=┐p∧q

丙的判斷全對 D1=A3=┐q∧┐r

丙的判斷對一半D2=(q∧┐r)∨(┐q∧r)

丙的判斷全錯D3=q∧r

由王教授所得析取範式：

E = (B1∧C2∧D3)∨(B1∧C3∧D2)∨(B2∧C1∧D3)∨(B2∧C3∧D1)∨(B2∨C1∧D2)∨(B3∧C2∧D1)
為真命題。

經過演算化為主析取範式後後,可得

E Û (┐p∧q∧┐r)∨(p∧┐q∧r)

由題設，王教授不能既是上海人，又是杭州人，因而p,r中必有一個假命題，即p∧┐q∧rÛ0，

於是

E Û ┐p∧q∧┐r

為真命題，因而必有p,r為假命題，q為真命題，即甲說的全對，丙說對了一半，而乙全說錯了，王教授是上海人。

3等值演算

等值演算是指利用邏輯恆等式、代入規則、替換規則和對偶原理對命題公式進行推理、演算，等值演算的目的在於化簡復雜的命題公式，從而提取出於命題等價的核心要素，便於利用。

以下是《現代社會更需要專才還是通才》辯論記錄：

正方：對方辯友，既然您都說了專才是有缺陷的，難道你還認為專才比通才更需要嗎?既然您仍然認為專才那麼重要，那麼我們還要通才幹什麼，吃飯嗎?

反方：對方辯友啊我們說通才比專才更需要，沒說通才不需要啊!

在這短短而又激烈的辯論片段中反方辯手顯然是找到了有力的反駁切入點，那麼這個切入點是什麼呢，試著作一下分析：

P：P代表專才比通才更需要是錯誤的;

Q：Q表示通才沒用。

那麼正方的意思可以表示為P∧(┐P→Q)

根據蘊含等值式(A→BÛ┐A∨B)和吸收律(A∧(A∨B)ÛA)化簡有P∧(┐P→Q)ÛP∧(P∨Q)ÛP

化簡後得到P，P就是P∧(┐P→Q)的要點，P和P∧(┐P→Q)得真值是一樣的，因而反方根據P(切入點)快速的做出反駁，「我們並沒用說通才不需要」，顯然得出這樣的結論是經過邏輯思考的。

4 邏輯推理

「邏輯推理是從前提推論出結論的思維過程」①(《離散數學(第四版)》page22第1.6節推理理論耿素雲屈婉玲張立昂著清華大學出版社)，它是指在邏輯推理的過程中通過不斷的前提引入，等值與置換等，運用邏輯推理的相關推理理論，得出未知(蘊含)結果的一種方法。邏輯推理廣泛的應用於人工智慧，案件的偵探與審理，人事科研和日常生活的各方各面。以下將從案件偵探方面體現邏輯的推理基本應用。

一次警方接到報警，在某胡同發生嚴重的刑事案件，當警方及時趕到犯罪現場時有5人死亡，僅剩甲、乙二人仍在殊死搏鬥，審訊時甲乙雙方都指責對方是罪犯，自己是受害者，搏鬥時出於自衛，警方根據證據最終判斷有以下事實：

A：甲乙二人必有一人是罪犯，一人是受害者;

B：如果甲是出於自衛，則必定有傷;

C：甲沒有受傷

推道誰是罪犯。當然這道題是一眼便知的，但是還是我們試著有邏輯推理的做以下分析：

設：p：甲是自衛;

q：甲是罪犯;

r：甲受傷。

前提p→r ，┐q→p，┐r。

解析：

(1)┐r; 前提引入

(2)p→r; 前提引入

(3)┐r→┐p; (2)拒取式

(4)┐p;

(5)┐q→p; 前提引入

(6)┐p→q; (5)拒取式

(7)q. (4)(6)假言推理故甲為罪犯。

參考書目

[1]耿素雲屈婉玲張立昂離散數學(第四版)[M] 北京清華大學出版社[

2]徐小萍命題邏輯演繹推理在日常生活中的應用[A] 分類號：TO142文獻標志碼：A 文章編號：1009-2854(2007)11-0013-04
襄樊襄樊學院學報

[3]滕定明命題邏輯在語用研究中的應用[A] (分類號: H 030 文獻標志碼:A 文章編號: 16732-2804(2008)
032-00882-03)河北河北理工大學學報(社會科學版)

[4]劉海慧數理邏輯在生活中的應用研究[A] (分類號:O14 文獻標識碼:A 文章編號:1673-9795(2007)11(a)-0097-02)
山東中國科教創新導刊

B. 系統理解邏輯思維——形式邏輯、辯證邏輯和數理邏輯

多學者以為，概念邏輯就是辯證邏輯，兩者是同一件事。

我以為，概念邏輯和辯證邏輯不是一回事。

形式邏輯、辯證邏輯和數理邏輯，都是從概念邏輯中綻發出來的。其道理是，辯證邏輯、形式邏輯和數理邏輯，都是從概念方式的抽象運作中生成的。 概念邏輯 是概念抽象運作的 總體架構 ， 形式邏輯、辯證邏輯和數理邏輯 是概念抽象運作的 專項架構 。

一、形式邏輯 ——

形式邏輯在西方哲學史上已有兩千多年的歷史傳承和完善，自亞里士多德以來有了許多成熟的運用和註解。

形式邏輯是一種定格邏輯，亞里士多德把它稱之為思想之第一原則。

人類的意識活動處在主客關系的不斷變動中，如果沒有形式邏輯的定格，即定格的指稱、定義和統攝，人類的意識活動就會無以落定，觀念、思想、知識和自我意識的思維運動，以及概念之物的實踐創造就會無以立足。

形式邏輯的抽象運作：

首先，是指稱的規定。形式邏輯要求一切對象都有名稱的規定，即指稱的規定。如，馬有「馬」的名稱規定，鹿有「鹿」的名稱規定。在形式邏輯那裡，一切事物都有各自的名稱規定，這樣的名稱規定是定格的、確定的、絕對的和本有的。馬就是馬，鹿就是鹿，是絕對不允許「指鹿為馬」的。

其次，是定義的規定。形式邏輯要求一切概念都有它的內涵和外延界限，即定義的規定。例如，何謂「武器」？在網路上查詢，我們得到這樣一個內涵和外延的界限規定：「武器，又稱為兵器，是用於攻擊的工具，也因此被用來威懾和防禦。任何可造成傷害的事物（甚至可造成心理傷害的）都可稱為武器。只要用於攻擊，武器可以是一根簡單的木棒，也可是一枚核彈頭。」

有了指稱和定義的規定，形式邏輯就有了「是或非」的判斷依據。如，這是「茶杯」，不是「鋼筆」；這是「豐田公司生產的車」，不是「通用公司生產的車」；這是「好事」，不是「壞事」；這是「公共領域」，不是「私人領域」；這是「市場經濟」，不是「計劃經濟」；這是「西方文化」，不是「東方文化」，等等。形式邏輯的同一律、矛盾律、排中律、理由充足律，都是「是或非」的判斷方式。人類的大腦由此獲得「是或非」的抽象判斷能力。

再次，是統攝的規定。當人類的大腦以指稱和定義的規定，抽象反思地統攝一切時，就獲得了一種統攝的規定，由此展開統攝規定的邏輯推理、邏輯必然和邏輯判斷。

形式邏輯的「三段論」就是一個由大項、小項和結論所組成的統攝推理結構。

如：

人總是要死的；

張三是人；

張三也會死的。

又如：

太陽每天早晨從東方升起；

明天早晨；

太陽還會從東方升起。

等等。

在這兩個三段論的推理結構中，「人總是要死的」大項是具有統攝意義的，是統攝「張三是人」的小項的，由此獲得「張三也會死的」邏輯必然和邏輯判斷的結論的。同樣，「太陽每天早晨從東方升起」的大項是統攝「明天早晨」這個小項的，由此獲得「明天早晨太陽還會從東方升起」的邏輯必然和邏輯判斷的結論的。

三段論的推理結構，是一種概念方式的抽象運作，是一種最為基本的邏輯方式，它使人類心靈獲得了統攝推理的判斷能力。

討論形式邏輯的三段論結構，涉及到的一個重要問題是，三段論的大項，即通常所說的大前提從何而來的呢？這就關繫到了歸納的問題。

歸納是三段論的前提，是推理的前提。如，在「太陽每天早晨從東方升起，明天早晨太陽還會從東方升起」的三段論推理中，「太陽每天早晨從東方升起」這個大前提，是經驗恆常的歸納。這樣的歸納，初看起來是天經地義的，自我絕對的，但仔細分析，是受制於經驗的，是受制於經驗的概念抽象，這樣的概念抽象是不能超越經驗的。太陽系會毀滅，這樣的毀滅終將會在未來某個時刻發生，在未來的那個經驗直觀時刻，「明天早晨太陽還會從東方升起」的推理判斷和邏輯必然就會完全失效。

歸納的特點是，它的內容是經驗的，它的形式是概念的。歸納是經驗恆常的概念抽象，是不能超越經驗而自我絕對的。這樣，由歸納提供的大項是有它的界限的，即受制於經驗而不能超越經驗的。歸納的特點決定了以歸納為前提的三段論推理是一種歸納後的抽象運作，這種歸納後的抽象運作，提供的是抽象運作的邏輯必然和邏輯判斷，這種抽象運作的邏輯必然和邏輯判斷並不是自我絕對的，也不是可以成為超越抽象運作的制約和界限的，而是需要在經驗實證證明中，在抽象和經驗統一的求取中，獲得它的抽象和經驗統一的現實性、真確性和有效性的。

形式邏輯的優點是：它以指稱、定義和統攝的規定，使觀念、思想、知識和自我意識有了定格的基礎。形式邏輯認為，一切都應各就各位，處在各自的定格中，這是非常符合日常生活需要的常識的。

形式邏輯的不足是：

1、它偏執於定格而忽略變易。人類的一切概念認知和圖像都是主客關系的生成，處在主客關系的不斷變動中，它不僅需要對事物進行定格的規定，更需要對事物進行變易的洞察和規定，在變易的勘察中，把握事物的總體、事物的變化、事物的過程和事物的發展。

2、它偏執於概念抽象的自我絕對，沒有洞察任何一種概念抽象都是域定的，是有它的界限的。在形式邏輯的推理判斷中，三段論的大前提是由歸納的概念抽象所提供的，這樣的大前提在根基上是受制於經驗而不能超越經驗的。即便「人總是要死的」的歸納，也是受制於經驗的，是經驗恆常的概念抽象，並將為新的經驗出現而改變。現代科學技術的發展正在揭示，隨著電子生命以及電子意識的出現和發展，生命和意識的肉體死亡將會被改變，獲得新的經驗恆常的概念抽象。

二、辯證邏輯 ——

辯證邏輯以變易為的核心，它的精髓是：

1、對立統一。

一切概念抽象都處在「自我」和「非我」的對立統一中。如，無限和有限，上和下，作用和反作用，等等。

對立統一的每一方，都不是自我絕對的和先於對方的。在無限和有限、上和下、作用和反作用的對立統一中，無限不先於有限，有限不先於無限；上不先於下，下不先於上；正不先於負，負不先於正。對立統一的兩端，都不能孤立存在，而是有你才有我，有我才有你，是互為依存和互為映照的。

2、更高進階。

對立統一的精髓是走向更高進階的事物建構和對立統一。如，「正題」和「反題」的對立統一走向更高進階的「合題」，「單一」和「復多」的對立統一走向更高進階的「總體」，等等。

辯證邏輯以對立統一和更高進階的抽象運作，給出事物的變易性、聯系性、過程性、歷史性和發展性。從變易性、聯系性、過程性、歷史性和發展性上勘察事物總體。

辯證邏輯和形式邏輯的界分是：形式邏輯是定格的、閉環的抽象運作，辯證邏輯是變易的、開放的抽象運作。

人類心靈在概念方式的抽象運作上，有兩種不同的邏輯方式：即定格的邏輯方式和變易的邏輯方式。

在形式邏輯的定格中，事物有定格的規定，心靈可以定格地進行事物的區分和推理判斷。

在辯證邏輯的變易中，一切事物都不是自我絕對的和永恆不變的，處在對立統一的更高進階過程中。

如何看待形式邏輯和辯證邏輯的相互關系呢？

1、兩者各有所長，對於人類思維和實踐來說，兩者互補，都是不可偏廢和缺失的。

2、沒有形式邏輯，思維的抽象運作無以進行事物的定格規定和判斷；沒有辯證邏輯，思維的抽象運作則無以把握事物的變易過程和過程總貌。

3、形式邏輯和辯證邏輯的抽象運作都是概念方式的，是概念邏輯的綻出。我們既不能高仰辯證邏輯而貶低形式邏輯，也不能滯於形式邏輯而拒絕辯證邏輯，應當共同地將它們理解為是人類思維抽象運作的有效方式。

三、數理邏輯 ——

一般教科書總是告訴我們，數理邏輯用數學方法研究邏輯或形式邏輯的學科，是利用計算的方法來代替人們思維中的邏輯推理過程。十七世紀的萊布尼茨就曾經設想過能不能創造一種「通用的科學語言」，可以把推理過程象數學一樣利用公式來進行計算，從而得出正確的結論」。

由此可見，數理邏輯的核心是要把邏輯數理化，把邏輯運作轉化為數學運算。

把握數理邏輯關鍵兩點：

一是何謂數學。任何一門數學都是建立在數字元號、代數符號和運算符號操作的抽象運作上的，也就是建立在各種特定的數字元號、代數符號和運算符號的設立，以及運算規則確立的基礎上的，不同的數字元號、代數符號、運算符號，以及運算規則的創立，生成不同的數學門類。

以十進制四則運算為例：

1+1=2；

2-1=1；

2×2=4；

6÷3=2。

這里，我們看到十進制四則運算是有它的特定的數字元號、運算符號和運算規則的，以這樣的數字元號、運算符號和運算規則為架構，進行抽象運作的，獲得抽象運作的邏輯必然。

以代數二元一次方程為例：

4筐蘋果和3筐梨共重310千克，3筐蘋果和5筐梨共重370千克，蘋果、梨每筐分別重多少千克？

分析與解答：設蘋果每筐x千克，梨每筐y千克。根據4筐蘋果和3筐梨共重310千克，列出方程4x+3y=310；再根據3筐蘋果和5筐梨共重370千克列出方程3x+5y=370

4x+3y=310①

3x+5y=370 ②

①式兩邊都乘以3，得12x+9y=930③

②式兩邊都乘以4，得12x+20y=1480④

用④式減去③式，得11y=550

y=50

（310-50×3）÷4

=160÷4

=40(千克）

答：蘋果每筐重40千克，梨每筐重50千克。

這里，我們看到代數方程運算亦是有它的特定的數字元號、運算符號和運算規則的，以這樣的數字元號、運算符號和運算規則為架構，進行抽象運作的，獲得抽象運作的邏輯必然。

這樣的情況說明，任何一門數學學科的創立和應用，既關切於它們的數字元號、代數符號和運算符號的設立，又關切於它們運算規則的確立。數學的發展和創立實質上就是種種新的數字元號、代數符號和運算符號，以及運算規則的確立，這是數學的靈魂。一個國家的數學創新，關鍵在於能否創立新的數字元號、代數符號、運算符號和運算規則，進而在抽象和經驗統一的求取中，找到它的運用領域。

二是何謂邏輯。邏輯學的對象是思維，而人類思維運動的本質就是概念的抽象運作，即以符號為中介的抽象運作，這樣的抽運作生成了人類的認知和圖像，生成了人類的思想和自我意識，生成了人類的實踐和精神。因此，所謂邏輯，歸根到底就是以符號為中介的抽象運作，就是概念抽象運作的架構方式。

由此，所謂數理邏輯，就是把以符號為中介的概念抽象運作，全部地代入和轉換為數理符號的抽象運作，使概念方式的抽象運作成為數理符號操作的運算。

數百年來，西方邏輯學的發展逐步，隨著極限求取的數理化，圖形求取的數理化，計算機控制指令程序的數理化，以及文字、語言、色彩、影像、音樂、觀測、搜索，以及各種物理的、化學的、經濟的等等狀態和性狀的數理化發展，越來越廣泛地推動了邏輯和數理的技術結合。

當代電子智能技術的發展，更使人們嚮往通過數理邏輯和電子技術結合，造就一種機器人的邏輯裝置，這個機器人的邏輯裝置不僅能夠替代人類的大腦進行計算，而且能夠替代人類的大腦進行思想和自主作為。

這樣，當代數理邏輯發展本質在於，在電子技術的支撐下，造就一種機器人的邏輯裝置，這種邏輯裝置能夠和人類的大腦一樣，以更大的規模、更快的速度、更高的效率，自主地產生思想和自我意識，自主地產生實踐創造的能力，由此造就未來的電子生命、電子意識和電子智能。

可見，數理邏輯的本質不僅僅是形式邏輯的數理化，辯證邏輯的數理化，也不是為人類的而語言和思想提供標準的絕對方法，它的更高發展是實現概念邏輯的數理運作，為人類智能機器人的製造提供邏輯裝置。

實現數理邏輯的更高發展，需要精深地勘察人類意識結構中的概念抽象運作，搞清概念抽象運作的邏輯方式和邏輯架構，只有這樣，才能真正地實現數理邏輯的追求。

C. 分析哲學的基本特徵

盡管如此，他們的觀點仍有一些共同特徵。這主要表現在以下幾個方面：
①重視語言在哲學中的作用，把語言分析當作哲學的首要任務，甚至當作它的唯一任務。分析哲學家普遍把全部哲學問題歸結為語言問題，認為哲學的混亂產生於濫用或誤用語言，許多哲學爭端都可以歸結為語言問題的爭端。他們把哲學的內容或者歸結為對科學語言進行邏輯分析，或者對日常語言進行語義分析，認為哲學不是理論，而是活動，哲學家的任務不是發現和提出新的命題,而是闡釋思想,使已有的命題變得清晰。他們強調語言對哲學的影響，重視對語言問題的研究，強調概念的明確性和推理的嚴密性。這種觀點有其合理性。可是，他們把全部哲學問題歸結為語言問題，認為哲學的任務不是探索世界的本原和本質，不是研究自然界、社會和思維的一般發展規律，而僅僅是對語言進行邏輯分析或語義分析，這就否定了哲學作為世界觀和認識論的理論意義，從而否定了哲學本身。而且，哲學混亂的出現，究其根源，盡管不排除語言的濫用或誤用，但最根本的原因應從認識論和一定社會的政治、經濟中去尋找。因此，僅僅依靠語言分析並不能徹底揭露哲學混亂的實質，更不可能根除它們。
② 普遍重視分析方法。羅素和前期的維特根斯坦以及邏輯經驗主義者，都十分強調形式分析或邏輯分析，即從純粹邏輯的觀點分析語言的形式，研究現實和語言的最終結構。摩爾和後期的維特根斯坦以及日常語言學派,則強調概念分析或語言分析,即研究概念的各種特性、特質以及它們之間的相互關系，仔細分析與認識有關的某些具體詞彙。分析作為一種研究方法能起一定作用，這種方法在語言哲學等方面已取得某些積極成果。但是，這些分析哲學家把分析方法誇大為哲學研究的主要的甚至是唯一的方法，在應用時，還往往把語言的內容和形式割裂開來。由於他們片面強調分析，忽視綜合，以致他們的研究成果往往顯得煩瑣，不能對認識對象作出全面、概括和綜合的說明。
③ 反對建立龐大的哲學體系，主張在解決哲學問題時要從小問題著手，由小到大地逐一解決。分析哲學家尤其是邏輯經驗主義者，強調要以自然科學，特別是數學和物理為模本建立自己的理論，要使自己的概念和論證達到自然科學那樣的精確程度。他們利用數理邏輯作為自己的主要研究手段，並建立了一套技術術語。但由於他們片面強調哲學研究的科學性，把大部分、甚至全部精力用於研究某些細小問題，忽視或者拒絕研究哲學基本問題，致使他們的研究背離哲學的本質，並與現實社會生活脫節，流於純粹學院式的研究。 分析哲學流派情況復雜，需作具體分析，特別要把他們所運用的數理邏輯及其形式化的研究方法，與其作出的哲學結論區別開來。前者大多具有科學價值，後者則往往是唯心主義的。